浙江专版高中数学课时跟踪检测十九平面向量基本定理新人教A版必修4

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高中数学人教A版必修四课时训练：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 Word版含答案

§2.3　平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1　平面向量基本定理课时目标　1.理解并掌握平面向量基本定理.2.掌握向量之间的夹角与垂直．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a ，__________实数λ1，λ2，使a ＝____________________________.(2)基底：把________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2.两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个__________a 和b ，作＝a ，＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)，OA → OB →叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是______________．②当θ＝0°时，a 与b ________.③当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作______________．一、选择题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1＋e 2，e 1＋e 2 12C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 22．等边△ABC 中，与的夹角是( ) AB → BC →A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°3．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③4．若＝a ，＝b ，＝λ(λ≠－1)，则等于( ) OP 1→ OP 2→ P 1P → PP 2→ OP →A ．a ＋λbB ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋b D.a ＋b 11＋λλ1＋λ5．如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( ) ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数多对； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ、μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且＝，连结CF 并AF FD 15延长交AB 于E ，则等于( ) AE EBA. B. C. D. 1121315110题　号1 2 3 4 5 6 答　案二、填空题7．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________.8．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)9．在△ABC 中，＝c ，＝b .若点D 满足＝2，则＝____________. AB → AC → BD → DC → AD →10．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若＝λ＋μ，其中AC → AE → AF →λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.三、解答题11. 如图所示，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若＝a ，AB → AC →＝b ，用a ，b 表示，，. AD → AE → AF →12. 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，＝2，DC 和OD → DB →OA 交于点E ，设＝a ，＝b . OA → OB →(1)用a 和b 表示向量、； OC → DC →(2)若＝λ，求实数λ的值． OE → OA →能力提升13. 如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x ＋y ，则x 的取值范围是________；当x ＝－时，y 的取值OP → OA → OB → 12范围是____________．14. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．§2.3　平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1　平面向量基本定理答案知识梳理1．(1)不共线　任意　有且只有一对　λ1e 1＋λ2e 2　(2)不共线　所有2．(1)非零向量　∠AOB ①[0°，180°]　②同向　③反向　(2)90°　a ⊥b作业设计1．D 2.D 3.B4．D [∵＝λ，∴－＝λ(－) P 1P → PP 2→ OP → OP 1→ OP 2→ OP →∴(1＋λ)＝＋λ OP → OP 1→ OP 2→ ∴＝＋＝a ＋b .] OP → 11＋λOP 1→ λ1＋λOP 2→ 11＋λλ1＋λ5．B [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.]6．D [设＝a ，＝b ，＝λ. AB → AC → AE EB ∵＝，∴＝＋ AF FD 15CF → CA → AF → ＝＋＝(＋)－ CA → 16AD → 112AB → AC → AC →＝－＝a －b . 112AB → 1112AC → 1121112＝＋ CE → CA → AE → ＝＋ CA → λ1＋λAB →＝－ λ1＋λAB →AC → ＝a －b . λ1＋λ∵∥， CF → CE → ∴＝.∴λ＝.] λ1＋λ112111121107．－m ＋n 74138解析　设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得Error!⇒Error!.8．①②解析　对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．9.b ＋c 2313解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b ＋c . AD → AB → BD → AB → 23BC → AB → 23AC → AB → 13AB → 23AC → 231310. 43解析　设＝a ，＝b ， AB → AD →则＝a ＋b ， AE → 12＝a ＋b ， AF → 12又∵＝a ＋b ， AC → ∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. AC → 23AE → AF → 234311．解　＝＋＝＋＝a ＋(b －a )＝a ＋b ； AD → AB → BD → AB → 12BC → 121212＝＋＝＋＝a ＋(b －a )＝a ＋b ； AE → AB → BE → AB → 13BC → 132313＝＋＝＋＝a ＋(b －a )＝a ＋b . AF → AB → BF → AB → 23BC → 23132312．解　(1)由题意，A 是BC 的中点，且＝， OD → 23OB →由平行四边形法则，＋＝2. OB → OC → OA →∴＝2－＝2a －b ， OC → OA → OB → ＝－＝(2a －b )－b ＝2a －b . DC → OC → OD → 2353(2)∥.又∵＝－＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，＝2a －b ， EC → DC → EC → OC → OE → DC → 53∴＝，∴λ＝. 2－λ21534513．(－∞，0) (12，32)解析　由题意得：＝a ·＋b ·(a ，b ∈R ＋，0<b <1) OP → OM → OB →＝a ·λ＋b · AB → OB →＝aλ(－)＋b · OB → OA → OB →＝－aλ·＋(aλ＋b )·(λ>0)． OA → OB →由－aλ<0，得x ∈(－∞，0)．又由＝x ＋y ，则有0<x ＋y <1， OP → OA → OB → 当x ＝－时，有0<－＋y <1， 1212解得y ∈. (12，32)14．解　设＝b ，＝c ， AB → AC → 则＝b ＋c ，＝＝c ， AM → 1212AN → 23AC → 23＝＋＝c －b . BN → BA → AN → 23∵∥，∥， AP → AM → BP → BN →∴存在λ，μ∈R ，使得＝λ，＝μ， AP → AM → BP → BN →又∵＋＝， AP → PB → AB →∴λ－μ＝， AM → BN → AB → 由λ－μ＝b 得 (12b ＋12c )(23c －b )b ＋c ＝b . (12λ＋μ)(12λ－23μ)又∵b 与c 不共线， ∴Error!解得Error! 故＝，即AP ∶PM ＝4∶1. AP → 45AM →。

2018-2019学年高中数学人教A版必修四检测：课时跟踪检测(十九) 平面向量基本定理 Word

姓名，年级：时间：课时跟踪检测(十九）平面向量基本定理层级一学业水平达标1．已知▱ABCD中，∠DAB＝60°,则错误!与错误!的夹角为( )A．30°B．60°C．120° D．150°解析:选C 如图，错误!与错误!的夹角为∠ABC＝120°.2．若向量e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）A．e1－e2，e2－e1B．e1－e2,e1＋e2C．2e2－e1，－2e2＋e1D．2e1＋e2,4e1＋2e2解析:选B 不共线的向量能作为基底，因为e1－e2＝－（e2－e1），所以向量e1－e2，e2－e1共线，排除A；因为2e2－e1＝－(－2e2＋e1），所以2e2－e1，－2e2＋e1共线,排除C；因为2e1＋e2＝错误!（4e1＋2e2），所以2e1＋e2,4e1＋2e2共线，排除D，故选B。

3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝错误!AB，则错误!与错误!的夹角是( )A．30° B．60°C．120° D．150°解析：选C如图，作向量错误!＝错误!,则∠BAD是错误!与错误!的夹角，在△ABC中,因为∠C＝90°，BC＝错误!AB，所以∠BAC＝30°，所以∠BAD＝120°。

高中数学人教a版高一必修4课时达标检测(十九)平面向量基本定理_word版含解析

高中数学人教a 版高一必修4课时达标检测(十九)平面向量基本定理_word版含解析一、选择题1．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μ e 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μ e 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②答案：B2．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2答案：C3．如图，在矩形ABCD 中，若BC ＝5e 1，DC ＝3e 2，则OC ＝( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1)答案：A4．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( )A.43a ＋23bB.23a ＋43b C.23a －23b D ．－23a ＋23b 答案：B5．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA ＝a ，OB ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR ―→等于( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a答案：B二、填空题6．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．答案：90°7．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM ＝λAB ＋μBC ，则λ＋μ＝________.答案：238．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________.答案：23a －13b 三、解答题9．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎨⎧ λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎨⎧ λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎨⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1. ∴c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎨⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎨⎧λ＝3，μ＝1. 故所求λ，μ的值分别为3和1.10．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD ＝a ，AB ＝b ，试用a ，b 表示DC ，EF ，FC .解：∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，∴FC ＝AD ＝a ，DC ＝AF ＝12AB ＝12b .EF＝ED＋DA＋AF＝－12DC－AD＋12AB＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.11.如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则OC ＝OD＋OE.在Rt△OCD中，∵|OC|＝23，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴|OD|＝4，|CD|＝2，故OD＝4OA，OE＝2OB，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.。

(2021年整理)必修四平面向量基本定理(附答案)

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平面向量基本定理[学习目标］1。

理解平面向量基本定理的内容,了解向量一组基底的含义。

2.在平面内，当一组基底选定后,会用这组基底来表示其他向量.3。

会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一平面向量基本定理（1）定理:如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。

(2）基底:把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考如图所示，e1，e2是两个不共线的向量,试用e1,e2表示向量错误!，错误!，错误!,错误!，错误!，a.答案通过观察,可得：错误!＝2e1＋3e2，错误!＝－e1＋4e2，错误!＝4e1－4e2，错误!＝－2e1＋5e2,错误!＝2e1－5e2,a＝－2e1.知识点二两向量的夹角与垂直（1)夹角:已知两个非零向量a和b，如图,作错误!＝a，错误!＝b,则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°），叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°］．②当θ＝0°时,a与b同向．③当θ＝180°时，a与b反向．（2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直,记作a⊥b.思考在等边三角形ABC中,试写出下面向量的夹角．①错误!、错误!;②错误!、错误!;③错误!、错误!；④错误!、错误!.答案①错误!与错误!的夹角为60°；②错误!与错误!的夹角为120°；③错误!与错误!的夹角为60°；④错误!与错误!的夹角为180°。

高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第21课时平面向量基本定理含解析

第21课时平面向量基本定理课时目标1.了解平面向量的基本定理及其意义． 2识记强化112面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a 、OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．如果a 与b 的夹角是90°，我们就说a 与b 垂直，记作a ⊥b .课时作业一、选择题1．下列各组向量中，一定能作为基底的是( ) A ．a ＝0，b ≠0B ．a ＝3e ，b ＝－3e (e ≠0)C ．a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋2e 2(e 1，e 2不共线)D ．a ＝4e 1＋4e 2，b ＝－2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线) 答案：C解析：由平面向量基本定理知，a ，b 不共线，∴选C.2．设a ，b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A ，B ，D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1 答案：D解析：BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ，由A ，B ，D 三点共线，知存在实数λ，使2a ＋p b ＝2λa －λb .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2p ＝－λ，∴p ＝－1.3．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝e 1，DC →＝e 2，则OC →＝( ) A.12(e 1＋e 2) B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1) 答案：A解析：因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC →＝e 1，DC →＝e 2，所以OC →＝12(BC →＋DC →)＝12(e 1＋e 2)，故选A. 4．已知非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0 答案：A解析：由P A →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λy ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2.5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点)，则AP →＝( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，22C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，22答案：A解析：如图所示，AC →＝AB →＋AD →.又点P 在AC 上，∴AP →与AC →同向，且|AP →|<|AC →|，故AP →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)．6．若点O 是▱ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，且AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1等于( )A.AO →B.CO →C.BO →D.DO → 答案：C解析：3e 2－2e 1＝12(6e 2－4e 1)＝12(BC →－AB →)＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝BO →. 二、填空题7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝________.答案：－2或13解析：由题设，知k 22＝1－5k 23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.8．已知e 1，e 2是两个不共线向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.答案：－12解析：因为a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，所以存在唯一的μ，使2e 1－e 2＝μ(e 1＋λe 2)＝μe 1＋μλe 2，所以μ＝2，μλ＝－1，故λ＝－12.9．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP →＝yAD →，AQ →＝xAB →，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ →∥BE →，则x y＝________.答案：12解析：∵PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λy ＝－λ，则x y ＝12.三、解答题10.如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，试用a ，b 表示MN →.解：由AN →＝3NC →，知N 为AC 的四等分点． MN →＝MC →＋CN → ＝12AD →－14AC → ＝12AD →－14(AB →＋AD →) ＝－14AB →＋14AD →＝－14a ＋14b .11．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，若存在实数λ和μ，使d ＝λ a ＋μb 与c 共线，那么实数λ和μ应该是什么关系？解：∵d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，若d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．能力提升12．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝(12λ＋μ)AB →＋(λ＋12μ)AD →，于是得⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.13.如图，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .求证：B 、E 、F 三点共线．证明：如图所示，延长AD 到G ，使AG →＝2AD →，连接BG 、CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )AE →＝23AD →＝13(a ＋b )AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )．又BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．所以BE →＝23BF →，又因为BE →与BF →有公共点B ，所以B 、E 、F 三点共线．。

浙江专版学年高中数学课时跟踪检测十九平面向量基本定理新人教A版必修

课时跟踪检测〔十九〕平面向量根本定理层级一学业水平达标1．▱ABCD 中∠DAB ＝30°，那么AD 与CD 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D 如图，AD 与CD 的夹角为∠ABC ＝150°.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，以下的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( ) ①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．3．假设AD 是△ABC 的中线，AB ＝a ，AC ＝b ，那么以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b ) B ．12(a ＋b ) C ．12(b －a ) D ．12b ＋a 解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，那么D 为线段BC 的中点，从而BD ＝DC ，即AD －AB ＝AC －AD ，从而AD ＝12(AB ＋AC )＝12(a ＋b )． 4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，假设BC ＝e 1，DC ＝e 2，那么OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2) B ．12(e 1－e 2) C ．12(2e 2－e 1) D ．12(e 2－e 1) 解析：选A 因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC ＝e 1，DC ＝e 2，所以OC ＝12(BC ＋DC )＝12(e 1＋e 2)，应选A. 5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，那么( )A ．AD ＝－13AB ＋43ACB ．AD ＝13AB －43AC C ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC 解析：选A 由题意得AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋13BC ＝AC ＋13AC －13AB ＝－13AB ＋43AC .6．向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，那么x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线，∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.答案：37．e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－5k 2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，那么实数k ＝______. 解析：由题设，知k 22＝1－5k 23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13. 答案：－2或138．如以下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，那么在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法那么或平行四边形法那么即得．答案：a ＋b 2a ＋c9.如下图，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，假设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．。

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测4-2平面向量的基本定理及坐标表示

1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP＝2MN，则P点的坐标为(B. －1，－2⎪C. 1，2⎪解析：设P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)．而2MN＝2(－8,1)＝－4，2⎪，∴P －1，－2⎪.故选B.⎩⎩．如图，在△2OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2P A，则()C．x＝，y＝解析：由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2P→A，所以OP＝OB＋3BA＝O B＋3(OA －OB)＝3OA＋3OB，所以x＝3，y＝3.[课时跟踪检测][基础达标]→1→) A．(－8,1)⎛3⎫⎝⎭⎛3⎫⎝⎭D．(8，－1)→1→1⎛1⎫⎝⎭⎧⎪x－3＝－4，∴⎨1⎪y＋2＝2.⎧⎪x＝－1，解得⎨3⎪y＝－2.⎛3⎫⎝⎭答案：B→→→→→21A．x＝3，y＝312B．x＝3，y＝3134431D．x＝4，y＝4→→→→→→2→→2→→2→1→21答案：A4．已知点 A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ＝AB ＋λAC (λ∈R )，且点 P 在直线解析：设 P (x ，y )，则由AP ＝AB ＋λAC ，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5，7)＝(2又点 P 在直线 x －2y ＝0 上，故 5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得 λ＝－，故选 B.中点，且 BP ＝2PC .若P →A ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC 等于( 解析：由题知，PQ －P →A ＝AQ ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)．又因为点 Q 是 AC 的中点，所以AQ ＝QC . 所以PC ＝PQ ＋QC ＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)．因为BP ＝2PC ，所以BC ＝BP ＋PC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6，21)． 6．已知 AC ⊥BC ，AC ＝BC ，D 满足CD ＝tCA ＋(1－t )CB ，若∠ACD ＝60°，3．已知向量 a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若 3a －2b ＋c ＝0，则 c＝()A ．(－23，－12)C ．(7,0)B ．(23,12)D ．(－7,0)⎧23＋x ＝0，解析：由题意可得 3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎨ 解⎩12＋y ＝0，⎧x ＝－23，得⎨ 所以 c ＝(－23，－12)．⎩y ＝－12.答案：A→ → →x －2y ＝0 上，则 λ 的值为()2 23 3A.3B ．－3 C.2D ．－2→ → →＋5λ，2＋7λ)，∴x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.23答案：B5．(2017 届山东日照一中月考△)在 ABC 中，点 P 在 BC 上，点 Q 是 AC 的→ → → →)A ．(－6,21)C ．(6，－21)B ．(－2,7)D ．(2，－7)→ →→ →→ → →→ → → → → →答案：A→ → →则 t 的值为()⎧y＝3x，⎩x＋y＝1得y＝22.故选A.8．(2018届东北三校二联)已知向量AB与向量a＝(1，－2)的夹角为π，|AB|解析：依题意，设AB＝λa，其中λ<0，则有|AB|＝|λa|＝－λ|a|，即25＝－5λ，∴λ＝－2，∴AB＝－2a＝(－2,4)，因此点B的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)，A.3－122019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测B.3－2C.2－1D.3＋12解析：由题意知D在直线AB上．令CA＝CB＝1，建立平面直角坐标系，如图，则B点坐标为(1,0)，A点坐标为(0,1)．设D点的坐标为(x，y)，因为∠DCB3＝30°，则直线CD的方程为y＝3x，易知直线AB的方程为x＋y＝1，由⎨33－13－1，即t＝答案：A7．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(－1,1)C．(－4,6)B．(1，－1)D．(4，－6)解析：由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)．由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)，选D.答案：D→→＝25，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为()A．(1,0)C．(5，－8)B．(0,1)D．(－8,5)→→→故选A.∴a ＝AO ＝(－1,1)，b ＝OB ＝(6,2)，c ＝BC ＝(－1，－3)．∵c ＝λa ＋μb ，∴(－ ⎪⎩n ＝8.9答案：A9．向量 a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，λ则μ＝________.解析：以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)，则 A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，→ → →1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，1 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得 λ＝－2，μ＝－2，λ∴μ＝4.答案：410．平面内给定三个向量 a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足 a ＝m b ＋n c 的实数 m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数 k .解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1) ，⎧－m ＋4n ＝3，所以⎨⎩2m ＋n ＝2，⎧⎪m ＝5，解得⎨ 9(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，16由题意得 2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得 k ＝－13.11．已知 A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB 与CD 是否共线？如果＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，解：AB＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，CD，CD 共线．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB＝－2AB ，又CD，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．∴AB → ＝1OA ，OD ＝1OB，△12．在 AOB 中，已知点 O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC＝(0,5)，OB ＝(4,3)．解：∵点 O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，∴OA＝ OA ＝ 0，4⎪，∴点 C 的坐标为 0，4⎪.∵OC 4 同理可得点 D 的坐标为 2，2⎪.7⎫→＝(x ，y －5)，AD ＝⎛2，－ ⎪.∵A ，M ，D 三设点 M 的坐标为(x ，y )，则AM与AD共线．点共线，∴AMCM ＝ x ，y －4⎪，＝ 4－0，3－4⎪＝ 4，4⎪.CB∵C ，M ，B 三点共线，∴CM 与CB 共线． ∴4x －4 y －4⎪＝0，由①②得 x ＝ 7 ，y ＝2，∴M 7 ，2⎪.→ →共线，它们的方向相同还是相反？→→→ →→ →→ → → →→ → → 42AD 与 BC 交于点 M ，求点 M 的坐标．→ →→ 1 → ⎛ 5⎫ ⎛ 5⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3⎫ ⎝ ⎭→⎝ 2⎭→ →7∴－2x －2(y －5)＝0，即 7x ＋4y ＝20.①→ ⎛ 5⎫ ⎝⎭→ ⎛ 5⎫ ⎛ 7⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭→ →7 ⎛ 5⎫ ⎝ ⎭即 7x －16y ＝－20.②12 ⎛12 ⎫ ⎝ ⎭[能力提升]．如图，在△1ABC中，设AB＝a，AC＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则AP＝(解析：如图，连接BP，则AP＝AC＋CP＝b＋PR，①AP＝AB＋BP＝a＋RP－RB，②①＋②，得2AP＝a＋b－RB，③又RB＝2QB＝2(AB－AQ)＝a－2AP⎪，④→＝a＋b－1⎛a－1AP⎫⎪，将④代入③，得2AP2．(2017届河南商丘三模)已知P是△ABC所在平面内一点，若AP＝4BC－3，则△BAPBC与△ABC的面积的比为()→→→)11A.2a＋2b12B.3a＋3b24C.7a＋7b42D.7a＋7b→→→→→→→→→→→→1→1→→1⎛1→⎫2⎝⎭→2⎝2⎭→24解得AP＝7a＋7b.答案：C→3→2→P(xP，yP)，C(x C,0)，若AP＝4BC－3BA，即(x P－x A，y P－y A)＝4(x C,0)－3(x A，y A)，3．已知向量OA＝(1,－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量AB，AC不共线．∵AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴PG＝λPQ.∴OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP)1A.32C.31B.23D.4解析：以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设A(x A，y A)，→3→2→3221∴yP－yA＝－3y A，得y P＝3y A，则△PBC与△ABC的面积的比为1∶3.答案：A→→→C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．→→→→→→→→∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.答案：k≠14．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，→→→→11Q三点共线．设OP＝xOA，OQ＝yOB，则x＋y＝________.解析：∵点P，G，Q在一条直线上，→→→→→→→→→→＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λy OB，①∴OG＝3OM＝3×2(OA＋OB)＝3OA＋3OB.②而OA→，OB不共线，∴由①②，得⎨3⎪⎩λy＝1.⎪⎩1＝3λ.2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测→→→→又∵G是△OAB的重心，→2→21→→1→1→⎧⎪(1－λ)x＝1，→3解得⎧⎪1＝3－3λ，⎨xy11∴x＋y＝3.答案：3。

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4

2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．类型三向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形．所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角．方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形．所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线，因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33，所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。

最新高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：复习课(三) 平面向量含答案

最新人教版数学精品教学资料复习课(三) 平面向量1．题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题．2．向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用．[典例] (北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________；y ＝________.[解析] ∵AM ＝2MC ，∴AM ＝23AC .∵BN ＝NC ，∴AN ＝12(AB ＋AC )，∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－23AC＝12AB －16AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16.[答案]12 －16[类题通法]向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．[题组训练]1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)．∵AB ∥AC ， ∴－8(y ＋6)－24＝0. ∴y ＝－9.2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外， |BC |2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C 由|BC |2＝16，得|BC |＝4. ∵|AB ＋AC |＝|AB －AC |＝|BC |＝4， |AB ＋AC |＝2|AM |， ∴|AM |＝2.3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP ＝3OA －OB2，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：选B 由于2OP ＝3OA －OB ， ∴2OP －2OA ＝OA －OB ，即2AP ＝BA ， ∴AP ＝12BA ，则点P 在线段AB 的反向延长线上．1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题．2．解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，二是利用坐标运算，即a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法．[典例] (1)(福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D.32(2)(四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝( ) A ．20 B ．15 C ．9D ．6[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得 k ＝－32.(2)如图所示，由题设知：AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋34AD ， NM ＝NC －MC ＝13AB －14AD ，∴AM ·NM ＝⎝⎛⎭⎫AB ＋34 AD ·⎝⎛⎭⎫13 AB －14 AD ＝13|AB |2－316|AD |2＋14AB ·AD －14AB ·AD ＝13×36－316×16＝9. [答案] (1)A (2)C [类题通法](1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．[题组训练]1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：选C ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )， ∴c 2＝(a ＋b )2，即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴19＝4＋9＋12cos 〈a ，b 〉， ∴cos 〈a ，b 〉＝12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°.2．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值为( )A ．0B ．－4C ．8D ．4解析：选D 由AD ·AB ＝AD ·AC ，得AD ·(AB －AC )＝0，即AD ·CB ＝0，所以AD ⊥CB ，即AD ⊥CB .又AB ＝4，∠ABC ＝30°，所以AD ＝AB sin 30°＝2，∠BAD ＝60°，所以AD ·AB ＝AD ·AB ·cos ∠BAD ＝2×4×12＝4.3．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________．解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1. 答案：14．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为________．解析：设|AB |＝x ，x ＞0，则AB ·AD ＝12x .又AC ·BE ＝(AD ＋AB )·⎝⎛⎭⎫AD －12 AB ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. 答案：121．题目以解答题为主．主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算，所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质．2．解决此类问题，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题．[典例] (广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.[类题通法]在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．[题组训练]1．设a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，且a ∥b ，则锐角x 为( ) A.π3 B.π4 C.π6D.π12解析：选B 因为a ∥b ，所以sin x cos x －12＝0，所以sin 2x ＝1，又x 为锐角，所以0<2x <π，所以2x ＝π2，x ＝π4，故选B.2．设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数ƒ(x )＝a ·(a ＋b )． (1)求函数ƒ(x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)∵ƒ(x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴ƒ(x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知ƒ(x )≥32⇔32＋22sin ⎝⎛⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝⎛⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )． ∴使ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .1．设P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＋OQ ＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2(a ＋b ) D.13(a ＋b ) 解析：选A 如图，OP ＝OA ＋AP ，OQ ＝OB ＋BQ ，∵AP ＝－BQ ，∴OP ＋OQ ＝OA ＋OB ＝a ＋b .2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D. 5解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D. 3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2，∵|a |＝1，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝22，∴向量a 与向量b 的夹角为π4，故选B.5．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即AC ·(BC ＋BA ＋CA )＝0，∴2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°.故选C. 6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2D ．6解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝⎛⎭⎫－1－3－32＝3， ∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b )⊥a ，则|b |＝________.解析：∵a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，∴a －2b ＝(－3,3－2t )．∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，∴b ＝(1,2)，∴|b |＝12＋22＝ 5.答案： 58．已知平面向量a 与b 的夹角等于2π3，如果|a |＝2，|b |＝3，那么|2a －3b |＝________.解析：|2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 2π3＋9×32＝133，∴|2a －3b |＝133.答案：1339．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61，即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13. 11．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R . (1)求|a ＋tb |的最小值及相应的t 值； (2)若a －tb 与c 共线，求实数t . 解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，∴a ＋tb ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋tb |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755，当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋tb |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －tb ＝(－3,2)－t (2,1)＝(－3－2t,2－t )，又a －tb 与c 共线，c ＝(3，－1)， ∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0. 解得t ＝35.12．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．解：(1)令n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，2·x 2＋y 2cos 3π4＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0， ∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)．∴|n ＋b |＝cos 2x ＋(sin x －1 )2＝2－2sin x ＝2(1－sin x ). ∵－1≤sin x ≤1，∴0≤|n ＋b |≤2.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan 8π3的值为( ) A.33B ．－33C. 3D ．－ 3解析：选D tan8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 2．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于 ( )A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM解析：选D 依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA ＋OC ＝2OM ，OB ＋OD ＝2OM ，所以OA ＋OC ＋OB ＋OD ＝4OM ，故选D.4．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵点(sin α，sin 2α)在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，sin 2α＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，2sin αcos α＜0. 即⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α＜0.∴α在第二象限． 5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．6．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( ) A.225B ．－25 C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0成中心对称( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0，其中离⎝⎛⎭⎫－π12，0最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可． 9．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图2所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π4x .∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35C.35D ．－45解析：选B 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a,4b,5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35. 11．如图，在四边形ABCD 中，|AB |＋|BD |＋|DC |＝4，|AB |·|BD |＋|BD |·|DC |＝4，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0，则(AB ＋DC )·AC 的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．2 2解析：选A ∵AC ＝AB ＋BD ＋DC ，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0， ∴(AB ＋DC )·AC＝(AB ＋DC )·(AB ＋BD ＋DC )＝AB 2＋AB ·BD ＋AB ·DC ＋DC ·AB ＋DC ·BD ＋DC 2＝AB 2＋2AB ·DC ＋DC 2.∵AB ·BD ＝0，BD ·DC ＝0， ∴AB ⊥BD ，DC ⊥BD ，∴AB ∥DC ， ∴AB ·DC ＝|AB ||DC |， ∴原式＝(|AB |＋|DC |)2.设|AB |＋|DC |＝x ，则|BD |＝4－x ，|BD |·x ＝4， ∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2，∴原式＝4，故选A.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A ∵函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，∴θ＝π2，∴y ＝2cos ωx ，排除C 、D ；y ＝2cos ωx ∈[－2,2]，结合题意可知T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2，排除B ，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋12b ，AE ＝12a ＋b ，AC ＝a ＋b ，代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案：4314．在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∴OB ·AB ＝0. 又AB ＝OB －OA ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：515．已知ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝22(sin α＋cos α)＝7210. 答案：721016．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12； ③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．答案：④三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α ＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α )(sin α＋cos α ) ＝sin α＋cos αsin α－cos α ＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2 α2.解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22(cos α－sin α)1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图；解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：21．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x ＋2sin π4＋x2·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2. (1)若f (α)＝22，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f (x )的值．解：f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)由f (α)＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. ∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12.(2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 又∵sin x 2＝45，∴cos x 2＝35.∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2425，cos x ＝－1－sin 2x ＝－725.∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝1725.22．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最值．解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又ƒ⎝⎛⎭⎫11π6＝0，得A sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝ 4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝4⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

人教A版精编高中数学必修4课时作业19平面向量基本定理 Word版含答案

课时作业19.平面向量基本定理时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，c ＝－6e 1＋2e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c 的关系为(..)A ．不共线B ．共线C ．相等D ．无法确定解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝－2(a ＋b )，∴a ＋b 与c 共线．答案：B2．若D 在△ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s ＝(..)A.165 B.125 C.85D.45 解析：由题意得CD →＝45CB →＝45AB →－45AC →， ∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85. 答案：C 3.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足(..)A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a >0，b <0. 答案：B4．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA→＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →等于(..) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45bD.45a ＋35b解析：∵CD 平分∠ACB ，∴|CA→||CB →|＝|AD →||DB →|＝21.∴AD →＝2DB →＝23AB → ＝23(CB →－CA →)＝23(a －b )． ∴CD →＝CA →＋AD →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b . 答案：B5．在△ABC 中，AB→＝c ，AC →＝b ，若D ，E 分别在BC ，BA 边上，且BD →＝2DC →，BE →＝2EA →，则向量23b ＋13c 表示(..) A.AD → B.CE → C.DE → D.ED→ 解析：如图所示，可依次检验答案：对于A 项，AD →＝AB →＋BD →， ∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →. ∴BD →＝23BC →＝23(AC →－AB →)＝23(b －c )． ∴AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23(b －c ) ＝23b ＋13c . 从而A 项正确．答案：A6．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 的延长线、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN→，则m ＋n 的值为(..) A ．1 B ．2 C.12 D.32解析：连接AO ，AO →＝12(AB →＋AC →) ＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M 、O 、N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2. 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知向量a 与b 的夹角是45°，则向量－2a 与－3b 的夹角是________．解析：－2a 、－3b 分别与a 、b 反向，它们所成的角与a 、b 所成的角为对顶角．答案：45°8．已知e 1，e 2是非零的不共线向量，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k 2e 2，且a ∥b ，则k ＝________.解析：∵a ∥b ，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k 2e 2， ∴a ＝λb ，即k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k 2e 2)． ∴k e 1＋e 2＝λe 1＋λk 2e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk 2，∴k 3＝1.∴k ＝1. 答案：19．向量a 在基底{e 1，e 2}下可以表示为a ＝2e 1＋3e 2，若a 在基底{e 1＋e 2，e 1－e 2}下可表示为a ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(e 1－e 2)，则λ＝________，μ＝________.解析：由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝52，μ＝－12.答案：52.－12三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10.如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB→＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →.解：易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →. 设CG→＝λCA →，则由平行四边形法则可得 CG→＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →，由于E ，G ，F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝14，从而CG →＝14CA →，从而AG →＝34AC →＝34(a ＋b )． 11.如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE 与BF 的交点，若AB→＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →，CG →. 解：DE→＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD → ＝a ＋12b －b ＝a －12b ， BF→＝AF →－AB →＝AD →＋DF →－AB → ＝b ＋12a －a ＝b －12a . 因为G 是△CBD 的重心，所以CG →＝13CA →＝－13AC →＝－13(AB →＋BC →)＝－a 3－b 3.12．已知△ABC 内一点P 满足AP →＝λAB →＋μAC →，若△P AB 的面积与△ABC 的面积之比为，△P AC 的面积与△ABC 的面积之比为，求实数λ，μ的值．解：如图，过P 作PM ∥AC ，PN ∥AB ，则AP→＝AM →＋AN →，即得AM→＝λAB →，AN →＝μAC →.作PG ⊥AC 于G ，BH ⊥AC 于H ，因为S △P AC S △ABC ＝14，所以PG BH ＝14.又△PNG ∽△BAH ，所以PG BH ＝PN AB ＝14，即AM AB ＝14，所以λ＝14，同理μ＝13.。

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——教学资料参考参考范本——浙江专版高中数学课时跟踪检测十九平面向量基本定理新人
教A版必修4
______年______月______日
____________________部门
层级一学业水平达标
1．已知▱ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为( )AD CD
A．30°B．60°
C．120° D．150°
解析：选D 如图，与的夹角为∠ABC＝150°.AD CD
2．设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
①与；②与；③与；④与.AD AB DA BC CA DC OD OB
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底．AD AB CA DC DA BC OD OB
3．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示＝( )AB AC AD
A．(a－b) B．(a＋b)
C．(b－a) D．b＋a
解析：选B 如图，AD是△ABC的中线，则D为线
段BC的中点，从而＝，即－＝－，从而＝(＋)＝(a＋
b)．BD DC AD AB AC AD AD AB AC
4．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )BC DC OC
A．(e1＋e2) B．(e1－e2)
C．(2e2－e1) D．(e2－e1)
解析：选A 因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.BC DC OC BC DC
5．(全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )BC CD
A．＝－＋AD AB4
AC
3
B．＝－AD AB4
AC
3
C．＝＋AD AB1
AC
3
D．＝－AD AB1
AC
3
解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为______．
解析：∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴解得∴x－y＝3.
答案：3
7．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝______.
解析：由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或.
答案：－2或1
3
8．如下图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b 为基底时，可表示为______，在以a，c为基底时，可表示为
______．AB AD BD AC AC
解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．BD
答案：a＋b 2a＋c
9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出
来．BM BC CN CA AP AB AB AC MN NP PM
解：＝－NP AP AN
＝－＝a－b，AB AC
MN＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，CN CM AC CB
PM＝－＝－(＋)＝(a＋b)．MP MN NP
10．证明：三角形的三条中线共点．
证明：如图所示，设AD，BE，CF分别为△ABC的三条中线，令＝a，＝b.则有＝b－a.AB AC BC
设G在AD上，且＝，则有＝＋＝a＋(b－a)＝(a ＋b)．AD AB BD
BE＝－＝b－a.AE AB
∴＝－＝－BG AG AB AD AB
＝(a＋b)－a＝b－a
＝＝.BE
∴G在BE上，同理可证＝，即G在CF上．CG CF
故AD，BE，CF三线交于同一点．
层级二应试能力达标
1．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基
底a，b表示为( )BD DC AB AC AD
A．(a＋b) B．a＋b
C．a＋b D．(a＋b)
解析：选C ∵＝2，∴＝.BD DC BD BC
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.AD AB BD AB BC AB AC AB AB
AC
2．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则
＝( )AD BE BC
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．－a＋b
解析：选B 设AD与BE交点为F，则＝a，＝b.所以＝＋＝b＋a，所以＝2＝a＋b.FD BF BD BF FD BC BD
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命
题中正确的是( )
A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，则λ1＝λ2＝0
B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C ．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R
D ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．
4．已知非零向量，不共线，且2＝x ＋y ，若＝λ (λ∈R )，则x ，y 满足的关系是( )OA OB OP OA OB PA AB
A ．x ＋y －2＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x ＋2y －2＝0
D ．2x ＋y －2＝0
解析：选A 由＝λ，得－＝λ(－)，PA AB OA OP OB OA 即＝(1＋λ)－λ.又2＝x ＋y ，OP OA OB OP OA OB ∴消去λ得x ＋y ＝2.
5．设e1，e2是平面内的一组基底，且a ＝e1＋2e2，b ＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a ＋________b.
解析：由解得⎩⎪⎨
⎪⎧
e1＝13a－23b，
e2＝13a＋13b.
故e1＋e2＝＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
3a＋13b
＝a ＋b. 答案：－13
6．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a 与c 的夹角为________．
解析：由题意可画出图形，在△OAB 中，
因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a 与c 的夹角为90°. 答案：90°
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a ＝e1－2e2，b ＝e1＋3e2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；
(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e1－e2的分解式； (3)若 4e1－3e2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R，使a ＝λb ，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得⇒⎩⎨
⎧
λ
＝1，λ
＝－23
.
∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb(m ，n∈R)，则 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m ＋n)e1＋(－2m ＋3n)e2. ∴⇒∴c ＝2a ＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa ＋μb ，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴⇒⎩⎨
⎧
λ＝3，μ＝1.
故所求λ，μ的值分别为3和1.
8．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：＝＋.AM AB AC (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．
(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设＝x ＋y ，求x ，y 的值．BO BM BN
解：(1)如图，由＝＋可知M ，B ，C 三点共线，AM
AB AC
令＝λ⇒＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ⇒λ
＝，所以＝，即面积之比为1∶4.BM BC AM AB BM AB BC AB AC AB
AB AC
(2)由＝x ＋y ⇒＝x ＋，＝＋y ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三
点共线⇒⇒BO BM BN BO BM BA BO BC BN ⎩⎪⎨
⎪⎧
x＝47
，y＝67.。