概率论第二章基础练习题

第二章 随机变量及其分布 基础练习题

1．设随机变量X 的分布列为：

()!

k

P X k a k λ==⋅

，()0,1,2,

,,

k n =，

其中，0λ>为常数，试确定常数a 。

2．一箱产品共100件，其中有10件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取5次，求取到的优质品件数X 的概率分布。

3．第2题中，若采用重复抽取，其它条件不变，设抽取的5件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布。

4．第2题中，若采用重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X 的概率分布。

5．设自动生产线在调整以后出现废品的概率为0.1p =，当生产过程中出现废品时立即进行调整，用

X 表示两次调整之间生产的合格品数，试求：

（1）X 的概率分布；

（2）()5P X ≥；

（3）在两次调整之间能以的概率保证生产的合格品数不少于多少

6．某种产品表面上的疵点数服从泊松分布，平均一件上有个疵点，即0.8λ=。若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1个且不多于4个为二等品，价值8元；疵点为4个以上者为废品。求产品为废品的概率以及产品价值分布律。

7．判断以下函数是否为某个随机变量的分布函数：

（1）()0; 0; 0121; 1

x x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎩； （2）21()1F x x =+，(), x ∈-∞+∞。 （3）13()arctan 24F x x π=+，(), x ∈-∞+∞；（4）, 0()1 0, 0

x

x f x x x ⎧>⎪

=+⎨⎪≤⎩。

8．判断以下函数是否为某个连续型随机变量的概率密度函数：

（1）sin , 0,()2 0,

x x f x π⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥=⎣⎦⎨⎪⎩

其它； （2）[]sin , 0,() 0, x x f x π⎧∈=⎨

⎩其它； （3）2

2, 0

() 0, 0x

c x e x f x c x -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩

（常数0c >）。

9．设随机变量X 的分布函数为：

0, 0() 011, 1x F x x x <⎧⎪

=≤≤⎨⎪>⎩

确定系数A ，计算()00.25P X ≤≤，并求出随机变量X 的概率密度函数。

10．设随机变量X 的概率密度函数为

22, 0() 0, x

x a f x π

⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它

，

试确定常数a ，并求出随机变量X 的概率分布函数()F x 。 11．设随机变量X 的概率密度函数为()x

f x Ae -=，(), x ∈-∞+∞。确定常数A ，计算()

1P X ≤，

并求出随机变量X 的分布函数()F x 。

12．设随机变量K 服从0,5[]上的均匀分布，求关于x 的二次方程2

4420x xK K +++=有实数根的概率。

13．修理某机器所需时间（小时）服从参数0.5λ=的指数分布。试求： （1）修理时间超过2小时的概率；

（2）若已持续维修了9小时，那么总共需要至少10小时才能修好的概率。

14．设随机变量()23, 2X

N 。求，

（1）()25P X <≤； （2）()27P X -<<； （3）确定常数c ，使得()()P X c P X c >=≤； （4）设常数d 满足()0.9P X d >≥，问d 至多为多少

15．某地抽样调查表明，考生的外语成绩（百分制）近似正态分布，平均成绩为72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%。试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。

16．已知随机变量

的概率分布为：

试求：（1）常数a ；（2）21Y X =-的概率分布；（3）2

Z X =的概率分布。

17.设随机变量X 的密度函数为

31, 02

() 0, kx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他

求：k ，()F x ，(13)P X <<。

18.设随机变量X 的密度函数为

2

32, 0

() 0, 0

x X x e x f x x -⎧≥⎪=⎨

<⎪⎩ 求：23Y X =+的密度函数()Y f y 。 19.设随机变量X 的概率密度为

, 0

() 0, 0

x X e x f x x -⎧≥=⎨

<⎩ 求X

Y e =的概率密度()Y f y 。

参考答案

1．e

λ

-。

2．()59010

5

100

k k C C P X k C -==，（0,1,2,3,4,5k =）。 3．()55

9010100k k

P X k -⋅==，（0,1,2,3,4,5k =）。

4．()10.10.9k P X k -==⨯，（0,1,2,,,

k n =）。

5．（1）

（2）0.69049；（3）6

6．0.0014；

7．（1）是；（2）否；（3）否；（4）是。 8．（1）是；（2）否；（3）是。

9．1A =；()100.252P X ≤≤=

； 01() 0, x f x <<=⎩

其它

。

10．a π=；22 0, 0(), 0 1, x x

F x x x πππ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩。

11．12A =；()111P X e ≤=-；1 , 0

()22, 0

x

x e x F x e x --⎧<⎪=⎨⎪->⎩

12．0.6。