5.4 线性映射与其矩阵
线性代数应该这样学4：线性映射，单射与满射，零空间与像空间，线性映射基本定理
线性代数应该这样学4：线性映射，单射与满射，零空间与像空间，线性映射基本定理在本系列中，我的个⼈见解将使⽤斜体标注。
每篇⽂章的最后，我将选择摘录⼀些例题。
由于⽂章是我独⾃整理的，缺乏审阅，难免出现错误，如有发现欢迎在评论区中指正。
⽬录Part 1：线性映射线性映射让线性代数不再是静态的⼀门学科，有了线性映射，线性空间中的向量就可以动起来。
这⼀章同时也在告诉读者，向量不只是狭义的数组。
线性映射(linear map) 从V到W的线性映射是具有下列性质的函数T:V→W：加性(additivity)：∀u,v∈V，有T(u+v)=Tu+Tv。
齐性(homogeneity)：∀λ∈F和v∈V，有T(λv)=λ(Tv)。
注意线性映射的加性和齐性是缺⼀不可的，它们并没有相互包含的关系。
线性映射的集合(V,W)代表从V到W的所有线性映射。
在(V,W)中，每⼀个线性映射T是⼀个集合内的元素，要搞清楚集合的基本元素是什么。
由于V,W都是线性空间，所以不可避免地要讨论线性空间的维数和基。
可以直观地想象⼀下，如果⼀个线性映射T确定了集合中每⼀个基向量v1,⋯,v n的取值，那么V中的任何向量v在W中的像Tv也随之确定，因为v只能由v1,⋯,v n唯⼀表⽰。
这个性质直接引出了下⾯的定理。
线性映射与基设v1,⋯,v n是V的基，w1,⋯,w n∈W，则存在唯⼀⼀个线性映射T:V→W使得对任意j=1,⋯,n，都有Tv j=w j.这⾥需要先说明两个线性映射相等指的是什么，如果两个线性映射把任意V中的v都映射到同⼀个像上，就称它们是同⼀个线性映射。
从我们刚才的分析来看，只要两个线性映射对所有基的成像都相同，它们就是同⼀个线性映射。
⾸先证明这样的线性映射存在。
定义T为T(c1v1+⋯+c n v n)=c1w1+⋯+c n w n,显然只要取c i=1，当j≠i时c j=0，就有Tv j=w j。
下验证T∈(V,W)，即满⾜加性和齐性。
04 线性变换及其矩阵
酉矩阵 U： UHU=I 正交矩阵 C 和酉矩阵 U 有如下性质 1）det C= ±1; |det U|=1. 2） C−1 = CT ;U −1 = U H 3） 正交（酉）矩阵的逆，乘积仍为正交（酉）矩阵
3, 线性变换相关的空间 ★象空间
R(T ) = {β | ∃α ∈Vn (F ), s.t.β = T (α)}
dimR(T)为线性变换 T 的秩 ★零空间
N (T ) = {α | T (α) = 0}
dimN(T)为线性变换 T 的零度。 [例] 求线性变换TA 的象空间和零空间。
4. 线性变换的运算
a2n
an1 an2
ann
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎦
=
[α1,
α 2
,
,
α n
]
A
1.
定义：把
A
称为 T
在基
{α 1
,
α 2
,
,
α n
}
下的矩阵。
对
P4
[X]上的线性变换
D
=
d dx
，
i) 求 D 在基{1，X，X2，X3}下的变换矩阵。
ii)求向量 p(x) = 10− 2x + 2x2 + 3x3 在变换 D 下的象。
四， 正交变换和酉变换 讨论内积空间[V；（α，β）] 中最重要的一类变换。
1 定义
如果变换 T 保持内积： (T α,T β) = (α, β) ，称为内积空间上的正交变换。
空间为欧氏空间，称为正交变换； 空间为酉空间，称为酉变换。
矩阵论第一章线性空间和线性映射
例4 实数域 R上的线性空间 R n n 中全体上三角矩阵
集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全
体反对称矩阵集合分别都构成R n n 的子空间，
以及任意的 k,l F 都有
klW
那么我们称 W 为V 的一个子空间。
例1 对于任意一个有限维线性空间 V ，它必有
两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间
0 以及线性空间 V 本身.
例2 设 ARmn，那么线性方程组 AX 0 的 全部解为 n 维线性空间 R n 的一个子空间，我们称其
2021/4/11
4
映射的例子
❖ 例子1：设集合S是数域F上所有阶方阵的集合，则
f(A)=det(A) 为S到F的映射。 ❖ 例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运 算：
δ(f(t))=f’(t)
为S到S的变换。
❖ 例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：
F(f) () f(t)ejtdt
y1
y
2
y3
y
4
2 3 1
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
3 1
3
1
3
x1 1
x
2
1
x3 1
x
4
4
1 2
1
3 3 1 3
线性空间的子空间
定义 设 V 为数域 F上的一个 n 维线性空间，W
为V的一个非空子集合，如果对于任意的 , W
第三章 线性映射与线性变换
第三章 线性映射与线性变换线性映射是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，是线性空间上的一类对应关系的刻画，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。
借助有限维线性空间基底的概念，可在线性映射与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。
这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。
线性变换是线性映射的特例，酉变换又是一类非常有用并特殊的线性变换，本节将给出线性映射和线性变换的概念与性质，同时也建立了矩阵和线性映射及线性变换之间的一种关系。
§3.1 线性映射与线性变换3.1.1 线性映射与线性变换定义1 设12,V V 是数域F 上的线性空间，T 为1V 到2V 上的映射，如果对1 ,x y V ∀∈和F λ∀∈，T 满足： （1）()()()T x y T x T y +=+； （2）()()T x T x λλ=。
则称映射T 为由1V 到2V 上的线性映射。
，当12V V V ==时，称线性映射T 为V 上的线性变换。
我们通常将x 在T 下的像()T x 简写为Tx 。
例1 设()m nij m n A a R⨯⨯=∈，对 n x R ∀∈定义映射 T x Ax →：，验证 n mT R R →：是从n R 到m R 的线性映射，解答 显然T 是映射，对,n x y R ∀∈和R λ∀∈，由于()()T x y A x y Ax Ay Tx Ty +=+=+=+，而()()T x A x Ax Tx λλλλ===，由此可见T 是n R 到m R 的线性映射，通常我们称此映射为矩阵映射，值域(){}n m R T y y Ax x R R ==∈⊂；。
特别的，若()n n ij n n A a R ⨯⨯=∈，T 是nR 上的线性变换，称为矩阵变换。
矩阵A是对角矩阵时，此矩阵变换显然就是一种伸缩变换。
特别地，如果A 是单位矩阵，这个变换就是一种恒等变换。
(整理)线性映射
一． 线性映射上一节课研究了数域P 上线性空间的结构。
在许多数学问题和实际问题中起着重要作用的是线性空间到线性空间的映射，并且这些映射有一个共同点，即保持加法和数量乘法两种运算，我们称这样的映射为线性映射。
1.1线性映射的定义及其性质1.1.1 【定义】 设1V 、2V 是数域P 的两个线性空间，σ是1V 到2V 的一个映射，如果对1V 中任意两个向量α，β和任意数k P ∈，都有()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=即能向量线性关系的不变性，则称σ是1V 到2V 的线性映射或线性算子。
上面两式所涉及到的加法和数量乘法是线性空间里边定义的加法和数量乘法。
与上一节说到的线性空间1V 到2V 的同构映射相比，线性映射比同构映射少了单映射和满映射这两条要求。
因此线性映射比同构映射更广泛。
线性空间1V 到2V 的线性映射也称为同态映射。
例1 将线性空间1V 中每一个向量映射成线性空间2V 中零向量的映射是一个线性映射，称为零映射，记为O ，即1(),V ααO =O ∀∈例2 线性空间V 到自身的恒等映射是一个线性映射，记为V ϕ，即(),V V ϕααα=∀∈例3 任意给定数k P ∈，数域P 上线性空间V 到自身的一个映射K (),k V ααα=∀∈是一个线性映射，称为V 上的由数决定的数乘映射。
例4 设σ是线性空间1V 到2V 的一个线性映射，定义1V 到2V 的映射1()()(),V σασαα-=-∀∈则σ-是线性空间1V 到2V 的线性映射，称为σ的负映射。
1.1.2【性质】 设σ是线性空间1V 到2V 的线性映射，则 （1）()σO =O ；（2）1()()(),V σασαα-=-∀∈；（3）线性映射保持线性组合与线性关系式不变，即若β是12,,,m αααL 的线性组合，且存在12,,,m k k k P ∈L ，有1122m m k k k βααα=+++L则经过线性映射σ之后，()σβ是12(),(),()m σασασαL 同样的线性组合：11221122()()()()m m m m k k k k k k σααασασασα+++=++L L（4）如果12,,,m αααL 是1V 的一组线性相关向量，则12(),(),()m σασασαL 是2V 中的一组线性相关的向量；并且当且仅当σ是一一映射时，1V 中线性无关向量组的像是2V 中的线性无关向量组。
线性代数中的谱映射与谱分解
线性代数中的谱映射与谱分解线性代数是数学中的一个重要分支，涉及向量空间、线性映射、矩阵等概念。
在线性代数中，谱映射与谱分解是两个重要的概念，它们在矩阵理论及其应用中起着重要的作用。
一、谱映射谱映射是指将矩阵与其特征值联系起来的映射。
对于一个n阶方阵A，它的特征方程为|A-λI|=0，其中λ是特征值，I是单位矩阵。
根据谱定理，矩阵A与其特征值之间存在重要的联系。
谱映射可以将矩阵A映射为一个对角阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
这个过程可以用公式表示为D=P^(-1)AP，其中P是由矩阵A的特征向量组成的可逆矩阵。
谱映射不仅仅适用于方阵，对于一般的矩阵也可以进行推广。
对于一个m×n的矩阵A，它的谱映射可以表示为A=UΣV^T，其中U和V 分别是m×m和n×n的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的奇异值。
谱映射在图像处理、信号处理、数据降维等领域具有广泛的应用。
通过对矩阵的谱映射，可以提取出矩阵的重要特征，对数据进行压缩和降维，从而简化计算过程和存储空间。
二、谱分解谱分解是指将一个矩阵分解为特征向量和特征值的乘积的过程。
对于一个n阶对称矩阵A，谱分解可以表示为A=QΛQ^T，其中Q是由矩阵A的正交特征向量组成的矩阵，Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
谱分解与谱映射密切相关，通过谱分解可以求得矩阵A的特征值和特征向量，进而进行谱映射。
谱分解不仅仅适用于对称矩阵，对于一般的矩阵也可以进行推广。
谱分解在物理学、量子力学、结构力学等领域有着广泛的应用。
通过对矩阵的谱分解，可以求得矩阵的主要特征，揭示矩阵的结构和性质，为问题的分析和求解提供了有力的工具。
谱映射与谱分解是线性代数中两个重要的概念，它们在矩阵理论、数据分析、信号处理等领域起着重要的作用。
通过对矩阵的谱映射和谱分解，可以揭示矩阵的内在结构，提取出矩阵的关键信息，从而进行问题的求解和分析。
线性映射与线性变换
线性映射与线性变换线性映射与线性变换是线性代数中重要的概念，它们在许多数学和工程领域中有着广泛应用。
本文将对线性映射与线性变换进行详细的讨论，介绍它们的定义、性质以及应用。
一、线性映射的定义与性质线性映射，也称为线性变换或线性算子，是指两个向量空间之间的映射，满足以下两个条件：加法保持性和数乘保持性。
具体而言，对于向量空间V和W，若存在一个映射L: V -> W，对于任意的向量v1和v2以及标量k，满足以下条件：1. 加法保持性：L(v1 + v2) = L(v1) + L(v2)；2. 数乘保持性：L(kv) = kL(v)。
线性映射的性质包括：1. 对于零向量的映射：L(0) = 0；2. 对于任意向量的零映射：L(v) = 0，当且仅当v = 0；3. 像的包含关系：若v1和v2是向量v的线性组合，那么L(v1)和L(v2)是L(v)的线性组合；4. 等比例保持性：若v1和v2成比例，即v1 = kv2，那么L(v1)和L(v2)也成比例。
二、线性变换的定义与性质线性变换是特殊类型的线性映射，即线性映射的定义域和值域为同一个向量空间。
具体而言，对于向量空间V，若存在一个映射T: V -> V，满足线性映射的加法保持性和数乘保持性，则称T为线性变换。
线性变换的性质包括：1. 零变换：存在一个零变换O，对于任意的向量v，有O(v) = 0；2. 单位变换：存在一个单位变换I，对于任意的向量v，有I(v) = v；3. 复合变换：若存在两个线性变换T1和T2，则它们的复合变换T1 ∘ T2也是线性变换；4. 逆变换：若存在一个线性变换T，满足T(v) = 0的解只有唯一解v = 0，则T存在逆变换。
三、线性映射与线性变换的应用线性映射与线性变换在数学和工程领域中有许多应用。
以下列举了一些常见的应用场景：1. 图像处理：线性映射常用于图像处理中的滤波操作，可以对图像进行平滑处理、边缘检测等；2. 数据压缩：线性变换可以用于数据降维和压缩，如主成分分析(PCA)等；3. 信号处理：线性映射可以用于信号的滤波和降噪，如用于音频信号处理；4. 线性规划：线性变换可以被用于线性规划中的变量转换和约束条件的变换；5. 电路分析：线性变换可以用于电路中的电压分析和电流分析。
线性变换与线性映射的关系
线性变换与线性映射的关系线性变换和线性映射是线性代数中的重要概念，它们之间存在着密切的关系。
线性变换是指在向量空间中，通过一定的规则将一个向量映射到另一个向量。
而线性映射则是指在两个向量空间之间进行的线性变换。
本文将详细介绍线性变换和线性映射的概念、性质以及它们之间的关系。
一、线性变换的概念和性质线性变换是指对向量空间中的向量进行的一种特定的映射。
设V和W是两个向量空间，定义T: V → W是一个映射，当满足以下条件时，称T为线性变换。
1. 加法性质：对于V中的任意两个向量u和v，有T(u+v) = T(u) +T(v)。
2. 数乘性质：对于V中的任意一个向量u和标量k，有T(ku) =kT(u)。
线性变换的性质还包括零映射的存在、对偶性和复合性等。
通过定义映射的规则，并满足上述性质，线性变换可以将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
二、线性映射的概念和性质线性映射是指在两个向量空间之间进行的线性变换。
设V和W是两个向量空间，定义T: V → W是一个线性映射，当满足以下条件时，称T为线性映射。
1. 加法性质：对于V中的任意两个向量u和v，有T(u+v) = T(u) +T(v)。
2. 数乘性质：对于V中的任意一个向量u和标量k，有T(ku) =kT(u)。
加法性质和数乘性质与线性变换的性质相同，这也是线性映射与线性变换之间密切关联的体现。
线性映射的定义中，要求两个向量空间之间的映射具有线性变换的性质。
三、线性变换和线性映射之间存在着密切的联系。
线性变换可以看作是线性映射的一种特殊情况，即线性映射中两个向量空间相等的情况。
当线性映射的定义域和值域相同时，线性映射即可视为线性变换。
线性映射可以通过矩阵的形式来表示，而线性变换可以看作是一种特殊的线性映射。
对于一个线性映射T: V → V，可以选择基底，通过矩阵的变换来表示线性变换。
这个矩阵称为线性变换矩阵。
线性变换和线性映射之间的另一个关系是，它们都可以使用线性方程组来表示。
高等代数的笔记杂记——关于线性映射的一些理解
⾼等代数的笔记杂记——关于线性映射的⼀些理解 对于⼀个线性空间U到线性空间V的映射，可以取定U的⼀个基α1，α2——αn，由于U中每⼀个向量都可以由U的基线性表出，那么V 中每⼀个对应U中⼀个向量α的象β就⼀定可以由U的基的象的线性组合表出，那么⼀个映射就完全由它原空间的⼀个基的象确定，我们在⽤矩阵表⽰线性映射的时候其实是选定了U的⼀组基，然后将U的每个基向量的象⽤V中基向量来线性表出， 这⾥线性映射是从⼀个向量到另⼀个向量，这⾥的向量是⼴义的，只要在线性空间⾥的元素就可以是向量，（⽐如可以是⼀个数字，⼀个⽮量，也可以是⼀个矩阵，）⼀定要注意的⼀点是，⼀个线性映射对应的矩阵是由选取的U和V的基所决定的，也就是说映射对应的矩阵其实应该是两个不同空间的基的对应关系，如果有基的变换那么对应的矩阵也要进⾏变换。
由于空间⾥的向量可以⽤选定的基向量和在这个基下的坐标确定（我们在这⾥将向量量化了，即赋予坐标以实际意义），那么U中向量α的坐标便代表了在U中表⽰这个向量的线性组合，如此由上⾯矩阵的定义可以清楚，⽤映射对应的矩阵右乘⼀个坐标x1的列向量就可以把这个线性组合对应到V的基向量上，也就是我们如果⽤另⼀个在V中的坐标x2表⽰α的象β，那么Ax1=x2，A是这个线性映射对应的矩阵，即我们都⽤坐标来表⽰向量的话，矩阵告诉我们怎样转换可以将U中α的坐标变成映射之后V中β的坐标。
（这也是两个基⽤⾏向量来表⽰基向量组然后右乘矩阵得到另⼀个基向量组的原因，不可以把左乘右乘搞混） 若（α1，α2，·····，αn）S=（γ1，γ2·····，γn）为U中基的变换，（β1，β2，····，βm）Q=（δ1，δ2，·······，δm），则变换两个空间的基之后映射A所对应的矩阵就是Q^-1·A·S，（⾃⼰做⼀下推导就可以得出）。
线性变换和矩阵
§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，此刻成立线性变换与矩阵关系.空间V 中任意一个向量ξ能够被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式nn x x x εεεξ+++= 2211(1)其中系数是唯一确信的，它们确实是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换维持线性关系不变，因此在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系：A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2)上式说明，若是明白了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就明白了，或说1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，若是线性变换Å与ℬ在这组基上的作用相同，即A i ε=B i ε， ,,,2,1n i =那么A = B .结论1的意义确实是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全能够是任意的，也确实是2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，关于任意一组向量n ααα,,,21 必然有一个线性变换Å使A i ε=i α .,,2,1n i =定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换Å使A i ε=i α .,,2,1n i =概念2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像能够被基线性表出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示确实是A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A Å(2ε)，…， A (n ε)）=A n ),,,(21εεε (5) 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵.例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下⎩⎨⎧+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A ii i εεε 如此确信的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明A 2=A投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00111如此，在取定一组基以后，就成立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射.前面结论1说明那个映射是单射，结论2说明那个映射是满射.换句话说，在这二者之间成立了一个双射.那个对应的重要性表此刻它维持运算，即有定理2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每一个线性变换按公式（5）对应一个n n ⨯矩阵，那个对应具有以下性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理2 说明数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合)(V L 关于线性变换的加法与数量乘法组成P 上一个线性空间，与数域P 上n 级方阵组成的线性空间n n P ⨯同构.定理3 设线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是A ，向量ξ在基n εεε,,,21 下的坐标是),,,(21n x x x ,那么A ξ在基n εεε,,,21 下的坐标),,,(21n y y y 能够按公式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121 计算.二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一路的.一样说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理4设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,,,21 , (6)n ηηη,,,21 (7)下的矩阵别离为A 和B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=.定理4 告知咱们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系. 概念3 设A ，B 为数域P 上两个n 级方阵，若是能够找到数域P 上的n 级可逆方阵X ，使得AX X B 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~.相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1. 反身性：A A ~2. 对称性：若是B A ~，那么A B ~.3. 传递性：若是B A ~,C B ~,那么C A ~.定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，若是两个矩阵相似，那么它们能够看做同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的相似关于运算有下面的性质.若是X A X B 111-=,X A X B 212-=，那么X A A X B B )(21121+=+-,X A A X B B )(21121-=由此可知，若是AX X B 1-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么X A f X B f )()(1-=利用矩阵相似的那个性质能够简化矩阵的计算.例 2 设V 是数域P 上一个二维线性空间，21,εε是一组基，线性变换A 在21,εε下的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0112 计算A 在V 的另一组基21,ηη下的矩阵，那个地址⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2111),(),(2121εεηη。
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线性映射的矩阵：分析
把从向量空间V 到 V' 的所有线性映射的集合记为
当V'=V 时，线性变换的集合L(V,V')简记为L(V).
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线性映射的矩阵
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线性映射的矩阵：例题
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线性映射的矩阵：例题
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线性映射的矩阵：例题
16:57
例子 4.3: 平面上的旋转变换
写成映射的形式:
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例子 4.4 平面上的镜像变换等
(点 P 与它的像关于直线 y=x 对称)
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6
线性映射的基本性质
16:577ຫໍສະໝຸດ 线性映射的确定: 例子16:57
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线性映射的确定: 例子(2)
所以
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线性映射的确定: 理论结果
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§4 线性映射及其矩阵
线性映射的定义
若干例子
线性映射的确定
取定定义域的一组基，则线性映射由基向量的象确定
线性映射的矩阵
分别取定定义域和值域的基，则线性映射与矩阵有着一 一对应的关系
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线性映射的定义
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2
例子 4.1: 线性函数
定义
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例子 4.2: 射影变换
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4
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例题 4.10
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16
纯量变换的矩阵
16:57
17
命题 4.2 的证明
证明: 由命题4.1可以得到
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back
18
命题 4.3的证明
证明: 定义如下映射
另一方面, 由命题4.2可得唯一性.
16:57
back
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谢谢观看！ 2020