浙江省《高中数学必修5 第一章 正余弦定理》
高中数学必修5第一章《余弦定理》教案
课题: §1.1.2余弦定理（第1课时）授课教师：惠来第二中学陈金利教材：人教A版必修5第一章第一节一、教学目标1．知识与技能（1）能选用适当的方法证明余弦定理（主要是向量法）；（2）能从余弦定理得到它的推论；（3）能利用余弦定理及推论解三角形（两类）.2．过程与方法（1）经历利用向量的方法证明余弦定理的过程，体会向量与三角之间的关系；（2）培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力.3．情感态度与价值观（1）通过余弦定理与勾股定理的对比，体会特殊与一般的关系.（2）通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，理解事物之间的普遍联系与辩证统一.二、教学重点、难点重点：余弦定理及推论证明和其基本应用；难点：余弦定理证明的方法的选用以及必要性的体会.三、教学方法和手段教学方法：启发式教学（讲练相结合）教学手段：运用多媒体进行教学四、教学过程1.情景设置：隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC.2.讲授新课[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因∠C 、∠B 均未知，所以较难求边a .提问：我们可以从哪些角度来研究这个问题，得到一个关系式或计算公式？（老师引导学生从向量法及三角法得出关系式）引导学生用向量方法来研究这个问题，由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题.如图1．1-3，设=，=，=，那么-=，则)()(b a b a c c -⋅-=⋅= ⋅-⋅+⋅=2C ab b a cos 222-+=从而 C ab b a c cos 2222-+= (图1．1-3)同理可证 A bc c b acos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即A bc c b acos 2222-+= B ac c a bcos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= 引导学生解决情景问题：若测得：AB ＝１千米，AC ＝ 千米，∠060=A ，求山脚BC 的长度 ．解： 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：23A AC AB AC AB BC cos |||2||||222⋅⋅-+=47212312)23(122=⨯⨯⨯-+=27=∴BC222cos 2+-=b c a A bc222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角.思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC ∆中，090=c ，则0cos =c ，这时222b a c +=由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.[例题分析]例1.在△ABC 中，已知 ，求角A 、B 、C.例2.在△ABC 中，已知 ，求b 及A.例3.在△ABC 中， ，那么A 是（ ）A 、钝角B 、直角C 、锐角D 、不能确定提出问题：若222c b a +<呢？由学生回答，老师再进行总结.总结：设a 是最长的边，则 △ ABC 是钝角三角形 △ABC 是锐角三角形 △ABC 是直角角三角形例4.在三角形ABC 中，已知1413cos ,8,7===c b a ,求最大角的余弦值. [课堂练习]（1）在ABC ∆中，已知4:3:2sin :sin :sin=C B A求 C cos 的值.13,2,6+===c b a OB c a 45,26,32=+==222cb a +>222c b a +>⇔222c b a +<⇔222c b a +=⇔（2）已知13,34,7===c b a ，求最小的内角.（3）在ABC ∆中，若bc c b a++=222，求角A3.课堂小结： （1）余弦定理适用于任何三角形（2）余弦定理的作用：a 、已知三边，求三个角b 、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角c 、判断三角形的形状（3）由余弦定理可知：4.课后作业（1）课后阅读：课本第8页[探究与发现]（2）课时作业：第10页[习题1.1]A 组第3（1），4（1）题。
必修五第一章正、余弦定理
ABCCBA 一、正弦定理及其变形：二、余弦定理及其推论：余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba正弦定理：解两类三角形的问题：（1）已知两角及任一边（AAS/ASA ） （2）已知两边和一边的对角(SSA)余弦定理：解两类三角形的问题：（1） 已知两边及夹角。
(SAS)利用：2222cos a b c bc A =+-求解（2） 已知三边(SSS)利用：222cos 2+-=b c a A bc求解判断三角形解的情况2(sin sin sin a b c R R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(边化角公式）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C =（）(2),,222A B C A B C A B C πππ+++=+=-=-(1),,(a b c b c a a c b+>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）(3)sin()sin ,cos()cos sin cos ,cos sin2222A B C A B C A B C A B C+=+=-++==(4)sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）ABC b A BCcABCab例1．在∆ABC 中，已知a,b,A ，讨论三角形解的情况分析：先由sin sin b A B a ==A absin 可进一步求出B 可能有锐角和钝角两种情况； 则0180()C A B =-+, 从而sin a Cc A=1． 当A 为钝角或直角时， 设A=︒133 （1）.若a ≥b ，sin sin b AB a=<sinA 本来有可能是锐角、钝角 又因为a ≥b ,所以A>B,所以B 为锐角，所以三角形有且只有一解 （2）当a<b, sin sin b AB a=>sinA 有可能是锐角、钝角 又因为a<b,所以A<B,所以B>︒133，A+B>︒180,所以三角形无解 2．当A 为锐角时， （1）.若a ≥b ，sin sin b AB a=<sinA 本来有可能是锐角、钝角 又因为a ≥b ,所以A>B,所以B 为锐角，所以三角形有且只有一解 如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：分析：0<sin sin b AB a=1≤ , A<B,A 为锐角 （1）若sin a b A >，sin sin b AB =<1, 本来有可能是锐角、钝角，因为A<B,A 为锐角，则有两解；（2）若sin a b A =，sin sin b AB a ==1，B 为直角，则只有一解； （3）若sin a b A <，sin sin b AB =>1,则无解。
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
2019-2020年高中数学人教A版浙江专版必修5课件：第一章 1.1 1.1.1 正弦定理
[典例] 在△ABC中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求A，C，c.
[解]
由正弦定理及已知条件，有sin3A＝sin
425°，得∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝
bsin C sin B
＝
s2isnin457°5°＝
[活学活用] 在△ABC中，已知acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状． 解：由正弦定理，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，所以 acos A＝bcos B 可化为 sin A cos A＝sin Bcos B，sin 2A＝sin 2B，又△ABC 中， A，B，C∈(0，π)，所以 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，即 A＝B 或 A
[活学活用] 在△ABC中，c＝ 6，C＝60°，a＝2，求A，B，b. 解：∵sina A＝sinc C，∴sin A＝asicn C＝ 22. ∴A＝45°或A＝135°. 又∵c>a，∴C>A.∴A＝45°. ∴B＝75°，b＝cssiinnCB＝ 6si·nsin607°5°＝ 3＋1.
三角形形状的判断
(3)错误．在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是
无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定．
2．在△ABC中，下列式子与sina A的值相等的是
A.bc
B.ssiinn
B A
sin C C. c
c D.sin C
解析：选C 由正弦定理得，sina A＝sinc C，
所以sina A＝sinc C.
6＋ 2
2；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝
(人教新课标)高二数学必修5第一章 解三角形《正、余弦定理》精品课件
正弦定理的应用举例 一、已知两个角和一边
变式训练一
二、已知两个边和其中一边的一个对角
变式训练二
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断 三角形是否有解？有解的作出解答． (1)a＝7，b＝8，∠A＝105°； (2)a＝10，b＝20，∠A＝80°； (3)b＝10，c＝5，∠C＝60°； (4)a＝2，b＝6，∠A＝30°.
余弦定理的由来 /edu/ppt/ppt_playVideo.action?medi aVo.resId=55c96ff1af508f0099b1c5b6
高铁隧道招标，利用三角形确定隧道长度 /edu/ppt/ppt_playVideo.action? mediaVo.resId=55c97049af508f0099b1c5bc
A 5620
a 2 c 2 b 2 134.6 2 161.7 2 87.82 cosB 0.8398 , 2ac 2 134.6 161.7
B 3253
C 180 A B 180 5620 3253 9047
解三角形:
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形素的过程叫做解三角形. 说明： 根据初中学习的三角形全等，我们知道确定一个三角需要
三个条件，所以在利用正弦定理时要求已知两边和其中一 边的对角或者两角和一边，才可以进一步确定三角形其它 的边和角.
回忆一下直角三角形的边角关系? b a sin B sin A c c
两等式间有联系吗？
B
A c a b
a b c sin A sin B
sin C 1
C
a b c sin A sin B sin C
高中数学必修5第一章：解三角形
外接圆法
A
BOb CFra bibliotekB`B a
c
O
C
b
A
C′
A
ObC B` B
A O bC
B
一.正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦
的比相等，即
注意：
(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦 之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知， 正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数 量关系.
2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) a＝20cm，b＝11cm，B＝30o； (2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115o.
3.判断满足下列条件的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o 两解
(2)c=54, b=39, C=120o 一解
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余 弦定理的特例.
余弦定理及其推论的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其他角.
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41° ，解三 角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）. 解：方法一： 根据余弦定理，
用正弦定理试求，发现因A、B均
A
未知，所以较难求边c.
由于涉及边长问题，从而可以
考虑用向量来研究这个问题.
C
B
.
，
A
，
,
C
B
,
.
一、余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角 形的第三条边.
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C 变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A为钝角或直角时，a ≤b ，无解．2、三角形常用面积公式1．S ＝a •h a （h a 表示边a 上的高）；2．S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A ．3．S ＝r （a +b +c ）（r 为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1C．2D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B =b sin A ，则a =（）A．B ．C ．1D ．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R 是△ABC 外接圆半径）a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C变形形式①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝；③a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ；④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba≥ba ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A 为钝角或直角时，a ≤b ，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且（a +b ）2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为（）A ．4B ．3C ．4D ．6例2.设△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A ．B ．C ．或D ．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；的最大值．（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
必修五第一章第一节正弦定理和余弦定理
变形（4）： ；
变形（5）： 。
3.正弦定理的应用
（1）已知两角和任一边，求其他两边和另一角；
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边及其他两角。
二、余弦定理
1.余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
①
②
③
2.余弦定理的变形
解题后的思考：由已知条件确定三角形的形状，主要通过两个途径：①化角为边，通过代数式变形求出边与边之间的关系。②化边为角，利用三角恒等变形找出角与角之间的关系。一般情况下，利用三角恒等变形计算量会小一些。
例4：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，证明： 。
思路分析：条件中既有边又有角，条件需统一，另外△ABC中，内角和为 。
解答过程：令 ， ， ，
利用余弦定理 ， 。
用同样的方法可得， 。
因此， 。
解题后的思考：已知三角形三边的比，或已知三边的长度，都可用余弦定理解决，只是已知三边的比时，可引用参数 ，但在解题时可边 的长。
思路分析：本题已知的是两边和它们所对的两角的关系，在这种情况下往往可能不需要求出它们各自的值，通常可以考虑整体代入的方法。
二、重点、难点：
重点：正、余弦定理的发现、证明及简单应用。本小节内容通过实例提出问题，使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣；在探究过程中运用了由特殊到一般的方法，这种方法是数学发现的重要方法之一，要逐步学会善于运用这种方法去探索数学问题，提高创造能力。
难点：公式的灵活运用以及解的讨论。在解三角形的过程中，一方面要认真分析题目的已知条件，另一方面要深刻理解两个定理的本质，才有可能合理选择定理；当已知两边及其中一边的对角解三角形时，可根据三角形的边角关系或几何方法对解进行讨论。
必修5_第一章_正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题全新
正弦定理和余弦定理要点梳理1．正弦定理其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题． 2．三角形面积公式S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r.3．余弦定理：222222222a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abcos C ＝＋－，＝＋－，＝＋－.余弦定理可以变形为：cos A ＝222b c a2bc+-，cos B ＝222a c b 2ac +-，cos C ＝222a b c 2ab+-.4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角． 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．基础自测1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ 1 .2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.3．在△AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ 4或5 . 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( C )A ．2 2B ．8 2 C. 2 D.222sin sin sin a b cR A B C===题型分类 深度剖析题型一 利用正弦定理求解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断． 解: 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32.∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsin C sin B ＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsin Csin B ＝6－22.探究提高 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．变式训练1 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则A ＝6π解析 ∵A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3. 由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12.题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝b2a c-+.（1）求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练2已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且2A2cos+cos A=02. (1)求角A 的值； (2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2A 2cos+cos A=02，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12. ∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bcsin A ＝ 3.题型三 正、余弦定理的综合应用例3. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边22sin )()sin ,A C a b B -=-已知△ABC 外接圆半径为（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 面积的最大值.解: （1）∵△ABC 22sin )()sin ,A C a b B -=-且22))(,A C a b B -=-即∴由正弦定理得：22(),a c a b b -=-即222,a b c ab +-=由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-=2ab ab =12=，(0,)C π∈Q ，.3C π∴=（2）max 2S =+探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．变式训练3在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ， 即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．思想方法 感悟提高方法与技巧1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题．2．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明．4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．过关精练一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 2．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°3．在ABC ∆中，ABC S bc ABC ∆∆,35,20==的外接圆半径为3，则=a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．234．在ABC ∆中，已知,45,1,2ο===B c b 则a 等于（ ）A ．226- B ．226+ C1 D ．23-5．在ABC ∆中2,3,3,AB AC BA AC ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则A ∠等于（ ）A ．120°B ．60°C ．30°D ．150° 6．在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ， 则这个三角形的最大角为（ ）A ．ο30 B ．ο90 C ．ο120 D ．ο60 7．在△ABC 中,已知三边之比4:3:2::=cb a ，则=-CB A 2sin sin 2sin （ ）A ．1B ．2C ．2-D ．21 8．ABC ∆中，边c b a ,,的对角分别为A 、B 、C ，且A=2B ，32a b =，cos B =（ ）A ．21B ．31C ．32D ．43二、填空题9．在△ABC 中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC 的形状是 三角形10．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________. 11．在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A 、B 、C ，且B C A C A 222sin sin sin sin sin =⋅-+。
高中数学必修五 第一章余弦定理
【例】在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，
求证：a2 b2
c2
sin A B
. sin C
【规范解答】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
b2=a2+c2-2accosB，
∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.
整理得：a2 b2
c2
a cos B bcos A， c
【解析】∵c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，
∴［c2-(a2+b2)］2-a2b2=0，∴c2-(a2+b2)=±ab，
cos C a2 b2 ∴cC2=1210°或60°.
2ab
2
角形中最大内角，
由余弦定理
∴C=120°. cos C a2 b2 c2 1，
2ab
2
正、余弦定理的综合应用 【名师指津】正、余弦定理的综合应用
正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解 三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实 际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系 式的运用：
【例3】在△ABC中，若sinA-2sinBcosC=0，试判断△ABC的 形状.
【规范解答】方法一：∵sinA-2sinBcosC=0,∴由正弦定
理知a=2bcosC,再由余弦定理得 a a2 b2 c2 ,
2b
2ab
∴b2=c2,b=c,.故△ABC为等腰三角形.
方法二：由sinA=sin(B+C),∴有sinBcosC+cosBsinC2sinBcosC=0,即sinCcosB-cosCsinB=0,sin(CB)=0,∴C-B=0,即C=B.故△ABC为等腰三角形.
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课后测评
一、选择题
1. 在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）
B b A a A sin sin .= B b A B cos cos .= A b B a
C sin sin .= A b B a
D cos cos .= 2. 在ABC ∆中，已知,75,60,8︒=︒==C B a 则b 等于（ ）
3
32.
64.34.24.D C B A
3. 在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对应的边分别为a,b.若b B a 3sin 2=，则角A 等于（ ）
3
.4.6
.12.
ππππD C B A
4. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a,b,c,,45,2,︒===B b x a 若解该三角形有两解，则x 的取值范围是（ )
3
22.222.2.2.<<<<<>x D x C x B x A
5. 在ABC ∆中，,60,10,6︒===B c b 解此三角形的解的情况是（ ）
A. 一解
B.两解
C.无解
D.解的个数不能确定
6. 设锐角三角形ABC 的三个内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b 的取值范围是（ ）
A. (0,2) )3,2.(B )3,1.(C )2,2.(D
二、填空题
7. 已知ABC ∆外接圆的半径是2cm ，︒=60A ，则BC 的边长为___________ 8. 在ABC ∆中，__________,60,65,10=︒===B C c b 则 9. 在ABC ∆中，__________,2,30,45==︒=︒=b a B A 则 10.在ABC ∆中，已知__________sin sin ,3cos cos 3cos 的值为则C
A
b a
c B C A -=-
3
三、解答题
11.在ABC ∆中,.,60,2A a B a b 求角︒+==
12.在ABC ∆中,().,120,1||f BAC ABC ⋅==∠︒=∠=θθ，记 （1）求()θf 关于θ的表达式 （2）求()θf 的值域
13. 在ABC ∆中，已知.sin sin ),cos cos 3(cos )3(的值求A
B
A B c C b a -=⋅-
14.在锐角ABC ∆中，若.sin ,5
5
2sin ,54,45的值，求A c B b C ==︒=。