概率论与数理统计期末复习重要知识点

概率论与数理统计期末复习重要知识点

第二章知识点：

1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：

（1）两点分布（0-1分布）：

若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为

12{},{}1(01)

P X x p P X x p

p ====-<<，

则称X 服从

12

,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)

P X x p P X x p

p ====-<<

两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-

（2）二项分布：

若一个随机变量X 的概率分布由式

{}(1),0,1,...,.

k k

n k n P x k C p p k n -==-=

给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.

k k

n k n P x k C p p k n -==-=

二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-

（3）泊松分布：

若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...

!

k

P X k e

k k λ

λλ-==>=，则称X 服从参

数为

λ的泊松分布，记为X~P (λ)

泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...

!

k

P X k e

k k λ

λλ-==>=

泊松分布的期望：

()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=

4.连续型随机变量：

如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数

()f x ，使得对于任意实数x ，有

(){}()x

F x P X x f t dt

-∞

=≤=⎰

，则称X 为连续型随机变量，称

()f x 为X 的概率密度函数，

简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：

若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,

0,1)(b

x a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服

从均匀分布，记为X~U(a,b)

均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,

0,1

)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a b

E X +=

；均匀分布的方差：

2()()12b a D X -= （2）指数分布：

若连续型随机变量X 的概率密度为

00

()0x

e x

f x λλλ-⎧>>=⎨

⎩，则称X 服从参数为

λ的指数分布，记为X~e (λ)

指数分布的概率密度：

00

()0x

e x

f x λλλ-⎧>>=⎨

⎩

指数分布的期望：1

()E X λ=

；指数分布的方差：

21

()D X λ=

（3）正态分布：

若连续型随机变量X 的概率密度为

22

()2()2x f x x μσπσ

--

=

-∞<<+∞

则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)

正态分布的概率密度：

22

()2()2x f x x μσπσ

--

=

-∞<<+∞

正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：

2

()D X σ=

（4）标准正态分布：

2

0,1μσ==，2

22

2

()()22x t x

x x e dt

ϕφππ

--

-∞

=

标准正态分布表的使用： （1）

()1()x x x φφ<=--

（2）

~(0,1)

{}{}{}

{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-

（3）

2~(,),~(0,1),

X X N Y N μ

μσσ

-=

故

(){}{

}()X x x F x P X x P μμμ

φσσσ---=≤=≤=

{}{

}(

)(

)

a b b a P a X b P Y μ

μμμ

φφσ

σ

σσ

----<≤=≤≤

=-

定理1： 设X~N(μ

,2

σ),则

~(0,1)

X Y N μ

σ

-=

6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

分布函数的重要性质：

12212112120()1

{}{}{}()()()()()1,()0

F x P x X x P X x P X x F x F x x x F x F x F F ≤≤<≤=≤-≤=-<⇒<+∞=-∞=

7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布 （1）由X 的概率分布导出Y 的概率分布步骤： ①根据X 写出Y 的所有可能取值； ②对Y 的每一个可能取值

i

y 确定相应的概率取值；

③常用表格的形式把Y 的概率分布写出

（2）由X 的概率密度函数（分布函数）求Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤： ①由X 的概率密度函数()

X f x 随机变量函数Y=g(X)的分布函数

()

Y F y

②由

()

Y F y 求导可得Y 的概率密度函数

（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法： 定理1 设随机变量X 具有概率密度

()

(,)

X f x x ∈-∞+∞，又设y=g(x)处处可导且恒

有'()0g x >（或恒有'()0g x <），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为

'[()]|()|,()0

Y f h y h y y f y αβ

⎧<<=⎨

⎩；其中

()x h y =是y=g(x)的反函数，且

min((),()),max((),())g g g g αβ=-∞+∞=-∞+∞

练习题：

2.4 第7、13、14