函数的最大(小)值与导数习题

[学业水平训练]

1．下列说法正确的是( )

A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值

B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值

C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值

D ．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值

解析：选D ．由极值与最值的区别知选D ． 2．函数y ＝x (1－x 2

)在[0,1]上的最大值为( ) 3 B ．2

92 C ．4

9

2 D ．38

解析：选′＝1－3x 2＝0， ∴x ＝±

33.当0＜x ＜3

3

时，y ′＞0； 当

3

3

＜x ＜1时，y ′＜0. 所以当x ＝

33时，y 极大值＝293；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0.所以当x ＝3

3

时，y max ＝

2

9

3. 3．函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．无最值 B ．有极值 C ．有最大值

D ．有最小值

解析：选′(x )＝2＋sin x ＞0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．

4．函数f (x )＝

1

x ＋1

＋x (x ∈[1,3])的值域为( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)

C ．⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，134 D ．⎣⎢⎡⎦

⎥⎤32，134 解析：选D ．f ′(x )＝－

1x ＋1

2＋1＝

x 2＋2x

x ＋12

，

所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增．所以f (x )的最大值是

f (3)＝134，最小值是f (1)＝32

.故选D ．

5．若函数y ＝x 3

＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m 等于( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．5

2

解析：选C ．y ′＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 3＋32x 2＋m ′＝3x 2

＋3x ＝3x (x ＋1)．

由y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1. ∵f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋1

2

，

又∵f (1)＝m ＋5

2，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，

∴f (1)＝m ＋5

2最大．

∴m ＋52＝9

2

.∴m ＝2.

6．函数f (x )＝x ln x 的最小值为________． 解析：∵f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋1. 令f ′(x )＝0，解得：x ＝1

e

，

又x ＞1e 时f ′(x )＞0,0＜x ＜1

e 时

f ′(x )＜0，

∴f (x )＝x ln x 在x ＝1

e 处取得极小值即为最小值．

∴f (1e )＝－e －1

.

答案：－e －1

7．已知函数y ＝－x 2

－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.

解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1，

∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减． 若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2

－2a ＋3＝154

，

解之得a ＝－12(a ＝－3

2

舍去)；

若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠15

4.

综上知，a ＝－1

2.

答案：－1

2

8．函数f (x )＝3x

＋sin x 在x ∈[0，π]上的最小值为________． 解析：f ′(x )＝3x ln 3＋cos x .

∵x ∈[0，π]时，3x ln 3＞1，－1≤cos x ≤1， ∴f ′(x )＞0，∴f (x )递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1. 答案：1

9．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值． 解：f ′(x )＝－x －1－x x 2

＋1x ＝x －1

x

2. 由f ′(x )＝0，得x ＝1.

∴当x 在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2上变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

x 12 (1

2，1) 1 (1,2) 2 f ′(x )

－ 0 ＋ f (x ) 1－ln 2

单调递

减↘

极小 值0

单调递 增↗

－1

2

＋ln 2 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 2，f (2)＝－12＋ln 2，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－f (2)＝32－2ln 2＝12(ln e 3

－ln 16)．

又因为e 3

＞16，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＞0，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝1－ln 2.

10．已知函数f (x )＝x 3

＋ax 2

＋2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称． (1)求导函数f ′(x )及实数a 的值；

(2)求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值．