沪科2020版九年级数学上册第23章解直角三角形23.2第4课时坡度问题同步练习1
沪科九年级数学上册第23章2 第4课时 坡角、坡度问题
(3)若斜坡AB的坡度 i = 1∶2.5，l = 5 m，则 h =
B
h
C
l
A
知识回顾
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题)
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直
角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
k
x2 x1
α
O
x
1.如图，直线y=2x+1向上的方向与x轴的正方向所夹的锐角为α.那么
(1)tan α=
2
；(2) sin α=
2 5
5 ；(3) cos α=
y
α
O
x
5
5
.
2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 的 第 一 象 限 中 ， 有 一 点 P(x ， y) ， 记
r=|OP|= ² + ².
要计算斜坡AB的坡角α，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1：3；
要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=6 m，只要再分别求出AE和FD即可；
还要计算AB，在Rt△ABE中求解即可.
α
β
E F
A
23
6
B C
D
解：分别过点B、C作垂线，交AD于E、F点，垂足分别为E点、F点，则有
D
2.如图，水库大坝的横断面是四边形ABCD，BC∥AD，坝顶宽为6 m，
坝高为23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i'=1∶2.5，求：
(1)斜坡AB的坡角α的值(精确到1°)；
(2)坝底宽AD和斜坡AB的值(精确到0.1 m).
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 解直角三角形及方位角的应用
(2)求tan∠DAE的值．
知3－练
感悟新知
知3－练
解： (1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，∴BD＝，
感悟新知
知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角形 知2－练
例如3图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，∠A 4 3
＝60°，解这个直角三角形．
导引：先根据∠B＝90°－∠A求出∠B的
度数，然后根据sinA＝，求 BC 出BC的长，再运用勾股定理求A出BAC的长．
感悟新知
知2－练
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－60°＝30°.
第23章解直角三角形
23.2解直角三角形及其应用
第1课时解直角三角形及 方位角的应用
学习目标
1 课时讲解
已知两边解直角三角形、 已知一边及一锐角解直角三角形、 已知一边及一锐角的三角函数值解
直角三角形、方位角
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 已知两边解直角三角形
感悟新知
知4－练
2．一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°的方向，继续向南航行 30 海里 到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°的方 向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是( B )(结果
保留小数点后两位，参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)
九年级数学上册23-2解直角三角形及其应用第4课时坡度问题及一次函数k的几何意义课件新版沪科版
解：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F.
在 Rt△ABE 中，sin∠ABE＝AAEB， ∴AE＝ABsin∠ABE＝6sin74°≈5.77.
cos∠ABE＝BAEB， ∴BE＝ABcos∠ABE＝6cos74°≈1.65.
∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77.
解：过点作CF⊥AD于点F,得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.
∵ BE=5.8 m BE 1 , CF 1 ,
BC
AE 1.6 DF 2.5 i=1:1.6
∴ AE=9.28 m ，DF=14.5 m. A α E F
∴ AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6 m.
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
6
B
C
i=1:3 A
E
i=1:2.5 23 α FD
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别
为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
i BE 1，AE 3BE 323 69m.
AE 3
h 水平面
2. 坡度 (或坡比) 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比 叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l . 坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
3. 坡度与坡角的关系
i h tan
l
即坡度等于坡角的正切值.
坡面
i= h : l
h
α
l 水平面
在 Rt△BDF 中，tan∠DBF＝DBFF，
∴BF＝tan∠DFDBF≈ta5n.5757°≈4.04.
沪科版数学九年级上册23.2解直角三角形及其应用同步练习(含答案)
23.2 解直角三角形及其应用一、选择题（共4题）1．如图，已知一商场自动扶梯的长为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ的值等于()．A． B． C． D．2．如图，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD ＝145°，BD＝500 m，∠D＝55°，要A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是()．A．500sin 55° m B．500cos 55° mC．500tan 55° m D．3.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A. B. C. D.4.如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα)二、填空题（共5题）5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是__________ m.6．如图，小明在操场上距离旗杆18 m的C处，用测角仪测得旗杆AB的顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.4 m，那么旗杆AB的高为________ m．(保留三位有效数字)7.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）三、计算与解答题（共4题）8. 如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程(计算过程和结果均不取近似值)．9．如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得AC的距离是6 km，仰角是43°.1 s后，火箭到达B点，此时测得BC的距离是6.13 km，仰角为45.54°，解答下列问题：(1)火箭到达B点时距离发射点有多远(精确到0.01 km)?(2)火箭从A点到B点的平均速度是多少(精确到0.1 km/s)?10．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5 m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．(结果精确到0.1 m)11．关于三角函数有如下的公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，①cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，②tan(α＋β)＝(1－tan α·tan β≠0)．③利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan 105°＝tan(45°＋60°)＝＝－(2＋)．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α为60°，底端C点的俯角β为75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高．参考答案1.A2.解析：∵∠E＝180°－55°－35°＝90°，∴DE＝BD·cos D＝500cos 55°(m)．答案：B3.解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为.答案：C4.解析:过D点作AB的垂线交AB于E点，在Rt△ADE中,∠ADE=α,DE=a,∴AE=a·tanα.在Rt△ABC中,∠ACB=β,BC=a,∴AB=a·tanβ.∴CD=AB－AE=a·tanβ－a·tanα.答案:D5.6.解析：AE＝DE·tan 30°＝18×≈10.4(m)，EB＝1.4 m，∴AB＝AE＋BE＝10.4＋1.4＝11.8(m)．答案：11.87.解析:AB=BC·tanC=12(米).答案:128.解：由已知，可得∠ACB=30°.在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=500.∵tan∠ACB=，∴BC==.因此该军舰行驶的路程为米．9.解：(1)在Rt△OCB中，sin 45.54°＝，OB＝6.13×sin 45.54°≈4.38(km)，答：火箭到达B点时距发射点约4.38 km.(2)在Rt△OCA中，sin 43°＝，∴OA＝6×sin 43°≈4.09(km)，v＝(OB－OA)÷t＝(4.38－4.09)÷1≈0.3(km/s)．答：火箭从A点到B点的平均速度约为0.3 km/s.10.解：小亮的说法正确．在△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，BA＝10，∴tan∠BAD＝.∴BD＝10×tan 18°.∴CD＝BD―BC＝10×tan 18°－0.5.在△ABD中，∠CDE＝90°－∠BAD＝72°，∵CE⊥ED，∴sin∠CDE＝.∴CE＝sin∠CDE×CD＝sin 72°×(10×tan 18°－0.5)≈2.6(m)．答：CE为2.6 m，即限高为2.6 m.11.解：过点D作DE⊥AB于E，依题意，在Rt△ADE中，∠ADE=∠α=60°，AE=ED·tan 60°=BC·tan 60°=.在Rt△ACB中，∠ACB=∠β=75°，AB=BC·tan 75°.∵tan 75°=tan(45°+30°)==，∴AB=42×(2+)=84+ ，CD=BE=AB-AE=84+ =84(米)．答：建筑物CD的高为84米．。
初中数学沪科版九年级上册23.2 解直角三角形及其应用
1.计算：sin248 ° ＋ sin242 ° 2．cos 255 ° ＋ cos235 ° =_______ 3．sin35°·cos55°十cos35°·sin55°＝
_______ 4．cos2α+sin242 ° =1，则锐角α=______.
谢谢大家！
互为余角的三角函数关系．
已知∠A+∠B＝90° 则有sinA= sin（90° －_________）
=cos_________ cosA=cos（90 °－_________）
=sin_________
（四）、三角函数的大小比较
同名三角函数的大小比较（角为锐角）
1．正弦、正切是增函数． 正弦是增函数，三角函数值随角的增大
则sin∠OAB=________， cos∠OAB=_________，
tan∠OAB=_________， sin∠OBA=__________， cos∠OBA=_________， tan∠OBA=_________.
（二）、特殊角三角函数值的计算 (tan 30 1)2 ____
（三）、运用三角函数的关系化简 或求值:
二、巩固练习： 1、计算 2、选择题
3、应用题：如图1－1－20，在高2米， 坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的 长度至少需多少米？（精确到0．1米）
三、课后探究，拓展延伸：
在直角三角形ABC中，∠C＝90°，表 示出sinA，cosA，猜测sin2 A+cos2A的值， 并加以证明。
∠A的正弦：sinA = ,
∠A的余弦：cosA = ,
∠A的正切：tanA =
,
2、（1）坡度（或坡比）是坡面的 高度 （h）和 长度（l）的比。记作i,即i =
九年级数学上册23-2解直角三角形及其应用第4课时坡度问题教案新版沪科版
23.2解直角三角形及其应用第4课时坡度问题教学目标【知识与技能】会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法.【情感态度价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义. 教学重难点【教学重点】理解坡度的概念和有关术语。
【教学难点】解决有关坡度的实际问题。
课前准备课件、教具等。
教学过程一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如图所示．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题例1 一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s ，车速是2m/s ，汽车行驶的水平距离是40m ，则这个斜坡的坡度是________．解析：坡面距离为30×2＝60m ，水平距离为40m ，∴铅直高度为602－402＝205(m)，∴坡度i ＝205∶40＝5∶2.方法总结：根据坡度的定义i ＝h l，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h .例2 如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m解析：由题知，水平距离l ＝4m ，i ＝0.75，∴铅直高度h ＝l ·i ＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为32＋42＝5(m)．故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．例3 如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC 与AC 的和，而由坡度的定义知BC AC ＝11.5，所以AC 可求． 解：∵BC AC ＝11.5，∴AC ＝1.5BC ＝1.5×3＝4.5(米)． ∴AC ＋BC ＝4.5＋3＝7.5(米)．∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)．∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)．答：铺完整个楼梯共需90元．三、板书设计坡度(坡比)的问题：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝h ：l ，坡面与水平面的夹角α叫坡角．教学反思本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．。
沪科版九年级数学上册课件：第23章 解直角三角形 23.2第4课时 坡度、坡角在解直角三角形中的运用
9．如图，河堤横断面为梯形，上底为4 m，堤高为6 m，斜坡AD的坡 比为1∶3，斜坡CB的坡角为45°，则河堤横断面的面积为( B)
A．48 m2 B．96 m2 C．84 m2 D．192 m2
二、填空题(每小题5分，共10分) 10．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的 起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是___2_1_0__ cm.
Rt△CFD 中，i′＝CF∶FD＝1∶1，∴FD＝CF＝23(m)，∴AD＝AE＋EF
＋FD＝23 3＋6＋23＝29＋23 3≈29＋23×1.73≈68.8(m)．答：斜坡 AB 长
46 m，坡角α为 30°，坝底宽 AD 约为 68.8 m
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 8．在索契冬奥会上，一运动员乘滑雪板沿坡比为 1∶ 3的斜坡笔直 滑下，滑下的距离 s(m)与时间 t(s)间的关系为 s＝10t＋2t2.若滑到坡底的时 间为 4 s，则此人下降的高度为( C ) A．72 m B．36 3 m C．36 m D．18 3 m
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午1时43分21.11.813:43November 8, 2021
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一1时43分9秒13:43:098 November 2021
【综合应用】 14．(14分)一段路基的横断面是直角梯形，如图，已知原来坡面的坡角α 的正弦值为0.6，现在不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造 ，使坡高变小，达到如图所示的技术要求，试求出改造后坡面的坡度是多 少？
沪科版数学九年级上册同步课时训练 23.2 第4课时 坡度、坡角问题及坐标系中直线与x轴的夹角
沪科版数学九年级上册同步课时训练第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其应用第4课时 坡度、坡角问题及坐标系中直线与x 轴的夹角1. 一只小蚂蚁沿着倾斜角为α的斜坡前进了m cm ，那么它上升的高度是( ) A. m sin αcm B. m cos αcm C. m tan αcm D. m tan αcm 2. 某坡面的坡度是1∶3，则此坡的坡角是( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 3. 直线y ＝x －2的向上方向与x 轴正方向所夹的锐角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为( ) A. 4m B. 3m C.433m D. 43m第4题 第5题5. 某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动.如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD 的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A. 8.1米B. 17.2米C. 19.7米D. 25.5米 6. 直线y ＝52x ＋1与直线y ＝83x ＋2的向上方向与x 轴正方向所成的角分别为α，β，则( )A. α＝βB. α＜βC. α＞βD. 无法确定 7. 直线y ＝3x ＋5的向上方向与x 轴正方向所夹的锐角为α，则tan α＝ .8. 已知一次函数y ＝kx ＋b 经过点(1，3)和点(3，5).则该直线的向上方向与x 轴正方向所夹的锐角的正切值为 .9. 直线x ＝3向上的方向与x 轴的正方向所夹的角为 .10. 如图，小华站在河岸上的G 点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时，测得小船C 的俯角是∠FDC ＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG ＝0.7米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一个平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长为米.(结果保留根号)11. 已知正比例函数y＝kx经过点(33，9)，求直线向上的方向与x轴正方向所夹的夹角α.12. 已知直线y＝kx＋b经过点(－5，11)，且向上的方向与x轴正方向所夹的锐角为45°，求直线表达式.13. 某校加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，为缅怀先烈足迹，组织学生参观滨湖渡江战役纪念馆.渡江战役纪念馆实物如图①所示.某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能否测量斜坡的长和馆顶的高度？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图②，经查资料，获得以下信息：斜坡AB的坡比i＝1∶3，BC＝50m，∠ACB＝135°，求AB的长及过点A作的高是多少.(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图①图②14. 已知直线y＝kx＋b经过点(－3，m)和点(m，2)，且向上的方向与x轴正方向所夹的锐角为30°，求直线表达式.15. 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠F AE＝30°，求大树的高度.(结果保留整数.参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，3≈1.73)16. 某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，坡角∠BAD＝68°.为了减缓坡面防止滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保不滑坡.(1)求改造前坡顶到地面的距离BE的长；(精确到0.1m)(2)如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC左移11m到F点处，像这样改造能确保安全吗？(参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin58°12′≈0.85，tan49°30′≈1.17)17. 如图，斜坡AP的坡度为1∶2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求(1)坡顶A到地面PQ的距离；(2)古塔BC的高度.(结果精确到1米)(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)18. 某市为提高某段海堤的防海潮能力，计划将长96m的一堤段(原海堤的横断面形如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m，背水坡坡度由原来的1∶1改成1∶2，已知原背水坡长AD＝8.0m，求完成这一工程所需的土方，要求保留两个有效数字.(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)1. A2. A3. B4. C5. A6. B7. 38. 19. 90° 10. 8－5.511. 解：将(3，9)代入y ＝kx ，得9＝3k ，k ＝，∴tan α＝，又α是锐角，∴α＝60°.12. 解：∵k ＝tan45°＝1，又直线y ＝kx ＋b 过点(－5，11)，∴－5＋b ＝11，b ＝16，∴所求直线表达式为y ＝x ＋16.13. 解：过点A 作AD ⊥BC 交其延长线于点D ，∵∠ACB ＝135°，∴∠ACD ＝45°，∴△ADC 为等腰直角三角形，设AD ＝x ，则CD ＝x ，在Rt △ADB 中，BD ＝50＋x ，∵斜坡AB 的坡比i ＝1∶，∴x ∶(50＋x )＝1∶，解得x ＝－150≈68.5，∴AD ≈68.5.∵在Rt △ABD 中，∠B ＝30°，∠D ＝90°，∴AB ＝2AD ≈137.0.答：AB 的长约为137.0m ，过点A 作的高约是68.5m.14. 解：∵k ＝tan30°＝33，又直线过点(－，m )和(m ，2)，∴解得3∴所求直线表达式为y ＝33x ＋23.15. 解：延长BD 交AE 于点G ，过点D 作DH ⊥AE 于点H .由题意知：∠DAE ＝∠BGA ＝30°，DA ＝6，∴GD ＝DA ＝6.∴GH ＝AH ＝DA ·cos30°＝6×23＝3.∴GA ＝6.设BC 的长为x 米.在Rt △GBC 中，GC ＝tan ∠BGC BC ＝tan30°x ＝x .在Rt △ABC 中，AC ＝tan ∠BAC BC ＝tan48°x .∵GC －AC ＝GA ，∴x －tan48°x＝6.∴x ≈13.即大树的高度约为13米.16. 解：(1)在Rt △ABE 中，AB ＝26，∠BAD ＝68°，∵sin ∠BAD ＝AB BE，∴BE ＝AB ·sin ∠BAD ＝26×sin68°≈24.2(m).(2)过点F 作FM ⊥AD 于点M ，连接AF .∵BC ∥AD ，BE ⊥AD ，BF ＝11，∴FM ＝BE ＝24.2，EM ＝BF ＝11.在Rt △ABE 中，∵cos ∠BAE ＝AB AE ，∴AE ＝AB ·cos ∠BAE ＝26×cos68°≈9.62.∴AM ＝AE ＋EM ＝9.62＋11＝20.62.在Rt △AFM 中，∵tan ∠F AM ＝AM FM ＝20.6224.2≈1.17，∴∠F AM ＝49°30′＜50°.∴这样改造能确保安全.17. 解：(1)过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H .∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，∴PH AH ＝2.41＝125.设AH ＝5k ，则PH ＝12k .由勾股定理，得AP ＝13k .∴13k ＝26，解得k ＝2，∴AH ＝10.∴坡顶A 到地面PQ 的距离为10米.(2)延长BC 交PQ 于点D .由(1)可得PH ＝24.∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ，∴四边形AHDC 是矩形，∴CD ＝AH ＝10，AC ＝DH .∴∠BPD ＝45°，∴PD ＝BD .设BC ＝x ，则x ＋10＝24＋DH ，∴AC ＝DH ＝x －14.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝76°.tan76°＝AC BC ，即x －14x ≈4.01，解得x ≈19.∴古塔BC 的高度约为19米.18. 解：作EG ⊥FB 于点G ，DH ⊥FB 于点H ，设堤高为h ，则EG ＝DH ＝h .由tan ∠DAH ＝1∶1＝1，得∠DAH ＝45°.∴h ＝DH ＝AD sin ∠DAH ＝8sin45°＝8×22＝4，∴AH ＝DH ＝4，由tan F ＝EG ∶FG ＝1∶2，得FG ＝2EG ＝2h ＝8，∴F A ＝FG －AG ＝8－(4－1.6)＝4＋1.6，∴海堤横断面增加的面积：S 梯形F ADE ＝21(ED ＋F A )·h ＝21(4＋3.2)×4≈25.0(m 2)，∴工程所需土方＝96×S 梯形F ADE ≈96×25.0＝2400＝2.4×103(m 3).答：完成这工程约需土方2.4×103m 3.。
沪科初中数学九年级上册《23.2 解直角三角形及其应用》精品课件 (4)
4:由于过度采伐森林和破坏植被,使我国某些地区受到 沙尘暴的侵袭,近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正 东方向400km的B处,正在向正西北方向转移(如图所示)， 距沙尘暴中心300km的范围内将受到其影响.问A市是否 会受到这次沙尘暴的影响?
北 D
C
450
东
A
B
最新初中数学精品课件设计
探究二：
33.7
i=1:1.5 Bα
AD Rt△CDE中，∠CED=90° tan DE i 1: 3 CE
最新初中数学精品课件设计18.4
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度=______；
______，坡角α ______度．
（3）一段河坝的横断面为等腰三角形ABCD，试 根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD。（单 位是米，结果保留根号）
A高楼
lB
最新初中数学精品课件设计C
解：(1)过点A作AD垂直于BC，垂足为 D
ABC 300 , AB 160 米
在RtABD中，解得AD 80米 100米, 所以受噪声影响。 以点A为圆心，100米长为半径画圆弧分别交BC于E，F两点 线段EF为受影响的路段. 2.在RtAED中，由勾股定理求出ED 60米，EF 2ED 120米 120 180 2 分钟 40秒
∴灯塔C处在观察站A的北偏西15° 的方向
最新初中数学精品课件设计
C
A
D
B
B
A D
C
E
温 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如 馨 在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角 提 三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题， 示 常通过作辅助线构造直角三角形来解.
上海科技版中学数学九年级上第23章 解直角三角形23
第23章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数 1 锐角的三角函数第2课时 正弦与余弦教学目标1.使学生理解锐角正弦、余弦的定义.2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值.教学重难点重点：理解锐角正弦、余弦的定义；难点：求直角三角形中锐角的正弦、余弦值.教学过程旧知回顾【问题】什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，坡面的铅直高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的坡度，记作：i ，即i ＝hl.新课讲授1.如图，(1)Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2有什么关系？(2)BC AB 和B 1C 1AB 1有什么关系？ (3)如果改变B 1C 1所在的位置(如B 2C 2)，BC AB 和B 2C 2AB 2有什么关系？(4)由此你得出什么结论？解：(1) Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2； (2)BC AB ＝B 1C 1AB 1； (3)BC AB ＝B 2C 2AB 2； (4)∠A 一定，其对边与斜边的比一定.2.什么叫∠A 的正弦？什么叫∠A 的余弦？解：如图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝BC aAB c＝.类似地，如图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A教学反思的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝AC bAB c＝.锐角的正切、正弦、余弦都叫做锐角A 的三角函数. 典型例题例1 如图，在Rt △ABC 中，两直角边AC ＝12，BC ＝5，求∠A 的各个三角函数.学生独立完成，学生代表回答，教师补充完善.解：在Rt △ABC 中， AC ＝12，BC ＝5，∠C ＝90°，得AB ＝13. ∴sin A ＝513BC AB ＝， cos A ＝1213AC AB ＝， tan A ＝512BC AC ＝. 即学即练1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3，c ＝5，求sin A 和tan A 的值.2. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为_____. 答案：1.解：在Rt △ABC 中，c ＝5，a ＝3，∴b ＝c 2－a 2＝52－32＝4， ∴ sin A ＝a c ＝35，tan A ＝a b ＝34. 学生归纳，教师总结解题思路：先根据勾股定理求出b 的长，再根据锐角三角函数的定义求解. 解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值. 2.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sin A ＝a c ，tan B ＝ba，a 2＋b 2＝c 2. 由sin A ＝35知，若设a ＝3x （x >0），则c ＝5x . 结合a 2＋b 2＝c 2，得b ＝4x .所以tan B ＝b a ＝4x 3x ＝43. 学生归纳，教师总结解题思路：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，教学反思根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值.典型例题例2 如图，在平面直角坐标系内有一点P (3，4)，连接OP ，求OP 与x 轴正方向所夹锐角α的各个三角函数.解：过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q .在Rt △PO Q 中， O Q ＝3，P Q ＝4，得OP＝5， ∴sin α＝45P OP ＝Q ，cos α＝35O OP ＝Q ，tan α＝43P OP ＝Q . 即学即练如图，已知点P 在第一象限，其坐标是(a ，b )，求cos α.解：过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为点H . 在Rt △OPH 中，∵PH ＝b ，OH ＝a ，∴OP ＝OH 2＋PH 2＝a 2＋b 2，∴ cos α＝OH OP ＝aa 2＋b2.学生归纳，教师总结解题思路：也可以过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，注意点P (a ，b )到x 轴的距离是|b|，到y 轴的距离是|a|，若点P 不在第一象限，则要注意横、纵坐标的符号.课堂练习1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值（ ）A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的12C.扩大为原来的4倍D.不变2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，那么cos B 的值是（ ） A.45B.35C.34D.433.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是（ ） A.sin A ＝1213 B.cos A ＝1213教学反思C.tan A ＝512 D.tan B ＝1254.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝35，求cos A 和tan B 的值.参考答案 1.D 2.A 3.A 4.解：∵ sin A ＝BCAB，∴AB ＝56sin 3BC A ⨯＝ ＝10.又AC＝8，∴ cos A ＝45AC AB = ，tan B ＝43AC BC ＝ . 课堂小结如图，在Rt △ABC 中，sin A ＝A aA c∠=∠的对边的斜边，cos A ＝A bA c ∠=∠的邻边的斜边，tan A ＝A aA b∠=∠的对边的邻边.布置作业教材第116页练习 T1，T 2，T 5，T 6板书设计1. 正弦、余弦的定义2.例13.例24.练习教学反思。