数理统计_考试复习

＋x12）且Z＝cy~F分布，则c=__,Z~F( ) 3．若x1,x2,……，x20为来自总体N（µ，σ2）的样本,若 y=(x2-x1)2+(x4-x3)2+……＋（x20-x19）2，且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=__,DZ=__
∑ 4．若x1,x2,……，x100为来自总体N（10，σ2）的样本，若y=
Yˆ i =5807+3.24Xi
r2=0.22
se= (1.63) 式中，Y 表示零售私人汽车数量（千辆），X 表示真实的可支配收入（以 1972 年为标准，单位为亿美元）。注：未给出 b1 的标准差 se。 （1）对 b2 建立一个 95%的置信区间。 （2）检验假设:该置信区间包括 b2=0。如果不包括，你将接受零假设吗？ （3）在 H0:b2=0 下，计算 t 值，在 5%的显著水平 α 下，使统计显著吗？
f(x)=(1+α)x2, 0<x<1
0
其它
而x1,x2,……，xn为来自X的样本，试求α的矩估计量和极大似然估计量。
60
∑ 三（10 分）设x1,x2,……，x61为来自总体N（0，1）的样本。令y= xi2 ,且P （x61/y≤k） i =1
＝0.95，试求k。 四（10 分）设X~N（µ1，σ2）,Y~N（µ2，σ2）令抽取A的样本x1,x2,……，x8，Y
相比较。（ ） 6、为了避免陷入虚拟变量陷阱，如果一个定性变量有 m 类，则要引入 m 个虚拟
七、（10 分）设t~t(n)，F~F(n, 1)且p{t≤tα(n)}=α，p{F≤Fα(n, 1)}=α
试证明： t1+α
2
(n)
=
1 F1−α (n,1)
八、（10 分）设 X 的概率密度函数为
f
(x)
=
⎧1
⎪ ⎨
β
,0
<
x
<
β
试求
β
的极大似然估计量，并由此求一个
β
的无偏估计量
⎪⎩ 0, otherwise
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偏估计，而 Q σ2
~
χ
(n-2)，又知 aˆ 与 Q 相互独立，试求 a 的置信区间。
9. 今有正交试验结果列于下表（试验结果大者为好），试用极差分析法对结果进
行分析，并选出最优工艺条件，又知 A，B，C 的水平数皆为实际数据由小到
大排列，试指出进一步实验的方向。
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六（10 分）今有正交试验结果列于下表（大者为好）
因素
CA
B
试验号
1234
1
1111
15
2
1222
20
3
1333
35
4
2123
18
5
2231
24
6
2312
32
7
3132
40
8
3213
16
9
3321
25
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
R
试用级差分析对结果进行分析判断，若 A、B、C 的水平数皆为实际条件数据由 小到大排列，试选出最优工艺条件并指出进一步试验的方向。
∑ S2=
1 n −1
n i=1
(xi
−x)2
，求ES4。
3. 已知随机变量X的分布律为：P{X=k}=qpk-1，k=1，2，…，（q=1- p）
试求 X 的特征函数ϕ (t)，并由此求 EX，DX。
4.
设总体X的概率密度为f(x;θ)=
⎧θ cθ ⎨ ⎩0, x
xθ ≤
−1 , c
x
>
c
,其中c>0
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应用数理统计（2003 年）
100
∑ 1. 设X1, X2, … , X100为来自正态总体N(0,σ2)的样本，若Y= xi2 ，求EY，EY2。 i=1
∑ 1 n
2. 设总体X~N(μ,σ2)，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，记 X = n i=1 xi ，
因素
C
B
试验号
1234
1
1111
49
2
1222
64
3
1333
51
4
2123
80
5
2231
89
6
2312
60
7
3132
Biblioteka Baidu
48
8
3213
75
9
3321
58
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
R
10. 设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单样本，且X~R[0，θ]，试求θ的最 大似然估计量，并验证是否具有无偏性，若否，请构造一个无偏估计量。
7. 设总体X的均值为μ，方差为σ2>0，今有来自X的两组样本（X1，X2，…，Xn1）， （Y1，Y2，…，Yn2），其样本均值依次为 X 和Y ，若T=a X +bY 为μ的无偏估 计量，且方差D(T)达到了最小，试求a与b。
8. 若回归直线 yˆ = aˆ + bˆx 中，已知 aˆ = y − bˆx ~ N (a, (1 + x 2 )σ 2 ) ,且 Q/(n-2)为的无 n lxx
1．试在水平α=0.01 下检验假设H0：µ1=µ2，H1：µ1>µ2 2．试求α=0.02 时，µ2-µ1的估计区间（t0.99(14)=2.6245）
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五、欲考察因子A,B,C,D及交互作用A×C，且知B也可能与其它因子存在交互作 用，试在L8(27)上完成下列表头设计。并说明理由。
1 清华大学 MBA
D2= 0 其他
1 沈阳工业大学 MBA
D3= 0 其他
（1）你预期各系数的符号如何？ （2）如何解释系数BB2，B3B ？ （3）若BB2 〉B3B ，你得出什么结论？
七、不完全多重共线性的实际后果是什么？ 八、若在模型：Yt=B1+B2+ut中存在下列形式的异方差：Var(ut)=δ2Xt,你如何估计
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应用数理统计（2000 年）
一、填空
1 、 设 x1,x2,…x10 来 自 总 体 N(0,1) 的 样 本 ， 若
y=k1(x1+2x2+3x3)2+k2(x4+x5+…+x10)2~x2(2)，则k1=
k2=
∑ 2、设x1,x2,…x2m来自总体N(4,9)的样本，若y=
参数BB1,B2
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应用数理统计参考试卷二
一、判断正误 1、随即误差项和残差相是一回事。（ ） 2、在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果。（ ） 3、R2=TSS/ESS。（ ） 4、整个多元回归模型在统计上是显著的意味着模型中任何一个单独的变量均是
统计显著的。（ ） 5、双对数模型的R2值可以与对数线性模型的相比较，但不能与线性对数模型的
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应用数理统计考试提纲（2004 年）
1、正态N(μ,σ2),简单随机样本X1、X2……Xn,其中μ已知。 （1） 求σ2的一至最小方差无偏估计。 （2） 运用信息不等式得到σ2的方差下界。 （3） 判断得到的σ2的一致最小方差是否达到信息不等式的下界。 （4） 说明有效估计和一致最小方差关系。 2、对于一元线性回归证明b～N(b,σ2/lxx) 3、假设检验。（比较简单，但要记住公式或自己能推导） 4、对L8(27)正交表进行极差分析和方差分析，判断最优的工艺条件。 5、已知某个、协差矩阵的特征根，求应该选几个主成分和第一主成分的特征向
BADCB
用L8(27)的交互作用表
1234567
1234567
(1) 3 2 5 4 7 6
(2) 1 6 7 4 5
(3) 7 6 5 4
(4) 1 2 3
(5) 3 2
(6) 1
(7)
六、已知(x1, y1), (x2, y2),…, (x9, y9)为一组实验值，且计算得 x =8.67, y =16.2,
∑ ∑ ∑ 9
xi2 =996,
9
yi2 =3081.96,
9 xi yi =1743.6，试求线性回归方程 yˆٛ= aˆ + bˆx
i =1
i =1
i =1
七、x1,x2,…x100来自总体x~π(λ)的一个样本，试求参数λ的近似(1-α)置信区间，
(Ex=λ,Dx=λ)
八、在一元线性回归中，lyy=Q+U,F=
U / s ~F(s,t),试给出用F值来判定回归显著 Q/s
性的办法。
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应用数理统计（2001 年）
一、 填空（每空 3 分，共 30 分） 1．设 x1,x2,…… ， x10 为 来 自 总 体 N （ 0 ， 1 ） 的 样 本 ， 若 y ＝
k1(2x1+x2-3x3)+k2(x4+x5+……＋x10)2,且y~x2(2).则k1=__,k2=__. 2．设x1,x2,……，x12为来自总体N（0，A）的样本，若y=（x12+x22+x32）÷（x12+x22+……
3、尽管存在着完全多重共线性，普通最小二乘估计量仍然是最优线性无偏估 计量。（ ）
4、如果存在异方差，通常用的 t 检验和 F 检验是无效的。（ ） 二、随即的总体回归函数与随机的样本回归函数有何区别？既然我们不能观测到
总体回归函数，为什么还要研究它？
三、根据美国 1962-1977 年的数据，得到对汽车的需求函数如下：
量。（第二问都是小数，4×4 矩阵，运算量大，要带计算器）
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应用数理统计参考试卷一
一、判断正误
1、给定显著性水平 α 及自由度，若计算得到的|t|值超过临界的 t 值，我们将 接受零假设。（ ） 2、线性对数模型R2值可以与线性摸型的相比较，但不能与双对数模型或对数 线性模型的相比较。（ ）
什么？ （5）根据以上信息，你能否确定X2和X3各自对Y的贡献吗？ 五、解释下列模型中参数BB2的含义：
(1) lnYt=B1+B2lnXt+ut (2) lnYt=B1+B2Xt+ut (3) Yt=B1+B2lnXt+ut 六、考虑下面的模型：Yt=B0+B1Xt+B2D2t+ BB3D3t+ut 其中，Y——MBA 毕业生收入，X——工龄，所有毕业生均来自清华大学， 大连理工大学，沈阳工业大学
(1+α )xα，0<x<1
f(x)=
0,
其他
而（x1,x2,…xn）为来自x的样本，试求α 的极大似然估计量。 四、设x~N(µ1,σ2)，y~ N(µ2,σ2)
今抽取x的样本x1,x2,…x8； y的样本y1,y2,…y8；
计算得
x
=54.03，
y
=57.11，
sx2
=3.25，
s
2 y
=2.75
m i =1
( x2i
−
4)2
，且Z=
c( x1
− y
4)
，服从
t分布，则c=
,z~t( )
3、设x1,x2,…x2m来自总体N(µ,σ2)的样本，已知y=( x2-x1)2+（x3-x4）2+…+(x2m-x2m-1)2， 且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=
4、上题中，Dz=
5、由总体F(x)与G(x)中依次抽得容量为 12 和 11 的样本，已计算的游程总个数
为常数，试用来自X的
样本（X1, X2,…, Xn）构造的θ矩估计量。 5. 设总体X~N(μ,52)，其样本为（X1，X2，…，Xn），这时μ的置信区间为 1-α，
的置信区间为
① 当 n 固定时，若要提高置信度，置信区间长度会＿
② 当置信度固定时，增大 n，置信区间长度会＿
n
∑ 6. 设（X1，X2，…，Xn）为来自正态总体N(0,σ2)的样本，若T= c xi 是σ的 i=1 无偏估计量，求c。
四、下表给出了三变量模型的回归结果：
方差来源
平方和
自由度（df）
来自回归（ESS） 65.965
来自残差（RSS）
总离差（TSS） 66.042
14
平方和的均值 （MMS）
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（1）样本容量是多少？ （2）求 RSS？ （3）求R2? （4）检验假设：X2和X3对Y无影响，置信水平α=0.05，你用什么假设检验？为
y
=
1 99
100 i =1
( x1
−10)2
，
则Ey=__,Dy__
5．若x1,x2,……，x16为来自总体N（µ，0.012）的样本,其样本平均值x---=2.215,则µ
的 0.20 置信区间为（）（取三位小数），（已知Ф（1.645）＝0.95，Ф（1.282）
＝0.90）
二（10 分）设总体 X 的概率密度函数为
---
的样本y1,y2,……，y8试推导假设H0：µ1＝µ2；H1：µ1＞µ2的拒绝域，设若x＝54.03，
__
y=57.11，S12=3.25，S22=2.75，是否接受H0？ 五（10 分）设y～N（Ae-Bx，σ2）,试由样本（x1,y1）（x2,y2）,……（xn,yn）估计 参数A及B（可利用已有的结论或公式些出相应的结果）。
U=12，试在水平α=0.05 下检验假设H0：F(x)= G(x)，其结论为 11）=8）
（U0.05（12，
∑ 二 、 设 x1,x2,…x61 来 自 总 体 N(0,1) 的 样 本 ， 令 y=
61 i =1
xi2
， 试 求 P{
x12 y
≤1 15
}
(t0.975(60)=2) 三、设总体 x 的密度函数为