高中数学 电子题库 第2章2.2.1知能演练轻松闯关 苏教版选修11
高中数学 电子题库 第2章2.4知能演练轻松闯关 苏教版必修1
1.若幂函数f (x )＝x m －1在(0，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析：指数为正时，幂函数在第一象限为增函数．答案：m ＞12.已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，那么这个幂函数的解析式为________． 解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3α＝3，所以α＝12，所以y ＝x 12. 答案：y ＝x 123.函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12的定义域为________．解析：由题意，1－x ≠0且1－x ≥0，所以x ＜1.答案：(－∞，1)4.如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________．解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m ＜0，n ＜0.取x ＝2，则有2m ＞2n ，故n＜m ＜0.答案：n ＜m ＜05.函数f (x )＝x 1m 2＋m ＋1(m ∈N ＋)为________函数．(填“奇”，“偶”，“奇且偶”，“非奇非偶”)解析：∵m ∈N ＋，∴m 2＋m ＋1＝m (m ＋1)＋1为奇数，∴f (x )为奇函数．答案：奇[A 级 基础达标]1.函数y ＝x 12＋x －1的定义域是________．解析：y ＝x 12的定义域是[0，＋∞)，y ＝x －1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．答案：(0，＋∞)2.函数y ＝x ＋1x －1的对称中心的坐标是________． 解析：y ＝x ＋1x －1可化为y ＝1＋2x －1，即y －1＝2x －1. 其图象可看作是由y ＝2x 向右平移1个单位，向上平移1个单位而得，由y ＝2x的对称中心为(0，0)，可知y ＝x ＋1x －1图象的对称中心为(1，1)． 答案：(1，1)3.写出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13；③y ＝x －1；④y ＝x 23.其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)解析：函数y ＝x 13的定义域和值域都为R ；函数y ＝x －13与y ＝x －1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)．答案：①②③4.设函数f (x )＝(m －1)xm 2－2，如果f (x )是正比例函数，则m ＝________；如果f (x )是反比例函数，则m ＝________．解析：如果f (x )是正比例函数，则m 2－2＝1且m －1≠0，解得m ＝±3，如果f (x )是反比例函数，则m 2－2＝－1且m －1≠0，解得m ＝－1. 答案：± 3 －15.已知0<a <1，则a 12，a 2，2a 从小到大的次序是________．解析：分别利用函数y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝2x 的图象，直线x ＝a (0<a <1)与各自交点的纵坐标即为3个函数值，故a 2<a 12<2a .答案：a 2<a 12<2a6.已知函数f (x )＝x 2(x ≥0)，g(x )＝x 12(x ≥0)．(1)(2)函数y ＝f 解：(1)(2)y ＝f (x )与1)．7.已知f (x )＝x ，g(x )＝x 3，设F (x )＝f (x )＋g(x )，试判断F (x )的奇偶性与单调性． 解：∵f (x )，g(x )的定义域均为R ，∴F (x )＝f (x )＋g(x )＝x ＋x 13的定义域为R.又F (－x )＝－x ＋(－x )13＝－(x ＋x 13)＝－F (x )，∴F (x )是奇函数．∵f (x )与g(x )在R 上均为增函数，∴F (x )在R 上也为增函数．[B 级 能力提升]8.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12 （x ＞0），－2 （x ＝0），（x ＋3）12 （x ＜0），则f {f [f (0)]}＝________.解析：f (0)＝－2，f [f (0)]＝f (－2)＝(－2＋3)12＝1，f {f [f (0)]}＝f (1)＝1－12＝1. 答案：19.已知函数y ＝(m 2－9m ＋19)x 2m －9是幂函数，且图象不过原点，则m ＝________．解析：令m 2－9m ＋19＝1，得m ＝3或m ＝6.当m ＝6时，原函数为y ＝x 3过原点，不合题意，舍去．答案：310.已知幂函数y ＝xm 2＋2m －3(m ∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1，又∵m ∈Z，∴m ＝－2，－1，0.当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵－3＜0，∴y ＝x －3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，∴y ＝x －3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (－x )＝(－x )－4＝1（－x ）4＝1x 4＝x －4＝f (x )， ∴函数y ＝x －4是偶函数．∵－4＜0，∴y ＝x －4在(0，＋∞)上是减函数．又∵y ＝x －4是偶函数，∴y ＝x －4在(－∞，0)上是增函数．11.(创新题)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3＜(3－2a )－m 3的a 的取值范围． 解：因为函数在(0，＋∞)上递减，所以m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.又m ∈N *，所以m ＝1，2.又函数图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3为偶数，故m ＝1，所以有(a ＋1)－13＜(3－2a )－13.又因为y ＝x －13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减， 所以a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，a ＋1＜0， 解得a ＜－1或23＜a ＜32， 即a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＜－1或23＜a ＜32.。
高中数学 电子题库 第2章2.3.2第二课时知能演练轻松闯关 苏教版必修1
1.设函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)的图象经过两点A (－1，0)、B (0，1)，则2a ＋b 的值是________．解析：把点A (－1，0)，B (0，1)分别代入f (x )＝log a (x ＋b )，得0＝log a (b －1)与1＝log a b ，∴a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＝4，2a ＋b ＝24＝16.答案：162.函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的最大值是________．解析：y ＝log 12(x 2－6x ＋17)＝log 12[(x －3)2＋8]，因为(x －3)2＋8≥8，所以y ＝log 12[(x －3)2＋8]≤log 128＝－3.答案：－33.当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －2)－3必过定点________．解析：由log a 1＝0，知f (3)＝log a (3－2)－3＝－3.答案：(3，－3)4.函数y ＝log 23(1－x )的单调递增区间是________．解析：函数的定义域是(－∞，1)，设y ＝log 23u ，u ＝1－x ，由于函数y ＝log 23u 是减函数，函数u ＝1－x 是减函数，则函数y ＝log 23(1－x )的单调递增区间是(－∞，1)．答案：(－∞，1)5.函数f (x )＝2x －log 12(x －1)，x ∈(1，3]的值域是________．解析：u 1＝log 12(x －1)在(1，3]上为减函数，u 2＝－log 12(x －1)在(1，3]上为增函数，又u 3＝2x 在(1，3]上也为增函数．∴f (x )＝u 2＋u 3＝2x －log 12(x －1)在(1，3]上为增函数．故f (x )的值域为(－∞，7]．答案：(－∞，7][A 级 基础达标]1.设log a 34<1，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a >1时，log a 34<0<1，满足条件；当0<a <1时，log a 34<1＝log a a ，得0<a <34.故a >1或0<a <34. 答案：(0，34)∪(1，＋∞) 2.当a >0且a ≠1时，已知函数y ＝log a x ＋1的图象必过定点M ，则M 的坐标是________． 解析：函数y ＝log a x ＋1的图象由函数y ＝log a x 的图象沿y 轴的正方向平移一个单位得到，而函数y ＝log a x 的图象过定点(1，0)，所以M 的坐标是(1，1)．答案：(1，1)3.(1)函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象关于________对称；(2)函数y ＝log 3x 与y ＝log 3(－x )的图象关于________对称；(3)函数y ＝log 3x 与y ＝－log 3(－x )的图象关于________对称．解析：对于任何函数y ＝f (x )，其图象与y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．答案：(1)x 轴 (2)y 轴 (3)原点4.函数f (x )＝3－log 12x (x ≥2)的值域是________．解析：f (x )＝3－log 12x 在区间[2，＋∞)上为增函数，或者先将f (x )变形为f (x )＝3＋log 2x .答案：[4，＋∞)5.已知函数y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：令u ＝2－ax ，y ＝log a u ，因为a ＞0，所以u ＝2－ax 递减，又y 关于x 递减，所以y 关于u 递增，所以a ＞1，又u ＝2－ax 在x ∈[0，1]上恒大于0，所以2－a ＞0，即a ＜2，综上得1＜a ＜2.答案：(1，2)6.求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(2x ＋1)；(2)y ＝log 0.2(x 2－1)；(3)y ＝log 12(x 2－2x ＋3)．解：(1)值域为R ；(2)值域为R ；(3)∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，∴2≤(x －1)2＋2，即log 12(x 2－2x ＋3)≤－1，值域为(－∞，－1]．7.已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，求实数a 的值． 解：(1)若0<a <1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为减函数，令⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f （1）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝1，log a 2＝0，无解． (2)若a >1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为增函数，令⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （1）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝0，log a 2＝1，故a ＝2，符合题意． 综合(1)、(2)知，a ＝2.[B 级 能力提升]8.设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是________． 解析：由f (0)＝0，得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x＜0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x ＞0，1＋x 1－x＜1，解得－1＜x ＜0. 答案：(－1，0)9.已知f (x )＝|log a x |(0＜a ＜1)，则f (14)________f (2)．(填大小关系)解析：因为0＜a ＜1，所以f (2)＝|log a 2|＝－log a 2＝log a 12，又f (14)＝log a 14，f (x )在(0，1)上递减，而0＜14＜12＜1，所以f (14)＞f (12)，即f (14)＞f (2)． 答案：＞10.已知关于x 的方程(12)x ＝11－lg a有正根，求实数a 的取值范围． 解：法一：设x 0为方程的正根，则0<(12)x 0<1，即0<11－lg a<1，得lg a <0，故0<a <1. 法二：由(12)x ＝11－lg a， 可知x ＝log 2(1－lg a )．令log 2(1－lg a )>0，得1－lg a >1，故lg a <0，得0<a <1.11.(创新题)设函数f (x )＝lg(1－x )，g(x )＝lg(1＋x )，试在f (x )和g(x )的公共定义域内比较|f (x )|与|g(x )|的大小．解：f (x )和g(x )的公共定义域是(－1，1)．(1)当－1<x <0时，|f (x )|－|g(x )|＝lg(1－x )＋lg(1＋x )＝lg(1－x 2)<0，即|f (x )|<|g(x )|.(2)当x ＝0时，|f (x )|＝|g(x )|.(3)当0<x <1时，|f (x )|－|g(x )|＝－lg(1－x )－lg(1＋x )＝－lg(1－x 2)>0，即|f (x )|>|g(x )|.综合(1)、(2)、(3)知，当－1<x <0时，|f (x )|<|g(x )|；当x ＝0时，|f (x )|＝|g(x )|； 当0<x <1时，|f (x )|>|g(x )|.。
2021-2022年高中数学 电子题库 第2章2.1.3第二课时知能演练轻松闯关 苏教版必修1
2021-2022年高中数学 电子题库 第2章2.1.3第二课时知能演练轻松闯关 苏教版必修11.已知函数y ＝(x －1)2，则x ∈(－1，5)上的最小值为________．解析：因为函数y ＝(x －1)2的对称轴为x ＝1，所以其最小值为f (1)＝0.答案：02.函数y ＝ax ＋1(a ＜0)在区间[0，2]上的最大值与最小值分别为________，________． 解析：因为a ＜0，∴y ＝ax ＋1在[0，2]上是减函数，当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝2时，y m i n ＝2a ＋1.答案：1 2a ＋13.函数y ＝－x 2＋2x －1在[0，3]上的最小值为________．解析：y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，函数图象对称轴为x ＝1，结合图象(图略)可知，当x＝3时，y m i n ＝－4.答案：－44.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2， 0≤x ≤12， 1<x <2，3， x ≥2的最大值是________．解析：0≤x ≤1时，f (x )＝2x 2≤2；1<x <2时，f (x )＝2；x ≥2时，f (x )＝3.因此f (x )的最大值是3.答案：3[A 级 基础达标]1.若y ＝－2x，x ∈[－4，－1]，则函数y 的最大值为________． 解析：函数y ＝－2x 在[－4，－1]上是单调增函数，故y max ＝－2－1＝2. 答案：22.函数y ＝(a －1)x 在[1，3]上的最大值是2，则a ＝________．解析：若a >1，当x ＝3时，y max ＝2，∴(a －1)×3＝2，a ＝53. 若a <1，当x ＝1时y max ＝2，∴(a －1)×1＝2，a ＝3，与a <1矛盾，故舍去．因此满足条件的a ＝53. 答案：533.定义域为R 的函数y ＝f (x )的最大值为M ，最小值为N ，则函数y ＝f (2x )＋3的最大值为________，最小值为________．解析：y ＝f (2x )的最大值为M ，最小值为N ，故y ＝f (2x )＋3的最大值为M ＋3，最小值为N ＋3.答案：M ＋3 N ＋34.已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a .∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝2，∴f (x )在[0，1]上单调递增．又∵f (x )m i n ＝－2，∴f (0)＝－2，即a ＝－2.∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.答案：15.函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1，当x ∈[－2，＋∞)时是减函数，则m 的取值范围是________．解析：由题意函数f (x )的单调减区间为[m 4，＋∞)．故m 4≤－2，得m ≤－8. 答案：(－∞，－8]6.函数y ＝－x 2－4x ＋1在区间[a ，b](b ＞a ＞－2)上的最大值为4，最小值为－4，求a 与b的值．解： ∵y ＝－(x ＋2)2＋5，∴函数图象对称轴是x ＝－2.故在[－2，＋∞)上是减函数．又∵b＞a ＞－2，∴y ＝－x 2－4x ＋1在[a ，b]上单调递减．∴f (a )＝4，f (b)＝－4.由f (a )＝4，得－a 2－4a ＋1＝4，∴a 2＋4a ＋3＝0，即(a ＋1)(a ＋3)＝0.∴a ＝－1或a ＝－3(舍去)，∴a ＝－1.由f (b)＝－4，得－b 2－4b ＋1＝－4，∴b ＝1或b ＝－5(舍)，∴b ＝1.7.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[－1，1]上的最小值．解：函数f (x )的对称轴为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：当a ＞1时，f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )m i n ＝f (1)＝3－2a ；当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1，1]上先减后增，故f (x )m i n ＝f (a )＝2－a 2；当a ＜－1时，f (x )在[－1，1]上单调递增，故f (x )m i n ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知，f (x )m i n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a （a ＞1）2－a 2（－1≤a ≤1）.3＋2a （a ＜－1）[B 级 能力提升]8.如果函数f (x )＝x 2＋b x ＋c 对任意实数x ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系为________．解析：由题意知，函数以x ＝2为对称轴，f (1)＝f (3)，且在(2，＋∞)上单调递增，故f (2)<f (1)<f (4)．答案：f (2)<f (1)<f (4)9.函数f (x )＝|x －1|＋|2－x |的最小值为________．解析：法一：f (x )＝|x －1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3， x >2，1， 1≤x ≤2，3－2x ， x <1，作出函数图象(如图)易得f (x )最小值为1.法二：在数轴上，设实数1，2，x 分别对应点A ，B ，P ，则|x －1|＋|2－x |＝A P ＋BP ，结合图象易得A P ＋BP≥A B ＝1，当P 在A ，B 之间时取等号．答案：110.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋5，x ∈[－5，5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最小值和最大值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4.∴当x ＝1时，y m i n ＝4；当x ＝－5时，y max ＝40.(2)f (x )＝(x ＋a )2＋5－a 2.由条件，得－a ≤－5或－a ≥5，∴a ≤－5或a ≥5.∴a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．11.(创新题)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上的最大值为4，求a 的值．解：f (x )＝x 2＋2ax ＋1＝(x ＋a )2＋1－a 2，区间[－1，2]的中点为12，对称轴为直线x ＝－a ，结合二次函数的图象(图略)知： 当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝1－2a ＋1＝4，∴a ＝－1≤－12； 当－a <12，即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4＋4a ＋1＝4，∴a ＝－14>－12. 综上所述，a ＝－1或a ＝－14.27964 6D3C 洼+o@26709 6855 桕36978 9072 遲.e25454 636E 据21435 53BB 去d23583 5C1F 尟'26793 68A9 梩。
苏教版数学必修2：第2章2.2.3知能演练轻松闯关
1.若两圆的方程分别为x 2＋y 2－4x －1＝0，x 2＋y 2－6x ＋2y －15＝0，则两圆的位置关系为________．解析：C 1(2，0)，r 1＝5，C 2(3，－1)，r 2＝5，|C 1C 2|＝2<5－5，故两圆内含． 答案：内含2.圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x －10y －7＝0的公切线共有________条． 解析：C 1(－2，2)，r 1＝1，C 2(2，5)，r 2＝6，|C 1C 2|＝5＝r 2－r 1.∴两圆内切，∴公切线只有1条．答案：13.两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＝0，C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0的公共弦所在直线的方程为________． 解析：法一：求出它们的两个交点A ，B ，再用两点式求出直线AB 的方程．法二：设一个交点为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20－2x 0＝0且x 20＋y 20＋4y 0＝0，两式相减得2x 0＋4y 0＝0，即x 0＋2y 0＝0，也就是直线x ＋2y ＝0过定点(x 0，y 0)．而(x 0，y 0)是任一交点，∴x ＋2y ＝0过任一交点，而过两个点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y ＝0.答案：x ＋2y ＝04.半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________．解析：设圆心(a ，b )，由题意有⎩⎨⎧|b |＝6，a 2＋（b －3）2＝6－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6. ∴圆心为(±4，6)，又半径为6.∴圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝62.答案：(x －4)2＋(y －6)2＝36或(x ＋4)2＋(y －6)2＝36[A 级 基础达标]1.两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0x 2＋y 2＝5， ① ② ②－①得两圆公共弦所在直线方程为x －y －3＝0.∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋（－1）2＝32. 设公共弦长为l ，∴l ＝25－（32）2＝ 2. 答案： 22.点P 在圆O: x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则PQ 的最小值为________．解析：如图．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时PQ 最小，最小值为P ′Q ′＝OC －r 1－r 2＝1.答案：13.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．解析：曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.如图所示，所求的最小圆的圆心在直线y ＝x 上，其到直线的距离d ＝52－322＝2，即为其半径，圆心坐标为(2，2)．所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝24.(2012·南京质检)若a 2＋b 2＝4，则两圆(x －a )2＋y 2＝1与x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是________．解析：∵两圆的圆心分别为O 1(a ，0)，O 2(0，b )，半径r 1＝r 2＝1，∴O 1O 2＝a 2＋b 2＝2＝r 1＋r 2，两圆外切．答案：外切5.两圆相交于A (1，3)和B (m ，－1)两点，且两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是________．解析：由题意知，直线AB 与x －y ＋c ＝0相互垂直，则有3＋11－m×1＝－1， ∴m ＝5，∴AB 中点为(3，1)．由圆的性质知，AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上，即3－1＋c ＝0，∴c ＝－2，从而m ＋c ＝5－2＝3.答案：36.求过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2－x －y －2＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0.即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(4λ－1)x ＋(－4λ－1)y －8λ－2＝0.因为所求圆过点(3，1)，所以有9(λ＋1)＋(λ＋1)＋3(4λ－1)＋(－4λ－1)－8λ－2＝0.解得λ＝－25.所以所求圆的方程为35x 2＋35y 2－135x ＋35＋65＝0. 即3x 2＋3y 2－13x ＋3y ＋6＝0.7.求两圆x 2＋y 2－2x －6y ＋9＝0和x 2＋y 2－2mx －2(m －1)y ＋2m 2－2m ＝0的圆心距的最小值，并判断当这个圆心距取得最小值时两圆的位置关系．解：将两圆方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －3)2＝1，(x －m )2＋[y －(m －1)]2＝1.两圆圆心距d ＝（m －1）2＋（m －4）2＝2m 2－10m ＋17＝2（m －52）2＋92. 故当m ＝52时，d min ＝322，此时，d ＝322>1＋1， ∴两圆相离． [B 级 能力提升]8.若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是________．解析：∵圆x 2＋y 2＝1的圆心关于直线y ＝x －1的对称点是(1，－1)，它也是圆x 2＋y 2－ax＋2y ＋1＝0的圆心，∴a ＝2，设点P (x ，y )，则有（x ＋2）2＋（y －2）2＝|x |，即y 2＋4x－4y ＋8＝0.答案：y 2＋4x －4y ＋8＝09.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是________．解析：两圆的方程相减得直线AB 的方程：x ＋3y ＝0.则AB 的垂直平分线的方程是：y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.答案：3x －y －9＝010.从圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0外一点P (a ，b )向圆引切线PT ，T 为切点，且PT ＝PO (O 为原点)，求PT 的最小值及此刻P 的坐标． 解：已知圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1，∴圆心C 的坐标为(2，3)，半径r ＝1，如图，连结PC ，CT .由平面几何知识，PT 2＝PC 2－CT 2＝(a －2)2＋(b －3)2－1.由已知PT ＝PO ，∴PT 2＝PO 2，即(a －2)2＋(b －3)2－1＝a 2＋b 2，∴2a ＋3b －6＝0，∴b ＝6－2a 3， ∴PT 2＝PO 2＝a 2＋b 2＝a 2＋(6－2a 3)2＝a 2＋49(a －3)2＝19(13a 2－24a ＋36)，∴PT ＝1313a 2－24a ＋36＝1313（a －1213）2＋32413. ∴当a ＝1213时，PT min ＝1332413＝61313，此时P 点的坐标为(1213，1813． 11.(创新题)已知点P (－2，－3)和以点Q 为圆心的圆(x －4)2＋(y －2)2＝9.(1)Q ′为PQ 中点，画出以PQ 为直径，Q ′为圆心的圆，再求出它的方程；(2)作出以Q 为圆心的圆和以Q ′为圆心的圆的两个交点A ，B .直线P A ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？(3)求直线AB 的方程．解：(1)∵已知圆的方程为(x －4)2＋(y －2)2＝32，∴Q (4，2)．PQ 中点为Q ′(1，－12)， 半径为r ＝|PQ |2＝612，故以Q ′为圆心的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋12)2＝614(如图所示)． (2)∵PQ 是圆Q ′的直径，∴PA ⊥AQ ，∴PA 是圆Q 的切线，同理PB 也是圆Q 的切线．(3)将圆Q 与圆Q ′方程相减，得6x ＋5y －25＝0. 即直线AB 的方程为6x ＋5y －25＝0.。
高中数学 电子题库 第2章2.5.2知能演练轻松闯关 苏教版必修1
1.方程x 2＋l nx ＝0的解x 0∈(n －1，n )，n ∈Z ，则n ＝________．解析：分别作出y ＝－x 2与y ＝l nx 的图象(图略)可知x 0∈(0，1)．答案：12.下列图中4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是________(填序号)．解析：①②有零点但零点左右函数值同号，④的图象不连续．答案：①②④3.设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是连续的，且f (a )·f (b )＜0，取x 0＝a ＋b 2，若f (a )·f (x 0)＜0，则利用二分法求方程根时取有根区间为________．解析：利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f (a )·f (x 0)＜0，则取其端点对应的区间(a ，x 0)为新的区间．答案：(a ，x 0)4.函数y ＝(12)x 与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标是________．(精确到0.1) 解析：令f (x )＝(12)x －lg x ，则f (1)＝12>0，f (3)＝18－lg3<0，∴f (x )＝0在(1，3)内有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.答案：1.9[A 级 基础达标]1.设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，如果对两实数m ，n (m <n )，有f (m )>0，f (n )<0，那么方程f (x )＝0在区间(m ，n )内解的个数是________．解析：由f (m )>0，f (n )<0知，f (x )＝0在区间(m ，n )内至少有一解．若在区间(m ，n )内有两解，则f (m )，f (n )必同号，与条件矛盾．答案：12.方程2x －x －2＝0在实数范围内的解的个数是________．解析：作出函数y ＝2x 及y ＝x ＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．答案：23.x ________.x －1 0 1 2 3e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09x ＋2 1 2 3 4 5解析：令f (x )＝e x－x －2，则f (－1)＝0.37－1＜0，f (0)＝1－2＜0，f (1)＝2.72－3＜0，f (2)＝7.39－4＞0，f (3)＝20.09－5＞0，所以f (1)·f (2)＜0，故函数f (x )的零点位于区间(1，2)内，即方程e x －x －2＝0的一个根所在区间为(1，2)．答案：(1，2)4.已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0，0.1)上有惟一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________次． 解析：由0.12n ＜0.01，得2n ＞10，∴n 的最小值为4. 答案：45.若方程x 2－ax ＋2＝0有且仅有一个根在区间(0，3)内，则a 的取值范围是________．解析：由题意设f (x )＝x 2－ax ＋2，则f (0)·f (3)<0，∴a >113. 答案：(113，＋∞)6.求方程x (x －1)(x ＋1)＝1的所有近似解．(精确到0.1)解：原方程可化为x 3＝x ＋1，作出函数y ＝x 3及y ＝x ＋1的图象如图所示，易知两函数图象仅有一个公共点，即方程x 3＝x ＋1有且只有一个解．设f (x )＝x 3－x －1，则由f (1)<0，f (2)>0可知，方程x 3＝x ＋1的解位于区间(1，2)内，由二分法可求得近似解为1.3.7.求方程x ＝4－2x 的近似解．(精确到0.1)解：作出函数y ＝x 与y ＝4－2x 的图象(图略)，两个图象只有一个公共点，因此原方程有惟一解，并且这个解在区间(1，2)内．设f (x )＝x －4＋2x ，则f (1)<0，f (2)>0⇒x ∈(1，2)；f (1)<0，f (1.5)>0⇒x ∈(1，1.5)；f (1.25)<0，f (1.5)>0⇒x ∈(1.25，1.5)；f (1.375)<0，f (1.5)>0⇒x ∈(1.375，1.5)；f (1.375)<0，f (1.4375)>0⇒x ∈(1.375，1.4375)．从而x ≈1.4.[B 级 能力提升]8.用二分法求33的近似值，精确到0.01的近似解为________．解析：设x ＝33，则x 3＝3，设f (x )＝x 3－3，f (1)<0，f (2)>0⇒x ∈(1，2)；f (1)<0，f (1.5)>0⇒x ∈(1，1.5)；f (1.25)<0，f (1.5)>0⇒x ∈(1.25，1.5)；f (1.375)<0，f (1.5)>0⇒x ∈(1.375，1.5)；f (1.4375)<0，f (1.5)>0⇒x ∈(1.4375，1.5)；f (1.4375)<0，f (1.46875)>0⇒x ∈(1.4375，1.46875)；f (1.4375)<0，f (1.4531)>0⇒x ∈(1.4375，1.4531)；f (1.4375)<0，f (1.4453)>0⇒x ∈(1.4375，1.4453)；f (1.4414)<0，f (1.4453)>0⇒x ∈(1.4414，1.4453)；f (1.4412)<0，f (1.4433)>0⇒x ∈(1.4412，1.4433)．因此x ≈1.44.答案：1.449.已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)(b－a＝0.1)上有惟一零点，如果用“二分法”求这个零点的近似值(精确到0.001)，那么将区间(a，b)等分的次数至少是________．解析：每等分一次区间长度变为原来的一半，n次等分后区间长度变为原来的12n ，即12n·0.1，要精确到0.001，必有12n·0.1<0.001，即2n>100，从而最小的n为7.答案：710.设函数g(x)＝－6x3－13x2－12x－3.(1)证明：g(x)在区间(－1，0)内有一个零点；(2)求出函数g(x)在(－1，0)内的零点．(精确到0.1)解：(1)证明：g(x)＝－6x3－13x2－12x－3.∵g(－1)>0，g(0)<0，∴g(x)在区间(－1，0)内有一个零点．(2)g(－0.5)>0，g(0)<0⇒x∈(－0.5，0)；g(－0.5)>0，g(－0.25)<0⇒x∈(－0.5，－0.25)；g(－0.5)>0，g(－0.375)<0⇒x∈(－0.5，－0.375)；g(－0.4375)>0，g(－0.375)<0⇒x∈(－0.4375，－0.375)．因此，x≈－0.4为所求函数g(x)的零点．11.(创新题)函数y＝f(x)为定义在R上的减函数，且为奇函数，解方程f(x3－x－1)＋f(x2－1)＝0.(精确到0.1)解：由题意，y＝f(x)为奇函数，因此－f(x2－1)＝f(1－x2)，原方程可化为f(x3－x－1)＝－f(x2－1)，即f(x3－x－1)＝f(1－x2)．又y＝f(x)为定义在R上的减函数，故方程可化为x3－x－1＝1－x2，即x3＋x2－x－2＝0. 设g(x)＝x3＋x2－x－2，作出g(x)图象(图略)，由图象知g(x) 仅有一个零点x0∈(1，2)，g(1)<0，g(2)>0⇒x0∈(1，2)；g(1)<0，g(1.5)>0⇒x0∈(1，1.5)；g(1)<0，g(1.25)>0⇒x0∈(1，1.25)；g(1.125)<0，g(1.25)>0⇒x0∈(1.125，1.25)；g(1.1875)<0，g(1.25)>0⇒x0∈(1.1875，1.25)；g(1.1875)<0，g(1.21875)>0⇒x0∈(1.1875，1.21875)．又1.1875≈1.2，1.21875≈1.2，从而x0≈1.2.故原方程的解为x＝1.2.。
高中数学 电子题库 第2章2.1.3第三课时知能演练轻松闯关 苏教版必修1
1.对于定义域是R 的任意奇函数f (x )，下列结论正确的有________．(填序号)①f (x )－f (－x )＞0； ②f (x )－f (－x )≤0；③f (x )·f (－x )≤0; ④f (x )·f (－x )＞0.解析：①②显然不正确．对任意奇函数f (x )，有f (－x )＝－f (x )．∴f (x )·f (－x )＝－[f (x )]2≤0.故③正确，④不正确．答案：③2.设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的有______．(填序号)①f (x )f (－x )是奇函数； ②f (x )|f (－x )|是奇函数；③f (x )－f (－x )是奇函数； ④f (x )＋f (－x )是偶函数．解析：用奇偶性定义判断．对于①，设g(x )＝f (x )f (－x )，g(－x )＝f (－x )f (x )＝g(x )，∴f (－x )f (x )是偶函数．对于②，设g(x )＝f (x )|f (－x )|，g(－x )＝f (－x )|f (x )|≠g(x )，g(－x )≠－g(x )，∴f (x )|f (－x )|是非奇非偶函数．对于③，设g(x )＝f (x )－f (－x )，g(－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－g(x )，∴f (x )－f (－x )是奇函数．对于④，设g(x )＝f (x )＋f (－x )，g(－x )＝f (－x )＋f (x )＝g(x )，∴f (x )＋f (－x )是偶函数．答案：③④3.若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于________．解析：利用定义求值．∵f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．即(－x ＋1)(－x －a )＝(x ＋1)(x －a )，∴x ·(a －1)＝x ·(1－a )，故1－a ＝0，∴a ＝1.答案：14.设函数f (x )＝ax 5＋b x 3，且f (2)＝3.则f (－2)＝________．解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－3.答案：－35.下列4个判断中，正确的是________．(填序号)①f (x )＝1既是奇函数又是偶函数；②f (x )＝x 2－3xx －3是奇函数；③f (x )＝x 2－2x ＋1既不是奇函数也不是偶函数．解析：①由f (x )＝1的图象知它不是奇函数；②∵f (x )的定义域为{x |x ≠3}，∴f (x )不是奇函数；③∵x ∈R ，又有f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．答案：③[A 级 基础达标]1.函数f (x )＝x 3＋x ＋a (x ∈R)为奇函数，则f (0)＝________．解析：对奇函数而言，若在x ＝0处有定义，则有f (－0)＝－f (0)，故f (0)＝0. 答案：02.奇函数y ＝f (x )在区间[－3，3]上的最大值为5，则其最小值为________．解析：由对称性可得最大值点与最小值点关于原点对称，故最小值为－5.答案：－53.函数f (x )＝x －1＋1－x 的奇偶性情况为________．解析：f (x )的定义域为{x |x ＝1}，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数． 答案：非奇非偶函数4.定义域为R 的函数f (x )是奇函数，若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，那么f (x )在(－∞，0)上为________函数．(填“增”或“减”)解析：结合图象，根据对称性可得f (x )在(－∞，0)上是减函数．答案：减5.若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的单调递增区间为________．解析：∵f (－x )＝(k －2)x 2＋(k －1)(－x )＋2＝f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋2，∴k －1＝0，即k ＝1，∴f (x )＝－x 2＋2.因此，f (x )的单调递增区间是(－∞，0]．答案：(－∞，0]6.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3，x ∈R ；(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3，3]；(3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x >0，0， x ＝0，x 2－1，x <0.解：(1)f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)∵x ∈[－3，3]，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)当x >0时，f (x )＝1－x 2，此时－x <0，∴f (－x )＝x 2－1，∴f (－x )＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－1，此时－x >0，f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2，∴f (－x )＝－f (x )；当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0.综上，对x ∈R，总有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．7.设f (x )是奇函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，又f (－2)＝0，求不等式f (x －1)<0的解集．解：法一：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝－f (－2)＝0，且f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．由f (x －1)<0，可得x －1<－2或0<x －1<2，解得x <－1或1<x <3.所求不等式的解集为{x |x <－1或1<x <3}．法二：结合题意及奇函数的性质画出草图如右，从而可知，x －1<－2或0<x －1<2，解得x <－1或1<x <3.故所求不等式的解集为{x |x <－1或1<x <3}．[B 级 能力提升]8.若f (x )是偶函数，其定义域为R ，且在(－∞，0]上是增函数，则f (－34)________f (m 2－m ＋1)．(填大小关系)解析：m 2－m ＋1＝(m －12)2＋34≥34，又因为f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，则f (x )在[0，＋∞)上是减函数，所以f (－34)＝f (34)≥f (m 2－m ＋1)． 答案：≥9.若奇函数y ＝f (x )(x ∈R 且x ≠0)，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1，并且f (x －1)<0，则x 的取值范围为________．解析：当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －1.而f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )＝x ＋1.从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x >0，x ＋1， x <0. 当x －1>0时，f (x －1)＝(x －1)－1<0，故1<x <2；当x －1<0时，f (x －1)＝(x －1)＋1<0，故x <0.综上，x 的取值范围是(－∞，0)∪(1，2)．答案：(－∞，0)∪(1，2)10.已知f (x )＝ax 2＋1b x ＋c(a ，b ，c ∈Z)是奇函数，且f (1)＝2，f (2)<3. (1)求a ，b ，c 的值；(2)当x ∈(0，＋∞)时，讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由f (－x )＋f (x )＝ax 2＋1－b x ＋c ＋ax 2＋1b x ＋c＝0， 得－2a c x 2－2c b 2x 2－c 2＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋1b x. 由⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝2f （2）<3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1b ＝24a ＋12b <3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －2a ＋1<0，b ＝a ＋12. ∵a ∈Z ，b ∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，故a ＝1，b ＝1，c ＝0.(2)由(1)，得f (x )＝x 2＋1x，定义域为{x |x ≠0}， 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－x 22＋1x 2， ＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2) ＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2) ＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. 当0<x 1<x 2≤1时，x 1－x 2<0，0<x 1x 2<1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，故函数f (x )在(0，1]上是减函数；当x 2>x 1≥1时，x 1－x 2<0，x 1x 2>1，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．综上f(x)在(0，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．11.(创新题)已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(a b)＝af(b)＋b f(a)．(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性．解：(1)令a＝b＝0，f(0)＝0＋0＝0；令a＝b＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(x)是奇函数．因为f(－x)＝f((－1)·x)＝－f(x)＋xf(－1)，而0＝f(1)＝f((－1)×(－1))＝－f(－1)－f(－1)，∴f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)＋0＝－f(x)，即f(x)为奇函数．。
高中数学 电子题库 第2章2.2.2知能演练轻松闯关 苏教版必修2
1.过点(1，1)和圆x 2＋y 2＝1相切的直线方程为________．答案：x ＝1或y ＝12.过点P (3，－4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，则切线长为________．解析：圆心到P 的距离为（3－2）2＋（－4－3）2＝50，∴切线长为（50）2－r 2＝7.答案：7 3.直线y ＝x 被圆(x －2)2＋(y －4)2＝10所截得的弦长为________．解析：法一：求出两个交点，进而求出距离；法二：弦心距为|2－4|2＝2，∴弦长为2×r 2－（2）2＝4 2. 答案：4 24.若直线ax ＋by ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是________．解析：由题意|a ·0＋b ·0＋1|a 2＋b 2<1， ∴a 2＋b 2>1，点P (a ，b )到圆心的距离为（a －0）2＋（b －0）2＝a 2＋b 2>1＝r ，∴点P 在圆C 外．答案：点P 在圆C 外 5.若直线x ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为23，则a 的值为________． 解析：利用平面几何知识求解，直线与圆的两交点分别为(2，4a －a 2)，(2，－4a －a 2)，故弦长为24a －a 2＝23，解得a ＝1或3.答案：1或3[A 级 基础达标]1.直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．解析：∵d ＝11＋（－1）2＝12＜1， ∴直线与圆相交．答案：相交2.直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于________．解析：圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心C (1，0)，半径r ＝3，直线3x －y ＋m ＝0与圆相切时，d ＝r ，即|3＋m |3＋1＝3，解得m ＝－33或m ＝ 3. 答案：－33或 33.(2010·高考四川卷)直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A 、B 两点，则AB ＝________．解析：圆心到直线的距离d ＝55＝5，半径R ＝22，所以弦长AB ＝2R 2－d 2＝28－5＝2 3.答案：2 34.圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点的个数为________．解析：圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，又圆半径r ＝22，所以满足条件的点共有3个．答案：35.过点A (1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 等于________．解析：由(1－2)2＋(2)2＝3<4可知，点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，圆心为O (2，0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l ⊥OA ，所以k l ＝－1k OA ＝－1－2＝22. 答案：226.已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切？(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方后得到标准方程x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2. 解得a ＝－34. 即当a ＝－34时，直线l 与圆C 相切． (2)法一：过圆心C 作CD ⊥AB 于点D ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.即直线l 的方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.法二：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＋2a ＝0，x 2＋y 2－8y ＋12＝0，并消去y ，得(a 2＋1)x 2＋4(a 2＋2a )x ＋4(a 2＋4a ＋3)＝0.设此方程的两根分别为x 1，x 2，由AB ＝22＝（a 2＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，可求出a ＝－7或a ＝－1.所以直线l 的方程是7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.7.求通过直线l ：2x ＋y ＋4＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，并且有最小面积的圆的方程．解：由x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴C (－1，2)．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，∴k CD ＝－1k l ＝12. ∴CD 的方程为y －2＝12(x ＋1)即x －2y ＋5＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，2x ＋y ＋4＝0，可得D 的坐标为(－135，65)． 由点到直线的距离公式得CD ＝|2×（－1）＋2＋4|5＝455，AD ＝4－CD 2＝4－165＝255. ∴以D 为圆心，AB 为直径的圆是面积最小圆．故所求圆的方程为：(x ＋135)2＋(y －65)2＝45. [B 级 能力提升]8.(2010·高考山东卷)已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________． 解析：设圆心坐标为(x 0，0)(x 0>0)，由于圆过点(1，0)，则半径r ＝|x 0－1|.圆心到直线l的距离为d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知(|x 0－1|2)2＝(x 0－1)2－2， 整理得(x 0－1)2＝4.∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．因此圆心为(3，0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09.(2010·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：由题设，得若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0，0)到直线的距离d 满足0≤d ＜1.∵d ＝|c |122＋（－5）2＝|c |13， ∴0≤|c |＜13，即c ∈(－13，13)．答案：(－13，13)10.矩形ABCD 中，AB ∶BC ＝4∶3，点E 在边CD 上，且CE ∶ED ＝1∶7，试确定以BC 为直径的圆与直线AE 的位置关系．解：如图，分别以AB 、AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系．不妨设|AB |＝8，则|AD |＝6，∴A (0，0)，B (8，0)，C (8，6)，E (7，6)，∴直线AE 的方程为y ＝67x ， 即6x －7y ＝0.BC 中点为M (8，3)，∴以BC 为直径的圆的方程为(x －8)2＋(y －3)2＝9.M (8，3)到AE 的距离d ＝|6×8－7×3|62＋（－7）2＝2785<2781＝3＝r . ∴直线AE 与圆相交．11.(创新题)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：设这样的直线存在，其方程为y ＝x ＋m ，它与圆C 的交点设为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0 得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0 (*)∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－（m ＋1），x 1x 2＝m 2＋4m －42. ∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2.由OA ⊥OB ，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.m 2＋4m －4－m (m ＋1)＋m 2＝0.m 2＋3m －4＝0.∴m ＝1或m ＝－4.容易验证：m ＝1或m ＝－4时(*)有实根．故存在这样的直线，有两条，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.。
高中数学 电子题库 第2章2.1.2知能演练轻松闯关 苏教版必修2
1.倾斜角为30°，且在x 轴上截距为－2的直线的方程为________．解析：∵直线斜率k ＝tan30°＝33，且过点(－2，0)，∴该直线的点斜式方程为y －0＝33(x ＋2)，即y ＝33x ＋233. 答案：y ＝33x ＋2332.若直线l 过点A (－1，1)，B (2，4)，则直线l 的方程为________．解析：∵k ＝4－12－（－1）＝1，∴l 的方程为y －1＝1×(x ＋1)，即x －y ＋2＝0. 答案：x －y ＋2＝03.经过点M (2，2)，N (2，4)的直线方程为________． 解析：所求直线的斜率不存在． 故所求直线方程为x ＝2. 答案：x ＝24.直线3x －y ＋5＝0的倾斜角为________，它在y 轴上的截距为________． 解析：y ＝3x ＋5.∴倾斜角为60°，在y 轴上的截距为5. 答案：60° 55.若直线的截距式x a ＋yb＝1化为斜截式为y ＝－2x ＋b ，化为一般式为bx ＋ay －8＝0，且a >0，则a ＋b ＝________．解析：由x a ＋y b＝1，得y ＝－b ax ＋b ，一般式为bx ＋ay －ab ＝0，∴－ba＝－2，－ab ＝－8.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，ab ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4. ∵a >0，∴a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6. 答案：6[A 级 基础达标]1.下列说法不正确的是________(填序号)．①点斜式y －y 1＝k (x －x 1)适用于不垂直于x 轴的任何直线； ②斜截式y ＝kx ＋b 适用于不垂直于x 轴的任何直线；③两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线；④截距式x a ＋y b＝1适用于不过原点的任何直线．解析：与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示． 答案：④2.(2012·无锡质检)直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为________、________．解析：该直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°； 令x ＝0，则y ＝2－3，所以在y 轴上的截距为2－ 3. 答案：120° 2－ 33.直线l 经过点A (－2，2)且与直线y ＝x ＋6在y 轴上有相同的截距，则直线l 的方程为________．解析：由直线l 与直线y ＝x ＋6在y 轴上有相同的截距，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋6，然后把A (－2，2)代入y ＝kx ＋6，即可求出k ＝2. 答案：2x －y ＋6＝04.过点A (1，4)且在x 轴、y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条．解析：当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意；当直线不经过原点时，设直线方程为x a ＋y b ＝1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋4b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝5.综合可知符合题意的直线共有3条． 答案：35.经过点A (－2，2)且与x 轴、y 轴围成的三角形面积为1的直线方程是________． 解析：设直线的方程为x a ＋y b＝1，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，12|ab |＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，代入方程中，整理得2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝06.已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，求：(1)直 线l 的点斜式方程以及截距式方程、斜截式方程和一般式方程； (2)l 与坐标轴所围成的三角形的周长和面积．解：(1)由已知得k ＝tan60°＝3，所以直线l 的斜截式方程为y ＝3x －4；点斜式方程为y ＋4＝3(x －0)；截距式方程为x 433＋y－4＝1；一般式方程为3x －y －4＝0.(2)在方程3x －y －4＝0中令x ＝0得y ＝－4，令y ＝0得x ＝43.故所围成的三角形的周长为|－4|＋|43|＋（－4）2＋（43）2＝4＋43；面积为12×|－4|×|43|＝833.7.已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若直线不经过第二象限，求a 的取值范围．解：(1)证明：法一：将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a >0时，不论a 取何值，直线经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然过第一象限；当a <0时，3－a5>0，则直线过第一象限．综上，直线5ax －5y －a ＋3＝0过第一象限．法二：直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限，∴直线5ax －5y －a ＋3＝0必过第一象限．(2)由法二知，直线过定点A (15，35)，如图，直线OA 的斜率k ＝3.∵直线不过第二象限， ∴k ≥3，即a ≥3.[B 级 能力提升]8.已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P (3，3)，则直线l 的方程为________．解析：直线y ＝x ＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P (3，3)，所以直线l 的方程为x ＝3. 答案：x ＝39.已知两点A (3，0)，B (0，4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值是________．解析：AB 线段：x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)，则x ＝3(1－y 4)，xy ＝3（4－y ）y 4＝3[－（y －2）2＋4]4，y ＝2时，(xy )max ＝3. 答案：310.已知直线l ：x m ＋y4－m＝1.(1)若直线l 的斜率等于2，求m 的值；(2)若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求此时直线l 的方程．解：(1)∵k 1＝m －4m ，∴m －4m＝2，m ＝－4.(2)由m >0，4－m >0，得0<m <4.S ＝12m (4－m )＝－12[(m －2)2－4]≤2.当且仅当m ＝2时，S 取最大值2.此时，l 方程为x 2＋y2＝1.即x ＋y －2＝0.11.(创新题)光线从A (－3，4)点射出，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的C 点又被y 轴反射，这时反射线恰好过D (－1，6)，求BC 所在的直线方程．解：如图，依题意，B 点在原点O 的左侧，设坐标为(a ，0)(a ≠－3)，由反射角等于入射角，知反射角的余角与入射角的余角相等，有∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴k AB ＝－k BC .又k AB ＝4－0－3－a ＝－43＋a，∴k BC ＝43＋a. ∴直线BC 的方程为y －0＝43＋a·(x －a )， 即4x －(3＋a )y －4a ＝0.令x ＝0，解得C 点坐标为(0，－4a3＋a)．则k DC ＝6－－4a 3＋a －1－0＝－18＋10a3＋a.∵∠3＝∠4，∴k DC ＝－k BC ，即－18＋10a 3＋a ＝－43＋a ，解得a ＝－75.代入BC 的方程得5x －2y ＋7＝0.即BC 所在的直线方程为5x －2y ＋7＝0.。
高中数学 电子题库 第2章2.1.3第一课时知能演练轻松闯关 苏教版必修1
1.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________．解析：f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m 4＝2，∴m ＝8.∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 答案：－32.已知函数y ＝|x |在[a ，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：画出函数y ＝|x |的图象(图略)，可知函数的单调增区间为[0，＋∞)，∴a ≥0. 答案：[0，＋∞)3.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0x 2，x <0的单调递增区间为________；单调递减区间为________． 解析：当x ≥0时，y ＝x 为增函数；当x <0时，y ＝x 2为减函数．答案：[0，＋∞) (－∞，0)4.(2012·郑州高一检测)已知函数y ＝f (n )(n ∈N *)的函数值全为整数且该函数是一个单调增函数，若f (4)＝0，f (1)＝－4，则f (2)可能取的值是________．解析：由于函数y ＝f (n )(n ∈N *)是一个单调增函数且f (4)＝0，f (1)＝－4，所以－4<f (2)<f (3)<0，故f (2)可能取的值为－3或－2.答案：－3或－25.若f (x )在R 上是增函数且f (x 1)>f (x 2)，则x 1、x 2的大小关系为________．解析：由增函数的定义知，若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2.答案：x 1>x 2[A 级 基础达标]1.函数y ＝－2x的单调递增区间为________． 解析：由函数y ＝－2x的图象可知增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 答案：(－∞，0)，(0，＋∞)2.下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0”的是________(填序号)．①f (x )＝2x ； ②f (x )＝－3x ＋1；③f (x )＝x 2＋4x ＋3; ④f (x )＝x ＋1x. 解析：由题意f (x )在(0，＋∞)上为增函数，函数f (x )＝2x及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上都为减函数，函数f (x )＝x ＋1x在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，函数f (x )＝x 2＋4x ＋3在(－∞，－2)上递减，在(－2，＋∞)上递增，故在(0，＋∞)上也为增函数．满足条件的只有③.答案：③3.若函数f (x )＝k －x x在(－∞，0)上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：f (x )＝k x －1与函数y ＝k x 有相同的单调性，∴只要转化为函数y ＝k x在(－∞，0)上是减函数即可．答案：k>04.右图为y ＝f (x )的图象，则它的单调递减区间是________．答案：(－2，1)，(3，＋∞)5.设函数y ＝f (x )为R 上的减函数，且f (－2)＝0，则不等式f (x －1)>0的解集是________． 解析：f (x －1)>0即f (x －1)>f (－2)，由函数单调性知x －1<－2，故x <－1.答案：(－∞，－1)6.求证：函数f (x )＝－32x －1在区间(－∞，0)上是单调增函数．证明：任取区间(－∞，0)上的两个值x 1，x 2，设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，x 1x 2>0，因为f (x 1)－f (x 2)＝－32x 1－1－(－32x 2－1)＝32×1x 2－1x 1＝32×x 1－x 2x 1x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )＝－32x －1在区间(－∞，0)上是单调增函数．7.判断函数f (x )＝x 2－1x 在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．解：函数f (x )＝x 2－1x 在区间(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设0<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝(x 22－x 21)＋(1x 1－1x 2)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1＋1x 1x 2)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1＋1x 1x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 1)<f (x 2)，即函数y ＝f (x )＝x 2－1x 在区间(0，＋∞)上是增函数．[B 级 能力提升]8.若函数f (x )是定义在R 上的增函数，当a ＋b>0时给出下列四个关系：①f (a )＋f (b)<f (－a )＋f (－b)；②f (a )＋f (b)>f (－a )＋f (－b)；③f (a )＋f (－a )>f (b)＋f (－b)；④f (a )＋f (－a )<f (b)＋f (－b)．其中正确的关系序号为________．解析：∵a ＋b>0，即a >－b ，b>－a ，又∵f (x )是R 上的增函数，∴f (a )>f (－b)，f (b)>f (－a )．∴f (a )＋f (b)>f (－a )＋f (－b)．答案：②9.已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围为________． 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a （x ＋2）＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2. ∵f (x )在(－2，＋∞)上是增函数， ∴1－2a <0，即a >12. 答案：a >1210.已知f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (2x －1)，求x 的取值范围．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －1≤1，－1≤2x －1≤1，x －1<2x －1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤x ≤1，x >0，∴0<x ≤1，∴x 的取值范围是(0，1]．11.(创新题)设函数f (x )＝x ＋a x ＋b(a >b>0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．解：f (x )的定义域为{x |x <－b 或x >－b}．设x 1，x 2∈(－∞，－b)，且x 1<x 2.f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋b －x 2＋a x 2＋b＝（x 1＋a ）（x 2＋b ）－（x 2＋a ）（x 1＋b ）（x 1＋b ）（x 2＋b ）＝（b －a ）（x 1－x 2）（x 1＋b ）（x 2＋b ）. ∵a >b>0，∴b －a <0，又x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，故(b －a )(x 1－x 2)>0.又∵x 1＋b<0，x 2＋b<0，∴(x 1＋b)(x 2＋b)>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0.即y ＝f (x )在(－∞，－b)上为减函数．同理可得f (x )在(－b ，＋∞)上也是减函数．因此，f (x )的单调减区间为(－∞，－b)和(－b ，＋∞)．。
高中数学 3.2智能演练轻松闯关 苏教版选修11
高中数学 3.2智能演练轻松闯关 苏教版选修1-11.函数y ＝1x ＋2x 2＋1x 3的导数是________． 解析：y ＝1x ＋2x 2＋1x 3＝x －1＋2x －2＋x －3， ∴y ′＝(x －1＋2x －2＋x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4.答案：－x －2－4x －3－3x －42.(2010·高考江西卷改编)若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________． 解析：求导，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，导函数为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－23.(2012·深圳检测)函数y ＝sin x x 的导数是________． 解析：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝（sin x ）′·x －sin x ·（x ）′x 2 ＝x cos x －sin x x 2. 答案：x cos x －sin x x 2 4.曲线y ＝x 3在点(0，0)处的切线方程是________．解析：∵y ′＝(x 3)′＝3x 2，∴k ＝3×02＝0，∴切线方程为y ＝0.答案：y ＝05.已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切，则k ＝________．解析：设切点为(x 0，y 0)，又y ′＝(ln x )′＝1x ，∴切线斜率k ＝1x 0，又点(x 0，ln x 0)在直线上，代入方程得ln x 0＝1x 0·x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e. 答案：1e[A 级 基础达标]1.函数y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 的导数为________． 解析：法一：y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－x ）⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ′ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ＋1x －1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 12＋x －12′ ＝－12x － 12－12x －32；法二：y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－x ）⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ′ ＝(1－x )′⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ′ ＝－12x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －32 ＝－12x －12－12x －32. 答案：－12x －12－12x －32 2.已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2.∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.答案：－43.曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：y ′＝2（x ＋2）2，所以k ＝2，故切线方程为y ＝2x ＋1. 答案：y ＝2x ＋14.函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝________．解析：设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝2ax ，∴k ＝2ax 0＝1，①又∵点(x 0，y 0)在曲线与直线上，即：⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝ax 20＋1y 0＝x 0，② 由①②得a ＝14. 答案：145.已知曲线y ＝13x 3＋x ，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________． 解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43在曲线上，又y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ′＝x 2＋1， ∴切线斜率k ＝2，∴切线方程为y －43＝2(x －1)，其与坐标轴的两交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0； ∴三角形面积为S ＝12×23×13＝19. 答案：196.求下列函数的导数：(1)y ＝4x 3＋2x ；(2)y ＝lg x －sin x ；(3)y ＝2sin x cos x ；(4)y ＝e xx ＋1. 解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3＋2x ′＝(4x 3)′＋(2x )′＝34x －14＋2x ln2； (2)y ′＝(lg x －sin x )′＝(lg x )′－(sin x )′＝1x ln10－cos x ； (3)y ′＝(2sin x cos x )′＝2[(sin x )′cos x ＋sin x (cos x )′]＝2(cos 2x －s in 2x )＝2cos2x ；(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ＋1′＝（e x ）′（x ＋1）－e x （x ＋1）′（x ＋1）2 ＝e x （x ＋1）－e x （x ＋1）2＝xe x（x ＋1）2. 7.已知抛物线y ＝x 2，求过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2且与抛物线相切的直线方程． 解：设直线的斜率为k ，直线与抛物线相切的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线方程为y ＋2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∵y ′＝2x ，∴k ＝2x 0，又点(x 0，x 20)在切线上，∴x 20＋2＝2x 0⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋12， ∴x 0＝1或x 0＝－2， ∴直线方程为y ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12或y ＋2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 即为2x －y －1＝0和4x ＋y ＋4＝0.[B 级 能力提升]8.设函数f (x )＝x －a x －1，集合M ＝{x |f (x )<0}，P ＝{x |f ′(x )>0}，若M P ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x －a x －1，∴f ′(x )＝（x －1）－（x －a ）（x －1）2＝a －1（x －1）2， ∵f ′(x )>0，∴a >1，∴P ＝{x |x ≠1，a >1}，而f (x )＝x －a x －1<0⇔(x －1)(x －a )<0. ∵a >1，∴1<x <a ，此时M ＝{x |1<x <a }P ， ∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)9.设μ∈R，函数f (x )＝e x ＋μe x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则该切点的横坐标是________．解析：∵f (x )＝e x ＋μe x ， ∴f ′(x )＝e x －μe x ， 由于f ′(x )是奇函数，∴f ′(－x )＝－f ′(x )对于x 恒成立，则μ＝1，∴f ′(x )＝e x －1e x . 又由f ′(x )＝e x －1e x ＝32， ∴2e 2x －3e x －2＝0即(e x －2)(2e x＋1)＝0，解得e x ＝2，故x ＝ln2.答案：ln210.已知P (－1，1)，Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行且与曲线相切的切线方程．解：设切点坐标为M (x 0，y 0)，则切线斜率为2x 0，又直线PQ 的斜率为k PQ ＝4－12＋1＝1， ∵切线与直线PQ 平行，∴2x 0＝1，∴x 0＝12， ∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切线斜率为1.∴切线方程为y －14＝x －12即4x －4y －1＝0. 11.(创新题)已知函数f 1(x )＝sin x ，且f n ＋1(x )＝f n ′(x )，其中n ∈N *，求f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f 100(x )的值．解：∵f 1(x )＝sin x ，又f n ＋1(x )＝f n ′(x )，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 3(x )＝－sin x ，f 4(x )＝－cos x ，f 5(x )＝sin x ，…，∴f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f 100(x )＝0.。
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1.过点⎝ ⎛⎭⎪⎫25，355且2c ＝8的椭圆的标准方程为________． 解析：由于焦点的位置不确定，故分类求解．
答案：x 225＋y 29＝1和10x 229＋33649＋10y 2189＋33649
＝1 2.椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则该椭圆方程是________．
解析：椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，
∵P 为椭圆上一点，F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，
∴2a ＝PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4，a ＝2，c ＝1.
∴b 2＝a 2－c 2＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y 23
＝1. 答案：x 24＋y 23
＝1 3.设M (－5，0)，N (5，0)，△MNP 的周长是36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________． 解析：由于点P 满足PM ＋PN ＝36－10＝26>10，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且2a ＝26的椭圆(由于P 与M 、N 不共线，故y ≠0)，再利用待定系数法求解．
答案：x 2169＋y 2
144
＝1(y ≠0) 4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________．
解析：方程x 2＋ky 2＝2化为方程x 22＋ky 22＝1，所以0<2k
<2，即k >1. 答案：k >1
[A 级 基础达标]
1.椭圆的焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，点P (3，4)是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为________．
解析：∵焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2
a 2－25
＝1； 点P (3，4)在椭圆上，∴16a 2＋9a 2
－25＝1，a 2＝40， ∴椭圆方程为y 240＋x 215
＝1. 答案：y 240＋x 215
＝1 2.若椭圆x 225＋y 29
＝1上任意一点P 到一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为________．
解析：由椭圆定义PF 1＋PF 2＝2a ＝10，∴PF 2＝10－PF 1＝5.
答案：5
3.与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且2b ＝45的椭圆方程是________．
解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36化为标准方程x 24＋y 29
＝1，则焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5， 又因为2b ＝45，则b 2＝20，a 2＝b 2＋c 2＝25，
故所求椭圆的标准方程为x 220＋y 2
25
＝1.
答案：x 220＋y 225
＝1 4.椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k 等于____．
解析：椭圆5x 2－ky 2＝5化为标准方程y 25－k
＋x 21＝1，则c 2＝5－k －1＝4，解得k ＝－1，满足5－k
>1，故k ＝－1.
答案：－1 5.方程x 2m 2＋y 2
（m －1）2
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0（m －1）2>0（m －1）2>m 2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0m ≠1m <12
.
故所求实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12. 答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 6.根据椭圆的方程写出椭圆的焦点坐标：
(1)x 225＋y 29
＝1；(2)2x 2＋y 2＝1； (3)y 2
a 2＋1＋x 2
a 2＋5＝1(a ∈R)．
解：(1)由方程知，焦点在x 轴上，且a 2＝25，b 2＝9，∴c 2＝a 2－b 2＝16，∴c ＝4，故所求
椭圆的焦点坐标为(－4，0)，(4，0)．
(2)把方程化为标准方程为y 2＋x 212
＝1，故焦点在y 轴上，且a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2－b 2＝12
， ∴c ＝
22，故所求椭圆的焦点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫0，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22. (3)a 2＋5>a 2＋1，故焦点在x 轴上，且c 2＝(a 2＋5)－(a 2＋1)＝4，∴c ＝2，故所求椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．
7.已知△ABC 的三边a 、b 、c (a >b >c )成等差数列，A 、C 两点的坐标分别为(－1，0)、(1，0)．求顶点B 的轨迹方程．
解：设点B 的坐标为(x ，y )，∵a 、b 、c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b ，即BC ＋BA ＝2AC ＝4.由椭圆的定义知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23
＝1； 又∵a >b >c ，∴a >c ，∴BC >BA ，∴(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，x <0；
又当x ＝－2时，点B 、A 、C 在同一条直线上，不能构成△ABC ，∴x ≠－2.
∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 2
3
＝1(－2<x <0)，轨迹是两段椭圆弧． [ＴB 级 能力提升]
8.已知椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点为(0，2)，则m 的值是________． 解析：方程变形为x 2
6＋y 2
2m
＝1，∵焦点在y 轴上， ∴a 2＝2m ，b 2＝6，又c ＝2且a 2－b 2＝c 2，
∴2m －6＝22，∴m ＝5.
答案：5
9.已知椭圆的方程为x 2m ＋y 2＝1(m >0，m ≠1)，则该椭圆的焦点坐标为________． 解析：当0<m <1时，此时焦点在y 轴上，a 2＝1，b 2＝m ，
∴c 2＝a 2－b 2＝1－m ，
∴c ＝1－m ，故所求方程的焦点坐标为(0，1－m )，(0，－1－m )；
当m >1时，此时焦点在x 轴上，a 2＝m ，b 2＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝m －1，∴c ＝m －1，故所求
方程的焦点坐标为(m －1，0)，(－m －1，0)．
答案：(0，1－m )，(0，－1－m )或(m －1，0)，(－m －1，0)
10.(2012·淮安高二检测)若B (－8，0)，C (8，0)为△ABC 的两个顶点，AC 、AB 两边上的中线和是30，求△ABC 重心G 的轨迹方程．
解：
如图，设CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，则CD ＋BE ＝30，又G 是△ABC 的重心，
∴BG ＝23BE ，CG ＝23
CD ， ∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝23
×30＝20. 又B (－8，0)，C (8，0)，∴BC ＝16<20＝BG ＋CG ，
∴G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，
∴2a ＝20，2c ＝16，即a ＝10，c ＝8，
∴b 2＝a 2－c 2＝102－82＝36，
∴G 点的轨迹方程是x 2100＋y 2
36
＝1. 11.
(创新题)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y
2b
2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M (2，1)．求椭圆C 的方程．
解：∵l ⊥x 轴，M (2，1)，∴F 2的坐标为(2，0)，由题意知椭圆的焦点在x 轴上，标准
方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝22a 2＋1b
2＝1， ∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝2，
∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.。