第8章松弛算法
松弛算法——精选推荐
（学校代码: 10128 学 号:本科毕业论文 题 目： 学生姓名： 所在学院： 学科专业： 指导教师： 二零一四年四月用不精确线搜索求解广义Nash均衡问题的松弛算法摘要：广义Nash均衡问题（GNEP）是标准Nash游戏的一个推广，在这个游戏当中，每一个参与者的效用功能和策略空间的选择都依赖于其余参与者所选择的策略。
广义Nash均衡问题解决起来是比较困难的，并且如今能解决该问题的方法仅有数的见的几个。
其中一个比较普及的方法是--松弛算法。
该法在一系列的假定条件下被认为是全局收敛的。
在本论文中将给出一种改进的松弛算法来解决某种确定类型的广义Nash均衡问题(GNEP)。
该改进的松弛算法的收敛性分析有着完全不同的观点并且也避免了一些原松弛算法的技术条件。
此外，大量的实验也表明了该改进了的松弛算法很好的与给出的实际例字相吻合。
关键词：广义Nash均衡问题、正则化Nash均衡、松弛算法、正则化Nikaido-Isoda function、全局收敛第1节广义Nash均衡问题（GNEP）近来引起了人们很多的关注，它不同于Nash 均衡问题。
在广义Nash均衡问题中，每个参与者的策略空间已不单纯是一个与其他参与者的策略选择无关的集合，而是与其他参与者的策略选择有关。
在不同的事件中，一些种类的Nash问题一下子出现的非常频繁。
例如，某一地区的河流污染或空气污染依赖于该地区内几家公司的产量并且不被允许超过某一特定的限制量；还有，当几家公司不得不共用同一批电线或者世界上的公司不得不公用自然资源时，他们的能力就固定了；感兴趣的读者可以在文献[9]中找到相关的调查实验，也可找到关于解决GNEP的某些方法的存在性综述和一些理论的结果。
前面已经提到解决GNEP 的一个最普及的方法是--松弛算法，该法在文献[26]中可以找到，也可以在[19]中找到该算法的一个改进版本。
遗憾的是，没有一个Nash 问题的解决者已经广泛的试验了许多不同种类的问题。
第8章约束优化准则及转换算法
第8章约束优化准则及转换算法在优化问题中，除了优化目标，通常还伴随着一些约束条件。
这些约束条件限制了优化问题的解空间，使得问题的求解变得更加复杂。
为了解决带有约束条件的优化问题，可以使用约束优化准则及转换算法。
约束优化准则将带有约束条件的优化问题转化为不带约束条件的优化问题，从而简化求解过程。
常见的约束优化准则有Lagrangian乘子法和KKT条件。
Lagrangian乘子法是一种将约束条件引入目标函数的方法。
通过引入Lagrange乘子，可以将约束条件转化为目标函数的约束项，从而得到一个不包含约束条件的优化问题。
当目标函数和约束条件都为光滑函数时，可以使用Lagrange乘子法求解优化问题。
KKT条件是由Karush-Kuhn-Tucker提出的一组用于判断一个解是否为最优解的必要条件。
KKT条件将约束优化问题转化为一个带有等式和不等式约束条件的优化问题。
通过判断满足KKT条件的解，可以判断其是否为最优解。
除了约束优化准则，还可以使用转换算法求解带有约束条件的优化问题。
转换算法通过将约束条件转化为等式约束和不等式约束，从而得到一个不带等式约束的优化问题。
常见的转换算法有罚函数法和互补松弛法。
罚函数法通过将约束条件引入目标函数，以惩罚的形式对不满足约束条件的解进行惩罚，从而将带有约束条件的优化问题转化为一个不带约束条件的优化问题。
罚函数法的关键在于选择合适的惩罚函数和惩罚参数，从而保证得到的解满足约束条件。
互补松弛法通过引入松弛变量，将不等式约束条件转化为等式约束条件，从而得到一个不带不等式约束的优化问题。
通过求解带有松弛变量的优化问题，可以得到满足原始约束条件的解。
互补松弛法的关键在于选择合适的松弛变量和约束条件，并通过迭代的方式逐渐调整松弛变量的取值，从而求解约束优化问题。
总结来说，约束优化准则及转换算法是求解带有约束条件的优化问题的有效方法。
通过将约束条件引入目标函数或转化为等式约束和不等式约束，可以简化优化问题的求解过程。
松弛变量法得到的解与最优解
松弛变量法得到的解与最优解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：松弛变量法是一种用于求解线性规划问题的常用方法，在实际应用中，我们经常会遇到线性规划问题，希望通过调整一些约束条件来使问题更符合我们的需求。
而松弛变量法则是一种通过引入松弛变量的方式来处理线性规划问题的方法，通过引入松弛变量，我们可以将原始问题转化为一个更容易求解的问题。
在松弛变量法中，我们会将原始问题中的不等式约束进行转化，使问题形式更加简单。
以标准型线性规划问题为例，我们将目标函数中的最小化或最大化问题转化为求解一个线性方程组的解，以及对应的一组松弛变量的值。
这样一来，我们就可以通过求解线性方程组来得到问题的解。
当我们使用松弛变量法求解线性规划问题时，一般会得到一个解和对应的一组松弛变量的值。
这个解并不一定是最优解，而是一个满足约束条件的解。
我们需要通过进一步的计算和分析来得到最优解。
在求解线性规划问题时，我们通常会采用单纯形法等方法来得到最优解。
单纯形法是一种用于求解线性规划问题的经典方法，通过不断地移动解向更优的方向，最终得到最优解。
在这个过程中，我们需要不断地更新变量的取值，直到找到满足约束条件的最优解。
第二篇示例：松弛变量法是一种常用的数学优化方法，用于解决线性规划问题。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要最大化或最小化某种指标的问题，比如生产成本最小化、利润最大化等。
而线性规划正是一种能够帮助我们找到最优解的数学工具。
在线性规划中，有时会出现约束条件不是等式而是不等式的情况，这时就需要用到松弛变量法来将不等式约束转化为等式约束，从而方便求解最优解。
松弛变量法的基本思想是引入一些“松弛变量”，将不等式约束转化为等式约束，使得原线性规划问题变为一个更容易求解的等式约束线性规划问题。
具体来说，对于每一个不等式约束，我们都引入一个松弛变量，将原不等式约束转化为一个等式约束。
这样一来，我们就可以利用标准的线性规划方法来求解含有等式约束的问题，得到最优解。
数值计算方法 松弛迭代法 - 松弛迭代法
n1
(k 1)
1
n2
(k 1)
2
b x
( k 1)
n,n1 n1
g n
x
(
0
)
( x1(0) ,
,
x(0) n
)T
,
xi
x (k1) i
x(k) i
xi
(bi
i 1
a x (k1) ij j
n
aij
xj(k) )
/
aii
x(k) i
ji
j i 1
i 1
n
(bi
aij
x (k1) j
aij
x
(k j
)
)
/
aii
.
(2.13)
代
j1
ji1
法
(2) 再由xi(k ) 与x~i(k1) 加权平均定义xi(k1) ，即
x(k1) i
(1 )xi(k)
x(k1) i
x(k) i
( xi(k1)
xi(k) )
(2.14)
将(2.13)代入(2.14)得到解 Ax b 的SOR迭代公式.
第 六
线性插方程值组的法迭代解法
章
主讲教师：刘春凤
1 迭代法原理
2 Jacobi迭代法 3 高斯-塞德尔迭代法 4 松弛迭代法
5 迭代法的收敛性与稳定 性
松弛法的基本思想 松弛法的矩阵表示 松弛法的程序 迭代法收敛性的其它判定方法
松弛法的基本思想
为Gauss-Seidel 迭代法加速
记：x x1 , x2 , , xn T x(k1) x(k)
松
可以把 x 看作Gauss-Seidel 迭代的修正项，即第k次
松弛迭代法
一、松弛迭代计算公式
松弛迭代法
赛德尔迭代法的迭代公式可表示为 i 1 n 1 xi( m +1) = (bi ∑ aij x (jm +1) ∑ aij x (jm ) ) aii j =1 j =i +1
=x
(m) i i 1 n 1 ( m +1) + (bi ∑ aij x j ∑ aij x (jm ) ) aii j =1 j =i
令Bω = ( D ωL) 1[(1 ω ) D + ωU ], gω = ( D ωL) 1 b, 则
x ( m +1) = Bω x ( m ) + gω
(m = 0,1,2, L)
三、松弛法算法 输入 方程组的阶数n, A的元素aij，≤ i, j ≤ n; b的分量bi ,1 ≤ i ≤ n; 1
在实际计算中，松弛法常采用以下形式：
x
( m +1) i
= (1 ω ) x
( m) i
+ ω (bi ∑ aij x
j =1
i 1
( m +1) j
∑ aij x (jm ) ) / aii (i = 1,2, L , n)
j =i
n
二、松弛法的矩阵形式 x (m +1) = ( D ωL) 1[(1 ω ) D + ωU ]x ( m ) + ω ( D ωL) 1 b (m = 0,1,2, L)
ri( m +1) → 0(i = 1,2, L , n)
在修正量前乘上一个参数，即
xi( m +1) = xi( m ) + ωri( m +1)
概率松弛标记
概率松弛标记松弛标记法是一种利用符号描述模式的识别方法。
松弛算法本质上是并行的, 它以迭代形式进行, 整个过程与人的猜测推理过程相类似, 利用各种关系逐步缩小搜索范围, 最终求出正确的结果。
我们将被处理对象称为目标, 描述目标的符号称为标记。
开始处理时, 一般不能清楚地识别目标, 目标的属性是模糊的。
松弛标记法利用目标之间的各种关系逐步减小这种模糊度。
先建立目标的初始标记, 经不断迭代, 逐步更新标记, 最后求出描述目标较准确的标记集。
概率松弛法原理假设有n 个对象i A ，i=1,2,…,n,要划分为m 个类别j C ,j=1,2,…,m ，分类过程彼此制约。
设(0)ij P 为事件i j A C ∈的初始概率，对其进行迭代，希望得到与制约条件相适应的概率分布，以此作为分类的依据。
为此，作概率的线性组合式中(,;,)c i j h k 为事件k k A C ∈与事件i i A C ∈之间的相容系数，满足|(,;,)|1c i j h k ≤，并且(,;,)0k k c i j h k A C >↔∈与i i A C ∈相容；(,;,)0k k c i j h k A C <↔∈与i i A C ∈不相容；(,;,)0k k c i j h k A C =↔∈与i i A C ∈相互独立，于是迭代概率为：()()(1)()()1[1][1]r r ij ij r ij m r r il il l P Q P PQ +=+=+∑ 式中r 为迭代上标。
概率松弛发分类是将受相容性制约，对噪音不敏感，当相容准则和系数选取得当时便可以得到良好的效果。
相容准则和系数的选取必须根据具体问题来确定。
概率松弛标记过程就是从初始标记概率出发, 从相关联的目标中传送局部乃至整体的关联信息, 对初始标记进行逐步地协调和修正, 找出整体上一致的最大后序概率（MAP ）估计, 为每一目标指定唯一标记。
转换函数:概率松弛标记法的核心是转换函数，用于从邻近目标中提取越来越多的相关()()11Q (,;,)1m r r ij hk h i k c i j h k P n ≠==-∑∑信息，以使标记指定i j x λ=的概率估计{|}i j P x Y λ=最终达到精确值。
第8章_松弛算法
目 标 值
最优值
例子1: 线性规划松弛: 在7.1.1中,将整数约束松弛 为实数, 称其为7.1.1的线性规划松弛: Z LP min cT x 7.1.2 Ax b, s.t. n x R .
注: 1. 定理7.1.1: ZLP ZIP 2. 此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为 较大整数的情形. 3. 此类算法分两阶段: 第一阶段为求松弛后线 性规划问题的最优解; 第二阶段为将解整数化, 并考虑可行性.
注:定理7.2.1说明拉格朗日松弛是IP问题的一个下 界,但我们应该求与IP最接近的下界,即:
( LD) z LD max{z LR ( )}
0
定义7.2.1 若 x, y D ,满足以下条件,则称D为凸集.
x (1 ) y D,0 1
对于离散点集 Q {P | i 1, 2,},其凸包 i 定义为:
S1 Con(Q {x R | x1 2 x2 4})
n n S 2 Con(Q) {x R | x1 2 x2 4}
x1 2x2 4
4 3 2 1 1
B
C
S1
2
3
D
4
x1 2x2 4
4
3 2 1 1
B
C
S2 2 3 4
D
由推论7.2.1可以知道, zIP zLD 由两个因素有关: 第一个因素是目标函数中的C,推论7.2.1要求对所 有的C满足S1=S2,但也可能存在某个C使得 zIP zLD 第二个因素是可行解的区域.由上面的图形可知,SI 和S2不同,所以存在一个C,使得 zIP zLD不为零,如 8 z LD 28 ,在 1 达到拉格朗日对偶问 在例7.2.1中, 9 9 题的最优值,其最优解为(4,0); zIP 28 ,其一个最优 解也为(4,0).由此我们可以知道,即使拉格朗日松弛 在某个 下达到的最优解为原问题的可行解,我们 也不能断言 zIP zLD .除非此时 0 .
拉格朗日松弛算法
拉格朗日松弛算法拉格朗日松弛算法是一种常用的优化算法，以解决含有约束条件的优化问题。
该算法通过引入拉格朗日乘子将原问题转化为一系列子问题，并通过求解这些子问题来逐步逼近原问题的最优解。
本文将详细介绍拉格朗日松弛算法及其应用。
一、拉格朗日乘子法在介绍拉格朗日松弛算法之前，我们需要先了解一下拉格朗日乘子法。
拉格朗日乘子法是一种常用的优化方法，用于求解带有约束条件的优化问题。
其基本思想是将原问题转化为一个无约束的最优化问题，通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入目标函数中。
对于一个带有约束条件的优化问题：min f(x)s.t.g(x)<=0h(x)=0其中，f(x)为目标函数，g(x)和h(x)分别为不等式约束和等式约束。
我们可以定义拉格朗日函数如下：L(x,λ,μ)=f(x)+λg(x)+μh(x)其中，λ和μ分别为拉格朗日乘子。
通过求解拉格朗日函数的极小值，我们可以得到原问题的最优解。
具体而言，拉格朗日松弛算法通过将原问题的约束条件转化为松弛条件，将原问题分解为多个子问题，并通过不断求解这些子问题来逼近原问题的最优解。
具体的步骤如下：1.初始化拉格朗日乘子λ和松弛变量μ；2.通过求解下面的松弛子问题来更新μ：min L(x, λ, μ)3.通过求解下面的拉格朗日子问题来更新λ：max q(λ, μ)s.t.λ>=04.若μ收敛于0，算法终止，并返回优化解x；否则，重复第2和第3步。
在更新μ和λ的过程中，可以采用内点法等迭代算法来求解子问题。
三、应用举例1.组合优化问题：例如在投资组合选择问题中，我们希望找到一个最优的投资组合，使得收益最大，同时满足一定的风险限制。
通过引入拉格朗日乘子，我们可以将原问题转化为一个无约束的最优化问题，并通过拉格朗日松弛算法逐步逼近最优解。
2.机器学习问题：在训练分类器或回归模型时，我们通常需要最小化目标函数，并满足一系列约束条件，比如正则化项或边界约束。
拉格朗日松弛算法是一种常用的优化方法，能够高效地解决这类问题。
拉格朗日松弛算法
7.1 基于规划论的松弛算法
173
使得减少一些约束后的问题在多项式时间内求得最优解。由此，将这些减少的约束称为难约
束。对于线性整数规划问题，将难约束吸收到目标函数后，问题又变的容易求解。这时解的
质量完全依赖于吸收到目标函数时所选取的参数。
例 7.1.1 集合覆盖问题(The set covering problem)
j =1
i =1
j =1
s.t. x j ∈{0,1}, j = 1,2,L,n,
λ ≥ 0.
记
则松弛后的模型为
m
∑ d j = c j − λ i aij , i =1
n
m
∑ ∑ zLRSC (λ) = min d j x j + λ i
j =1
i =1
s.t. x j ∈{0,1}, j = 1,2,L,n,
定理 7.1.1 zLP ≤ z1 。
定理 7.1.1 说明线性规划松弛得到整数规划的一个下界。可以通过单纯形算法或多项式
时间的内点算法[1]，求得(7.1.2)的线性规划的最优解。
当 S 中的一个解 x0 满足 cT x0 = z LP 时，推出 x0 为(7.1.1)的最优解。作为求解整数规划
问题启发式算法的一部分，线性规划松弛适用于整数规划问题中决策变量是比较大的整数。
由定理 7.1.2 得到 ∀λ ≥ 0 ⇒ zLR (λ) ≤ zIP 。□ 定理 7.2.1 说明拉格朗日松弛是 IP 的下界，我们的目的是求与 zIP 最接近的下界。于是
需要求解
(LD)
z LD
=
max λ≥0
z
LR
(λ
)
。
问题 LD 称为 IP 的拉格朗日对偶。用下例来理解拉格朗日松弛和对偶等概念。先定义
计算方法 第八章 解线性方程组的迭代法 高斯迭代法 迭代法的收敛性
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 . . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0
0 2 1 7 5 8 8 2 1 6 9 3 8 9 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 . 1. 1 . 1 9 . 1 9 . 1 9 . 1 9 . 1 9 . 1 9 . 1 9 . 1 9 . 1 9
x3 0 1.1644 1.282054 1.297771 1.299719 1.299965 1.299996 1.299999 1.3
16
开始
输入aij , bi , N , , i, j 1 N
N 线形方程组组数 A 系数矩阵aij B 常数矩阵bi X 迭代过程中的解xi Y－上一轮迭代的解yi a b 将b的值赋给a 计算步骤： i 1, 2 n １ .输入原始数据aij j 1, 2 n bi i 1, 2 n , n ２输入初使迭代值x (0) . xi 0, yi 0, i 1, 2 n 3.迭代计算x ( k ) i 1 n j 1 n 如 i j ，则xi 4.精度判断 i 1 n 如 xi yi 则j 1 n yi xi 转第三步再计算 bi aij x j aii
量利用最新的迭代值，得到
xi( k 1)
i 1 n 1 (bi aij x (jk 1) aij x k ) (i 1, 2, , n) j aii j 1 j i 1
上式称为 Gauss-Seidel 迭代法. 13
§8.2 高斯-塞德尔迭代法
( ( ( ( ( x1 k 1) 1 ( a12 x 2k ) a13 x 3k ) a14 x4k ) a1n x nk ) b1 ) a11 ( ( ( ( ( x 2k 1) 1 ( a 21 x1 k 1) a 23 x 3k ) a 24 x4k ) a 2 n x nk ) b2 ) a 22 ( ( ( ( ( x 3k 1) 1 ( a 31 x1 k 1) a 32 x 2k 1) a 34 x4k ) a 3 n x nk ) b3 ) a 33
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A: (1). 在一些组合优化中,若在原问题中减 少一些约束,则使得问题求解难度大大降 低.(我们把这类约束称为难约束).
(2). 实际的计算表明此种方法所得到的结 果相当不错.
7.1 基于规划论的松弛方法
整数规划模型:
ZIP
mincT x Ax b,
s.t.
j1
x
j
{0,1},
j 1 n
zLRSC min{n
m
cjxj i(1
n
aijxj)}
s.t.xj
j1
{0,1},
i1
j 1 n
j1
0
松弛模型:
(LRSC)
zLRSC min n dj xj m i
s.t.xj
其它算法：分解法、组合算法等的 目标值。
下界算法：线性规划松弛、拉格朗 日松弛等的目标值。
目 标 值
最优值
例子1: 线性规划松弛: 在7.1.1中,将整数约束松弛 为实数, 称其为7.1.1的线性规划松弛:
ZLP
mincT x
Ax
b,
s.t.
x
Rn.
7.1.2
注:
1. 定理7.1.1: ZLP ZIP
j1
{0,1},
i1
j 1 n
0
m
dj cj iaij i1
以上问题很容易求得最优解
1, x*
dj 0
0, other
7.2 拉格朗日松弛理论
IP:
ZIP mincTx Ax b,(难约束)
原 整 数
s.t.
Bx d（ , 简单约束）
对于离散点集 Q{P i|i1,2, },其凸包 定义为:
C o n ( Q ) { P iP i| i R 1 , i 1 }
i
i
显然Con(Q)为凸集.
定理7.2.2 若拉格朗日对偶问题的目标值有限,则
zLDm in{cTx|Axb,xCon(Q)} 其 中 ： Q{x|Bxd,xZ n}
其中Y为决策变量.
7.1.3
注: 由对偶理论知,7.1.2和7.1.3有相同的最优值,
至于采用其中的哪个模型求解7.1.1的下界, 需比较哪个计算简单.
例3. 代理松弛法:
当(7.1.1)中的约束太多时,代理松弛一个约束
nK
K
பைடு நூலகம்
( aik j)xj bik
j1 k1
k1
代替(7.1.1)中的K个约束 n aik jxj bik , k1 K j1
Chapter 8:拉格朗日松弛算法
主要内容:
8.1 基于规划论的松弛方法 8.2 拉格朗日松弛理论 8.3 拉格朗日松弛的进一步讨论 8.4 拉格朗日松弛算法 8.5 应用案例:能力约束单机排序问题
基于数学规划: 分支定界法、割平 面法、线性规划松弛再对目标函 数可行化等的目标值。
现代优化算法：禁忌搜索法、模 拟退火法、遗传算法、蚁群算法 等的目标值。
证明:
zLR ()
min(cT
xQ
T
A)x
Tb
min (cT T A)x Tb xCon(Q)
min [cT x T (b Ax)] xCon(Q)
设Con(Q)的极点为{xk | kK},极方向为 {r j | j J}则:
m x iQ n (c TTA )xT b c T x ,k if jT (b J, A (c x T k) ,o tT h A e r )r :k j 0 K
xZn.
注:定理7.2.1说明拉格朗日松弛是IP问题的一个下 界,但我们应该求与IP最接近的下界,即:
(L D ) zL D m a 0 x { zL R ()}
定义7.2.1 若 x, y D,满足以下条件,则称D为凸集.
x ( 1 )y D ,0 1
规 划
xZn.
问 题
S { x Z n|A x b ,B x d }
拉
LR:
ZLR()Bxm idn（ ,{c简 Tx单 约 T束 (b） Ax)}
s.t. xZn.
SLR{x Z n|Bxd}
格 朗 日 松 弛
定理7.2.1 LR同下整数规划问题(7.2.1)有相同 的复杂性,且若IP可行解非空，则:
x
Zn.
7.1.1
松弛的定义（7.1.1）: 问题 RP: ZRminzR(x) xSR
满足下列性质时,称为7.1.1的一个松弛(relaxation).
(1)可行解区域兼容: S S R
(2)目标函数兼容: cTxzR(x), xS
其中, S 为7.1.1的可行域.
例7.1.1 set covering problem
2. 此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为 较大整数的情形.
3. 此类算法分两阶段: 第一阶段为求松弛后线 性规划问题的最优解; 第二阶段为将解整数化, 并考虑可行性.
例2: 对偶规划松弛方法: 7.1.2的对偶形式为:
ZDP
max AT y
yTb
c,
s.t.
y Rn.
极端情况可以用一个代替全部
nm
m
( ai j)xj bi
j1 k1
k1
注: 代理松弛法保证目标函数,整数规划约束不变, 显然,由代理松弛法求得的解不一定可行
例4. 拉格朗日松弛方法
基本原理: 将目标函数中造成问题难的约束吸 收到目标函数中,并保持目标函数的线性,使问题 容易求解.
问题描述: 设 A(aij)mn,所有 aij {0,1} ,且每一列对应一 个费用 cj( j 1 n), a ij 1 表示第j列覆盖第i行,要求在 最小的费用下选择一些列,使其覆盖所有的行.
(SC )
松弛问题:
(LRSC)
zsc
min
n
cjxj
j 1
n
s.t. ai j x j 1, i 1 m
min cT x
0 , zL R()zIP
s.t.Bx d
(7.2.1)
x
Z
n
证明:
LR:
IP:
ZLR()Bxm idn（ ,{(简 cT单 约 T束 A)） xTb}
s.t. xZn.
ZIP mincTx Ax b,(难约束)
s.t. Bx d（ , 简单约束）