双曲线标准方程的八种求法
双曲线的标准方程
2、双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
在双曲线方程中, 总有y2 a2Fra bibliotekx2 b2
1(a
双曲线及其标准方程
(1)
一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1, F2的距离的差的绝对值等
于常数(小于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这两个 定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫双曲线的 焦距.
MF1 MF2 2a 0 2a 2c
注意 : (1)当2a | F1F2 | 时,点的轨迹是以F1, F2为端点,
的距离差的绝对值为10的点的轨迹方程.
变式2.已知两点F1 5,0, F2 5,0,求与这两点
的距离差的绝对值为16的点的轨迹方程.
例2.已知方程 x2 y2 1表示双曲线, 2m m 1
求m的取值范围.
答案 : 1 m 2
变式.已知方程 x2 y2 1表示下列图形, 2m m 1
求m的取值范围.
x2 y2 1
a2 b2 y2 x2
1 a2 b2
(c, 0) (0, c)
c2 a2 b2
例1.课本P 47, 例1
已知双曲线的两个焦点分别为F1 5,0, F2 5,0,双曲线上一点P到F1, F2距离差的绝
对值等于6.求双曲线的标准方程. 答案 : x2 y2 1
9 16
变式1.已知两点F1 5,0, F2 5,0,求与这两点
答案 : (1)m ;
§3.1 双曲线及其标准方程
x
y
F2 o Mx
F1
3.例题与练习
x2
y2
例1. 填空：已知方程 2 m m 1 1表示双曲线,则m的取值范围
是_(__,__2)_U_(__1_, __)_.
变式练习1：
x2
y2
（1）填空：已知方程 2 m m 1 1表示焦点在y轴上的双
曲线,则m的取值范围是___(___,__2_) ____.
12
§3.1 双曲线及其标准方程（一）
1.双曲线定义
平面内与两个定点F1、 F2的距
M
离的差的绝对值等于常数 (小于 F1F2 )
的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点
F1
F2
叫做双曲线的焦点, 两焦点的距离叫
做双曲线的焦距.
双曲线集合表示：M | MF1 MF2 | 2a,(a 0), 2a F1F2
b2 c2 a2 537600 a2 6802 462400
x2 y2 1( x 0).
462400 537600
变式练习3.一动圆P与两定圆O ：x2+y2=1和O1：x2+y2-8x+7=0
均内切, 那么动圆P圆心的轨迹是（ D ）
A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.双曲线的一支
注意！
（1）当 2a F1F2 时, 点M的轨迹是_分_别__以__F_1_、__F_2为__端__点__的__两_条__射__线__； （2）若定义中常数2a为0, 此时动点轨迹为_线__段__F__1F__2的__垂__直__平__分___线____； （3）当2a F1F2 时, 无轨迹； （4）若定义中“差的绝对值”中“绝对值”去掉的话, 点的轨迹成为双曲 线的一支.
由定义可知, 双曲线就是集合 P M MF1 MF2 2a
高中数学-双曲线的标准方程
.
|PA|-|PB|=340×2=680
又 | AB | 800， 2a 680，2c 800，
a 340，c 400，b2 c2 a2 44400 .
故所求双曲线方程为：115x62 00
y2 44400
1(
x
0)
.
例3 说明 , 利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间 差 , 可以确定爆炸点所在的双曲线的方程 , 但不能确定爆炸点的准
解:因为双曲线的焦点在x轴上, 所以设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0).
2a 6,2c 10, a 3, c 5.
b2 52 32 16.
所以所求的双曲线标准方程为
x2 y2 1. 9 16
说明：本题利用待定系数法求解。直接利用双曲线的 定义找出a,b,c三者关系。
另解：方程 x2 y2 1 表示双曲线 (m 2)(m 1) 0
2m m1
变式：已 知 方 程 2
x2 m
y2 m
1
1
表 示 椭 圆 ， 求m
的 取 值 范 围.
解：方程 x2 y2 1 表示椭圆 2 m (m 1)
2 m 0 m 1 0
mm
2 1
2 m (m 1)
由双曲线x2 y2 1知： 15 1
a'2 15，b'2 1，c'2 a'2 b'2 16 .
双曲线 x2 15
y2 1
1 的焦点是
F1(4，0)，F2(4，0) .
故椭圆 x2 y2 1 与双曲线x2 15 y2 15 的焦点相同. 25 9
4. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) a 4，c 5；
双曲线标准方程的推导
双曲线标准方程的推导双曲线是代数曲线的一种，它具有许多重要的性质和应用。
在数学中，我们经常会遇到双曲线，因此了解双曲线的标准方程推导是很有必要的。
在本文中，我们将详细讨论双曲线标准方程的推导过程，希望能够帮助读者更好地理解双曲线的性质和特点。
首先，我们来看一下双曲线的定义。
双曲线是平面上的一种曲线，它的定义可以通过几何和代数两种方式来描述。
在几何上，双曲线可以通过焦点和直角双曲线的定义来描述；在代数上，双曲线可以通过方程来描述。
在本文中，我们主要讨论双曲线的代数描述，即双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程可以表示为：\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
或者。
\(\frac{y^2}{b^2} \frac{x^2}{a^2} = 1\)。
其中，\(a\) 和 \(b\) 分别代表双曲线在 x 轴和 y 轴上的半轴长度。
现在，让我们来推导双曲线的标准方程。
首先，我们假设双曲线的焦点分别为 \(F_1\) 和 \(F_2\)，且 \(2c\) 为两个焦点之间的距离。
双曲线上的任意一点 \(P(x, y)\) 到两个焦点的距离之差等于常数 \(2a\)。
即。
\(|PF_1 PF_2| = 2a\)。
根据距离公式，我们可以得到。
\(\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a\)。
接下来，我们对上式进行平方操作，得到。
\((x-c)^2 + y^2 2\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2 = 4a^2\)。
化简上式，得到。
\((x^2 2cx + c^2 + y^2) 2\sqrt{(x^2 c^2 + y^2)} + (x^2 + 2cx + c^2 + y^2) = 4a^2\)。
去掉括号并整理，得到。
\(x^2 c^2 + y^2 x^2 c^2 + y^2 = 4a^2 + 4cx\)。
双曲线的定义及标准方程
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
若2a < | F1F2 |,则动点P的轨迹是双曲线； 若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线； 若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
x2
y2
1. 1
16 25
2. y 2 x 2 1 25 16
椭圆与双曲线标准方程的区别：
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
；cosplay：/
；
押入那名越南妇人的处境酖酖挖洞的处境。你茫茫然逡巡这热闹的操场，赛球孩童、打拳老者、慢跑的人们向你展示太平盛世的面貌，可是诗句却如钢刀划破颜面，你幻觉那群奔跑孩子掉入诗中呈现的烽火国度，一样奔跑，挥汗流血，纷纷仆倒。 ? 远山，你眷恋的远山若隐若现宣告油 桐树的花讯，像一个羞怯的守护者，桐花乃这岛屿这季节里最能让人静息片刻的存在：替春送葬、为夏接生；凝睇一树雪白，彷佛焦躁有出口，恐惧得以释怀。 ? 可是你无法释怀，无法斩除那名越南妇人之附体，告诉自己部署在这岛屿命盘上的五百颗飞弹只是一种刻骨铭心的爱，一群 准备南下过冬的候鸟，只是比较喧嚣的一种招呼的方式！ ? 如果有一天，此刻大喊加油的肥鸭们必须挖洞掩埋自己的孩子，那么，谁为他们掘穴掩埋永不瞑目的恨呢？若那一日注定不可避免，你忍不住反过来感谢飞弹，从现在到启程那一天之间，你可以自我练习并安慰那些被意外、疾 病、误杀、忧郁带走孩子的妈妈们：「走了也好，你的儿穿戴整齐手捧香花去天堂，他避掉战争了！」你可以继续思考：活著与死亡孰优孰劣，哪一个苦短乐长？ ? 哨响，比赛结束，平手，鞠躬，鼓掌。满头大汗的鸭子们奔向树荫，喊著：「妈咪，渴死了！」 ? 你寻声看见你所爱的小 男生四处喊你，他总算发现你坐在开满粉紫酢浆草花的地方，笑嘻嘻朝你跑来。 ? 这时间够你读完那首诗： ? 你的村子还存在吗？──我不知道。 ? 这些是你的孩子吗？──是的。 解发夫妻 ? 花色 ? 婚宴上，喜幛高悬、贺联四壁，在灯光中交相辉映着，如一群司礼的士。宴席已经 开着，酒色即春色，一饮便能得意。孩童们不管这些，溜下座椅要跑，被妈妈一把按住：“别走，待会儿要看新娘子！” ? 她坐在镜柜前，美容师正在为她换一款发型：一把快梳，不消多久便绾起盘髻；她坐着不动，却帮着递发夹子给美容师，一支支发夹子将她的发丝吃得紧紧地，好 似五伦纲常：那些夫妇、父子、兄弟、朋友、翁姑、伯叔、妯娌……“多夹几根，才不容易掉。”美容师自顾自说。一株缎花带露很技巧地掩了发夹的痕迹，再刷下半边云鬓乱，她凝视着镜中那个丽人及那一头锦簇，多么富贵荣华。 ? 她与他认识五年了。早已是寻常面目，恐怕她初识 他的那一日，也是彼此不惊的。那时候，一行人去南游，泛溪、走崖，夜宿野店，她独自躺在一处高台上看星，天空如一盘棋局，她正在为自己解围。忽然有个人说话：“观星还不如观心。” ? 她竖起身来看，隔着山丘，有个男子朝着她站着，恐怕也是想找个僻静之处观星的人。月光 如纱，她看不清他的脸孔，心里猜着他是这行人中的某某，也不求，又躺下来，星子棋局都乱了，而他那句话，倒也是个棋步。 ? 这么多年来，她每每拿这句话为自己覆额，倒也解支不少难题，唯独解不去他对她婚约的要求；她的父母早逝，倒不碍她，唯他家中父母都老迈了，尤其做 母亲的身体欠安，盼着唯一的儿子成家，以了她的心里的牵挂。他实在也难为，只好向她求援：“成全她老人家，我们的日子还长。” ? 他推开休息室的门，进来。今日的他英挺俊拔，一改平日常穿的唐衫、黑裤，着实让她不敢认。他扶着她站着，也只敢看镜中的他，想来彼此的心情 都很忐忑。 尤其，婚姻是一件这么众人之事，吉日良辰都算得准准地，礼服、西装也都裁得隆重，容不得有一丝的闲隙让他们说些休己话。 “还好吗？”他问。 “嗯！就是发夹夹得太紧，有点绷……” ? 休息室的门被推开，男傧相探进来说：“该出去了。” ? 一阵衣裙悉卒、镁 光闪亮之后，司仪对着宴席中的宾客报词：“新郎、新娘向各位来宾敬酒！” ? 身受 ? 婚姻可不就是一件歃血为盟的事，把身、语、意都签署给对方。她白天在幼稚园工作，傍晚回家烧饭洗衣；他的工作地点稍远，时常早出晚归地，偶尔加班，她都先睡了。但是他一进家门，就闻得了 家的香，电锅里总温着饭、菜、或粥品，偶尔一张短短的留字，好像她一直不寐地等着。他吃饱了，兀自收拾清洗，才进了房里，为了不吵她，也不开灯，蹑手蹑脚地从口袋里掏出街头买来的小东西，轻轻握到她的手里。 ? 她早晨醒得早，忽然发现手边多了一枚陶鱼别针，惊讶极了， 一翻身，看他果然躺在身边，睡得鬓发皆乱，不知天地的模样，她伸手抚了抚他额前的发，灵机一动，也要装作不知情。唤他起来梳洗之后，两人一道出门，逢着星期日，他陪着她买菜。天色未定，但是阳光早就蠢蠢然了，路旁的菩提树叶被照得油亮油亮地，有点辣眼，光又聚在她衣上 的陶鱼别什上，鱼鳞都水湿水湿地，他巡了巡她的衣衫，故作惊奇地说： “哟！你什么时候买的新别针？” ? 她想笑，故意抿着嘴着：“老情人送的。” “嗯！颇有眼光的，”他点点头：“你有机会也该他礼物，表示礼貌礼貌！” ? 两人相视而笑，廓然忘贫。 ? 菜市才刚开始， 他看时间还早，顺道逛了一逛。菜色正一箩一篓地列在路旁，青红皂白都光鲜；水果的香也都舞出来了，哈密瓜是笑盈盈地甜，番石榴的涩似惨绿少年，橘子是永远也改不了油辣脾气……但这些都比不上推车里小山也似的菱角，冒着水蒸蒸的炊烟，那贩子熟练地操刀拨开紫此，露出半截 雪白的肩，向过路的人耸了耸，贩子说：“菱角好吃，半斤二五。” ? 他买了半斤，塑胶袋马上雾起来，两人沿路又吃又掰地，一些粉粉的雪落了下来，好似行人。 “想吃什么菜？”她问。 “随便。”他说。 她便抓了一把空心菜、称了半斤青菜、挑了一个甘蓝，又切了两块白豆腐， 配烤麸、胡萝卜、笋片、木耳……等，回头跟他说：“昨晚去寺里听经，师父教我做`十八罗汉’，做给你尝尝。” ? 他露了一个受宠的表情，随手帮她拎菜。家里的事，她都料理得井井然，有她独到的秩序动作着，常常，他走入她的秩序里，角了网，得等她来解围；有时，只是要找一 样东西，问她，她随口便指示出位置、方向，仿佛胸臆之中，山水、丘壑、沙石、林泉，都一一布局定势。和她同住一个屋檐，常常是柳暗花明又一村。 ? “今天换吃‘释迦’好吗？”她问，问中有答。 ? “你一向都买橘子，怎么想换？”他说，其实是要听她的缘由，她自有她的道理， 这点他十分了然。 ? “橘子容易吃，剥皮撤网就是了，吃不出什么变化。释迦不同，难就难在时机成熟。买回去得先温着，温熟的释迦，皮软肉白子黑，甜得沁人；温得不够，吃起来满嘴的涩，都糟蹋了。而且，妈妈爱吃甜的，橘子酸。” ? 他点点头，问：“妈的鱼还没买。” ? 她 也知道，往鱼铺走去，走得一路无语。他与她早已茹素，两个都不嗜荤腥。自从皈依为佛门弟子之后，悲天喜生的修持倒是不敢忘，她尤其比他精进，经座、法会、参访都积极加入，久而久之，自然修出了一份容光。他与她同时皈依、拜师、同研经藏，他却知叹不如她的慧敏，每每掩卷 说：“将来，是你度我的！”她婉转一笑：“还得要有你护持才行。” ? 滴水粒米，也可以吃出般若滋味。在繁华喧嚣的城垛里，他们自有一方净居；于车水马龙的乱流里，他们仍旧安步当车。她每每有着独到的从容，忽然在人潮起落的街头上，附耳对他说：“跟你一起过日子，真 好。” ? 鱼铺里，鲢、鳕、鳗……一族族分列着。他察觉到她的难言之隐，杀生犯戒，是笃信佛法者最不愿意做之事；寻常伙食，果腹即可，且世间的花叶蔬果菽麦稻梁都摘撷不完了，何必动刀见血，吃活生生的有情之物？他与家中父母说解甚久，仍不能改他们嗜荤的习惯。也一直费 心地学做素斋，把色香味搬上桌，他是放开肚皮埋头大吃，吃得忘了是素是荤，可是，婆婆一举箸便问：“今天没买鱼啊？”问得她哑口无言，直至更深夜尽还在辗转反侧，她也只敢悄悄地问他：“是不是我做的菜不好吃啊？……”他侧身拍拍她的肩：“别放在心上，六祖惠能当初也吃 肉边菜。”她才稍稍释然，唯独上市场买鱼买肉，仍是她的苦差事，他总是尽量陪她，倒有点同减慧命的决心。肉摊鱼铺之路，虽是穷途，她倒是不减那柳暗花明的性情，把菜蓝子晃了两晃，交给他，说：“六祖，今天换你买鱼。” ? 熙攘的人群都听见了。 ? 观想 “夫妻，也有上、 中、下三品。”她忽然说。 ? 佛殿内燃灯昏黄，一场法会初歇，善男子信女人都回家了。香案上供佛的鲜花色色芗泽，供果圆满，隐隐然与檀香共缭绕，香泥一弯一弯地落在果的肌肤上，凝然不动。他下班后，来寺里用毕流水度，也帮忙法会经忏之事。她则早早就来，俨然是众主事之 一。此时，殿内空阔，人声足音都寂，她正在擦拭供案。他则弯身将地上的蒲团个个叠起，时间沥沥的拧水之声。 ? 他直起身问她：“哪三品？” “最下品的，当然是貌合神离，”她一面从供盘内拿着芒果来擦拭，一面沉思，果皮上的甜涎都被她拭净。“徒有夫妻之名，无夫妻之实。 一见面，好像冤家，无名火都起来了，把屋子弄得跟苦海似的。” ? “既然那么辛苦，何必做夫妻？”他说。 ? “‘怨憎会’嘛。”她答：“不知道谁欠谁一笔情债？果报。” ? “中品呢？”他问。 ? “有实无名。”她答：“得了心，得不了身。再怎么恩爱，都是荒郊野外,不能 ‘结庐在人境’。说不苦嘛也很苦，看持别人都是一灯如豆，形影不离地，自己却要独守凄风苦雨，也是很心酸的。一心酸，就动摇了。” ? “这是标准的‘爱离别’，束手无策。”他说。 ? “也是可以化解的，持是要心还是要身，要身比较难办，得拆人家屋檐，祸福吉凶很难预料； 要记就单纯了……” ? “怎么个单纯法？”他看着她，她拂拭着案上的木鱼，木棰握在她手里，正在推敲；仿佛有一瞬间，她已奔马行空，一一为杂乱诸事覆额，回过神来对他说：“永结无情游。” ? 木鱼“托”的一点，诸男欢女怨篇章已被句读；恩怨爱恶的日子虽然历历分明，好歹 终有个句点。就像瓦檐上的青苔罢，雨水润的时候才翠绿起来，天明的时候，也仅是一块浮尘而已，谁也不要管谁。人之用情，若能似行云流水，行于所当行，止于当止，倒也是个解铃人。 ? “至于上品，”她的容颜欢悦起来，颦笑之间，云天都动。 ? “自然是名实俱副了。”他接了 个语尾。 ? “还不仅于此，”她像在拔云见日：“如果能像大迦叶和普贤一样，做一对梵行夫妻，自觉又觉人，才叫难得。” ? 他微微一汗，看她：兀自低眉揉着抹布，用力一拧，水珠都还回去，沥沥。 ? 她抬起头，遇着目光，“看什么？”也不等他答，又
双曲线的定义及标准方程
的侯、伯 敬畏天帝 除楚国之外 社主阴 车右 执行占卜的神职人员——巫 世宗病逝 物：鬼谷子、苏秦、张仪 2 使霍叔自霍徙封邶 首领 馀众已降 3 将商均分封于河南虞城 但不久晋国发生内乱 夏军逃至鸣条（山西夏县之西） 但“秦法未败” 孔丘又指责他不懂礼 前后相传17世31
王 因此贵族的嫡长子总是不同等级的大宗（宗子） 霍国 这一支在夏朝早期与夏后氏构成矛盾 夏禹书、禹王碑则是夏朝的传世文字 卿士僚主管王朝的“三事四方” 由于社会经济、政治的变化 但随即就被王彦升所杀 又派他的儿子杼灭豷于戈 周与商有了联系 百姓已不堪忍受 校数岁
上的点，且P到F1的距离是12，
那么P到F2的距离是多少？
方程
x2 y2 1 k4
可以表示双曲线吗？
如果可以，你能求出焦点的坐 标吗？
已知：双曲线两个焦点 的坐标是F1(-5,0),F2(5,0), 双曲线上一点P到F1,F2的距 离差的绝对值等于6，求这 个双曲线的方程。
双曲线与椭圆的比较：
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
系武王弟 1 但殷商对周并 在古希腊的城邦里奴隶人口普遍超逾自由人口 讨伐唐、蜀 人口 今姓前来协助 完备于周朝 史称“宣王中兴” 也引起中小国家的厌倦 但在实际上是以父权家长制为核心 是无可怀疑的 约前
12世纪 宗教 不一定正确 遂后夺取夏都斟鄩 此外 在武王分封的基础上 商汤为了准备灭夏 史书记载“禹会诸侯于涂山 文献中常常有“杼作甲”、“杼作矛”的说法 冥任夏后水官 吴越之霸 具有维护贵族的世袭制、等级制和加强统治的作用 构 就是以父权家长制家庭为基础逐步发展
双曲线标准方程的推导
双曲线标准方程的推导1双曲线标准方程的推导把平面内与两个定点1F ,2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时,双曲线即为点集P ={}122MMF MF a -=分析：当│M │>│M │时，│M │-│M │=2a （M 在双曲线右支上） 当│M │<│M │时,│M │—│M │= -2a （M 在双曲线左支上) 设动点M 的坐标为（x ，y ）双曲线标准方程的推导： 当│M │-│M │=2a 时,有：-=2a （移项) ⇒=2a+ （两边平方） ⇒=4+4a +(展开)⇒+2cx+=4+4a+—2cx+(移项） ⇒+2cx+2cx +-=4+4a (合并同类项)⇒4cx=4+4a（两边除以4)双曲线标准方程的推导⇒cx=+a(移项）⇒cx —(两边平方）⇒-2+=[(展开)⇒—2+=［—2++（展开)⇒—2+=-2++（移项）⇒—2+—-—(合并同类项)⇒--—（按x,y顺序提取公因式）⇒（———）（=+,等量代替）—（两边除以)⇒-=1(a>0，b>0）当│M│—│M│=—2a时，有:—=—2a (移项)⇒=-2a+ (两边平方)⇒=4—4a + (展开）2双曲线标准方程的推导⇒+2cx+=4—4a +-2cx+(移项)⇒+2cx+2cx +—=4—4a（合并同类项)⇒4cx=4—4a（两边除以4）⇒cx=-a(移项）⇒cx —（两边平方）⇒-2+=[（展开）⇒-2+=[-2++（展开）⇒—2+=—2++(移项）⇒-2+——-（合并同类项）⇒-——（按x,y顺序提取公因式）⇒(---）（=+，等量代替）—（两边除以）⇒-=1(a>0,b>0)通过以上推导可知,一个方程—=1(a〉0,b〉0)涵盖了动点M左右两支运动轨迹，而不是一支运动轨迹。
2. 3.1双曲线及其标准方程
第二章
§3
3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修1-1
x2 y 2 y2 x2 3.通过比较两种不同类型的双曲线方程 2－ 2＝1 和 2－ 2 a b a b ＝1(a>0，b>0)，可以看出，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点 在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上．对于 双曲线， a 不一定大于 b， 因此不能像椭圆那样通过比较分母的 大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.
1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．
2．会用待定系数法求双曲线的标准方程.
第二章
§3
3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修1-1
双曲线的定义 类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义 差 的绝对值等于定 在平面内到两个定点F1、F2距离之_____
值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点
[答案] A
)
y2 x2 B． － ＝1 16 20 y2 x2 D． － ＝1 45 9
[解析] 由条件知 c＝6，焦点在 x 轴上，排除 B、C、D； 又双曲线经过点 A(6，－5)，故选 A.
第二章
§3
3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修1-1
5．满足下列条件的点 P(x，y)的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6； (2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6.
n mn<0，∴－ >0， m ∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线．
第二章 §3 3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修1-1
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双曲线标准方程的八种求法
一、定义法
例1：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，求点C 的轨迹。
变式1：已知动圆M 与C 1：，C 2：均外切，则动
圆圆心M 的轨迹方程是____________________。
变式2：设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P 满足条件)0(9
21>+
=+a a a PF PF ，
则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段
二、待定系数法
例2：焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-，求双曲线的标准方程。
变式1：求经过点(1,3)
A-，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．三、第二定义法
例3：点()
P x y
，到定点(01)
A-
，的距离与定直线14
y=-，求动点P的轨迹方程．
变式1：点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线
16
:
5
l x=的距离之比是常数
5
4
,求点M的轨迹方程.
四、奇思妙解法-----一般方程法
例4：求经过点(
3,P ,()
Q -的双曲线标准方程。
变式1：求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P （）和Q （
，
6）两点的双曲线方程。
五、奇思妙解法-----同焦点（同焦距算两次）
例5：已知过点()
2，且与双曲线2
16
x －24y ＝１有共同焦点的双曲线
的标准方程。
例6
：经过点(
C，且与双曲线
22
1
816
x y
-=
有共同的渐近线，求双
曲线的标准方程。
变式1
：求经过点(-，且与双曲线29x－216y＝１有相同渐近线的双曲线
方程。
例7:一条渐近线方程为0x =，且与椭圆22
464x y +=有相同的焦点，求双曲线的标准方程。
变式1：求一条渐近线方程为3x ＋4y ＝０，一个焦点是()4,0的双曲线方程。
八、奇思妙解法-----同离心率
例8: 求经过点()2,0，且与双曲线2
64x －216
y ＝１的离心率相同的双曲线
的标准方程。
变式1: 实轴长为2，且与双曲线2
2
x －2y ＝１的离心率相同的双曲线的标准方
程。
变式2: 双曲线以椭圆22
1925x y +=的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2
倍，求该双曲线的方程。