一元二次方程及解法经典习题及解析

┃知识归纳┃

1．一元二次方程的概念

只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．

[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．

2．一元二次方程的解法

一元二次方程有四种解法：法、法、法和法．

[注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0.

3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac

(1)Δ>0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；

(2)Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；

(3)Δ<0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根．

4．一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝.

[注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.

四大解法

一、开平方法

方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0) 二、配方法

“配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解

1.化1:把二次项系数化为1;

2.移项:把常数项移到方程的右边;

3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;

4.变形:化成

5.开平方，求解

三、公式法

1.必需是一般形式的一元二次方程:

ax2+bx+c=0(a≠0).

2.b2-4ac≥0.

四、因式分解法

1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;

2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:

一移-----方程的右边=0;

二分-----方程的左边因式分解;

三化-----方程化为两个一元一次方程;

四解-----写出方程两个解;

解题技巧：

先考虑开平方法,

再用因式分解法;

最后才用公式法和配方法;

一元二次方程及解法经典习题及解析

一、填空题：

1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ．

42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④

5232=+x x ⑤ 412=+x x

⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a

3．当=k 时，方程05)3()4(2

2=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， ·

5．一元二次方程)0(02

=/=++a c bx ax 的求根公式为： ． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ．

7．不解方程，判断一元二次方程022632

=+--x x x 的根的情况是 ． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ．

9．已知：当m 时，方程0)2()12(2

2=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(2

22=++-+k kx x k 的根的情况是 ． 二、选择题：

11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42

2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2

12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( )

3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D

13．方程02=+x x 的解是( )

x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

14．(2006·广安市)关于X 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )1.->k A 1.>k B 0.=/k C 1.->k D 且0=/k

15．(2006·广州市)一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为( )

3,1.21==x x A 3,1.21-==x x B 3,1.21=-=x x C 3,1.21-=-=x x D

16．解方程.251212;0)23(3)32(;0179;072

222x x x x x x x =+=-+-=--=-④③②① 较简便的方法是( )

A ．依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法

B ．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法

①.C 用直接开平方法，②④用公式法，③用因式分解法

①.D 用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法

17．(2004·云南省)用配方法解一元二次方程.0782=++x x 则方程可变形为( )

9)4.(2=-x A 9)4.(2=+x B 16)8.(2=-x C 57)8.(2=+x D

18．一元二次方程012)1(2

=---x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) 2.>k A 2.k D 且1=/k

19．下列方程中有两个相等的实数根的方程是( )

09124.2=++x x A 032.2=-+x x B

02.2=++x x C 072.2=-+x x D