初三中考复习二次函数最值问题

二次函数之最值问题

基本解题步骤：

1．审题．读懂问题.分析问题各个量之间的关系；

2．列数学表达式．用数学方法表示它们之间的关系.即写出变量与常量之间的二次函数关系式；

3．求值．利用二次函数关系式的顶点坐标公式24,24b ac b a a ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

或配方法求得最值；

配方法：将二次函数2y ax bx c =++转化为2()y a x h k =-+的形式.顶点坐标为(),h k .对称轴为x h =．当0a >时.y 有最小值.即当x h =时.=y k 最小值；当0a <时.y 有最大值.即当x h =时.=y k 最大值．

4．检验．检验结果的合理性．（函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围）

解题策略−−−→−−−→−−−→转化数学检验

解答

实际问题数学问题解问题答案 利润最值问题：此类问题一般先是运用=“总利润总售价-总成本”或

=⨯“总利润每件商品的利润销售数量”

建立利润与价格之间的函数关系式.再求出这个函数关系式的顶点坐标.顶点的纵坐标即为最大利润．特殊地.这里要考虑实际问题中自变量的取值范围.数形结合求最值．

线段和或差（或三角形周长）最值问题：此类问题一般是利用轴对称的性质和

两点之间线段最短确定最短距离.这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解．特殊地.也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题． 最短距离和找法：以动点所在的直线为对称轴.作一个已知点的对称点.连结另一个已知点和对称点的线段.与对称轴交于一点.这一点即为所求点．线段长即为最短距离和．

口诀：“大”同“小”异求最值．

“大”同：求差的最大值.把点移动到直线的同侧．

“小”异：求和的最小值.把点移动到直线的两侧．（几何最值较多） 线段长最值问题：根据两点间距离公式12x x -把线段长用二次函数关系式表示出来求最值．

几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似.对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积y 与边长x 之间的二次函数关系.其顶点的纵坐标即为面积最值． 动点产生的最值问题：数形结合求解.把路程和转化成时间和.当三点共线时有最值．

利润最值问题

例1、一玩具厂去年生产某种玩具.成本为10元/件.出厂价为12元/件.年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次.以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加倍.今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高倍.则预计今后年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中<≤）．

x

01

（1）用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为_______元.今年生产的这种玩具每件的出厂价为______元．

（2）求今年这种玩具每件的利润y元与x之间的函数关系式；

（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元.求当x为何值时.今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？

注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．

解：（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）-（10+7x）.

∴y=2-x （0＜x≤11）；

（3）∵w=2（1+x）•y

=2（1+x）（2-x）

=-2x2+2x+4.

∴w=-2（）2+

∵-2＜＜x≤11.

∴w有最大值.

∴当x=时.w最大=（万元）．

答：当x为时.今年的年销售利润最大.最大年销售利润是万元．

例2、新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机.及时调整投资方向.瞄准光伏产业.建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高.且市场占有率不高等因素的影响.产品投产上市一年来.公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y （万元）与销售时间第x （月）之间的函数关系式（即前x 个月的利润总和y 与x 之间的关系）对应的点都在如下图所示的图象上．该图象从左至右.依次是线段OA 、曲线AB 和曲线BC.其中曲线AB 为抛物线的一部分.点A 为该抛物线的顶点.曲线BC 为另一抛物线252051230y x x =-+-的一部分.且点的横坐标分别为

（1）求该公司累积获得的利润y （万元）与时间第x （月）之间的函数关系式；

（2）直接写出第x 个月所获得S （万元）与时间x （月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）； （3）前12个月中.第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

解：（1）设直线OA 的解析式为y=kx. ∵点O （）.A （）在该直线上. ∴-40=4k.

解得k=-10. ∴y=-10x ；

∵点B 在抛物线y=-5x 2+205x-1230上. 设B （）.则m=320． ∴点B 的坐标为（）． ∵点A 为抛物线的顶点.

∴设曲线AB 所在的抛物线的解析式为y=a （x-4）2-40. ∴320=a（10-4）2-40. 解得a=10.

月)

即y=10（x-4）2-40=10x2-80x+120．

（2）利用第x个月的利润应该是前x个月的利润之和减去前x-1个月的利润之和：

（3）由（2）知当x=时.s的值均为-10.

当x=时.s=20x-90.

即当x=9时s有最大值90.

而在x=时.s=-10x+210.

当x=10时.s有最大值110.

因此第10月公司所获利润最大.它是110万元．

试一试：

1、某水果批发商销售每箱进价为40元的的苹果.物价部门规定每箱售价不得高于55元.市场调查发现.若每箱以50元的价格销售.平均每天销售90箱.价格每提高1元.平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（3）当每箱苹果的售价为多少元时.可以获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1）设y=kx+b.

把已知（）.（）代入得.

故平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为：y=-3x+240；

（2）∵水果批发商销售每箱进价为40元的苹果.销售价x元/箱.

∴该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为：

W=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600．

（3）W=-3x2+360x-9600=-3（x-60）2+1200.