线性映射方法在矩阵理论和运算中的应用

d im (kerΥ) + d im ( Im Υ) = n.
(1)
取定基之后, V n (F ) 到 V m (F ) 的线性映射集{Υ}与 F 上 m ×n 矩阵集{A }之间一一对应, Υ对应其矩阵表
示A Υ. 此对应保加法, 数乘和乘法, 即 Υ+ 7 , kΥ和 Υ7 的方阵表示分别为A Υ+ A 7 , kA Υ 和A ΥA 7 (k ∈F ). 特
d im (kerA ) + d im (A F (n) ) = n. 特别可知, ΥA 为单射当且仅当列数 n = r (A ) , 这样的 A 称为列满秩阵 (或列独立阵). ΥA 为满射当且仅当 行数m = r (A ) , 这样的 A 称为行满秩阵 (或行独立阵). 当然也可考虑“在右边乘A ”的线性映射 ΘA: Fm →F n, y→yA , 这里 F n 表示 F 上 n 维行向量空间. 将所有的向量和矩阵都转置, 由 (yA ) T = A T yT , 所以 ΘA = ΥAT.
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一般的线性映射均可归结为上述“以A 乘”的映射. 设V n= V n (F ) 和V m = V m (F ) 为域 F 上两线性空 间, 维数分别为 n 和m. 设有线性映射
Υ: V n→V m. (当 V n= V m 时, Υ称为线性变换). 取定V n 和 V m 的基{ei}和{Γi}, 设
[ 收稿日期 ] 2003202210 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
第 1 期 许甫华: 线性映射方法在矩阵理论和运算中的应用
命题 1[3 ] r (A + B ) ≤r (A ) + r (B ). 证 由 (A + B ) F (n) < A F (n) + B F (n) , 而 r (A ) = d imA F (n) , 即得. 命题 2[3] 设 A , B 均是 n 阶方阵. 若 AB = O , 则
r (A ) + r (B ) ≤n. 证 由映射 ΥA B: B F (n) →F (n) , B x →AB x = 0, 知道
也就是说
m
∑ Υ(ej ) =
a ij Γi ( j = 1, …, n)
i= 1
Υ(e1, …, en) = (Γ1, …, Γm )A , 其 中 A = A Υ= (a ij ) m ×n称为 Υ(在基{ei}和{Γi}下) 的矩阵表示, 其第 j 列是 Υ(ej ) 的坐标. 若 Α∈V n 的坐标 列 为 x , 则 Υ(Α) 的坐标列为 A x (因为 Υ(Α) = Υ( (e1, …, en) x ) = (Υ(e1, …, en) ) x = (Γ1, …, Γm )A x ). 因此 Υ 对向量 Α 的作用归结到 ΥA (即A ) 对坐标列 x 的作用. 故 Α∈kerΥ(即 Υ(Α) = 0) 当且仅当 x∈kerΥA (即 A x = 0) , d im kerΥ= n - r (A ) ; Α∈ Im Υ= Υ(V n) 当且仅当 x ∈ Im ΥA , d im Im (Υ) = r (A ). 所以核与象的维数有 如下重要的等式:
第 20 卷第 1 期 2004 年 2 月
大 学 数 学
COLL EGE M A TH EM A T ICS
V o l. 20, №. 1 Feb. 2004
线性映射方法在矩阵理论和运算中的应用
许甫华
(清华大学 数学科学系, 北京 100084)
[ 摘 要 ] 对矩阵的一些运算关系从映射角度考虑, 得到概念上的新理解和运算的新技巧. 特别是, 给出 了 F roben iu s 不等式, Sylvester 不等式等著名结果的极其简洁的证明, 据此探讨了线性代数中有关问题和实 例, 包括列满秩矩阵的特点等.
定理 2[1 ] 下列诸命题等价: ( i) Cm ×r为列独立阵; ( ii) 有矩阵 H , 使得 (C, H ) 非奇异; ( iii) 有矩阵 K, 使得 KTC= I r. (其中 H , K 自然为列独立阵). 证 ( i) ] ( ii) ΥC: F (r) →F (m ) 是单射, 象 CF r 维数是 r, 故 F (m ) = CF (r) V , 其中 V 是 Fm 的 m - r 维 子空间. 取单射 Υ: F (m - r) →V , 必有 H 使 Υ= ΥH. 即知 Υ : (C, H ) F (m ) →F (m ) 也是单射, 这是因为由
0= (C, H ) x = Cx + Hy∈CF (r) V ,
y
可知 Cx= 0, Hy= 0, 从而 x = 0, y= 0. 所以 (C, H ) 是列独立阵. ( i) ] ( iii) 因 ΥC 是单射, 自然地有从 CF (r) < F (m ) 到 F (r) 的逆映射 ΥKT. 于是, ΥKT ΥC = ΥKTC = 1, 即知
r (B ) = d im (B F (n) ) = d im kerΥA B ≤d im kerΥA = n- r (A ). 命题 3[3] 设 B 是 r 阶方阵, R 为 r×n 阵且 r (R ) = r. 证明: ( i) 如果 B R = O , 那么 B = O; ( ii) 如果 B R = R , 那么 B = I. 证 (i) 注意 R 为行独立阵, 故 ΘR 为单射, 这里映射 ΘR: F r→F r, y →yR. B R = O 相当于单射 ΘR 把 B 的行空间映为O , 因而 B 的行空间也是O , 即 B = O. ( ii) B R = R , 知映射 B 保持 F (r) 的一组基 (即 R 的列的最大无关组) 不变, 故 B 是恒等映射, 即 B =
别可知, 对于任意线性映射 Υ: F (n) →F (m ) , 必存在 m ×n 矩阵 A 使得 ΥA = Υ, 此 A 即是在自然基下 Υ的矩
阵表示 (F (n) 的自然基即是 In 的列向量集). 换句话说, F (n) 到 F (m ) 的线性映射总是 ΥA 形式.
以上讨论适用于V n 和 V m 为列向量空间的子空间的情形[4- 5 ].
3 Sylvester 不等式和 Froben ius 不等式等
现在转向用线性映射的观点, 考察一些矩阵的结果. 对于矩阵乘法AB , 记 B = (Β1, …, Βp ) , 则 AB = A (Β1, …, Βp ) = (A Β1, …, A Βp ). 即可视为 Am ×n乘到 B n×p 的各列上去. 从而考虑A 为作用于 B 的列空间 V B = B F (n) 上的线性映射 ΥA B: B F (n) →AB F (n) , B x →AB x (或记为 y →Ay ). 首先考虑著名的 Sy lvester 不 等式和 F roben iu s 不等式.
ΥA BC: B CF (q) →F (m ) , B Cx →AB Cx , 则有
r (A ) ).
即得
d im (B CF (q) ) = d im ( Im ΥA BC ) + d im (kerΥA BC ) ,
r (B C) = r (AB C) + d im (kerΥA BC) ≤r (AB C) + d im (kerΥA B ) = r (AB C) + d imB F (p) - d im Im ΥA B = r (AB C) + r (B ) - r (AB ).
2 线性映射与矩阵
首先简单回忆线性映射的概念及与矩阵的关系, 这些记号和事实将在下面反复使用, 有时不再仔细 交 待. 以 F (n) 表示域 F 上 n 维列向量空间. 设 A 为 F 上的 m ×n 矩阵, 则 (从左边)“以 A 乘”决定线性 映射
ΥA: F (n) →F (m ) , x →A x. ΥA 也简记为 A , 或详记为 ΥA . F (n) 其核 kerΥA = kerA 即 为 A x = 0 的 解 空 间 ( 称 为 A 的 零 空 间) , 故 维 数 d im kerΥA= n - r (A ) ( 称 为 A 的 零 度) , r (A ) 表 示 A 的 秩. 记 A 的 列 为 Α1, …, Αn, 记 列 向 量 x = (x 1, …, x n) T (总以 A T 表示 A 的转置) , 则 ΥA (x ) = A x = x 1Α1+ …+ x nΑn, 即 A 的列的线性组合, 组合 系数为 x 的分量. 当 x 取遍 F (n) 时, ΥA (x ) = A x 取遍 A 的列生成 (张成) 的线性空间 V A (称为 A 的列空 间). 即是说 ΥA 的象 Im ΥA = A F (n) = V A , 象的维数为 r (A ). 故
不等号是因为 B CF (q) < B F (p ).
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大 学 数 学 第 20 卷
[ 关键词 ] 线性映射; 矩阵; F roben iu s 不等式; Sylvester 不等式 [ 中图分类号 ] O 15217 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 167221454 (2004) 0120080205
1 引 言
在线性代数及其应用方面, 矩阵的运算、性质, 许多等式及不等式十分重要. 通常这样的结果都由矩 阵运算及其技巧得到. 本文运用线性映射的概念于矩阵运算, 在许多情形下可以给矩阵运算以新观点、 新技巧, 可给出许多有关矩阵的结果的崭新的证明, 很多证明极其简洁. 例如 F roben iu s 不等式, Sylvester 不等式, 还有文献[ 1- 4 ]中的一些矩阵等式或性质, 特别包括列满秩矩阵. 文献[ 1 ]在利用列 满秩矩阵发展线性代数方面很有特色. 我们要先简单回忆一下线性映射和矩阵运算的基本概念和记号, 然后用映射的视角考察一些矩阵的结果.