数列极限与函数极限
高等数学：极限的概念
极限的概念一、基本内容1. 数列极限：若当n 无限增大时，数列n x 无限接近于一个确定的常数a ，则a 就叫做数列n x 的极限，记为a x n n =∞→lim 或当∞→n 时，a x n →。
2. 函数极限：（1）函数)(x f 在点0x 处的极限及左右极限：在点0x 处的极限)(lim 0x f x x →； 左极限)(lim )0(00x f x f x x -→=-； 右极限)(lim )0(00x f x f x x +→=+。
关系：极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是左、右极限均存在且相等。
（2）当∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x ∞→； 当-∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x -∞→； 当+∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x +∞→。
关系：极限)(lim x f x ∞→存在⇔)(lim x f x -∞→与)(lim x f x +∞→均存在且相等。
二、学习要求1. 理解极限的概念；2. 掌握函数极限存在的充要条件。
三、基本题型及解题方法题型1 求数列的极限解题方法：通过观察数列的项的变化，结合定义判断数列的敛散性。
【例1】 判断数列=n x 2)1(11+-+n 的敛散性。
解：由通项公式得该数列为1，0，1，0，…，2)1(11+-+n ，…，可见该数列随着n 的增大没有无限接近于一个确定的常数，所以该数列发散。
【例2】 判断数列nn x n n 1)1(--+=的敛散性。
解：由通项公式得该数列为 )1(43342121，，，，，，nn n --+，可见当n 无限增大时，表示数列nn x n n 1)1(--+=的点逐渐密集在1=x 的附近，即数列n x 无限接近于1，1)1(1lim 1=-++∞→nn n ，所以该数列收敛。
题型2 确定函数在0x 的左右极限及由此判定函数在0x 的极限解题方法：当)(x f 在0x 左右两侧的解析式不一致时，要求极限往往要根据极限存在的充要条件：A x f x x =→)(lim 0⇔A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00 来确定函数的极限；当函数的解析式中有指数函数或反正、余切函数时，也需利用极限存在的充要条件。
数列、函数极限
称此常数为数列的极限。
1
极限的定义
如果对于任意给定的正数 0 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 xn,
不等式
xn a
都成立 ,则称 数列 xn 收敛于 a ,常数 a 称为数列 xn
的极限 ,
记为lim n
xn
a,或xn
a
(n ).
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
0
说明 (1) 给定后， 的选择并不唯一， 依赖于 x0 与 。
(2) 此极限的定义中，0 | x x0 | ，指出 x x0，有两层含义：
I. x0 可以不在 f ( x) 的定义域内； II. x0 可以属于 f ( x) 的定义域，但此时极限值与 f ( x) 在 x0
处的函数值无关。
第二 章 极限与连续
§2.1 数列的极限 §2.2 函数的极限 §2.3 极限的运算法则和存在准则 §2.4 无穷小与无穷大 §2.5 函数的连续性 §2.6 闭区间上连续函数的性质
一. 数列
§2.1 数列的极限
定义 按照一定顺序排成的一 列实数
x1, x2 , x3 , , xn ,
称为数列，记为 { xn}．其中 xn 称为第 n 项或通项， 通项 xn 的表达式称为通项公式．
例如 (1) 2, 4, 8, ,2n, 表示为{2n}； 通项 xn 2n；
(2)
1,
1 2
,
1 3
,
,
1 n
,
(3) 0, 1, 0, 2,,0, n,
{ 1 }； n
xn
1； n
{ xn}； xx22kk1k，0，k 1, 2,
整标函数 数列是定义在正整数集 N 上的一个函数， 若记此函数为 f (n)，并记 xn f (n), 则数列即为 x1 f (1), x2 f (2), , xn f (n),. 记为 { xn}．
关于数列极限和函数极限解法的解析
关于数列极限和函数极限解法的解析王雅丽摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。
在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；另外，对于函数极限的求解，文中列出六种类型，根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则，对于不同类型，采用不同的方法。
上述方法对函数概念的理解和加强，以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。
ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则关键词数列极限N早在两千多年前，我们的祖先就已经能够算出正方形，圆形和柱形等几何图形的面积。
公元前3世纪刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则于圆和体而无所失矣”在数学分析中，极限是一个核心内容，同时它本身研究问题的工具。
极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终，因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。
1 数列极限古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下12，第二天截下212……第n 天截下12n,……这样就得到一个数列{12n} 。
只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{12n} 的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于0。
“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述，无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项12n与0的距离102n-要多小有多小。
下面把任意小量化： 对于12，如果要求1110222nn-=<，只需要1n >即可；对于212，如果要求21110222nn-=<， 只需要2n >即可；对于 312，如果要求31110222n n -=<， 只需要3n >即可；...由上可以看出能满足不等式的n 不是唯一的，这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的，如12，212，312...为此就出现了任意小的正数ε。
用定义证明极限的方法
用定义证明极限的方法极限是数学中重要的概念，用来描述函数在某一点附近的表现。
证明极限的方法一般分为数列极限与函数极限两种情况。
数列极限的定义是：设数列{An}在无穷区间（或是去除有限项之后的无穷区间）上有定义，则有：若存在常量a，使得对于任意给定的正数ε（ε> 0），都存在与a 相对应的正整数N，使得当n > N 时，有An - a < ε，那么我们称数列{An}以a 为极限，记为lim(An) = a。
要证明数列的极限，可以使用以下几种方法：1. 利用极限定义进行证明：根据数列的极限定义，对于任意给定的正数ε，都存在与a 相对应的正整数N，使得当n > N 时，有An - a < ε。
我们可以根据定义的表达式，推导出n 和a 之间的关系式，进而找到N 的表达式，以此来证明数列的极限。
2. 利用数列的性质进行证明：根据数列的性质，如单调性、有界性等，可以借助这些性质推导出数列的极限。
例如，如果数列是单调递增且有上界，则根据确界性质可以推出数列的极限存在且有上确界。
3. 利用比较定理进行证明：比较定理是常用的判定数列极限的方法。
如果数列{An}和数列{Bn}满足一定的条件（比如当n>N 时，有0 ≤An ≤Bn），且已知数列{Bn}的极限为a，则可根据比较定理推导出数列{An}的极限也为a。
函数极限的定义是：设函数f(x) 在点a 的某个去心领域内有定义，如果存在常数L使对于任何ε> 0，存在着一个对应于ε的δ> 0 使得当0 < x - a < δ时，有f(x) - L < ε，那么我们称函数f(x) 在x = a 处的极限为L，记为lim f(x) = L 或x→a f(x) = L。
要证明函数的极限，可以使用以下几种方法：1. 利用极限定义进行证明：根据函数的极限定义，我们可以推导出给定ε时的δ，进而得到函数的极限。
通常需要利用函数的性质和定义对符号进行推导和运算。
1数列与函数极限
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a
(n N)
yn
b, 且若正整数N ,
当n N时,有xn yn ,则必有a b.
证: 反设 a<b, 正整数N1 , 当n > N1时, 有xn< yn. 取 N2 = max{N, N1}, 则当 n > N2 ( N)时,
有 xn< yn. 此与条件矛盾，故 a b .
子列
所谓数列{xn} 子列，就是从数列 x1, x2, , xn, 中任取无穷多项，按原来的次序，从左到右 排成一个新的数列， 这个数列称为{xn}的子列.
1
n
3n
2 3
n
1
3
第二节函数的极限
类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对
应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定
的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。
对于数列极限 lim 1 0 n n
lim 1 0 x x
lim 1 0 x x
注：由定理5，若{ xn } 的两个子列一个收敛于 a , 而另一个收敛于 b，且 ab, 则{xn}发散；
或者，{xn}中有一个子列发散，则{xn}发散.
例,
xn
1
1.2数列和函数的极限
n2 1
n2 n
n2 1
又 lim n 1, lim n 1
n n2 n
n n2 1
根据夹挤定理，原式极限为1
(5)
lim (1
n
1 22
)(1
1 32
) (1
1 n2
)
解：1
1 k2
(k 1)(k 1) k2
k 1 k 1 kk
1 2n
0.
证 0,
由1 2n
0
1 2n
2n 1 ,可得
n
log
2
(
1
)(限定0
1).
N
1
[log 2( )]
1.
n N ,
有
1 2n
0
.
lim n
1 2n
0.
三、收敛数列的性质
性质1（唯一性） 若数列 {xn} 收敛，则其极限必唯一 . 性质2（有界性） 若数列 {xn} 收敛，则 {xn} 必有界 .
x : 0 x x0 , A f (x) A .
是任意小
当 x 在 U O (x0 , ) 时, y
y f (x)的图形完全 落在以直线 y A 为
A
A
A
y f (x)
中心线, 宽为 2 的带
形区域内.
o
x0 x0 x0
16 8
4
2
1
一、数 列
自变量为正整数的函数xn f (n) , n Z , 函数值按自变量n从小到大排成一列，表示为：
高等数学 极限
( 1) n1 例1 证 明l im 0. n n
n 1 ( 1 ) 1 证明 an a 0 , n n 对 0,要使an 0 , 即 1 , n 1 , n
1 取N ,
( 1)n1 0 , 当n N时, 有 n
( 1) n1 由极限的定义知 lim 0. n n
3n 1 3 . 例2 证 明 l i m n 2n 1 2
3n 1 3 1 1 1 证明 an a , 2n 1 2 4n 2 4 n 2 4 n 3n 1 3 1 1 , 只要 , n 对 0, 要 使 , 2n 1 2 4 4n
n
证明 由条件 (2), 0 , N 1 , N 2 N , 当 当
时, 时,
令 N max N 1 , N 2 ,
则当 n N 时, 结合条件 (1)，得
a bn an cn a
从而
a an a
上的点 a1 , a2 ,, an ,.
a3
a1
a2 a4
an
2.数列极限的定义 问题的提出——割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆 内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是
极限思想在几何上的应用.
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆合体而无所失.
用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积: 正六边形的面积 A1
由单调有界准则知， an 极限存在 故数列 , 设为a.
在an1 1 an 两边取极限 , 得 a 1 a，
解得
1 5 1 5 a 或 a . 2 2
数列的极限函数的极限概念09[1].09.22
![数列的极限函数的极限概念09[1].09.22](https://img.taocdn.com/s3/m/49fd1d0a581b6bd97f19ea1e.png)
xn 1 变得任意小”
“要使 xn 1 任意小，只要n充分大” “任意大”与“任意小”并非彼此无关.
( 1)n1 1 xn 1 n n
1 1 1 给定 ，要使 xn 1 ， 只要 n 100 100 n 100
1 1 1 给定 ， 要使 xn 1 , 只要 n 1000 1000 n 1000
x2 1 例9 证明 lim 2 x 1 x 1
证
f ( x) A f ( x ) A ， x 1 且 x 1
时 , 必有
( x 1)
ε 0 , 要使
只要
故取 δ ε , 当
x2 1 因此 lim 2. x 1 x 1
x2 1 2 ε x 1
xn ( 1)
n 1
(2) 数列极限的定义 定义2.1 设有数列{ xn }, 如果当n无限增大时, x n
无限趋近于某个确定的常数a , 则称a为数列{ xn } 的极限, 记作
n
lim xn a , 或 xn a ( n ).
这时,也称数列{ xn } 收敛于a. 否则, 称数列{ xn }
n
否则，若 lim b( n) b0 0， 则 b(n)就不可能任意小. 小结: 用定义证明数列极限存在时, 关键是任意 给定 > 0, 寻找 N, 但不必求最小的N.
二、函数的极限
自变量的变化过程有六种形式:
1. x 时函数 f (x)的极限
(1) 定义2.3 设函数
当
(M为某一正数）
发散.
例如,
1 2 3 n , , , , , 2 3 4 n1
n 1 (n ) xn n1
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数列极限与函数极限
是微积分学中的重要知识点。
它们是微积分中的基础部分，是
许多微积分问题解决的基础。
本文将分别从这两个方面进行探讨，解释它们在微积分中的作用。
数列极限是指当数列的项数无限增加时，数列中的每一项都逐
渐接近某个数的现象。
在微积分中，我们通常使用极限来刻画这
种趋势。
例如，我们考虑一个数列{an}，该数列的前n项为
a1,a2,a3,...,an。
如果当n无限增大时，数列的每一项都无限趋近于
某个常数L，那么我们就说该数列的极限为L，记作lim（an）= L。
数列极限在微积分中有着非常重要的作用。
例如，在微积分中，我们常常需要用到“无限小量”的概念。
在这种情况下，我们通常
使用数列极限来定义无限小量。
例如，我们定义dx为一个无限小
的变量，其含义为在求某个函数f的导数时，x的取值以dx为变
化量，那么因为dx是一个无限小的变化量，因此在计算f的导数时，我们可以利用数列极限的性质，将dx看成极限为0的数列，
从而得到f的导数的定义式。
在函数极限中，我们通常考虑的是函数的趋近行为。
与数列极
限不同的是，函数极限考虑的是函数在某个点的趋近性，而不是
单纯考虑函数的每个点的值。
我们用一个形式化的定义来说明函
数极限。
设f（x）是定义在区间（a，b）上的函数，x0是（a，b）内的一个数。
如果对于任意一个正整数n，都能找到(a，b)内的一
个点x，满足0<|x-x0|<1/n，且使得f（x）无限趋近于L，那么我
们就说该函数在x0处的极限为L，记作lim（x→x0）f（x）=L。
函数极限在微积分中也有着非常重要的作用。
例如，在求解函
数的导数时，我们需要考虑函数在某个点的变化趋势。
如果我们
能够求出函数在该点的极限，那么我们就能够利用导数的定义式
求出函数的导数。
此外，在微积分中，函数极限还常常用于解决
一些无穷级数的求和问题，以及研究一些较为复杂的函数性质。
总之，是微积分学中基础而重要的知识点。
理解它们的概念及
其性质，对于学好微积分课程，达到扎实的基础应该是十分有好
处的。