数值分析之幂法及反幂法C语言程序实例

数值分析之幂法及反幂法C 语言程序实例
1、算法设计方案：
①求1λ、501λ和s λ的值：
s λ：s λ表示矩阵的按模最小特征值，为求得s λ直接对待求矩阵A 应用反幂法即可。

1λ、501λ：已知矩阵A 的特征值满足关系 1n λλ<<，要求1λ、及501λ时，可按如下方法求解：
a ． 对矩阵A 用幂法，求得按模最大的特征值1m λ。

b ． 按平移量1m λ对矩阵A 进行原点平移得矩阵1m B
A I λ=+，对矩阵
B 用反幂法求得B 的按模最小特征值2m λ。

c ． 321m m m λλλ=-
则：113min(,)m m λλλ=，13max(,)n m m λλλ=即为所求。

②求和A 的与数5011
140k k λλμλ-=+最接近的特征值ik λ（k=0，1，…39）：
求矩阵A 的特征值中与k μ最接近的特征值的大小，采用原点平移的方法： 先求矩阵 B=A-k μI 对应的按模最小特征值k β，则k β+k μ即为矩阵A 与k μ最接近的特征值。

重复以上过程39次即可求得
ik λ（k=0，1，…39）的值。

③求A 的（谱范数）条件数2cond()A 和行列式det A ：
在（1）中用反幂法求矩阵A 的按模最小特征值时，要用到Doolittle 分解方法，在Doolittle 分解完成后得到的两个矩阵分别为L 和U ，则A 的行列式可由U 阵求出，即：det(A)=det(U)。

求得det(A)不为0，因此A 为非奇异的实对称矩阵，则： max 2()s
cond A λλ=，max λ和s λ分别为模最大特征值与模最小特征值。

2、程序源代码：
#include<>
#include<>
#include<>
#define N 501 3e\n",k,k,value_s);
}
}
void main()
{
float cond;
double value_det;
printf("Contact me\n");
Init_matrix_A(); 3e\n",value_1);
printf("λ501=%.13e\n",value_N);
value_det=Det_matrix(); 3e\n",value_s);
cond=Get_cond_A(); 3e\n",cond);
printf("value_det=%.13e\n",value_det); }
3、程序运行结果：
4、迭代初始向量的选取对计算结果的影响：
本次计算实习求矩阵A的具有某些特征的特征值，主要用到的方法是幂法和反幂法，这两种方法从原理上看都是迭代法，因此迭代初始向量的选择对计算结果会产生一定影响，主要表现在收敛速度上。

通过实际调试发现，对某些特殊的迭代初始值，确实对收敛结果及收敛速度产生影响，具体如下所列：
以下结论建立在float数据类型基础之上；
1.迭代初始值u[i]=c(i=1,2,…,501)且c的绝对值值极大（例如以上），收敛结果可以稳定但收敛速度减慢，其原因为c的数量级与矩阵A中元素数量级差距过大，导致迭代次数以及运算量增大；
2.迭代初始值u[i]=c(i=1,2,…,501)且c的绝对值值极小（例如以下），收敛结果并不稳定，且收敛速度减慢，其原因是计算机舍入误差将会影响计算结果；
3.迭代初始值u[i] (i=1,2,…,501)之间数量级偏差很大（例如倍以上），收敛结果亦不稳定，且收敛速度减慢，其原因是人为使迭代过程中的权重发生较大区别，使迭代复杂化。

结论，对于迭代初始值的选取应尽量与矩阵A中元素数量级保持相近，且应保证相近的数量级。

PS: F urther details please Contact me:
2011-11-15。