高二数学期末试卷 人教版
高二数学下学期期末测试卷(理)(人教A版)
高二第二学期数学期末测试卷（理）（满分：100分，考试时间：90分钟）校区： ______________________ 学生姓名： ____________________________4•若 f(x)满足 f (x)= 4x 2, f(1) = -1，则 f(x)为( )A . f (x) = -1 x 4B . f (x) = x 4 -2C . f (x) = x 3-2 D . f (x) = x 4 15.在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点B 到平面ABQ 的距离为（ ）苗aC • aD .3 32 26.已知R 、F 2是椭圆C:笃 匕 -1（a b 0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且a bT —*PF , _ PF 2，若 PF 1F 2的面积为9,则b 的值为（）A . 3B . 2 3C . 4D . 97. 下列有关选项正确的.是（）A.若p q 为真命题，则p q 为真命题B . “ x = 5 ”是"x 2 -4x -5 = 0 ”的充分不必要条件 C.命题“若 x ：：： -1，则 x 2 -2x -3 0 ”的否定为：“若 x - -1，则 x 2 - 3x • 2 乞 0 ”2 ■ 2&已知点P 是椭圆x 4y =4上的任意一点，A （4,0），若M 为线段PA 中点，则点MA . x =1B . y =1C . X - -1D . y = -1(1 -i)(.)=()呻—* T3.已知向量a =(2,4,-4) , b =(2, x,4)，若a 丄b ，则x 的值是()A . 3B . -3C . 1D . -1一、选择题（本大题共 14小题，每小题 3分，共42分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）21 •抛物线y =4x 的准线方程是（ ）D. 已知命题p : x • R，使得x • X-1 ：：： 0 ,则—p : R，使得x • X-1 - 0的轨迹方程是( )与GB 所成的角的大小为 ( )12.已知函数f (x)- px 2 -qx 的图象与x 轴相切于(1,0)点，则f (x)A.(一，一)2 2 A . x-2 4y 12 2B . x -4 4y 12 2C . x 2 4y =122D . x 4 4y=19 •在棱长都为 2的侧棱垂直于底面的平行六面体ABCD - AB I G D 1 中，则面ABC 与底面ABGD!所成角的正弦值为C .2 2x y10 .设双曲线 —2 =1的一条渐近线与抛物线 2 b 1 2 3y = \ 1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 11.在三棱柱 ABC -ABC !中，底面是正三角形,侧棱垂直于底面, 若 AB - 2BB 1 ,则 AB 1A . 60°B . 90°C . 105°75°的轨迹方程是()4A .极大值是，极小值是027C. 极大值为0,极小值为-兰27 4274 4D. 极大值为，极小值为一27 2713.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点, 焦点在x轴上，左右焦点分别为R、F2 ,且它们在第一象限的交点为P , PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围是()2 1B. (一，一)5 2C. (-,2)3 52D . (一，1)514 .对任意X，R，函数f (x)的导数存在，若f(X)• f(x)，且a 0，则下列结论正确的是()A . f(a) ：：f(0)B . f (a) <e a f (0)C . f(a) f(0)D . f(a) e a f (0)B .极大值为0 ,极小值为二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）X15.若f （x） = e x，贝U f （0） = ____ .■* 4 416•若a =（1,—1,0）, b = （0, —1,1），则a,b的夹角大小等于___X y —17.过椭圆N两点，O为坐1的右焦点F作倾斜角为一的直线与椭圆交于标原点，贝U . OMN的面积为 ________ .18•已知曲线f（x）H XCOSX• 1在点（一，1）处的切线与直线ax-y •仁0垂直，则实数2a =_______ .19.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上，点A（X1,yJ, B（X2, y2）, C（X3, y3）在抛物线上，若ABC的重心恰为抛物线的焦点 F ,且| FA | • | FB | • | FC |= 6，则抛物线的方程为________________________ .20.当a°,a1,a2成等差数列时，有比-2厲a^ 0，当a°,a1,a2,a3成等差数列时，有a。
人教版高二数学上册期末试卷
18.盒子中有 5 个大小形状完全相同的小球，其中黑色小球有 3 个，标号分别为 1， 2，3，白色小球有 2 个，标号分别为 1，2.
(Ⅰ)若从盒中任取两个小球，求取出的小球颜色相同且标号之和小于或等于 4 的概 率;
﹣2)x+1>0 对任意 x∈R 恒成立.若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，则实数 m 的取值 范围为()A.(1，4)B.[﹣2，4]C.(﹣∞，1]∪(2，4)D.(﹣∞，1)∪(2，4)12.如图，在 棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，给出以下结论：
①直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60°;
A.B.2C.D.
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)11.若双曲线﹣=1 的焦距为 6，则 m 的值为.
12.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售 点，公司为了调查产品销售的情况，需从这 600 个销售点中，抽取一个容量为 100 的样 本，则应从丙地区中抽取个销售点.
A.4B.﹣4C.2D.﹣2
7.执行如图程序框图，若输出的 S 值为 62，则判断框内为 ()A.i≤4?B.i≤5?C.i≤6?D.i≤7?
8.下列说法中，正确的是()A.命题“若 x≠2 或 y≠7，则 x+y≠9”的逆命题为真命 题
B.命题“若 x2=4，则 x=2”的否命题是“若 x2=4，则 x≠2”C.命题“若 x2<1，则 ﹣1<x<1”的逆否命题是“若 x1，则 x2>1”D.若命题 p：?x∈R，x2﹣x+1>0， q：?x0∈(0，+∞)，sinx0>1，则(￢p)∨q 为真命题
2023-2024学年全国高中高二上数学人教A版(2019)期末试卷(含解析)
2023-2024学年全国高二上数学期末试卷考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 过点且垂直于直线的直线方程为 A.B.C.D.2. 设为等差数列，公差，为其前项和，若，则A.B.C.D.3. 圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离4. 已知是抛物线上一点，是的焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），的周长为，则( )A.B.P (−1,3)x −2y +3=0()2x +y −5=02x +y −1=0x +2y −5=0x −2y +7=0{}a n d =−2S n n +110=2S 10S 11=a 6( )8101214+=4(x +2)2(y −4)2+=9(x −2)2(y −1)2M C :=2px(p >0)y 2F C M C N ∠MFO =120∘O △MNF 12|NF|=417−−√3–√C.D.5. 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 A.B.C.D.6. 已知函数的导函数为，满足， 且，则不等式的解集为( )A.B.C.D.7. 某宝塔塔高多米，九层八面，中间设有螺旋的扶梯.宝塔的扶梯有个奥妙，每上一层，就少了一定的级数.从第四层到第六层，共有级.则此塔中的扶梯共有( )A.级B.级C.级D.级8. 已知 ,则,的大小关系为 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）32–√5+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b22–√2−=1x 2a 2y 2b 2()y =±x 2–√2y =±x2–√y =±2xy =±x 12y =f (x)(x)f ′∀x ∈R (x)>f (x)f ′f (1)=e f (lnx)>x (e,+∞)(1,+∞)(0,e)(0,1)6028117112118110a =4ln ,b =3ln ,c =4ln 3π4ππ3a b,c ()c <b <ab <c <ab <a <ca <b <c=1229. 已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有个不同的点， ，，，组成公差为的等差数列，则( )A.的面积最大时，B.的最大值为C.的值可以为D.椭圆上存在点，使10. 设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是( )A.若，则数列为等比数列B.若，则数列为等比数列C.若则数列为等差数列D.若则数列为等差数列11. 已知函数则下列结论正确的是 （ ）A.B.是增函数C.是周期函数D.的值域为）12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）A.图形关于轴对称B.曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C.曲线上存在到原点的距离超过的点D.曲线所围成的“心形”区域的面积大于F +=1x 225y 216M P 21(i =1,2,3,⋯)P i |F |P 1|F |P 2|F |P 3⋯d △FP M tan ∠FP M =247|F |P 18d 310P ∠FP M =π2{}a n n S n =+n −1a n+1S n =1a 1{+n}S n =1a 1{+1}a n =−1a 1{+n}S n =−1a 1{+1}a n f (x)={+1,x >0,x 4cos2x,x ≤0f (0)=1f (x)f (x)f (x)[−1,+∞C :+=1+|x |yx 2y 2y C 6C 2–√C 3卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为，，，，的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第个“三角形数”是，则第个“三角形数”是 ________，前个“三角形数”的和是________.14. 已知双曲线 的左右焦点分别为，，点在双曲线上．若为直角三角形，且，则双曲线的离心率为________.15. 过点 作圆的两条切线，切点分别为，，则________．16. 已知函数，若在与处导数相等，且恒成立，则实数的最大值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；若点在曲线上，求点到直线的距离的最大值． 18. 设等比数列的公比为，前项和为．若， ，求的值；若，，且，，求的值．19. 设函数，其中.当时，求曲线在点处的切线方程；当时，求函数在区间上的最小值．13610…n n(n +1)256C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2P △P F 1F 2tan ∠P =F 1F 2512P (2,)3–√C :+−2x =0x 2y 2A B ⋅=P A −→−P B −→−f(x)=x ++lnx 1x f(x)x =x 1x =(≠)x 2x 1x 2f()+f()>m x 1x 2m xOy C {x =2cosα,y =sinααx l ρcosθ−2ρsinθ=32–√(1)l C (2)P C P l {}a n q(q ≠1)n S n (1)=1a 1=S 698S 3a 3(2)q >1+=a m a m+252a m+1=9S 2m S m m ∈N ∗m f (x)=−x (x ∈R)(x −a)2a ∈R (1)a =1y =f (x)(2,f(2))(2)a >0f (x)[0,2a]−)120. 在数列中，，当时，其前项和满足．证明：数列为等差数列，并求；设，求数列的前项和．21. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为，且，，是抛物线上异于的两点．求抛物线的标准方程．若直线，的斜率之积为 ，求证：直线恒过定点． 22. 设函数.讨论函数 的极值点的个数；若函数有个极值点，且极小值点为，求证：．{}a n =a 11n ≥2n S n =S 2n (−)a n S n 12(1){}1S na n (2)=b n 2n S n {}b n n T n E :=2py(p >0)x 2F P E P 2|P F|=2A B E O (1)E (2)OA OB −12AB f (x)=mlnx +−2x(m ≠0)x 2(1)f (x)(2)f (x)2x 0f ()>x 0−3−2ln24参考答案与试题解析2023-2024学年全国高二上数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】B【考点】直线的点斜式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】根据题意，易得直线的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．【解答】解：根据题意，易得直线的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点，由点斜式得所求直线方程为．故选.2.【答案】B【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，即，x −2y +3=012−2x −2y +3=012−2P (−1,3)2x +y −1=0B +110=2S 10S 11+11=110a 11a 6+5d +11=110a 6a 6解得.故选.3.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】求出两圆的圆心，半径，计算圆心距，比较圆心距与两半径的关系得出结论．【解答】解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距为.因为，所以两圆外切.故选.4.【答案】A【考点】抛物线的性质【解析】利用抛物线的定义，结合三角形的形状，转化求解即可． 本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查转化思想的应用以及计算能力，属于基础题．【解答】解：因为，所以，又是抛物线上一点，所以，则是等边三角形，则．故选．5.【答案】66=10a 6B +=4(x +2)2(y −4)2(−2,4)2+=9(x −2)2(y −1)2(2,1)3=5+(−2−2)2(4−1)2−−−−−−−−−−−−−−−−√d =+r 1r 2C ∠MFO =120∘∠FMN =60∘M C |FM|=|MN|△FMN |NF|==4123A双曲线的渐近线椭圆的离心率【解析】由椭圆 的离心率为，得到，代入双曲线的渐近线方程中即可求解.【解答】解：椭圆的离心率为，则，解得，故双曲线的渐近线方程为.故选.6.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】首先构造函数，再利用函数的单调性，求出答案即可.【解答】解：设函数，∴，∴单调递增，∵，，则，∴ ，∴，∴.故选.+=1x 2a 2y 2b 2(a >b >0)2–√2a =b 2–√+=1x 2a 2y 2b 2(a >b >0)2–√2===e 2c 2a 2−a 2b 2a 212a =b 2–√−=1x 2a 2y 2b 2y =±x=±xb a 2–√2A g(x)=f (x)e x(x)=>0g ′(x)−f (x)f ′e x g(x)f (1)=e g(1)==1f (1)e 1g(lnx)==>1=g(1)f (lnx)e ln x f(lnx)xg(lnx)>g(1)lnx >1x >e AB【考点】等差数列的前n 项和数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：记第层到第层的级数为，根据题意，知，，故此塔中的扶梯共有(级)，故选.8.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：,已知在是增函数，,.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9.【答案】A,B,Cn n +1a n +=28a 4a 5×8=(+)×4=112+a 1a 82a 4a 5B a =4ln =4πln3,b =3ln =3πln4,c =4ln =12lnπ3π4ππ3lnx （0，+∞）∴ln3<lnπ<ln4，3π<12<4π∴b <c <a B【考点】椭圆的定义和性质等差数列数列与解析几何的综合【解析】【解答】解：由椭圆，当点为短轴顶点时， 最大， 的面积最大，此时，此时角为锐角，故正确，错误；椭圆上的动点，，即有，又椭圆上至少有个不同的点， ，，，组成公差为的等差数列，所以最大值，故正确；设 ，，，组成的等差数列为，公差，则，，又，所以，所以，所以的最大值是，故正确.故选. 10.【答案】A,C,D【考点】等比关系的确定等差关系的确定【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以．若，则 ，+=1x 225y 216P ∠FP M △FP M tan ∠FP M =247A D P a −c ≤|P |≤a +c F 12≤|P |≤8F 121(i =1,2,3，⋯)P i |F |P 1|F |P 2|F |P 3⋯d |F |P 18B |F |P 1|F |P 2|F |P 3⋯{}a n d >0≥2a 1≤8a nd =−a n a 1n −1d ≤≤=6n −1621−13100<d ≤310d 310C ABC =2+n −1S n+1S n +n +1=2(+n)S n+1Sn =1a 1+1=2≠0S 1=2+n +1S +12+2n S所以．故数列是等比数列，故正确；所以，则.当 时，，由，，可得，，，即，故错误；若，则由 得，此时数列为等差数列，故正确，此时可求得，，此时数列为等差数列，故正确．故选．11.【答案】A,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：，故正确；当时，不是单调函数，此时，当时，，综上，即函数的值域为，故，错误，正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】曲线与方程【解析】利用题中给出的曲线的方程，通过将变换为，即可判断选项；通过方程，确定和的取值情况，即可判断选项；利用基本不等式以及两点间距离公式进行分析求解，即可判断选项；求出曲线所围成的面积，即可判断选项．【解答】1==2+n +1S n+1+n S n 2+2n S n +n S n {+n}S n A +n =S n 2n =−n S n 2n n ≥2=−=−1a n S n S n−12n−1=1a 1=1a 2=3a 3+1=2a 1+1=2a 2+1=4a 3≠+1a 3+1a 2+1a 2+1a 1B =−1a 1+n +1=2(+n)S n+1S n +n =0S n {+n}S n C =−1a n +1=0a n {+1}a n D ACD f(0)=cos0=1A x ≤0f(x)=cos2x −1≤cos2x ≤1x >0f(x)=+1>1x 4f(x)≥−1[−1,+∞)B C D AD x −x A x y B C C D −1＝xy ≤+22对于选项，当时，由，可得，当且仅当取等号，所以，所以，故曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故选项错误（1）对于，在轴上方图形的面积大于矩形的面积，在轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积，因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故选项正确．故选：．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】,【考点】数列的求和【解析】直接利用规律求得第，个，即可求出答案.【解答】解：由题意得：第个“三角形数”是；第个“三角形数”是；故前个“三角形数”是.故答案为：；.14.【答案】或【考点】双曲线的离心率双曲线的定义【解析】分两种情况，利用勾股定理和双曲线的性质，定义求解即可.C x >0+=1+xy x 2y 2+−1＝xy ≤x 2y 2+x 2y 22x =y +≤2x 2y 2≤+x 2y 2−−−−−−√2–√C y 2–√C 2–√C D x 1×2=2x ×2×1＝112C 2+1=3D ABD 1556565=155×(5+1)26=216×(6+1)261+3+6+10+15+21=56155613732解：为直角三角形，①若，且，可设，则，由勾股定理可知，由双曲线的定义可知，则双曲线的离心率为；②若，且，可设，则，由勾股定理可知，由双曲线的定义可知，则双曲线的离心率为.故答案为：或.15.【答案】【考点】两点间的距离公式平面向量数量积【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，所以圆心，半径为，所以|，，，所以．故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题△P F 1F 2∠P =F 2F 190∘tan ∠P =F 1F 2512|P |=5m F 2||=2c =12m F 1F 2|P |=13m F 12a =|P |−|P |=8mF 1F 2e ===2c 2a 12m 8m 32∠P =F 2F 190∘tan ∠P =F 1F 2512|P |=5m F 2|P |=12m F 1||=2c =13m F 1F 22a =|P |−|P |=7m F 1F 2e ===2c 2a 13m 7m 1371373232+−2x =0x 2y 2+=1(x −1)2y 2C (1,0)1P C|=2||=||=P A −→−P B −→−3–√∠AP B =60∘⋅=||⋅||⋅cos =P A −→−P B −→−P A −→−P B −→−60∘32325+ln2此题暂无解析【解答】解：，令，得，，由韦达定理得，即，得，∴，令，则，令，则，得，∵恒成立，∴实数的最大值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】解：由 （为参数），得，所以曲线的普通方程为．由，得，所以直线的直角坐标方程为（或）．由题意可设，则点到直线的距离为 . 因为，所以，所以，即 . 所以点到直线的距离的最大值为 .【考点】参数方程与普通方程的互化点到直线的距离公式(x)=1−+f ′1x 21x ()=()=m f ′x 1f ′x 21−+−m =01x 211x 11−+−m =01x 221x 2+=11x 11x 2+=>2x 1x 2x 1x 2x 1x 2−−−−√>4x 1x 2f()+f()=(+)+(+)+(ln +ln )x 1x 2x 1x 21x 11x 2x 1x 2=+ln()+1x 1x 2x 1x 2t =>4x 1x 2+ln()+1=t +lnt +1x 1x 2x 1x 2g(t)=t +lnt +1(t >4)(t)=1+>0(t >4)g ′1t g(t)>g(4)=5+ln4=5+2ln2f()+f()>m x 1x 2m 5+2ln25+2ln2(1){x =2cosα,y =sinαα+=1x 24y 2C +=1x 24y 2ρcosθ−2ρsinθ=32–√x −2y =32–√l x −2y −3=02–√y =x −1232–√2(2)P (2cosα,sinα)P l d =|2cosα−2sinα−3|2–√5–√=|2cos(α+)−3|2–√π42–√5–√−1≤cos(α+)≤1π4−5≤2cos(α+)−3≤−2–√2–√π42–√2–√≤≤10−−√5|2cos(α+)−3|2–√π42–√5–√10−−√≤d ≤10−−√510−−√P l 10−−√三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由 （为参数），得，所以曲线的普通方程为．由，得，所以直线的直角坐标方程为（或）．由题意可设，则点到直线的距离为 . 因为，所以，所以，即 . 所以点到直线的距离的最大值为 .18.【答案】解：．∵，∴，解得，∴．∵， ∴，得，∵，∴．由， ，又，∴，即.∵，则，∴，解得．【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式(1){x =2cosα,y =sinαα+=1x 24y 2C +=1x 24y 2ρcosθ−2ρsinθ=32–√x −2y =32–√l x −2y −3=02–√y =x −1232–√2(2)P (2cosα,sinα)P l d =|2cosα−2sinα−3|2–√5–√=|2cos(α+)−3|2–√π42–√5–√−1≤cos(α+)≤1π4−5≤2cos(α+)−3≤−2–√2–√π42–√2–√≤≤10−−√5|2cos(α+)−3|2–√π42–√5–√10−−√≤d ≤10−−√510−−√P l 10−−√(1)=+++++S 6a 1a 2a 3a 4a 5a 6=+++++a 1a 2a 3a 1q 3a 2q 3a 3q 3=(+1)S 3q 3=S 698S 3(+1)=S 3q 398S 3q =12==a 3a 1q 214(2)+=a m a m+252a m+1+=q a m a m q 252a m −q +1=0q 252q >1q =2=9S 2m S m =9×(1−)a 122m 1−2(1−)a 12m 1−2≠0a 11−=9(1−)22m 2m (1−)(1+)=9(1−)2m 2m 2m m ∈N ∗1−≠02m 1+=92m m =3此题暂无解析【解答】解：．∵，∴，解得，∴．∵， ∴，得，∵，∴．由， ，又，∴，即.∵，则，∴，解得．19.【答案】解：当时，，∴，∴，则．∴曲线在点处的切线方程是，整理得．∵ ，∴．令，解得或．已知，当变化时，得到的正负如下表：∴，，，，∴在区间上的最小值为.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(1)=+++++S 6a 1a 2a 3a 4a 5a 6=+++++a 1a 2a 3a 1q 3a 2q 3a 3q 3=(+1)S 3q 3=S 698S 3(+1)=S 3q 398S 3q =12==a 3a 1q 214(2)+=a m a m+252a m+1+=q a m a m q 252a m −q +1=0q 252q >1q =2=9S 2m S m =9×(1−)a 122m 1−2(1−)a 12m 1−2≠0a 11−=9(1−)22m 2m (1−)(1+)=9(1−)2m 2m 2m m ∈N ∗1−≠02m 1+=92m m =3(1)a =1f (x)=−x =−+2−x(x −1)2x 3x 2f (2)=−2(x)=−3+4x −1f ′x 2(2)=−5f ′y =−x (x −1)2(2,−2)y +2=−5(x −2)5x +y −8=0(2)f (x)=−x =−+2a −x (x −a)2x 3x 2a 2(x)=−3+4ax −=−(3x −a)(x −a)f ′x 2a 2(x)=0f ′x =a 3x =a a >0x (x)f ′x (0,)a 3a 3(,a)a 3a (a,2a)(x)f ′−0+0−f ()=−a 3427a 3f (a)=0f (2a)=−2a 3f (0)=0f (x)[0,2a]−2a 3解：当时，，∴，∴，则．∴曲线在点处的切线方程是，整理得．∵ ，∴．令，解得或．已知，当变化时，得到的正负如下表：∴，，，，∴在区间上的最小值为.20.【答案】证明：数列中，，当时，其前项和满足．可得，化为，由可得，可得为首项为，公差为的等差数列；可得，即，时，，∴解：，前项和，，相减可得，故．(1)a =1f (x)=−x =−+2−x(x −1)2x 3x 2f (2)=−2(x)=−3+4x −1f ′x 2(2)=−5f ′y =−x (x −1)2(2,−2)y +2=−5(x −2)5x +y −8=0(2)f (x)=−x =−+2a −x (x −a)2x 3x 2a 2(x)=−3+4ax −=−(3x −a)(x −a)f ′x 2a 2(x)=0f ′x =a 3x =a a >0x (x)f ′x (0,)a 3a 3(,a)a 3a (a,2a)(x)f ′−0+0−f ()=−a 3427a 3f (a)=0f (2a)=−2a 3f (0)=0f (x)[0,2a]−2a 3(1){}a n =a 11n ≥2n S n S =(−)2n a n S n 12S =(−)(−)2n S n S n−1S n 122=S n S n−1−S n−1S n ≠0S n S n−1−=21S n 1S n−1{}1S n 12=1+2(n −1)=1S n 2n −1=S n 12n −1n ≥2=−a n S n S n−1=−12n −112n −3=−2(2n −1)(2n −3)= a n 1,n =1.,n ≥2.−2(2n −1)(2n −3)(2)==(2n −1)⋅b n 2n S n 2n n =T n 1×2+3×4+5×8+⋯+(2n −1)⋅2n 2=T n 1×4+3×8+5×16+⋯+(2n −1)⋅2n+1−=T n 2+2(4+8+...+)−(2n −1)⋅2n 2n+1=2+2⋅−(2n −1)⋅4(1−)2n−11−22n+1=T n 6+(2n −3)⋅2n+1数列递推式等差关系的确定数列的求和【解析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】证明：数列中，，当时，其前项和满足．可得，化为，由可得，可得为首项为，公差为的等差数列；可得，即，时，，∴解：，前项和，，相减可得，故．21.【答案】解：()由题意得，==(2n −1)⋅b n 2nS n2n (1){}a n =a 11n ≥2n S n S =(−)2n a n S n 12S =(−)(−)2n S n S n−1S n 122=S n S n−1−S n−1S n ≠0S n S n−1−=21S n 1S n−1{}1S n12=1+2(n −1)=1S n2n −1=S n 12n −1n ≥2=−a n Sn S n−1=−12n −112n −3=−2(2n −1)(2n −3)=a n 1,n =1.,n ≥2.−2(2n −1)(2n −3)(2)==(2n −1)⋅b n 2n S n2n n =T n 1×2+3×4+5×8+⋯+(2n −1)⋅2n2=T n 1×4+3×8+5×16+⋯+(2n −1)⋅2n+1−=T n 2+2(4+8+...+)−(2n −1)⋅2n 2n+1=2+2⋅−(2n −1)⋅4(1−)2n−11−22n+1=T n 6+(2n −3)⋅2n+11F (0,)p 2(2,),=2−p设，由点是上一点，，得，即，抛物线的标准方程为．()设， ，由题可知，得，可知直线斜率存在，设直线的方程为，，可得， ，直线过定点．【考点】抛物线的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】无无【解答】解：()由题意得，设，由点是上一点，，得，即，抛物线的标准方程为．()设， ，由题可知，得，可知直线斜率存在，设直线的方程为，，可得， ，直线过定点．22.P (2,),=2−y 0y 0p 2P E ∴4=2p(2−)p 2−4p +4=0p 2p =2∴E =4y x 22A(,)x 114x 21B(,)x 214x 22⋅=⋅==−k OA k OB x 14x 24x 1x 21612=−8x 1x 2AB AB y =kx +m {⇒−4kx −4m =0y =kx +m,=4y,x 2x 2=−4m =−8x 1x 2∴m =2∴AB (0,2)1F (0,)p 2P (2,),=2−y 0y 0p 2P E ∴4=2p(2−)p 2−4p +4=0p 2p =2∴E =4y x 22A(,)x 114x 21B(,)x 214x 22⋅=⋅==−k OA k OB x 14x 24x 1x 21612=−8x 1x 2AB AB y =kx +m {⇒−4kx −4m =0y =kx +m,=4y,x 2x 2=−4m =−8x 1x 2∴m =2∴AB (0,2)【答案】解：的定义域为，，令，，当时．，故无极值点；当时，，设是方程的两根．则，.则当时，，所以只有一个极值点.当时，有两个极值点．综上，当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，只有一个极值点.证明：由知，当时，有两个极值点，，，所以.则在内为增函数，在内为减函数，在内为增函数．所以的极小值点为.由，得，所以，令，其中．则，当时，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，，所以的极大值大于.【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究不等式恒成立问题【解析】(1)对函数进行求导后，根据的不同取值分类讨论函数的极值点个数.(2)将转化为只关于的关系式进行求解.【解答】(1)f (x)(0,+∞)(x)=+2x −2=f ′m x 2−2x +m x 2x 2−2x +m =0x 2Δ=4−8m =4(1−2m)m ≥12(x)≥0f ′f (x)m <12Δ>0x 1,x 22−2x +m =0x 2(<)x 1x 2+=1x 1x 2=x 1x 2m 2m ≤0≤0<x 1x 2f (x)0<m <12f (x)m ≥12f(x)0<m <12f (x)m ≤0f (x)(2)(1)0<m <12f(x)+=1x 1x 2=>0x 1x 2m 20<<<<1x 112x 2f(x)(0,)x 1(,)x 1x 2(,+∞)x 1f (x)=x 0x 22−2+m =0x 22x 2m =−2+2x 22x 2f()=mln +−2=(−2+2)ln +−2x 2x 2x 22x 2x 22x 2x 2x 22x 2g(t)=(−2+2t)lnt +−2t t 2t 2<t <112(t)=(2−4t)lnt g ′t ∈(0,)12(t)<0g ′g(t)(0,)12t ∈(,1)12(t)>0g ′g(t)(,1)12t ∈(,1)12g(t)>g()=12−3−2ln24f(x)−3−2lg24f (x)αf (x)f ()+f ()x 1x 2α(1)f (x)(0,+∞)解：的定义域为，，令，，当时．，故无极值点；当时，，设是方程的两根．则，.则当时，，所以只有一个极值点.当时，有两个极值点．综上，当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，只有一个极值点.证明：由知，当时，有两个极值点，，，所以.则在内为增函数，在内为减函数，在内为增函数．所以的极小值点为.由，得，所以，令，其中．则，当时，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，，所以的极大值大于.(1)f (x)(0,+∞)(x)=+2x −2=f ′m x 2−2x +m x 2x 2−2x +m =0x 2Δ=4−8m =4(1−2m)m ≥12(x)≥0f ′f (x)m <12Δ>0x 1,x 22−2x +m =0x 2(<)x 1x 2+=1x 1x 2=x 1x 2m 2m ≤0≤0<x 1x 2f (x)0<m <12f (x)m ≥12f(x)0<m <12f (x)m ≤0f (x)(2)(1)0<m <12f(x)+=1x 1x 2=>0x 1x 2m 20<<<<1x 112x 2f(x)(0,)x 1(,)x 1x 2(,+∞)x 1f (x)=x 0x 22−2+m =0x 22x 2m =−2+2x 22x 2f()=mln +−2=(−2+2)ln +−2x 2x 2x 22x 2x 22x 2x 2x 22x 2g(t)=(−2+2t)lnt +−2t t 2t 2<t <112(t)=(2−4t)lnt g ′t ∈(0,)12(t)<0g ′g(t)(0,)12t ∈(,1)12(t)>0g ′g(t)(,1)12t ∈(,1)12g(t)>g()=12−3−2ln24f(x)−3−2lg24。
人教版高二上学期期末数学试卷(理)(有答案)
黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．32．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．104．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．大庆高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3【解答】解：∵向量，，∴=﹣4+4x﹣8=0，解得x=3．故选：D．2．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=x+lnx，∴f′（x）=1+∴f′（1）=1+=2故选B3．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．10【解答】解：设高一学生有x人，则高三有2x，高二有x+300，∵高一、高二、高三共有学生3500人，∴x+2x+x+300=3500，∴x=800，∵按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，∴应抽取高一学生数为=8故选A．4．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系【解答】解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：C．5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A．B．C． D．【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：，集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：．故选：B．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．【解答】解：对于A，函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）=0，则“函数f（x）为奇函数”是“f（0）=0”的非充分非必要条件，故A错误；对于B，已知A，B，C不共线，若=，可得+==2，（D为AB的中点），即有P在AB的中线上，同理P也在BC的中线上，在CA的中线上，则P是△ABC的重心，故B正确；对于C，命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”，由命题的否定形式，可得C 正确；对于D，由逆否命题的形式可得，命题“若α=，则cosα=”的逆否命题为“若cosα≠，则α≠”，故D正确．故选：A．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：设双曲线的右焦点F2（c，0），令x=﹣c，可得y=±，可得A（c，﹣），B（c，），又设D（0，b），△ABD为直角三角形，可得∠DBA=90°，即b=或∠BDA=90°，即=0，解：b=可得a=b，c=，所以e==；由=0，可得：（c，）（c，﹣）=0，可得c2+b2﹣=0，可得e4﹣4e2+2=0，e＞1，可得e=，综上，e=或．故选：D．9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，可得=2c=4，解可得m=﹣3，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x；故选：D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]【解答】解：∵f（x）=x2﹣9lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选A．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为x2+y2=．【解答】解：连接OP，AB，OA，OB，∵PA，PB是单位圆O的切线，∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OPA=∠OPB=∠APB=60°，又OA=OB=1，∴OP=，∴P点轨迹为以O为圆心，以为半径的圆，∴P点轨迹方程为x2+y2=．故答案为：x2+y2=．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+ (i)的值，由于sin，k∈Z的取值周期为6，且2017=336×6+1，所以S=sin+sin+…sin=336×（sin+sin+…+sin）+sin=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为（﹣1，3）．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x，有g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=e﹣x﹣e x=﹣g（x），则g（x）为奇函数，对于g（x）=e x﹣e﹣x，其导数g′（x）=e x+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，且g（0）=e0﹣e0=0，f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）＞﹣[f（4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），又由函数g（x）为增函数，则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0解可得：﹣1＜x＜3，即实数x的取值范围为（﹣1，3）；故答案为：（﹣1，3）．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2 （x﹣2），与y2=8x联立，消去y得x2﹣5x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=5．由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，（2）由x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），又y2=8x3，即[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），即（2λ﹣1）2=4λ+1，解得λ=0或λ=2．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为3×3=9个．满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1）共5个，所以所求概率．（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得．所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以所求概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．【解答】解：（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．A（0，1，0），，C（0，﹣1，0），，P（0，1，2），设，，，则=（）．设平面PEC的法向量为=（x，y，z），，，则，∴，取y=﹣1，得=（﹣，﹣1，1）．∵AF∥平面PEC，∴=﹣3λ+λ+2﹣2λ=0，解得，∴F为PD中点．（2）=（，，0），=（，﹣，0），设平面PEA的法向量=（x，y，z），则，取x=，得平面PEA的法向量=（，﹣3，0），设平面PED的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），cos＜＞===﹣，由二面角D﹣PE﹣A为锐二面角，因此，二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…（3分）∴椭圆的方程为．…（4分）（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．设，，则为定值．…（5分）②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…（6分）依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（7分）又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以=====．．…．…（13分）综上得k1+k2为常数2..…．…（14分）22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．【解答】解：（1）∵，且x＞0，∴．令，则．①当a≤0时，U'（x）＞0，U（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，∴x＞1时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．②当0＜a＜2时，时，U'（x）＞0，U（x）在上为单调递增函数，∴，U（x）＞U（1）=0，不合题意．③当a＞2时，，U'（x）＜0，U（x）在上为单调递减函数．∴时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．④当a=2时，x∈（0，1），U'（x）＞0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数．x∈（1，+∞），U'（x）＜0，U（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．∴U（x）≤0，符合题意．综上，a=2．（2），x∈[1，e2]．g'（x）=lnx﹣ax．令h（x）=g'（x），则由已知h（x）=0在（1，e2）上有两个不等的实根．（A）①当时，h'（x）≥0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意．②当a≥1时，h'（x）≤0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意．③当时，，h'（x）＞0，，h'（x）＜0，所以，h（1）＜0，，h（e2）＜0，解得．（B）证明：由已知lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2）．不妨设x1＜x2，则，则=．令，（0＜x＜1）．则，∴G（x）在（0，1）上为单调递增函数，∴即，∴，∴，∴，由（A），∴ae＜1，2ae＜2，∴．。
高二上期末真题精选(人教A版选修二数列常考63题 压轴17题)(原卷版)25学年高二数学上学期期末
专题03高二上期末真题精选（数列常考65题压轴17题）数列常考题考点01：等差数列通项的基本量计算考点02：等差数列角标和性质考点03：等差数列前n项和基本量计算考点04：等差数列前n项和性质考点05：等比数列通项的基本量计算考点06：等比数列角标和性质考点07：等比数列前n项和基本量计算考点08：等比数列前n项和性质考点09：数列求通项考点10：数列求和之倒序相加法考点11：数列求和之分组求和法考点12：数列求和之裂项相消法考点13：数列求和之错位相减法数列压轴题压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）压轴二：数列求和之裂项相加法压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题一、等差数列通项的基本量计算（共4小题）1．（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列{}n a 中，234518,10a a a a ++==，则其前100项和为（）A ．5050B ．10010C ．10100D ．110002．（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列{}n a 满足3616a a +=，且534a a -=，则首项1a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．33．（23-24高二下·河南南阳·期末）若{}n a 是正项无穷的等差数列，且396a a +=，则{}n a 的公差d 的取值范围是（）A ．[)12，B ．305⎛⎫⎪⎝⎭，C ．35∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，D ．305⎡⎫⎪⎢⎣⎭，4．（23-24高二下·四川成都·期末）记为等差数列{}n a 的前n 项和，若1122S =，则6a =（）A ．2B ．3C ．10D ．4二、等差数列角标和性质（共4小题）1．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列{}n a 满足2120n n n a a a +++-=，已知7118a a a +=，则{}n a 的前19项和19S =（）A ．0B ．8C ．10D ．192．（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足15m p a a a a +=+，则41m p+的最小值为（）A ．9B ．32C ．54D ．343．（23-24高二上·陕西西安·期末）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1354686,12a a a a a a ++=++=，则8S =（）A ．8B ．12C ．18D ．244．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，无论首项1a 和公差d 如何变化，19S 始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（）A ．9a B ．10a C ．71112a a a ++D ．11415a a a ++三、等差数列前n 项和基本量计算（共3小题）1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若47a =，416S =，则2a =（）A ．3B ．4C ．5D ．62．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230S >，240S <，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n a 是递增数列B ．130a >C ．当n S 取得最大值时，12n =D ．1312a a >3．（23-24高三上·河北·期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若438,18a S ==，则11S =．四、等差数列前n 项和性质（共6小题）1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若482,16S S ==，则12S =（）A ．30B ．26C ．56D ．422．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）设等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若3315n n S n T n +=+，则1010a b =（）A ．1136B ．2372C ．724D ．7233．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若231n n S n T n =+，则2835a ab b +=+（）A ．911B ．711C ．1013D ．9144．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列命题正确的有（）.A ．若{}n a 为等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --一定是等差数列B ．若{}n a 为等比数列，则232,,n n n n n S S S S S --一定是等比数列C ．若112,2n n a S a +=+=，则{}n a 一定是等比数列D ．若n n S na =，则{}n a 一定是等比数列5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若132619S S ==，，则52S =.6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，且21n n S nT n =+，则66a b =.五、等比数列通项的基本量计算（共3小题）1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等差数列{}n a 的公差不为0，且139,,a a a 成等比数列，则139,,a a a 的公比是（）.A ．1B ．2.C ．3D ．52．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，5227a a =，480S =，则1a =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（23-24高二下·江西九江·期末）设{}n a 是等比数列，且1232343,6a a a a a a ++=-++=，则6a =.六、等比数列角标和性质（共3小题）1．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列{}n a 中，4148a a =，231a a =，则13a =（）A ．64B ．128C ．3642D ．312822．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列{}n b 的各项均为正数，若313238log log log 4b b b ++⋅⋅⋅+=，则45b b 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，388a a =，则2427log log a a +=．七、等比数列前n 项和基本量计算（共3小题）1．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，32123S a a =+，且516a =，则1a =．2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列{}n a 满足：()12n n a a n *+=∈N ，其前n 项和为n S ，若7127S =，则1a =.3．（22-23高三上·广东肇庆·阶段练习）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且37S =，663S =，则7a =.八、等比数列前n 项和性质（共3小题）1．（多选）（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +-=，若不等式312(1)1n n n a λ-+⋅-≥+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的值可以是（）A ．1B ．0C ．1-D ．2-2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若55S =，1015S =，则15S 的值为.3．（23-24高二上·广东·期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若484,12S S ==，则12S =.九、数列求通项（共16小题）1．（23-24高二下·安徽·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S n a +=-，则5a =（）A ．16B ．31C ．47D ．632．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3452k k S S ==，，则4k S =．3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列()4n n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前12项和12S =.4．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列{}n a 中，13a =，且()1lg21n n na a n n -=+≥-，则100a =.5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列{}n a 各项均为正数，且首项为1，221122n n n n n na a a a ++++=，则20a =．6．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列{}n a 中，1133,2n n a n a a n ++==+，则97a =．7．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列{}n a 中，14a =，()12n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式为n a =.()*n ∈N 8．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,2n n a S S +=-=，则n a =9．（23-24高三下·四川·期末）若数列{}*(N )n a n ∈的前n 项和为n S ，11a =，2(1)n n S n a =+，则数列{}n a 的通项公式为n a =．10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式n a =．11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且()*1121N 2n n n a S n ++=+∈，则n a =.12．（23-24高二上·宁夏银川·期末）数列{}n a 中的前n 项和22n n S =+，数列2{log }n a 的前n 项和为n T ，则20T ＝.13．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列{}n a 满足()()1113,3114n n n n a a a a a ++=-++=-，则n a =.14．（22-23高二上·广东·期末）已知首项为2的数列{}n a 对*N n ∀∈满足134n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =.15．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列{}n a 满足19a =-，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=，则n b =；n a 的最小值为.16．（23-24高一下·上海·期末）数列{}n a 满足1112,32n n n a a a ++==+，则数列{}n a 的通项公式为n a =.十、数列求和之倒序相加法（共4小题）1．（21-22高二上·江西九江·期末）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行123100++++L 的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列298299-=-n n a n ，则1298+++= a a a （）A ．96B ．97C ．98D ．992．（21-22高二下·广东佛山·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n n S S S n +++=+ ，设函数()1cos 2f x x π=+，则n a =，32021122022202220222022a a a a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3．（21-22高二上·安徽六安·期末）已知函数1()1f x x =+，数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则()()()()()1231819f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=．4．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）设函数()3log 1x f x x =-，定义121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中n N *∈，2n ≥，则n S =.十一、数列求和之分组求和法（共6小题）1．（23-24高二下·云南保山·期末）已知{}n a 的前n 项和是n S ，且1,2n n S na a ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()1,1,n n n na n b n n n a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．2．（23-24高二上·河南郑州·期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5332S S =-，221n n a a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的首项为1-，且对任意的*n ∈N 都有10n n b b ++=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．3．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项12a =，22nn S a n n=+-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．4．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列{}n a ，满足25215a a +=，47a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令(1)n n n b a =-，求{}n b 的前2n 项和2n T ．5．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足33a =，425S a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前10项和10T ．6．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线2y x =+的图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n b a -是首项为1且公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．十二、数列求和之裂项相消法（共5小题）1．（23-24高二下·陕西西安·期末）在等差数列{}n b 中，11b =，321log n n b a -=，且12是1a ，321a +的等比中项．(1)求{}n b 的通项公式；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为()2*,2N n n S S n n n =+∈，数列{}n b 为等比数列，且21a -，31a +分别为数列{}n b 第二项和第三项.(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n M ；(3)若数列()211log n n nd a b =+，证明：数列{}n d 的前n 项和1n T <.3．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）设正项数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，其前n 项和为n S ，已知()2123,2n n a a a S d+==.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n S S +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为23n S n n =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令()*11n n n b n a a +=∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：14n T <.5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，11a =且211n n n S S a +++=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()242121nn n n a b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .十三、数列求和之错位相减法（共5小题）1．（23-24高二下·湖南·期末）数列{}n a 的前n 项和为12,3,5n S a a ==，当2n ≥时，11211n n n S S S n n n -+=+-+，数列{}n b 满足：3n n ab =.(1)证明：数列{}n b 是等比数列；(2)记数列n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .2．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131324n n n S a +=-⨯，其中*N n ∈．(1)证明3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列2421n a n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和nT 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列{}n a 满足2211230n n n n a a a a ++--=，且13.a =(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若{}3log n n a a ⋅的前n 项和为n S ，求n S .4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-.(1)求证：{}1n a -是等比数列；(2)若n n b n a =⋅，求{}n b 的前n 项和n T .5．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知数列{}n a 的首项为112a =，且满足131n n n a a a +=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题）1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数n 都有11n n a a n +=++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，()1nn n b n a =--，（*n ∈N ），若{|100=≤A n n 且*}100,≤∈n T n N ，求集合A 中所有元素的和．2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知数列{}n a ，{}n b 满足{}n a 的前1n +项和()21122n n n a S b -++=+，11n n n n b b b b ++=-，且11b =.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的通项公式.3．（22-23高三上·山东青岛·期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.4．（21-22高三上·天津河西·期末）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36S =，2a ，4a ，8a 成等比数列，数列{}n b 满足11b =，121n n b b +=+.(1)求数列{}n a 和{}n b 通项公式；(2)求20110sin 2k k k a a π=⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭∑的值；(3)证明()1122n k k k b n n b *+=<+∈∑N 压轴二：数列求和之裂项相加法（共6小题）1．（23-24高二下·天津·期末）已知数列{}n a 是递增的等差数列，{}n b 是等比数列，1122b a ==，求222b a =，342b a =(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记数列(){}21n n a -的前n 项和为n S ，若2n n mb S >对*N n ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围；(3)设1231n n n c a a a a += ，求1ni i c =∑的值.2．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+．(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设142n n n n n ab a a ++=，求数列{}n b的前n 项和n T ；(3)若数列{}n c 满足11111,12n n n c c c a ++==+，求证：12111223nn c c c ++⋯+>+-3．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列{}n a 满足112a =，358a =，且数列{}2n n a 是等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设23(21)n n nb n a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S．4．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列{}n a 中，12a =，1232nn n a a +=+⋅．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()22(1)(31)n n a n b n n n -=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21524a a a =，且430S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)令131n n n n n a b a a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2=6a ，12=n n S na +．(1)求{}n a 的通项公式；(2)已知数列21(1)(31)(32)n n n a b n n +=-⋅-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共7小题）1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列{}n a 满足114n n a a n ++=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()1111n n n b a a +=-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：316n T <.2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列{}n a 满足35a =，11892a a +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且221n n n b a a +=-，若440m T >，求正整数m 的最小值．3．（22-23高二下·天津·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()*131N n n S S n +=+∈；等差数列{}n b 前n 项和为n T 满足7549,9T b ==.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设12n n n a c b n n+=⋅+，求数列{}n c 的前n 项和；(3)设12n n n n a a a n P b b b +++=+++ ，若0λ∀>，对任意的正整数n 都有322723n n k P n λλ-+≥-恒成立，求k 的最大值.4．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列{}n a 满足12a =，且()*1231N n a a a a n n =+∈ ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n na b =，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若31n S n λ+≥+恒成立，求实数λ的取值范围．5．（22-23高三上·天津东丽·期末）若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()11543543154a b a a a b b b ===-=-，，．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对任意的正整数n ，设()21132n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，，为偶数．求数列{}n c 的前2n 项和．(3)记{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11211n n n n S a m n b a ++⎡⎤-≤+--⎣⎦对于*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．6．（21-22高一下·四川广安·期末）已知数列{}n a 中，11a =，()()1134n n a a +-⋅+=-．(1)证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2121n n n b n a -=⋅⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)若存在*N n ∈，使得()()()()21233333n a a a a kn +⋅+⋅++≤L L 成立，求实数k 的取值范围．7．（21-22高二上·浙江杭州·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，()2112n n n n a S a S n ++--=-≥.记()221log n n b a +=.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设数列4n n b n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ，求使得不等式1361122n n n T +>-+成立的n 的最小值.。
高中高二数学下学期期末试题 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣72．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．103．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．724．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±35．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣16．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.59．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC210．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣403411．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．14．（）dx=．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）=．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：曰需48 49 50 51 52 53 54求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】A2：复数的基本概念．【分析】直接由题意求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，∴a=2，b=3，则a﹣b=﹣1．故选：B．2．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性即可得出a﹣2=2．【解答】解：∵随机变量ξ～N（l，25），∴P（ξ≤0）=P（ξ≥2），∴a﹣2=2，即a=4．故选A．3．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在2、4之中任选1个，安排在个位，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求五位数为偶数，需要在2、4之中任选1个，安排在个位，有2种情况，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，有A44=24种情况，则有2×24=48个五位偶数，故选：B．4．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±3【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项式（x+a）10的展开式中，令x的幂指数等于8，求得r的值，可得x8的系数，再根据x8的系数为45，求得a的值．【解答】解：二项式（x+a）10的展开式的通项公式为 T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=8，求得r=2，可得x8的系数为•a2=45，∴a=±1，故选：A．5．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣1【考点】67：定积分．【分析】由题意首先求得原函数，然后利用微积分基本定理即可求得定积分的值．【解答】解：由微积分基本定理可得．故选：C．6．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】由题意利用条件概率的计算公式，求得甲中奖的前提下乙也中奖的概率．【解答】解：每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，设甲中奖概率为P（A），乙中奖的概率为P（B），两人都中奖的概率为P（AB），则P（A）=0.6，P（B）=0.6，两人都中奖的概率为P（AB）=0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为P（B/A）===，故选：D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的实际应用，首先求得交点坐标，然后结合题意结合定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积．【解答】解：联立直线与曲线的方程：可得交点坐标为（﹣2，2），（4，8），结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：．故选：D．8．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.5【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表中数据计算、，代入回归直线方程中求出m的值．【解答】解：根据表中数据，计算=×（0+1+2+3+4）=2，=×（1.2+m+2.9+4.1+4.7）=，代入回归直线方程=x+1中，得=2+1，解得m=2.1．故选：B．9．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC2【考点】F3：类比推理．【分析】由题意结合平面与空间类比的关系即可得出题中的结论．【解答】解：平面与空间的对应关系为：边对应着面，边长对应着面积，结合题意类比可得．故选：C．10．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣4034【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，两边同时对x求导，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017 的值．【解答】解：在（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017中，两边同时对x求导，可得﹣2×2017（3﹣2x）2016=a1+2a2（x﹣1）+…+2017a2017（x﹣1）2016，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017=﹣4034，故选：D．11．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】求出f′（x）的解析式，判断奇偶性，再根据f″（x）的单调性得出f′（x）的增长快慢变化情况，得出答案．【解答】解：f′（x）=x+sin（x+π）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f′（x），∴f′（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；∵f″（x）=1﹣cosx在（0，π）上是增函数，∴f′（x）在（0，π）上的增加速度逐渐增大，排除C，故选A．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的单调性得到x+1＞x2﹣5＞0，解不等式即可．【解答】解：∵f（x）＞﹣（x+1）f′（x），∴[（x+1）•f（x）]′＞0，故函数y=（x+1）•f（x）在（0，+∞）上是增函数，由不等式f（x+1）＞（x﹣2）f（x2﹣5）得：（x+2）f（x+1）＞（x+2）（x﹣2）f（x2﹣5），即（x+2）f（x+1）＞（x2﹣4）f（x2﹣5），∴x+1＞x2﹣5＞0，解得：﹣2＜x＜3，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用二项分布的性质求解即可．【解答】解：∵离散型随机变量ξ～B（5，），Dξ=5×=，故答案为：．14．（）dx=．【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的几何意义，首先确定被积函数表示的几何图形，然后结合图形的形状和圆的面积公式即可求得定积分的数值．【解答】解：函数即：（x﹣1）2+y2=1（x≥1，y≥0），表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆在x轴上方横坐标从1到2的部分，即四分之一圆，结合定积分的几何意义可得．故答案为．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）= ﹣9 ．【考点】63：导数的运算．【分析】由题意首先求得f'（2）的值，然后结合导函数的解析式即可求得最终结果．【解答】解：由函数的解析式可得：∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1），∴f′（2）=4+f′（2）（﹣1），解得f′（2）=，则∴．故答案为：﹣9．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】由曲线C的直角坐标方程，代入直线的参数方程，运用韦达定理，可得|AB|=|t1﹣t2|，化简整理即可得到所求值；【解答】解：把代入+y2=1可得：，整理得：8t2+4t﹣3=0，，|AB|=|t1﹣t2|==．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法．【分析】归纳S n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．【解答】解：记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…S n=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n×（2n+1），证明如下：①当n=1时，显然成立，②假设当n=k时，等式成立，即S k=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2=﹣k×（2k+1），那么当n=k+1时，即S k+1=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣k×（2k+1）+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣（2k2+5k+3）=﹣（k+1）（2k+3）即n=k+1时，等式也成立．故由①和②，可知等式成立．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出f （x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再由极值的定义，可得所求极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]的导数为f′（x）=x﹣5+=，可得y=f （x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，8），即有切线的方程为y﹣8=2（x﹣1），即为2x﹣y+6=0；（Ⅱ）由f′（x）=x﹣5+=，结合x＞0，由f′（x）＞0，可得x＞3或0＜x＜2，f（x）递增；由f′（x）＜0，可得2＜x＜3，f（x）递减．则f（x）在x=2处取得极大值，且为；f（x）在x=3处取得极小值，且为2+6ln3．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）首先由题意求得优秀的人数，据此结合列联表的特征写出列联表即可；（Ⅱ）结合（1）中的列联表结合题意计算K2的值即可确定喜欢数学是否与性别有关．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：所有优秀的人数为：人，据此完成列联表如下所示：优秀非优秀合计甲班10 30 40乙班30 30 60合计40 60 100（Ⅱ）由列联表中的结论可得：，则若按99%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，求了曲线C的直角坐标方程为，由此能求出曲线C的参数方程；（Ⅱ）求得直线AB的方程，设P点坐标，根据点到直线的距离公式及正弦函数的性质，即可求得点P到直线AB的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，即ρ2（sin2θ+cos2θ+3sin2θ）=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即；∴曲线C的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）∵曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，∴由已知可得A（2，0），B（0，1），直线AB的方程：x+2y﹣2=0，设P（2cosφ，sinφ），0＜φ＜2π，则P 到直线AB的距离d==丨sin（φ+）﹣1丨，∴当φ+=π，即φ=时d取最大值，最大值为（+1）．点P到直线AB的距离的最大值（+1）．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：48 49 50 51 52 53 54曰需求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据利润公式得出函数解析式；（2）（i）求出利润的可能取值及其对应的概率，得出分布列和数学期望；（ii）求出n=51时对应的数学期望，根据利润的数学期望大小得出结论．【解答】解：（1）当n≤50时，y=5n﹣50×3=5n﹣150，当n＞50时，y=50×（5﹣3）=100，∴y=．（2）（i）由（1）可知n=48时，X=90，当n=49时，X=95，当n≥50时，X=100．∴X的可能取值有90，95，100．∴P（X=90）==，P（X=95）==，P（X=100）==，∴X的分布列为：X 90 95 100P∴E（X）==98．（ii）由（i）知当n=50时，E（X）=98，当n=51时，y=，∴当n=48时，X=87，当n=49时，X=92，当n=50时，X=97，当n≥51时，X=102，∴P（X=87）=，P（X=92）=，P（X=97）==，P（X=102）=．∴E（X）=87+++=97.7．∵98＞97.7，∴每天应购进50盒比较合理．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的X围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，问题等价于：lnt＞，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）根据＜1，令x=，得到（1+）ln（x+1）＞1，判断大小即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f'（x）＜0得0＜x＜a，由f'（x）＞0得x＞a，所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：①因为x＞0，x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，所以不等式ln（x+1）＞（x＞0）等价于：lnt＞，即：lnt﹣＞0（t＞1），由（Ⅰ）得：函数g（t）=lnt﹣在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，即：ln（x+1）＞；②因为x＞0，不等式 x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＜x，令h（x）=ln（x+1）﹣x，则h′（x）=﹣1=，所以h'（x）＜0，所以函数h（x）=ln（x+1）﹣x在（0，+∞）上为减函数，所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．由①②得：x＞0时，x＜（x+l）ln（x+1）；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0时，＜1，所以令x=，得100×ln（+1）＜1，即ln（）100＜1，所以（）100＜e；又因为＞（x＞0），所以（1+）ln（x+1）＞1，令x=得：100×ln＞1，所以ln（）100＞1，从而得（）100＞e．所以（）100＜（）100．。
高中数学人教A版选修2-1高二年级期末考试数 学 试 题(理 科)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高二年级期末考试数学 试 题（理 科）注意事项:1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、考号填写在试题和试卷上。
2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1． 双曲线16x 2－9y 2＝144的离心率为 A ．53 B ．43 C ．34 D ．352．“∃x ∈R ，x 20－x 0＋1≤0”的否定是A ．∃x ∈R ，x 20－x 0＋1＜0 B ．∀x ∈R ，x 20－x 0＋1＜0 C ．∃x ∈R ，x 20－x 0＋1≥0 D ．∀x ∈R ，x 20－x 0＋1＞03．已知直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则实数a ＝ A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．0或－1 4．“x 为无理数”是“x 2为无理数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5．抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝2，则实数a 的值为 A ．－18 B ． 18C ．8D ．－86．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．24B ．36C ．72D ．1447．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是A ．3x －2y －3＝0B ．3x －2y ＋3＝0C ．2x －3y －3＝0D ．2x －3y ＋3＝0 8．下列命题错误的是A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α∩β＝l ，那么l ⊥γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 9．在四面体ABCD 中，E 、G ，分别是CD 、BE 的中点，若AG →＝xAB →＋yAD →＋zAC →，则x ＋y ＋z ＝ A ．13 B ．12C ．1D ．210．点M ，N 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1和B 1C 1的中点，则异面直线CM 与DN 所成的角的余弦值为A ．4515B ．515C ．315D ．41511．经过点M (2,1)作直线l 交双曲线x 2－y 22＝1于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为A ．4x ＋y ＋7=0B ．4x ＋y －7=0C ．4x －y －7＝0D ．4x －y ＋7=0 12．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作直线交抛物线C 于,A B 两点，则AOB ∆的面积S 的最小值为A ． 2B ．2C ． 3D ．3二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)13．边长为a 的正方体的内切球的表面积为 .24 正视图 侧视图俯视图3 8第6题图ABCDEG第9题图14．已知向量a →=(2,-1,3)，b →=(-4,2,x )，且a →⊥b →，则实数x 的值为________． 15．下列四个命题：①“若xy =0，则x =0且y =0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题； ③若22,ac bc a b >>则；④“若tan α＝tan β，则α＝β”的逆命题；. 其中真命题为_______________(只写正确命题的序号)．16．椭圆x 225＋y 29＝1上的点到直线4x －5y ＋40＝0的最小距离为____________．三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．(本题满分10分)已知圆C 的圆心在直线l ：x －2y －1＝0上，并且经过原点和A (2,1)，求圆C 的标准方程．18．(本题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且∠ABC ＝120°，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝2，P A ＝3，（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面P AC ； （Ⅱ）求三棱锥P -BDC 的体积．19．(本题满分12分)已知∆ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(-5,0)，(5,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于m (m ≠0)．（Ⅰ）求点C 的轨迹方程； （Ⅱ）讨论点C 的轨迹的形状．ABCDP第18题图20．(本题满分12分)已知命题p ：指数函数y ＝(1－a )x 是R 上的增函数，命题q ：不等式ax 2＋2x －1＞0有解．若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数a 的取值范围.21．(本题满分12分)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，点E 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：PA ∥平面EBD ；（Ⅲ）求二面角E -BD -P 的余弦值．22．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是21F F 、，点M 为椭圆上的一个动点，12MF F ∆面积的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）P 为椭圆上一点，PF 1与y 轴相交于Q ，且F 1P →＝2F 1Q →．若PF 1与椭圆相交于另一点R ，求∆PRF 2的面积．ADBCEP第21题图2015-2016年度孝义市第一学期期末高二理科数学参考答案及评分标准一．选择题(每小题5分，共60分)ADDBAC ADCACB二．填空题(每小题5分，共20分)13．πa 214．10315．③16．154141三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．解：O (0,0)和A(2,1)的中点坐标为(1, 12),线段OA 的垂直平分线的斜率为k=－2， ………3分 所以，线段OA 的垂直平分线的方程为：522y x =-+. ………5分由5202210x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪--=⎩ 得圆心坐标C 为61,510⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，半径222920r AC ==.………8分 因此，圆C 的标准方程为22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ………10分18．(Ⅰ)证:∵BD ⊥AC ，BD ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ．又BD ⊂平面PBD 内，∴平面PBD ⊥平面P AC ． ………6分 (Ⅱ)解：13)232221(3131=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PA S V BDC ． ………12分19.解：(Ⅰ)设(,)C x y ，则由题知55y ym x x ⋅=-+， 即221(5)2525x y x m+=≠±-为点C 的轨迹方程. ………4分(Ⅱ)当0m >时，点C 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线；当1m <-时，点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，点C 的轨迹为圆心为(0,0)，半径为5的圆；当10m -<<时，点C 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. ………12分 20．解：命题p 为真命题时,1－a ＞1即a ＜0. ………2分 命题q ：不等式ax 2＋2x －1＞0有解，当a ＞0时，显然有解； 当a ＝0时， 2x －1＞0有解；当a ＜0时，∵ax 2＋2x －1＞0有解， ∴Δ＝4＋4a ＞0 ∴－1＜a ＜0. 从而命题q ：不等式ax 2＋2x －1＞0有解时a ＞－1.又命题q 是假命题，∴a ≤－1. ………10分 ∴p 是真命题 q 是假命题时，a 的取值范围(-∞,-1]． ………12分 21.解：(Ⅰ)法一：以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则()()0,0,0,0,0,1,(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)D P A B C ，………2分 ∴110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11(1,1,0),(0,,),(1,0,1)22DB DE PA ===-． ………4分设平面EBD 的法向量为1111(,,)n x y z =，可求得1(1,1,1)n =-,∴10n PA ⋅=,∴PA ∥平面EBD ． 即PA ∥平面EBD ．………6分法二：连接AC ，设AC∩BD ＝O ，连接OE ，则OE ∥PA ，∴PA ∥平面EBD . (Ⅱ)设平面PBD 的法向量为2(1,1,0)n AC ==-． ………9分∴126cos ,3n n =-，∴二面角E-BD-P 的平面角的余弦值为63. ………12分 22．解：(Ⅰ)由已知条件：12c e a ==，1232c b bc ⋅⋅==．∴2a =，3,1b c ==．∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．………4分(Ⅱ) 由F 1P →＝2F 1Q →，知Q 为1F P 的中点，所以设Q(0,y),则P(1,2y),又P 满足椭圆的方程，代入求得y=34．∴直线PF 方程为y ＝34(x+1)．由⎩⎨⎧y=34(x+1)x 24＋y 23＝1 得7x 2+6x -13=0, ………8分设P(x 1,y 1)，R(x 2,y 2), 则x 1+x 2=－67，x 1x 2=－137，∴1212627,,728y y y y +==- ∴()2212121211524.27PRF Sc y y c y y y y =⋅⋅-=⋅+-=………12分 说明：各题如有其它解法可参照给分．。
高二数学下学期期末考试试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
某某省某某中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学试题选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}22{≤≤-=x x M ，}1{x y x N -==，那么=N M A ．}12{<≤-x x B ．}12{≤≤-x x C ．}2{-<x x D ．}2{≤x x【答案】B 【解析】试题分析：{{1}N x y x x ===≤，所以{21}M N x x =-≤≤.考点：集合交集运算.2．已知2:560,:||1p x x q x a -+≤-<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围为 A ．(,3]-∞ B ．[2,3] C ．()2,+∞D ．(2,3)【答案】D考点：1.一元二次不等式的解法;2.充分条件和必要条件；3.集合间的关系． 3．下列命题正确的是A ．垂直于同一直线的两条直线互相平行B ．平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C ．平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形D ．锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：A ．垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面直线，因此不正确；B ．平行四边形在一个平面上的平行投影可能是平行四边形或一条直线，因此不正确；C ．平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形，如图所示，取正方体棱的中点，正确；D ．锐角三角形在一个平面上的平行投影可能是钝角三角形，如图所示，三棱锥中P ABC PC AC -⊥，，PC BC ⊥，1120CA AC BC ACB PAB ===∠=︒，，是锐角三角形，其投影ACB 为钝角三角形，因此不正确．故选：C ．考点：四种命题；空间中直线与平面之间的位置关系．4．如图，三棱锥V ABC -的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA VC =，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为A 3B 3C ．34D ．36【答案】D考点：简单空间图形的三视图. 5．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值X 围是 A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 【答案】C 【解析】试题分析：由12n n n a a a +=+得1121n n a a +=+，则11112(1)n n a a ++=+，所以数列1{1}na +是等比数列，公比为2，于是有111222n n na -+=⨯=，所以1(12)2n nb n λ-=--⋅(2n ≥)．由21b b >得2(12)λλ->-，23λ<，当2n ≥时，由1n n b b +>得1(2)2(12)2n n n n λλ--⋅>--⋅，12n λ+<，综上23λ<．故选C ． 考点：数列的单调性．【名师点睛】本题考查数列的单调性．数列作为特殊的函数可以利用函数的性质来研究其单调性，但是数列与函数也有不同，就是数列作为函数时其定义域是*N 或其子集{1,2,,}n ，数列单调性也有其特殊的判断法，即由1n n a a +>可判断其是递增的，由1n n a a +<能判断其是递减的，而要求数列的最大项，可以通过解不等式组11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩得出．6．函数cos(),(0,0)y A x x R A ωϕω=+∈>>的部分图像如图所示，若125,(,)1212x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()f x x +等于A ．1B ．12C ．22D ．32【答案】B考点：正弦函数的图象．7．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为A ．2221+B ．132-C ．12+D ．12-【答案】D 【解析】考点：1．双曲线的简单性质；2．圆锥曲线的定义、性质与方程．【思路点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，设12PF F 的内切圆半径为r ，由1212||22PF PF a F F c -==，，用12PF F 的边长和r 表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出λ．8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论： ①若1204x x <<<且124x x +=，则12()()0f x f x +>； ②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若方程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根1234,,,x x x x ，则12348x x x x +++=-或8； ④函数()f x 在[8,8]-内至少有5个零点，至多有13个零点 其中结论正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【解析】试题分析：∵()f x 是奇函数且()()4f x f x -=- ，∴()()())8400(f x f x f x f -=--==，∴函数()f x 为周期8的周期函数，根据题意可画出这样的图形：如图所示，考点：1.根的存在性及根的个数判断；2.奇偶性与单调性的综合．【方法点睛】本题主要考查函数奇偶性周期性和单调性的综合运用，综合性较强题考查了函数的奇偶性，对称性及周期性的性质，解答此题的关键在于由已知等式得到函数对称轴方程和周期，先由“()f x 是奇函数且()()4f x f x -=- ”转化得到8f x f x -=（）（） ，即函数()f x 为周期8的周期函数，然后按照条件求解即可.非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分。
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高二数学期末试卷 人教版 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 ）的解集为（、不等式3|1x2|1 }2x1x|x{D}2x1|x{C}2x|x{B}1x|x{A或、、、、 2、顶点为原点，焦点为（0，4）的抛物线的标准方程为（ ） y8xDy16xCy8xBy16xA2222、、、、
）项为（的二项展开式中第、4x1x310 2244x210Dx210Cx120Bx120A、、、、 ）的值域为（、函数8x41xlogy421
312D]32[C213B]2[-3A，、，、，、，、
）为（，则，，，，，、已知点aAC//AB)a5(C)2,3(B)12(A5 A、6 B、5 C、4 D、3 ）等于（项的和，则前｝中，、在等差数列｛854nS812aaa6 A、24 B、48 C、60 D、72 ），则该函数（、函数xx22y7 A、是偶函数，在R上是增函数 B、是偶函数，在R上是减函数 C、是奇函数，在R上是增函数 D、是奇函数，在R上是减函数
）的最小正周期为（、函数3xsinxcos3xcosxsiny8
4D2CB2A、、、、 9、半径为5的球，截面面积为9π，则截面与球心距离为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4
）的图象（的图象，只要把函数、要得到函数x2siny5x2siny10
个单位、向左平移个单位、向右平移个单位、向左平移个单位、向右平移10D10C5B5A
）的值为（、22nn3n2n6nlim11 21D2C21B0A、、、、
）的双曲线方程为（有公共焦点，离心率、与椭圆3e116y25x1222 13x6yD16x3yC13y6xB16y3xA22222222、、、、 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13、在△ABC中，BC=3，AC=5，AB=7，则∠C=________。 。半径为的圆心坐标为、圆;3)2y()1x(1422 15、函数y=3sinx+4cosx的值域为__________。 16、用0、1、2、3这四个数字组成没有重复数字的三位数的个数为________（用数字作答）。
三、解答题：本大题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（本题满分10分） 、，求的定义域为，函数的定义域为设函数ABx23xyA2xxlgy2
。，、BABAB 18、（本题满分10分） ，乙每次击中目标的标的概率为次射击，甲每次击中目甲、乙两人各进行433
次的概率。甲恰好比乙多击中目标次的概率甲至少击中目标，求：概率为2)2(;2)1(3
2
19、（本题满分12分） 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PD=1，PA=PC=2。（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求点A到平面PBC的距离；（3）求二面角C—PB—D的大小。
20、（本题满分12分） *)Nn(0a1a12aSSn}a{nnnnnn且满足项的和中，前已知数列 )Sa(lim)3(;a)2(;aaa)1(nnnn321求纳法给出证明的表达式，并用数学归猜想，，求 21、（本题满分12分）如图，ADB为以AB为直径的半圆，O为半圆的圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动，保持|PA|+|PB|的值不变。 （1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （2）过D点的直线l与曲线C交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，DMDM，求λ的取值范围。 [参考答案] 一、选择题： 1、31x231x23|1x2|或由 2x1x或 }2x1x|x{或不等式解集为
∴选D 2、抛物线顶点在原点，焦点在y轴上
y16x8p42p2方程为，
∴选A 3、rrnrn1rbaCT
4373104x120x1xCT
∴选B 4、8x41xlogy21为减函数，又
41logy8log2121
]23[y， ∴选A 5、AC//AB ∴A、B、C三点共线
ACABkk
4a251a2312， ∴选C 6、48281282)aa(28)aa(S54818 ∴选B 7、也为增函数为增函数，xx22 上增函数为R22yxx
又)x(f22)x(fxx 为奇函数)x(f ∴选C 8、)3x2sin()3xxsin(y
22T ∴选B 9、设截面的半径为r，则3r9r2， 435d22 ∴选D 10、10x2siny向左移
)5x2sin()10x(2siny
∴选D 11、23n26n1limn原式 ∴选C 12、31625c由题意
3ace又
6acb3a22， 16y3x22所求双曲线方程为 ∴选A 13、21532753Ccos222由余弦定理 ∴C=120° 14、圆心坐标为（－1，2），半径为3 15、)xsin(5)xsin(43y22 ]55[y34tan，其中 16、18624AA3344 ∴可以组成18个没有重复数字的三位数。 ∴填18。 17、解：1x2x02xx)2xxlg(y22或，知由， }1x2x|x{A或该函数定义域为 3分
2x302x3x0x23xx23xy即知由 }2x3|x{B该函数定义域为 6分
}2x12x3|x{BA或 8分
RBA 10分
18、解：322743C414
3C)1(333223
∴甲至少击中目标两次的概率为3227 5分 （2）甲恰好比乙多击中目标2次，包括“甲中2次乙中0次”，“甲中3次乙中1次” 647313234331414333132C4143C3132C4143C2332211303333003223
6472次的概率为甲恰好比乙多击中目标 10分
19、解：（1）∵底面ABCD是边长为1的正方形 ∴AD=1，又PD=1，2PA ADPDPAPDAD222， 2分
同理PD⊥DC ABCDPDDBDAD面，又 4分
（2）法1：设A到面PBC的距离为d， PDS31dS31VVABCPBCABCPPBCA
5分
内的射影在面为，，及又ABCDPCCDCDBC21SABC
1PD22PCBC21SPCBCPBC及， 7分
22PBCA22d21d22的距离为到面即， 8分
法2：∴AD//BC，BC面PBC，AD/面PBC，∴AD//面PBC ∴A点到面PBC的距离即为D点到面PBC的距离 5分 取E为PC中点，连DE，∵PD=DC，∴DE⊥PC，∵BC⊥CD，BC⊥PD DEBCPDCCDDCPD，面， 6分
为所求，且面，＝22DEPBCDECPCBC 8分
（3）连结AC∩BD=O，则CO⊥BD，又CO⊥PD，∴CO⊥面PBD，过O作OF⊥PB于F， 连结CF，则CF⊥PB，∴∠CFO为二面角C—PB—D的平面角 10分
66OF22CO 3OFCOCFOtanCOFRt中，在 06DPBC60CFO大小为——二面角， 12分
20、解：*Nn0a1a12aS)1(nnnn，，
13a3)1a(1a12aa121111，， 2a32a1a12aa13222222又 57a35a32)3a(3222同理 3分
*)Nn(1n21n2a)2(n猜想 5分
证明：1°当n=1时，已验证结论成立。 6分 2°假设n=k时，结论成立，即1k21k2ak
1a12a1a12aSSa1knkk1k1kk1k1k时，则当
1k21k2121k21k2a12a1k1k
3k2)1k2a(2a1k22a1k2a12a21k1k21k1k1k 0a1k
1)1k(21)1k(21k23k2a1k
∴n=k+1时，结论也成立， 8分
由1°、2°可知对n∈N*都有1n21n2an 9分
11n211n21n2121n21n21a12aS)3(nnn 10分 )11n2)(1n21n2(lim)Sa(limnnnn
1n21n2)11n2(2limn
12222n12n12)n1n12(2limn 12分 21、解：（1）以AB为x轴，OD为y轴建立平面直角坐标系，如图