[配套K12]2016-2017学年高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 2 一般形式的柯西不等
高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式高效整合 新人教A版选修4-5(2021年整理)
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第三讲柯西不等式与排序不等式一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若a,b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是（)A．[－25，2错误!］B．［－2错误!，2错误!]C．［－错误!,错误!] D．[－错误!，错误!］解析：由（a2＋b2）（1＋1)≥(a＋b）2,所以a＋b∈[－2错误!,2错误!]，故选A.答案：A2．若x21＋x错误!＋…＋x错误!＝1，y错误!＋y错误!＋…＋y错误!＝1，则x1y1＋x2y2＋…＋x n y n 的最大值是（）A．2 B．1C．3 D。
错误!解析:由（x1y1＋x2y2＋…＋x n y n)2≤(x错误!＋x错误!＋…＋x错误!)(y错误!＋y错误!＋…＋y错误!）＝1，故选B。
答案：B3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品,则至少要花（)A．300元B．360元C．320元D．340元解析：由排序原理知，反序和最小为320，故选C。
答案:C4．已知a,b，c为非零实数,则(a2＋b2＋c2）错误!的最小值为（）A．7 B．9C．12 D．18解析：由（a2＋b2＋c2)错误!≥错误!2＝（1＋1＋1）2＝9，∴所求最小值为9，故选B.答案：B5．设a，b，c≥0,a2＋b2＋c2＝3,则ab＋bc＋ca的最大值为( ）A．0 B．1C．3 D.错误!解析：由排序不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac,所以ab＋bc＋ca≤3.故应选C。
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式
二 一般形式的柯西不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）.定理 3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式 定理 设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni ini ini ii ba b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=nn b a. 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=ii ni i ib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=i i i ni iib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是：（1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1;（2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一： 用柯西不等式证明不等式 例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++ >0.思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）>1,∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a ,故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++ >0.方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二： 用柯西不等式证明条件不等式 例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++ )·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］ ［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三： 用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b+c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2.由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x b x a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2.当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xb x a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xb x a cos sin +） ≥(x b x b x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=x bx a cos sin +≥(a 32+b 32)32. 于是y=xbx a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究 思想方法探究问题 试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .探究过程:由柯西不等式可知(a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以na a a n 221)(+++ ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .不等式na a a na a a nn2222121+++≤+++ ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a 21≤na a a n a a a nn2222121+++≤+++ ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a -c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a -c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4. 人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+a c b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可. 探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式讲义含解析新人教A选修4_5_
一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有(x1－x3)2＋(y1－y3)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．[例1] 已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：a2cos2θ＋b2sin2θ≥(a ＋b )2.[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin 2θ＋cos 2θ”，然后用柯西不等式证明．[证明] ∵a2cos2θ＋b2sin2θ＝⎝⎛⎭⎪⎫a2cos2θ＋b2sin2θ(cos 2θ＋sin 2θ)≥⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ2＝(a ＋b )2，∴(a ＋b )2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2≥(a 1＋a 2)2.证明：∵(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2＝[(a1b1)2＋(a2b2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a1b12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a1b1·a1b1＋a2b2·a2b22＝(a 1＋a 2)2. ∴原不等式成立． 2．设a ，b ，c 为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式，得 a2＋b2·12＋12≥a ＋b ， 即2·a2＋b2≥a ＋b . 同理：2·b2＋c2≥b ＋c ， 2·a2＋c2≥a ＋c ， 将上面三个同向不等式相加得：2()a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥2(a ＋b ＋c ) ∴ a2＋b2＋ b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 3．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a22－a ＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4.∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a)＋(2－b)＝2. ∴原不等式成立.[例2] 求函数y ＝3sin α＋4cos α的最大值．[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解] 由柯西不等式得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2α)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α4>0即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值的注意点(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x 2＋y 2＝1，求2x ＋y 的最大值．解：∵2x ＋y ＝2×2x ＋1×y ≤(2)2＋12×(2x)2＋y2＝3×2x2＋y2＝3，当且仅当x ＝y ＝33时取等号． ∴2x ＋y 的最大值为 3.5．求函数y ＝x2－2x ＋3＋x2－6x ＋14的最小值． 解：y ＝(x －1)2＋2＋(3－x)2＋5，y 2＝(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)2＋2][(3－x)2＋5]≥(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)(3－x )＋10]＝[(x －1)＋(3－x )]2＋(7＋210)＝11＋210.当且仅当x －13－x ＝25，即x ＝32＋52＋5时等号成立．此时y min ＝11＋210＝10＋1.1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的大小关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选A 设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b)， 则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝(ax)2＋(by)2·(a)2＋(b)2＝ax2＋by2·a ＋b ＝ ax2＋by2， ∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q .2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ]C ．[－10，10 ]D ．(－5，5)解析：选A (a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∵a 2＋b 2＝10， ∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5.3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536D.3625解析：选B (2x 2＋3y 2)[(3)2＋(2)2]≥(6x ＋6y )2＝[6(x ＋y )]2＝6， 当且仅当x ＝35，y ＝25时取等号，即2x 2＋3y 2≥65.故2x 2＋3y 2的最小值为65.4．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：选B 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x)2＝5，当且仅当x ＝265时取等号．5．设xy >0，则⎝⎛⎭⎪⎫x2＋4y2⎝ ⎛⎭⎪⎫y2＋1x2的最小值为________．解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y2≥x ·1x ＋2y ·y 2＝9，当且仅当xy ＝2时取等号． 答案：96．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________，此时b ＝________. 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18， 当且仅当存在实数k ， 使a ＝kb 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18， ∴a ·b 的最小值为－18， 此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 答案：－18 (4，－2，－4)7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号，故P ＝2x ＋y 的最大值为11. 答案：118．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝2.求证：1x ＋1y ≥2.证明：1x ＋1y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝12[ (x)2＋(y)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x · 1x ＋y ·1y 2＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xy＝y x ，x ＋y ＝2时等号成立，此时x ＝1，y ＝1.所以1x ＋1y≥2.9．若x 2＋4y 2＝5，求x ＋y 的最大值及此时x ，y 的值． 解：由柯西不等式得[x 2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≥(x ＋y )2，即(x ＋y )2≤5×54＝254，x ＋y ≤52.当且仅当x 1＝2y12，即x ＝4y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝5，x ＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－12(舍去)．∴x ＋y 的最大值为52，此时x ＝2，y ＝12.10．求函数f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x 的最大值，并求出相应的x 的值． 解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin2x)， 则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x ＝|m ·n |≤|m |·|n |＝cos2x ＋1＋sin2x ·32＋42 ＝52，当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”．此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0.解得sin x＝75，cos x＝325.故当sin x＝75，cos x＝325时．f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值5 2.。
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式
一二维形式的柯西不等式对应学生用书P291．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y22(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有x 1－x32＋y1－y32＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x22＋y1－y22.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．对应学生用书P29[例1] 已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ≥(a ＋b )2. [思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin 2θ＋cos 2θ.”然后用柯西不等式证明．[证明] ∵a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ) ≥⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ2＝(a ＋b )2，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1. 证明：由柯西不等式得(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝1， ∴|ax ＋by |≤1.2．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2.证明：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎪⎫a 2b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2. 3．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式：a 2＋b 2·12＋12≥a ＋b ，即2·a 2＋b 2≥a ＋b . 同理：2·b 2＋c 2≥b ＋c ， 2·a 2＋c 2≥a ＋c ，将上面三个同向不等式相加得：2()a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c ) ∴ a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2≥ 2·(a ＋b ＋c ).[例2] 求函数y ＝3sin α＋4cos α的最大值．[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解] 由柯西不等式得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α>0即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x 2＋y 2＝1，求2x ＋y 的最大值． 解：2x ＋y ＝2×2x ＋1×y ≤22＋12×2x2＋y 2＝3×2x 2＋y 2＝ 3.当且仅当x ＝y ＝33时取等号． ∴2x ＋y 的最大值为 3.5．已知2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值． 解：∵(4x 2＋9y 2)(22＋22)≥(4x ＋6y )2＝4， ∴4x 2＋9y 2≥12.当且仅当2×2x ＝3y ×2，即2x ＝3y 时等号成立． 又2x ＋3y ＝1，得x ＝14，y ＝16，故当x ＝14，y ＝16时，4x 2＋9y 2的最小值为12.6．求函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值及此时x 的值． 解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得(x －6＋12－x )2≤(12＋12)[(x －6)2＋(12－x )2]＝2(x －6＋12－x )＝12， 即x －6＋12－x ≤2 3. 故当x －6＝12－x 时即x ＝9时函数f (x )取得最大值2 3.对应学生用书P311．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝ax2＋by2·a2＋b2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ ax 2＋by 2，∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q . 答案：A2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ] C ．[－10，10 ]D ．(－5，5)解析：(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∵a 2＋b 2＝10，∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5. 答案：A3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65C.2536D.3625解析：(2x 2＋3y 2)[(3)2＋(2)2]≥(6x ＋6y )2＝[6(x ＋y )]2＝6，(当且仅当x ＝35，y ＝25时取等号)即2x 2＋3y 2≥65.答案：B4．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×x －52＋6－x2＝5(当且仅当x ＝265时取等号)．答案：B5．设xy >0，则⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2·⎝⎛⎭⎪⎫y 2＋1x2的最小值为________．解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y·y 2＝9.(当且仅当xy ＝2时取等号)答案：96．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________，此时b ＝________. 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤－2＋12＋22×6＝18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18， ∴a ·b 的最小值为－18， 此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 答案：－18 (4，－2，－4)7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11⎝⎛当且仅当x ＝411，⎭⎪⎫y ＝311时取等号， 于是2x ＋y ≤11. 答案：118．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝2.求证：1x ＋1y≥2.证明：1x ＋1y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝12[ (x )2＋(y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x · 1x ＋y ·1y 2＝2， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xy＝y x ，x ＋y ＝2，时等号成立，此时x ＝1，y ＝1.所以1x ＋1y≥2.9．解方程4x ＋3＋2 1－2x ＝15. 解：15＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2·2x ＋32＋2 1－2x 2≤[(2)2＋22]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋1－2x2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋32＋1－2x ＝6×52＝15. 其中等号成立的充要条件是2x ＋322＝1－2x2， 解得x ＝－13.10．试求函数f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x 的最大值，并求出相应的x 的值． 解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin 2x )则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x ＝|m ·n |≤|m |·|n |＝cos 2x ＋1＋sin 2x ·32＋42 ＝5 2当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”． 此时，3 1＋sin 2x －4cos x ＝0. 解得sin x ＝75，cos x ＝325. 故当sin x ＝75，cos x ＝325时． f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x 取最大值5 2.。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式本讲知识归纳与达标验收讲义含解析新人教A选修4_5
第三讲 柯西不等式与排序不等式考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，但也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验1．(2017·江苏高考)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.2．(2015·陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤ [(3)2＋12][(4－t)2＋(t)2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t)max ＝4.柯西不等式的一般形式为(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1，2，…，n )，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．[例1] 已知a ，b 为正实数，a ＋b ＝1，x 1，x 2为正实数． (1)求x1a ＋x2b ＋2x1x2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.[解] (1)∵a ，b 为正实数，a ＋b ＝1，x 1，x 2为正实数， ∴x1a ＋x2b ＋2x1x2≥33x1a ·x2b ·2x1x2＝332ab ≥ 332⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝6，当且仅当x1a ＝x2b ＝2x1x2，a ＝b ，即a ＝b ＝12，且x 1＝x 2＝1时，x1a ＋x2b ＋2x1x2有最小值6.(2)证明：∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，x 1，x 2为正实数， ∴(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax1)2＋(bx2)2][(ax2)2＋(bx1)2]≥(a2x1x2＋b2x1x2)2＝x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2时取等号.排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．[例2] 在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.[证明] 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3，①又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，有 0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.②由①②得原不等式成立.有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．[例3] 已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．[解] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[(5a )2＋(3b )2] ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b 即a ＝38，b ＝58时取等号．∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1.∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1. [例4] 已知a ＋b ＋c ＝1.(1)求S ＝2a 2＋3b 2＋c 2的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值； (2)若2a 2＋3b 2＋c 2＝1，求c 的取值范围． [解] (1)根据柯西不等式，得1＝a ＋b ＋c ＝12·2a ＋13·3b ＋1·c≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋112(2a 2＋3b 2＋c 2)12＝116·S ， 即116·S ≥1，∴S ≥611，当且仅当a ＝311， b ＝211，c ＝611时等号成立，∴当a ＝311，b ＝211，c ＝611时，S min ＝611.(2)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－c ，2a2＋3b2＝1－c2，根据柯西不等式，得(a ＋b )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132[(2a )2＋(3b )2]＝56×(2a 2＋3b 2)，∴(1－c )2≤56·(1－c 2)，解得111≤c ≤1.∴c 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，1.(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝16，则1a ＋1b 的最小值是( )A.14 B.18 C.116D.12解析：选A (a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝4，∴1a ＋1b ≥14.当且仅当a ·1b ＝b ×1a ，即a ＝b ＝8时取等号．2．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为( ) A.65 B.635C.3635D ．6解析：选C 由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)(x 2＋y 2＋z 2)×112＋32＋52≥(x＋3y ＋5z )2×135＝62×135＝3635，当且仅当x ＝y 3＝z 5时等号成立．3．已知a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝32，则a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．6 2解析：选C ∵a ，b ，c 为正数．∴ 2 a2＋b2＝1＋1 a2＋b2≥a ＋b . 同理 2 b2＋c2≥b ＋c ， 2 c2＋a2≥c ＋a ，相加得 2 (a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2)≥2(b ＋c ＋a )＝62， 即a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝2时取等号． 4．设a ，b ，c 均大于0，a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为( ) A ．0B ．1C ．3D.333解析：选C 设a ≥b ≥c ＞0，由排序不等式得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，所以ab ＋bc ＋ca ≤3，故选C.5．已知a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c 的最小值为( )A ．1 B. 3 C ．3D ．4解析：选D (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c＝[(a ＋b)2＋(c)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b ＋c ·1c 2＝22＝4.当且仅当a ＋b ＝c 时取等号．6．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．21 B ．11 C ．18D ．28解析：选A 根据柯西不等式得[(x －1)2＋(y －2)2][32＋42]≥[3(x －1)＋4(y －2)]2＝(3x ＋4y －11)2，∴(3x ＋4y －11)2≤100.可得3x ＋4y ≤21，当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号． 7．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A. 5 B. 3C ．2 3 D.32解析：选B ∵1＝a ＋b ＋4c ＝(a)2＋(b)2＋(2c)2＝13[(a)2＋(b)2＋(2c)2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c)2·13，∴(a ＋b ＋2c)2≤3，当且仅当a ＝b ＝4c 时等式成立，故a ＋b ＋2c 的最大值为 3.8．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B. 2 C ．1D ．2解析：选A 因为f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，。
【配套K12】高中数学第三章柯西不等式与排序不等式测评新人教A版选修4_5
第三讲柯西不等式与排序不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列不等式中一定成立的是()A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by|≥C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2,只有C项正确.2.设xy>0,则的最小值为()A.-9B.9C.10D.0=9当且仅当时等号成立.3.设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c1,c2,…,c n是b1,b2,…,b n的任一排列,则和S=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,T=a1c1+a2c2+…+a n c n,K=a1b1+a2b2+…+a n b n的关系是()A.S≤T≤KB.K≤T≤SC.T≤K≤SD.K≤S≤T,则S≤T≤K.4.若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是()A. B. C. D.2(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥()2=7,于是x2+y2+z2≥,当且仅当=z,即x=,y=,z=时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是.5.用柯西不等式求函数y=--的最大值为()A. B.3 C.4 D.5,得函数y=----=4,当且仅当--时,等号成立,故函数y的最大值为4.故选C.6.已知=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,则A,B间的大小关系为()A.A<BB.A>BC.A≤BD.A≥B2+b2=1·(a2+b2)=(a2+b2)≥=(x+y)2=B,即A≥B,当且仅当时,等号成立.7.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是()A.M≥NB.M>NC.M≤ND.M<N:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和.而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,M>N.8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是()A.5B.6C.8D.9x+≥=9,当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+的最小值是9.9.已知a,b是给定的正数,则的最小值为()A.2a2+b2B.2abC.(2a+b)2D.4ab=(sin2α+cos2α)≥=(2a+b)2,当且仅当sin α=cos α时,等号成立.故的最小值为(2a+b)2.10.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,则的最小值为()A.1B.9C.36D.18(x+2y+2y+3z+3z+x)·≥(1+2+3)2, ∵x+2y+3z=1,∴2≥36,∴≥18,∴当且仅当x+2y=,即x=,y=0,z=时,的最小值为18.11.在锐角三角形ABC中,设p=,q=a cos C+b cos B+c cos A,则p,q的大小关系是()A.p≥qB.p=qC.p≤qD.无法确定A≥B≥C,则a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C.则由排序不等式可得q=a cos C+b cos B+c cos A≥a cos B+b cos C+c cos A, ①a cos C+b cos B+c cos A≥a cos C+b cos A+c cos B, ②由①+②得2(a cos C+b cos B+c cos A)≥a cos B+b cos A+b cos C+c cos B+c cos A+a cos C,即2(a cos C+b cos B+c cos A)≥2R(sin A cos B+cos A sin B)+2R(sin B cos C+cos B sin C)+2R(sin C cos A+cos C sin A),整理,得a cos C+b cos B+c cos A≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]=R(sin A+sin B+sin C)==p.12.导学号26394060设P为△ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.若△ABC的周长为l,面积为S,则的最小值为()A.B.C.D.AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.∵(a3b3+a2b2+a1b1)≥=(a3+a2+a1)2=l2,∴,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若=2,=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.()()≥(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)2≤6,所以x1y1+x2y2+x3y3≤,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.14.若a,b,c>0,则a+b+c.a≥b≥c>0,则ab≥ac≥bc>0,>0,则由排序不等式可得≥ab·+ac·+bc·=a+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立).15.设正实数a1,a2,…,a100的任意一个排列为b1,b2,…,b100,则+…+的最小值为.0<a1≤a2≤…≤a100,则0<≤…≤,由排序不等式可得+…+≥a1·+a2·+…+a100·=100,即+…+的最小值为100.16.边长为a,b,c的三角形,其面积为,外接圆半径为1,若s=,t=,则s与t 的大小关系是.S=,即abc=1,所以t=ab+bc+ca,t2=(ab+bc+ca)≥()2=s2,又a,b,c>0,所以s≤t.≤t三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证≤2.()2=(·1+·1)2≤[()2+()2](12+12),因此()2≤2(2a+2b+2)=8,故≤2当且仅当a=b=时,等号成立.18.(本小题满分12分)已知a,b,c都是非零实数,求证≥a2+b2+c2.(b2+c2+a2)=(b2+c2+a2)≥=(a2+b2+c2)2,又因为a2+b2+c2>0,所以≥a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).19.(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.2x+y=2·x+·2y.由柯西不等式可得[x2+(2y)2]≥,即(2x+y)2≤×1,所以u2≤,故-≤u≤,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得x=±,y=±.所以u的最大值是,此时x=,y=;u的最小值是-,此时x=-,y=-.20.(本小题满分12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b.a≥b≥c>0,则lg a≥lg b≥lg c,由排序不等式可得a lg a+b lg b+c lg c≥b lg a+c lg b+a lg c,a lg a+b lg b+c lg c≥c lg a+a lg b+b lg c,以上两式相加可得2a lg a+2b lg b+2c lg c≥(b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,即lg a2a+lg b2b+lg c2c≥lg a b+c+lg b a+c+lg c a+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(a b+c·b a+c·c a+b),故a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).21.导学号26394061(本小题满分12分)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求a2+b2+c2的最小值.因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式,得(4+9+1)≥=(a+b+c)2=16,即a2+b2+c2≥.当且仅当,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值为.22.导学号26394062(本小题满分12分)如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时P的位置.OA,OB所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则AB的方程为x+y=1,记点P坐标为P(x P,y P),则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S=(1-x P-y P)2,所以2S=+(1-x P-y P)2.由柯西不等式,得[+(1-x P-y P)2](12+12+12)≥(x P+y P+1-x P-y P)2,即6S≥1,所以S≥,当且仅当--,即x P=y P=时,等号成立.故当x P=y P=时,面积和S最小,且最小值为, 此时点P坐标为.。
2016_2017学年高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.4最大值与最小值问题优化的数学模型课件
.
解析:由题意可知定点为 A(-2,-1),∴2m+n=1. ∴
1 2 2������+������ 4������+2������ ������ 4������ + = + = 4+ + ≥4+4=8,当且仅当 ������ ������ ������ ������ ������ ������ 1 1 1 2 即 m= , n= 时等号成立,故 + 的最小值为8. 4 2 ������ ������
答案:①②③
2 6 1 3 1 3
1 1 , ∴ ≥27. 27 abc 1 a=b=c= 时等号成立. 3
1 3 3
=
2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型
1.了解最值点、最值问题的概念. 2.能灵活应用平均值不等式、柯西不等式求一些简单问题的最 值. 3.能求解一些较容易的实际应用问题的最值.
最值问题 设D为f(x)的定义域,如果存在x0∈D,使得 f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0)),x∈D,则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值,x0称 为f(x)在D上的最大(小)值点. 寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题,本节 我们用平均值不等式及柯西不等式解决某些初等函数的最值问题.
1 3 1 ≥ ( 3
3 2
解析:∵1=a+b+4c=( ������)2+( ������ )2+(2 ������)2 = [( ������)2+( ������ )2+ (2 ������ )2]· (12+12+12) ������ + ������ + 2 ������ )2,
2016_2017学年高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式课件
∴|α-β| = (������1 -������1 )2 + (������2 -������2 )2 + (������3 -������3 )2 ,
|β-γ|= |γ-α|= (������1 -������1 )2 + (������2 -������2 )2 + (������3 -������3 )2 , (������1 -������1 )2 + (������2 -������2 )2 + (������3 -������3 )2 ,
题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析 易错点:应用柯西不等式时,因不注重等号是否成立,从而导致结果 错误.
【例 4】 已知函数 f(x)=x+ ,x∈[2,4],求 f(x)的最小值.
1 ������
错解:∵ ������
1 ∴x+ ������≥2.∴f(x)的最小值为
1 + ������
1 + ������ ������
∴|α-β|+|β-γ|≥|γ-α|,且等号成立⇔存在非负常数λ,使得α-β=λ(β-γ).
如何理解柯西不等式? 剖析:柯西不等式的几种形式都需要对其结构进行理解与记忆, 因此,柯西不等式可以理解为有四个顺序的数来对应的一种不等关 系或构造成一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造,但怎样 构造要仔细体会.例如:
答案:A
【做一做1-2】 已知p,q∈(0,+∞),且p3+q3=2,则p+q的最大值为 ( ) A.2 B.8
1 C. 2
D. 4
3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2
解析 :设 m=(������ , ������ ),n=(������ , ������ ), 则 p +q2 = ������ ������ + ������ ������ = |m· n|≤|m||n| = ������3 + ������ 3 ������ + ������ = 2 ������ + ������ , 当且仅当存在实数 λ≠0,使得 m=λn 时等号成立 . 又 ∵(p+q)2≤2(p2+q2),
【配套K12】高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式试题新人教A版选修4_5
二一般形式的柯西不等式课后篇巩固探究A组1.已知a,b,c均大于0,A=,B=,则A,B的大小关系是()A.A>BB.A≥BC.A<BD.A≤B(12+12+12)·(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,所以,当且仅当a=b=c时,等号成立.又a,b,c均大于0,所以a+b+c>0,所以.2.若x2+y2+z2=1,则x+y+z的最大值等于()A.2B.4C. D.8,可得[12+12+()2](x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,即(x+y+z)2≤4,因此x+y+z≤2当且仅当x=y=,即x=,y=,z=时,等号成立,即x+y+z的最大值等于2.3.已知+…+=1,+…+=1,则a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是()A.1B.2C.3D.4(a1x1+a2x2+…+a n x n)2≤(+…+)×(+…+)=1×1=1,∴a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是1.4.设a,b,c均为正数且a+b+c=9,则的最小值为()A.81B.49C.9D.7,可得(a+b+c)··81=9,当且仅当,即a=2,b=3,c=4时,等号成立,故所求最小值为9.5.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是()A. B. C.6 D.3,得(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]≥[x+y+(1-x-y)]2=1,即x2+y2+(1-x-y)2≥,当且仅当x=y=1-x-y,即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.6.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,则的最大值为.,得()2=(1×+1×+1×2≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21.当且仅当a=b=c=时,取等号.故的最大值为.7.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则的最小值为.(a+b+c)=[()2+()2+()2]=18,所以≥2当且仅当,即a=b=c=3时,等号成立,故的最小值为2.8.设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则=.25×36=(a2+b2+c2)·(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302=25×36,当且仅当=k时,等号成立.由k2(x2+y2+z2)2=25×36,解得k=,所以=k=.9.已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证≥9.=[2(a+b+c)]=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]≥(1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c=时,等号成立,故原不等式成立.10.已知x,y,z∈R,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.,得[x+(-2)y+(-3)z]2≤[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2),即(x-2y-3z)2≤14(x2+y2+z2),所以16≤14(x2+y2+z2).,即当x=,y=-,z=-时,x2+y2+z2的最小值为.因此x2+y2+z2≥,当且仅当x=--B组1.已知x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为()A.1B.2C.3D.4,得(x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,所以-3≤x+2y+2z≤3.当且仅当|x|=时,等号成立.所以x+2y+2z的最大值为3.2.导学号26394054已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则的最大值等于()A. B.C.13D.18当且仅当时,等号成立,故最大值为.3.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是.a+b+c)=[()2+()2+()2]·≥=(2+3+6)2=121.当且仅当时,等号成立.4.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.x+2y+z+8=0⇒2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2,即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥-=9,当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9.5.导学号26394055已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,=12,求证0≤x i≤3(i=1,2,3,4).,得(x2+x3+x4)2≤(1+1+1)(),由题设条件,得x2+x3+x4=6-x1,=12-,代入上式,得(6-x1)2≤3(12-),∴36-12x1+≤36-3,∴4-12x1≤0,∴0≤x1≤3,同理可证0≤x i≤3(i=2,3,4).综上所述,0≤x i≤3(i=1,2,3,4).6.导学号26394056设实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2≤(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化简,得5e2-16e≤0⇒0≤e≤,故e max=.。
第三讲.柯西不等式与排序不等式
三.排序不等式
探 究 如 图3.3 1,设AOB ,
自 点O沿OA边 依 次 取n个 点A1, A2,
B
Bn
, An,沿OB 边 也 依 次 取 点B1 , B2 ,
Bj
, Bn.选 取 某 个 点Ai i 1,2, n与 B2
某 个 点Bj j 1,2, , n连 结,得 到
定理 设 a1, a2 , a3,..., an ,b1,b2 ,b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当 bi 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
11 4 ab
注意应用公式： (a b)( 1 1 ) 4
ab
练习：
1.已知2x2 3y2 6, 求证x 2 y 11
2.已知a2 b2 1,
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
定理３（二维形式的三角不等式）
设
x1,
y, 1
x
,
22 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
例题
例1.已知a,b为实数,证明： (a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2x的最大值.
例1 已知 a1, a2 , a3,..., an 都是实数，求证：
1 n
(a1
a2
...
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二 一般形式的柯西不等式1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 三维形式的柯西不等式阅读教材P 37～P 38“探究”以上部分，完成下列问题．设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 22＋a 23)·(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当且仅当b 1＝b 2＝b 3＝0或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．已知x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．1 B.13 C.23D ．2【解析】 根据柯西不等式，x 2＋y 2＋z 2＝13(12＋12＋12)·(x 2＋y 2＋z 2)≥13(1×x ＋1×y＋1×z )2＝13(x ＋y ＋z )2＝13.【答案】 B教材整理2 一般形式的柯西不等式 阅读教材P 38～P 40，完成下列问题．设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D.4【解析】 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号，∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【精彩点拨】 由于1a ＋2b ＋3c＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋3c ·(a ＋2b ＋3c )＝[⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3c 2][(a )2＋(2b )2＋(3c )2]≥⎝⎛⎭⎪⎫1a·a ＋2b·2b ＋3c·3c 2＝(1＋2＋3)2＝36. 又1a ＋2b ＋3c＝2，∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立， 综上，当a ＝b ＝c ＝3时，a ＋2b ＋3c 取得最小值18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式，知(x ＋4y ＋9z )2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2) ＝98(x 2＋y 2＋z 2)． 又x ＋4y ＋9z ＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*)当且仅当x ＝y 4＝z9时，等号成立，∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号．因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198.已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式x ＋y ＋y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．【精彩点拨】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 ∵x >0，y >0，z >0. 且x ＋y ＋z ＝xyz . ∴1yz ＋1xz ＋1xy＝1.又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ，即x ＝y ＝z ＝3时等号成立． ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值为32. 故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时， 应有λ≥32. 因此λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围.【导学号：32750052】【解】 由a ＋b ＋c ＋d ＝3，得b ＋c ＋d ＝3－a ， 由a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2， (2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[1,2]．[探究共研型]探究 i i ，…，n )，可以吗？【提示】 不可以．若b i ＝0而a i ≠0，则k 不存在．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a b a ＋c b ＋a c≥9.【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式，a 1＝a b ，a 2＝b c ，a 3＝c a ，b 1＝b a，b 2＝cb ，b 3＝ac，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证． 【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈R ＋， 由柯西不等式，知⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2]×[⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2] ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b×b a ＋b c×c b＋c a×a c 2 ＝(1＋1＋1)2＝9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥9.1．当a i ，b i 是正数时，柯西不等式变形为(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1.又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥ ⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.[构建·体系]一般形式的柯西不等式—⎪⎪⎪—三维形式—一般形式—一般形式的应用1．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为( ) A ．18 B ．6 C ．－18D.12【解析】 |a·b |≤|a ||b |， ∴|a·b |≤18.∴－18≤a·b ≤18，当a ，b 反向时，a·b 最小，最小值为－18. 【答案】 C2．若a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．[－2,2] C ．(－∞，2]D.[－1,1]【解析】 ∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， ∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4， ∴|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |≤2， 即－2≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2，当且仅当a i ＝12b i (i ＝1,2，…，n )时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B.【答案】 B3．(2014·陕西高考)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．【解析】 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.【答案】54．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值为________.【导学号：32750053】【解析】 由a ，b ，c 为正数，∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝121，当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k >0)时等号成立． 故(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是121.【答案】 1215．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评（十） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B. 3 C ．3D.9【解析】 由柯西不等式得[(a )2＋(b )2＋(c )2](12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2，∴(a ＋b ＋c )2≤3×1＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．∴a ＋b ＋c 的最大值为 3.故选B. 【答案】 B2．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c的最小值为( )【导学号：32750054】A ．4B ．3C ．6D.2【解析】 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a＋b ·2b＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c≥2.【答案】 D3．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD.不确定【解析】 由柯西不等式知≥a 1＋a 2＋…＋a n ，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n ， 即得a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥a 1＋a 2＋…＋a n n ，∴P ≥Q .【答案】 B4．若实数x ＋y ＋z ＝1，则F ＝2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( )A ．1B ．6C ．11 D.611【解析】 ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋13≥2x ·12＋y ·1＋3z ·13＝(x ＋y ＋z )2＝1，∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1116＝611，即F ≥611，当且仅当2x ＝y ＝3z 时，取等号．【答案】 D5．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为( )A ．24B ．30C ．36D ．48【解析】 (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x＋y ·2y＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z≥36.【答案】 C 二、填空题6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，则(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是__________．【解析】 由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2，∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2. ∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.【答案】4997．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 【解析】 ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号． 【答案】 128．设x ，y ，z ∈R ，若(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2＝4，则3x －y －2z 的取值范围是__________．又3x －y －2z 取最小值时，x 的值为__________．【解析】 [(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2][32＋(－1)2＋ (－2)2]≥(3x －3－y －2－2z )2,4×14≥(3x －y －2z －5)2， ∴－214≤3x －y －2z －5≤214， 即5－214≤3x －y －2z ≤5＋214. 若3x －y －2z ＝5－214，又x －13＝y ＋2－1＝z－2＝t ，∴3(3t ＋1)－(－t －2)－2(－2t )＝5－214， ∴t ＝－147，∴x ＝－3147＋1. 【答案】 [5－214，5＋214] －3147＋1三、解答题9．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1. (1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x＋4y＋4z 2的最小值．【解】 (1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ·(y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y )≥x y ＋2z·y ＋2z ＋y z ＋2x·z ＋2x ＋z x ＋2y·x ＋2y ＝1，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥1， ∴x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13.(2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2，因为x ＋y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －122＋34≥34，故4x＋4y＋4z 2≥33434＝32，当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立，所以4x＋4y＋4z 2的最小值为3 2.10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1·x 2＝1时，必有f (x 1)·f (x 2)≥1.【证明】 由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a ，b ，c 大于0，∴f (x 1)·f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 22＋bx 2＋c ) ≥(ax 1·ax 2＋bx 1·bx 2＋c )2＝(ax 1x 2＋b x 1x 2＋c )2＝[f (x 1x 2)]2＝[f (1)]2.又f (1)＝a ＋b ＋c ，且a ＋b ＋c ＝1，∴f (x 1)·f (x 2)≥1.[能力提升]1．若2a ＞b ＞0，则a ＋4a －b b 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．8D.12 【解析】 ∵2a ＞b ＞0，∴2a －b ＞0，∴a ＋4a －b b ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b ＋b ＋8a －b b ≥12·33a －b b ·8a －b b ＝3. 当且仅当2a －b ＝b ＝8a －bb ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴当a ＝b ＝2时，a ＋4a －b b有最小值3. 【答案】 B 2．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝( ) A.14B.13C.12D.34 【解析】 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12. 【答案】 C3．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________.【导学号：32750055】【解析】 由柯西不等式得：(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)2＝(1×2a ＋1×2b ＋1＋1×2c ＋3)2≤(12＋12＋12)(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)＝3(2×6＋4)＝48. 当且仅当2a ＝2b ＋1＝2c ＋3，即2a ＝2b ＋1＝2c ＋3时等号成立．又a ＋b ＋c ＝6，∴a ＝83，b ＝136，c ＝76时， 2a ＋2b ＋1＋2c ＋3取得最大值4 3.【答案】 4 34．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R .求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2. 【证明】 由三角形中的正弦定理，得sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2， 同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2， 于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2， ∴原不等式得证．。