数学分析之不定积分

第八章不定积分

教学要求：

1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。

2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

教学时数：18学时

§ 1 不定积分概念与基本公式（ 4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。

教学重点：深刻理解不定积分的概念。

一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算.

二、讲授新课：

（一）不定积分的定义:

1.原函数：

例1填空: ; ( ;

; ; ;

.

定义. 注意是的一个原函数.

原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法.

原函数的个数:

Th 若是在区间上的一个原函数, 则对，都是

在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有

. ( 证 )

可见，若有原函数，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.

原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ).

可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若在区间上有原函数, 则在区间上有介值性.

例2. 已知为的一个原函数, =5 . 求.

2.不定积分——原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.

例3 ; .

（二）不定积分的基本性质: 以下设和有原函数.

⑴.

(先积分后求导, 形式不变应记牢！).

⑵.

(先求导后积分, 多个常数需当心！)

⑶时，

（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）

⑷

由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有

( 当时,上式右端应理解为任意常数. )

例4. 求. (=2 ).

（三）. 不定积分基本公式:基本积分表. [1]P180—公式1—14.

例5 .

（四）．利用初等化简计算不定积分:

例6. 求.

例7.

例8.

例9.

例10⑴; ⑵

例11.

例12 .

三、小结

§2换元积分法与分部积分法（1 0 学时）

教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

一、新课引入：由直接积分的局限性引入

二、讲授新课：

（一）. 第一类换元法——凑微分法：

由

引出凑微公式.

Th1若连续可导, 则

该定理即为：若函数能分解为

就有

.

例1 .

例2 .

例3

常见微分凑法：

凑法1

例4

例5

例6

例7

由例4—7可见，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1.

例8⑴. ⑵

.

凑法2 . 特别地, 有

.和.

例9 .

例10

例11 .

例12

=.

凑法3

例13 ⑴⑵

例14

例15.

例16

凑法4 .

例17

凑法5

例18

凑法6

.

例19

. 其他凑法举例:

例20. 例21

例22

.

例23.

例24.

例25

例26 .

三、小结

（二）第二类换元法——拆微法：

从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即

= =

=

引出拆微原理.

Th2 设是单调的可微函数,并且又具有原函数. 则有换元公式

(证)

常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.

我们着重介绍三角代换和无理代换.

1. 三角代换:

⑴正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令, 则

例27

解法一直接积分; 解法二用弦换.

例28.

例29

.

⑵正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式即

令. 此时有

变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.

例30.