第10-12章习题课分析
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5
（1）请基于线性数据结构设计一套合理的算法，来实
现这些操作，并且分析每个操作的性能。假定：文本
最大的长度为L<10^6
（2）添加2个操作：
INSERT n, s：在当前光标之后插入长度为n的字符串s
DELETE n：删除光标之后的n个字符
此时数据结构应当作出什么样的改变来适应这一变
果一个块的大小大于某个阈值时，将其分割。
7
第10章 检索 第11章 索引 第12章 高级数据结构
8
第1题
持久动态集合是这样的集合，每当集合被更新（插
入元素或删除元素）时，仍然需要维护该集合的一
个较旧的版本。
下图就展示了一个二叉查找树的持久动态集合，对
于每个版本，都会有一个对应的根结点，所有根结
法中对双黑结点处理的方法同样处理T2的根结点， 即令其从(h1-h2+1)黑结点，变为(h1-h2)黑结点…直
至为单黑结点，那么就变成了一棵正常的红黑树。
16
双黑结点的调整
假设X是左子结点（若X为右子结点，处理方法类似，不重述）
情况1：双黑结点的兄弟C是红色，执行旋转操作（黑红）！
推出：B结点也一定是黑色， α 和β也是黑色 旋转：兄弟节点为根变黑，父节点变红 X结点仍是“双黑”结点，转化为情况2,3
请设计一个这样的字典，并且介绍其优点和缺点。
注意：字符串本身可能比较长；字符串的个数在
10^5 个左右。
3
答案
考查知识点：开散列
方案：考虑到字符串很多的因素，采用拉链式Hash
表解决，用一个Hash函数进行寻址；
考虑到字符串很长的因素，在插入的时候用另一个
Hash函数来给每一个字符串一个ID，相同的字符串
数据结构与算法
21
双红调整1：红黑旋转
情况1：新增结点X的叔父结点是黑色，或者NIL
以祖结点为轴旋 转父结点
α
α
调整后：祖节点变为黑，父、叔节点变为红！ 每个结点的阶都保持原值，调整完成 保持树的稳定性！
北京大学信息科学技术学院 数据结构与算法 22
4种形式的结构调整
提升操作
旋转操作
原则：保持BST的中序性质
北京大学信息科学技术学院 数据结构与算法 23
双红调整2：红红换色
情况2：新增结点X的叔父结点也是红色
对B继续红红 检查
父祖换色 叔父变黑
α
α
如果B是根节点，则只叔父节点变色，根节点不变！
北京大学信息科学技术学院 数据结构与算法 24
25
第10章 检索 第11章 索引 第12章 高级数据结构
果持久二叉查找树的高度为 h ，则实现上述过程的
时间和空间复杂性如何？
答案
与BST插入类似
12
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第2题
现有红黑树T1、T2和关键码z，T1中的关键码都比z
小，T2中的关键码都比z大。试将T1、T2和z合并成
一棵新的红黑树T3。树中的关键码不重复。
1. N是操作结点总数的上限，请分析你的算法的时间
点处在一个可维护的链表中，可以通过该链表访问
所有的根结点，进而访问所有的版本。该二叉树结
点没有父结点域。
9
10
1、对一个持久二叉查找树，插入或删除一个关键字
z 的，需要改变哪些结点？
答案
不需要改变任何结点，只需要复制从根结点开始到
插入/删除结点路径上的所有结点。
11
写出向持久二叉查找树中插入一个结点的过程，如
26
提供广义表的下列操作
make_GList(a,b,c...);将任意多个广义表连接成一个新的广
义表 head(gList);取广义表头 tail(gList);取广义表尾；
ID一定相同，不同的字符串也有一定概率ID相同，
在查找时，仅需考虑ID相同的串来确定是否串X存在
，避免了大范围的查找，和大量长字符串匹配。
4
第2题
现在有一个文本编辑器，具有如下的操作：
MOVE k：将光标移动到第k个字符之前，如果
k=0，那么移动到文档开头
PRINT n：输出光标之后的n个字符
代价，如果高于O(logN)，请调整你的算法。
2. 在不给定关键码z的情况下，实现两棵红黑树的合并
操作
14
答案
首先生成如下形式的红黑树，这里不妨设T1的阶为
h1，T2的阶为h2，且h1>h2：
15
那么，为了满足红黑树性质，我们令T2的根结点为
多(h1-h2+1)黑结点。我们可以利用红黑树的删除算
化？
6
答案
（1）使用分块链表实现。因为这里只有一个
Radnom Access的操作，其它的操作都是有相对起始
位置的；但是又不能使得MOVE操作成为瓶颈，我
们考虑对文本进行分块。按照一般的原则，应当进
行\sqrt(L)大小的分块 （2）可让分块链表获得自适应的功能。当相邻两个 块元素个数和小于设定阈值时，将相邻表合并；如
将C结点旋转为D结点的父结点，C继承原子根B的颜色， B着为黑色
B X D C E X B C
D
E
α
β
α
β
北京大学信息科学技术学院
数据结构与算法
20
11.6.3 插入算法
先调用BST的插入算法，将待插记录定位
新记录X着色为红色
若父结点是黑色，则算法结束
否则，双红调整
A X
插入4
A X
北京大学信息科学技术学院
双黑结点的调整
情况3：兄弟C是黑色，且子结点有红色(黑黑红)
(a)旋转重构：侄子红结点八字外撇
将兄弟结点C提上去，继承原父结点的颜色
然后把B着为黑色，D着为黑色，其他颜色不变即可
B 单旋转调整 X C D
数据结构与算法
C B X D
α
北京大学信息科学技术学院
α
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(b)旋转重构：侄子红结点同边顺
B X C X B C
β
α
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α
北京大学信息科学技术学院
β
双黑结点
数据结构与算法
情况2：兄弟是黑色, 且有两个黑子结点（黑黑黑）
执行换色操作，把C着红色，B着黑色
如果B原为红色，则算法结束
B X D C E X D B C E 有可能继续双 黑处理
否则，对B继续作“双黑”调整（为什么？？）
北京大学信息科学技术学院 数据结构与算法 18
第1wk.baidu.com-12章 习题课
宋国杰
北京大学信息科学技术学院
gjsong@pku.edu.cn
北京大学信息科学技术学院 数据结构与算法 1
第10章 检索 第11章 索引 第12章 高级数据结构
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第1题
请设计一个字典，支持下列的操作：
INSERT x：插入一个字符串 x
FIND x：返回一个 bool 值，表示字符串是否存在
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（1）请基于线性数据结构设计一套合理的算法，来实
现这些操作，并且分析每个操作的性能。假定：文本
最大的长度为L<10^6
（2）添加2个操作：
INSERT n, s：在当前光标之后插入长度为n的字符串s
DELETE n：删除光标之后的n个字符
此时数据结构应当作出什么样的改变来适应这一变
果一个块的大小大于某个阈值时，将其分割。
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第10章 检索 第11章 索引 第12章 高级数据结构
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第1题
持久动态集合是这样的集合，每当集合被更新（插
入元素或删除元素）时，仍然需要维护该集合的一
个较旧的版本。
下图就展示了一个二叉查找树的持久动态集合，对
于每个版本，都会有一个对应的根结点，所有根结
法中对双黑结点处理的方法同样处理T2的根结点， 即令其从(h1-h2+1)黑结点，变为(h1-h2)黑结点…直
至为单黑结点，那么就变成了一棵正常的红黑树。
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双黑结点的调整
假设X是左子结点（若X为右子结点，处理方法类似，不重述）
情况1：双黑结点的兄弟C是红色，执行旋转操作（黑红）！
推出：B结点也一定是黑色， α 和β也是黑色 旋转：兄弟节点为根变黑，父节点变红 X结点仍是“双黑”结点，转化为情况2,3
请设计一个这样的字典，并且介绍其优点和缺点。
注意：字符串本身可能比较长；字符串的个数在
10^5 个左右。
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答案
考查知识点：开散列
方案：考虑到字符串很多的因素，采用拉链式Hash
表解决，用一个Hash函数进行寻址；
考虑到字符串很长的因素，在插入的时候用另一个
Hash函数来给每一个字符串一个ID，相同的字符串
数据结构与算法
21
双红调整1：红黑旋转
情况1：新增结点X的叔父结点是黑色，或者NIL
以祖结点为轴旋 转父结点
α
α
调整后：祖节点变为黑，父、叔节点变为红！ 每个结点的阶都保持原值，调整完成 保持树的稳定性！
北京大学信息科学技术学院 数据结构与算法 22
4种形式的结构调整
提升操作
旋转操作
原则：保持BST的中序性质
北京大学信息科学技术学院 数据结构与算法 23
双红调整2：红红换色
情况2：新增结点X的叔父结点也是红色
对B继续红红 检查
父祖换色 叔父变黑
α
α
如果B是根节点，则只叔父节点变色，根节点不变！
北京大学信息科学技术学院 数据结构与算法 24
25
第10章 检索 第11章 索引 第12章 高级数据结构
果持久二叉查找树的高度为 h ，则实现上述过程的
时间和空间复杂性如何？
答案
与BST插入类似
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第2题
现有红黑树T1、T2和关键码z，T1中的关键码都比z
小，T2中的关键码都比z大。试将T1、T2和z合并成
一棵新的红黑树T3。树中的关键码不重复。
1. N是操作结点总数的上限，请分析你的算法的时间
点处在一个可维护的链表中，可以通过该链表访问
所有的根结点，进而访问所有的版本。该二叉树结
点没有父结点域。
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1、对一个持久二叉查找树，插入或删除一个关键字
z 的，需要改变哪些结点？
答案
不需要改变任何结点，只需要复制从根结点开始到
插入/删除结点路径上的所有结点。
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写出向持久二叉查找树中插入一个结点的过程，如
26
提供广义表的下列操作
make_GList(a,b,c...);将任意多个广义表连接成一个新的广
义表 head(gList);取广义表头 tail(gList);取广义表尾；
ID一定相同，不同的字符串也有一定概率ID相同，
在查找时，仅需考虑ID相同的串来确定是否串X存在
，避免了大范围的查找，和大量长字符串匹配。
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第2题
现在有一个文本编辑器，具有如下的操作：
MOVE k：将光标移动到第k个字符之前，如果
k=0，那么移动到文档开头
PRINT n：输出光标之后的n个字符
代价，如果高于O(logN)，请调整你的算法。
2. 在不给定关键码z的情况下，实现两棵红黑树的合并
操作
14
答案
首先生成如下形式的红黑树，这里不妨设T1的阶为
h1，T2的阶为h2，且h1>h2：
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那么，为了满足红黑树性质，我们令T2的根结点为
多(h1-h2+1)黑结点。我们可以利用红黑树的删除算
化？
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答案
（1）使用分块链表实现。因为这里只有一个
Radnom Access的操作，其它的操作都是有相对起始
位置的；但是又不能使得MOVE操作成为瓶颈，我
们考虑对文本进行分块。按照一般的原则，应当进
行\sqrt(L)大小的分块 （2）可让分块链表获得自适应的功能。当相邻两个 块元素个数和小于设定阈值时，将相邻表合并；如
将C结点旋转为D结点的父结点，C继承原子根B的颜色， B着为黑色
B X D C E X B C
D
E
α
β
α
β
北京大学信息科学技术学院
数据结构与算法
20
11.6.3 插入算法
先调用BST的插入算法，将待插记录定位
新记录X着色为红色
若父结点是黑色，则算法结束
否则，双红调整
A X
插入4
A X
北京大学信息科学技术学院
双黑结点的调整
情况3：兄弟C是黑色，且子结点有红色(黑黑红)
(a)旋转重构：侄子红结点八字外撇
将兄弟结点C提上去，继承原父结点的颜色
然后把B着为黑色，D着为黑色，其他颜色不变即可
B 单旋转调整 X C D
数据结构与算法
C B X D
α
北京大学信息科学技术学院
α
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(b)旋转重构：侄子红结点同边顺
B X C X B C
β
α
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α
北京大学信息科学技术学院
β
双黑结点
数据结构与算法
情况2：兄弟是黑色, 且有两个黑子结点（黑黑黑）
执行换色操作，把C着红色，B着黑色
如果B原为红色，则算法结束
B X D C E X D B C E 有可能继续双 黑处理
否则，对B继续作“双黑”调整（为什么？？）
北京大学信息科学技术学院 数据结构与算法 18
第1wk.baidu.com-12章 习题课
宋国杰
北京大学信息科学技术学院
gjsong@pku.edu.cn
北京大学信息科学技术学院 数据结构与算法 1
第10章 检索 第11章 索引 第12章 高级数据结构
2
第1题
请设计一个字典，支持下列的操作：
INSERT x：插入一个字符串 x
FIND x：返回一个 bool 值，表示字符串是否存在