2.2.1 等差数列的概念 教师资料配套用书

2．2等差数列2．2.1等差数列的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过实例，理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；(2)明确等差中项的概念和性质，会求两个数的等差中项；(3)能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；(4)在探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力．2.过程与方法(1)经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程；(2)让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察、推导、归纳抽象出等差数列的概念，由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题．3．情感、态度与价值观(1)通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维、追求新知的创新意识；(2)培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识．●重点、难点重点：理解等差数列的概念．难点：等差数列的证明与等差数列的设法．对于等差数列概念这个重点内容的教学，“授人以渔”的研究方法比纯粹传授知识更重要．建构等差数列的概念首先要经历大量的实例观察，分析数列的项与项之间可能的关系，然后概括发现等差数列的“共性”，进而探究揭示等差数列的定义及其证明方法．教学中关键是让学生自己经历观察、归纳、猜想等过程，逐步认识到数列的项与项之间的“等差”关系，而不能简单让学生填空计算“相邻两项的差”．(教师用书独具)●教学建议1．等差数列在日常生活中有着广泛的应用．因此，首先引导学生研究三个现实问题(第23届到第28届奥运会举行年份问题、通话计费问题、储蓄问题)．这三个数列模型，其实是给出了等差数列的现实背景．目的是让学生切实感受到等差数列是现实生活中大量存在的数列模型．然后给学生一定的思考和探索空间，让他们自己观察、归纳、猜想，进而抽象出等差数列的概念．2．在学习完等差数列概念的基础上，让学生自己去研究、自己去发现等差中项的有关结论，提高学生自主学习的能力，同时感受发现知识的快乐．3．为了强化学生对本部分知识的掌握，设置“等差数列的概念”、“等差数列的证明”及“等差数列中项的设法”三个方面的例题．通过这些例题的教学可以使学生更深刻地领会本节知识．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!(对应学生用书第20页)观察下面的三个数列 0,2,4,6，…； 12,22,32,42，…； 18,155,13,10.5，….上面这些数列有什么共同特点？【提示】 相邻项的差为同一个常数(从第二项起，每一项减去它的前一项的差都是同一个常数)．如果一个数列，从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d 表示.在a ，b 之间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，则A 应满足什么条件？ 【提示】 ∵a ，A ，b 成等差数列，∴A －a ＝b －A ，∴2A ＝a ＋b ，∴A ＝a ＋b2如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2.(对应学生用书第20页)判断下列数列是否为等差数列：(1)0，－3，－6，－9，－12，…； (2)1,2,4,6,8； (3)6,6,6,6，…；(4)m ，m ＋n ，m ＋2n,2m ＋n .【思路探究】 利用等差数列的定义，判定a n －a n －1＝d (d 为常数)是否成立． 【自主解答】 (1)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－3，所以该数列是等差数列．(2)因为2－1＝1,4－2＝2,6－4＝2,8－6＝2,1≠2，所以该数列不是等差数列． (3)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，所以该数列是等差数列．(4)(m ＋n )－m ＝n ，(m ＋2n )－(m ＋n )＝n,2m ＋n －(m ＋2n )＝m －n . 当n ＝m －n ，即m ＝2n 时，该数列是等差数列； 当n ≠m －n ，即m ≠2n 时，该数列不是等差数列．1．本题根据等差数列的定义，逐一检验数列中从第2项起，每一项与其前一项的差是否为同一常数，再作出判断．2．一般情况下，要判断数列是否为等差数列，只需按照定义去验证，要关注两点：(1)后项减前项； (2)差为同一个常数．判断下列数列是否为等差数列？ (1)a n ＝3－2n ； (2)a n ＝n 2－n .【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n )＝－2是同一个常数， ∴{a n }是等差数列．(2)∵a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2－(n ＋1)]－(n 2－n )＝2n ，不是同一常数， ∴{a n }不是等差数列.已知数列{a n }满足：a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，b n ＝1a n －2.求证数列{b n }是等差数列； 【思路探究】1a n ＋1－2－1a n －2＝常数→b n ＋1－b n ＝常数→数列{b n }是等差数列 【自主解答】 因为a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2＝2－4a n ＝2(a n －2)a n，所以1a n ＋1－2＝a n 2(a n －2)＝12＋1a n －2(n ≥1)，故1a n ＋1－2－1a n －2＝12(n ≥1)，即b n ＋1－b n ＝12(n ∈N *)．所以数列{b n }是等差数列．1．本例中，对条件的转化使用是个难点，应掌握对条件的恰当转化． 2．证明数列{a n }为等差数列的方法：(1)证明a n ＋1－a n 为同一个常数d (n ≥1，n ∈N *)； (2)证明a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)．已知三个正数a ，b ，c 满足a 2，b 2，c 2成等差数列．求证1a ＋b ，1a ＋c ，1b ＋c 成等差数列．【证明】 ∵a 2，b 2，c 2成等差数列，∴b 2＝a 2＋c 22.∵1a ＋b ＋1b ＋c ＝b ＋c ＋a ＋b (a ＋b )(b ＋c ) ＝2b ＋a ＋cab ＋ac ＋b 2＋bc＝2b ＋a ＋cab ＋a 2＋c 22＋bc ＋ac＝2(2b ＋a ＋c )2ab ＋a 2＋c 2＋2bc ＋2ac＝2(2b ＋a ＋c )2b (a ＋c )＋(a ＋c )2＝2(2b ＋a ＋c )(a ＋c )(2b ＋a ＋c )＝2a ＋c ，∴1a ＋b ，1a ＋c ，1b ＋c成等差数列．已知四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．【思路探究】 若设四个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d ，列出方程组可以求解，但解方程时较麻烦，若对称设四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则解方程时会很简单．【自主解答】 设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.所以这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.1．本题利用对称设法设出数列中的四个数，由四数之和为定值，可直接求出未知量a ，进一步很方便的可求出d .2．当三个数或四个数成等差数列时可采用对称的设法，三个数时，设a －d ，a ，a ＋d ；四个数时，设a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .再由题目其它条件建立关于a 、d 的方程组，通过解方程组求出所要结果．已知三个数成等差数列，首末两项之积为中间项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求这三个数．【解】 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )(a ＋d )＝5a ，a ＋a ＋d ＝8(a －d )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，d ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝6. 所以这三个数分别为0,0,0或3,9,15.(对应学生用书第22页)不理解等差数列的定义致误若数列{a n }的通项公式为a n ＝10＋lg 2n ，求证数列{a n }为等差数列．【错解】 因为a n ＝10＋lg 2n ＝10＋n lg 2， 所以a 1＝10＋lg 2，a 2＝10＋2lg 2，a 3＝10＋3lg 2， 所以a 2－a 1＝lg 2，a 3－a 2＝lg 2，则a 2－a 1＝a 3－a 2，故数列{a n }为等差数列．【错因分析】 a 3－a 2＝a 2－a 1＝常数，不能满足等差数列的定义中“从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数”的要求．【防范措施】 要证明一个数列为等差数列，必须证明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即a n －a n －1＝d (n ≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．【正解】 因为a n ＝10＋lg 2n ＝10＋n lg 2， 所以a n ＋1＝10＋(n ＋1)lg 2.所以a n＋1－a n＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋n lg 2)＝lg 2(n∈N*)．所以数列{a n}为等差数列．1．基础知识：(1)等差数列的概念；(2)等差中项．2．基本技能：(1)等差数列的判定(或证明)方法；(2)三个(或四个)数成等差数列时数的设法．3．思想方法：(1)转化思想；(2)对称设元思想.(对应学生用书第22页)1．下列说法正确的是________(填序号)．①一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列②一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列③一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列④一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列【解析】 根据等差数列的定义判断． 【答案】 ④2．下列数列不是等差数列的是________(填序号)． ①6,6,6，…，6，…②－2，－1,0，…，n －3，… ③5,8,11，…，3n ＋2，… ④0,1,3，…，n 2－n2，…【解析】 根据等差数列的定义判断④不是等差数列． 【答案】 ④3．已知等差数列{a n } 的前三项依次为a －1，a ＋1,2a ＋3，则参数a 的值为________． 【解析】 由题意知：(a －1)＋(2a ＋3)＝2(a ＋1)， ∴3a ＋2＝2a ＋2，∴a ＝0 【答案】 04．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【解】 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116， ② 由①得a ＝6，代入②得d ＝±2. ∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.(对应学生用书第85页)一、填空题1．(2013·衡阳高二检测)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，则角B 等于________．【解析】 由A 、B 、C 依次成等差数列，得A ＋C ＝2B ， ∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60°【答案】 60°(或π3)2．在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则公差为________． 【解析】 由已知a －(－1)＝b －a ＝8－b ＝d ， ∴8－(－1)＝3d ∴d ＝3 【答案】 33．等差数列的相邻4项是a ＋1，a ＋3，b ，a ＋b ，那么a ，b 的值依次为________． 【解析】 设公差为d ，则d ＝(a ＋3)－(a ＋1)＝2. 又d ＝(a ＋b )－b ＝a ，∴a ＝2， ∴d ＝b －(a ＋3)＝b －5＝2， ∴b ＝7. 【答案】 2,74．(2013·浏阳高二检测)已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为________． 【解析】 ∵a ＋b ＝13＋2＋13－2＝(3－2)＋(3＋2)(3＋2)(3－2)＝233－2＝23，∴等差中项为 3. 【答案】35．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________、________、________.【解析】 由题意得：2a ＝8＋2,2×2＝a ＋b ， 2b ＝2＋c ，即a ＝5，b ＝－1，c ＝－4. 【答案】 5，－1，－46．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是________．【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝8，2m ＋n ＝10，∴3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6，∴m ＋n2＝3.【答案】 37．已知a ，b 是正整数，且lg(a －3)和lg(4－b )的等差中项为lg 5，则a ，b 的值分别是________．【解析】 因为a ，b 是正整数，a －3＞0,4－b ＞0，所以a ＞3,0＜b ＜4.又2lg 5＝lg(a－3)＋lg(4－b )，即(a －3)(4－b )＝5＝1×5＝5×1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝5，4－b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝3. 【答案】 8,38．(2013·烟台高二检测)设函数f (x )＝1x －b＋2，若a ，b ，c 成等差数列(公差不为零)，则f (a )＋f (c )＝________.【解析】 由已知，得b －a ＝c －b ，∴c －b ＝－(a －b )，∴f (a )＋f (c )＝1a －b ＋2＋1c －b ＋2＝1a －b ＋1c －b＋4＝0＋4＝4. 【答案】 4二、解答题9．数列{a n }中，a n ＝lg532n ＋1，判断该数列是否为等差数列． 【解】 ∵a n ＝lg532n ＋1，∴a n ＋1＝lg 532n ＋3， ∴a n ＋1－a n ＝lg 532n ＋3－lg 532n ＋1 ＝lg(532n ＋3×32n ＋15) ＝lg 32n ＋132n ＋3＝lg 132＝lg 13＝－lg 3， ∴数列{a n }是等差数列．10．已知数列{a n }为等差数列，求证：当a n 均不为0时，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1成立． 【证明】 (1)设数列{a n }的公差为d ，若d ＝0，则所述等式显然成立．(2)若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d (a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1)＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a n －1a n ＋1)]＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 11．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列． 【证明】 ∵1a ，1b ，1c 面等差数列，∴2b ＝1a ＋1c， 即2ac ＝b (a ＋c )．∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c (b ＋c )＋a (a ＋b )ac ＝c 2＋a 2＋b (a ＋c )ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac ＝2(a ＋c )2b (a ＋c )＝2(a ＋c )b . ∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 成等差数列.(教师用书独具)已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【思路探究】 由等差中项，设三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，列方程组求解．【自主解答】 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116， ② 由①，得a ＝6，代入②，得d ＝±2.∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去．∴这三个数为4,6,8.充分利用等差中项的性质，往往能简化解题过程，事半功倍．已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数．【解】 由题意，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝15，(a －d )(a ＋d )＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，d ＝－4. 所以，当d ＝4时，这三个数为1,5,9；当d ＝－4时，这三个数为9,5,1.拓展亢量数列“亢量数列”使八年前一个穿鞋都露脚尖的乞丐变成了几年后的一个花费百万元去玩鼎的私营企业老板，这个人就是麦宪利．“亢量数列”——《股价测算王》软件，是北京麦宪利科技中心独资开发并拥有全部自主知识产权的一项高科技产品，它依据的是麦宪利先生花费近20年心血研究出来的一种独特运算方式，基于统计学原理，运用逻辑学的甄别技术，对股票价格和大盘指数的运行趋势作出比较精确的判断．就其对股票价格和大盘指数的阶段性运行数值所能作出的精算能力而言，这款软件不论在国内还是在国外，目前都处于绝对领先的地位，无任何其他同类型产品共同存在于财经类软件市场．股票的价位变异和大盘指数的起伏升跌，表面上看似乎毫无规律可循，很难建立起一个精确的数学模型来阐述和描绘这种常被数学家们称为“混沌”和“紊流”现象的自然事物，但是，在“亢量数列”面前，股票的价格变化和大盘指数数值的演变，就像浸在清水里的一块白布，它上面暗藏的各种晦涩难辨的纷杂图形就清晰显现、昭然若揭．股票也好，股市也好，都不是“死”的物，它都有生命、有爆发、有衰落，与人和动物一样，有生命的周期性．“亢量数列”就是记载着有生命的物体其生命能量爆发周期和烈度的一种图谱，以及探寻该生命物体的生命能量爆发的周期和烈度的一种工具．“亢量数列”不但对股票的价格走势和大盘指数的数值变化有着较精确的测算作用，在犯罪学领域也有着很广泛的应用价值，尤其是在追索刑事犯罪案件中潜逃藏匿的犯罪嫌疑人的躲藏踪迹方面，效果尤为显著．“亢量数列”早年被称为“倍八数列”，2006年经专家建议，正式更名为“亢量数列”．经过多年的实际应用，在麦宪利先生遍布全国的股友圈子里，“倍八测股”已经有了很广泛的影响，知名度甚高．用它来评盘测股，准确率高达70%至80%，稍有证券投资常识的人都知道：在证券投资实践中，一种有效的投资行为指导方法，如果其准确率能达到70%以上的话，盈亏相抵，获利将是非常巨大的！。