函数的最值与导数ppt课件
大值，在区间上的函数的最大值是__f_(b_)__，最小值
是__f_(_x_3)__。
思考2
问题在于如果在没有给出函 数图象的情况下，怎样才能
判断出f(x3)是最小值，而f(b) 是最大值呢？
方法总结
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
y
y y=f(x)
y
y=f(x)
y=f(x)
x
oa
b
y y=f(x)
x
oa
b
x
x
oa
b
oa
b
结论
在开区间内的连续函数 不一定有最大值与最小值。 若有最值，一定在极值点 处取得。
性质探究 探究问题2：闭区间上的最值问题
如图，观察[a，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a，b]上有 最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
（2）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的 函数值都小,满足f '(a)=0且在点x=a附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0, 则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。
复旧知新
问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？
解方程f '(x) =0。当f '(x0) =0时： （1）如果在x0附近 的左侧 f '(x) >0 ，右侧 f '(x)<0 ,那么f (x0)是极大值； （2）如果在x0附近 的左侧 f '(x)<0，右侧 f '(x) >0 ,那么f (x0)是极小值；
讲授新课
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值和极 小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？
函数的最值与导数
Page 1
复旧知新
1．函数的最大值 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满 足：①对于任意的 x∈I，都有__f_(x_)_≤_M__；②存在 x0 ∈I，使得 __f_(_x_0)_＝__M__．那么称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．
2．函数的最小值 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满 足：①对于任意的 x∈I，都有__f(_x_)≥__M__；②存在 x0 ∈I，使得 __f(_x_0_)＝__M___．那么称 M 是函数 y＝f(x)的最小值．
y=f(x) y
y
y=f(x)
a o
结论
bx
o a x1 x2 x3
x4 bx
一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x) 的图像是一条连续不ຫໍສະໝຸດ 的曲线，那么它必定有 最大值和最小值。
特别地，若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单 调函数，则最值则在端点处取得。
思考1
y
观察下列图形,
图1
找出函数的最
极大值：f (x2)，f (x4)，f (x6)
y
极小值：f (x1)，f (x3)，f (x5)
最大值：f (a)
a x1 x2
o
x3 x4 x5
x6 b
最小值：f (x3)
x
性质探究 探究问题1：开区间上的最值问题
如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上 有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？
所以函数在区间[-3, 5] 上最大值为 128，最小值为 117.
巩固练习 求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2, 1]上的最值
解：
f'(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)， 令 f'(x)=0，得 x=-1或 x=2（舍）
当-2< x < -1时，f'(x)>0，函数单调递增； 当-1< x <1时，f'(x)<0，函数单调递减；
3
3
又f (0) 4，f (3) 1
函数f (x) 1 x3-4x 4在0，3上的最大值为4，最小值为- 4 .
3
3
典例精讲 例 2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3, 5]上的最值。
解：f'(x)=48-3x2= -3(x2-16)= -3(x-4)(x+4) 令 f'(x)=0，得 x=4或 x= -4（舍） 当-3< x < 4时，f'(x) >0，函数单调递增； 当4< x <5时，f'(x)<0，函数单调递减； 所以当x=4 时，函数取得极大值，且极大值 f (4)=128； 又 f (-3)= -117, f (5)=115
比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.
注意: 在定义域内, 最值唯一;极值不唯一
牛刀小试
例1 .给出下列说法：
（1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大 值便是最大值，极小值便是最小值。 （2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 （3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值； 反之，若有极值，则一定有最值。 （4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个 最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极 值。
其中说法正确的有（ (4) ）
例1.已知函数 f (x) 1 x3 4x 4,求f(x)在区间[0,3]上的
3
最大值和最小值．
解：f ' x x2 4 x 0,3
令f ' x 0,解得：x 2或x 2(舍),列表
x
(0.2)
2 (2,3)
y′
-
0
+
y
递减 4 递增
3
函数f (x) 1 x3-4x 4在0，3上的极小值为- 4 .
复旧知新
问题一：函数极值相关概念
y
f(b)
（1）若函数y=f(x)在点x=b的函数
值f(b)比它在点x=b附近其他点的函
a
数值都小大，满足f '(b)=0且在点
b0
x
x=b附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,
则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，
f(a)
f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。
值连并续总结函规数律在[aa,bx1]O上x2必有x3 最值b ；x 并y 且在图极2值点或端y点处取到.图3
a O x1 x2
x1
bx
aO
x2 x3 b x
追踪练习
y
y=f(x)
观察右边一个定义在区
间[a,b]上的函数y=f(x)
的图象：
a x1 o X2
X3
bx
发现图中__f(_x_1)_、__f(_x_3_) __是极小值，___f(_x_2)____是极
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3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
高考数学复习考点知识专题讲解课件17---导数与函数的极值、最值
高考数学复习考点知识 专题讲解
新高考 大一轮复习 · 数学
§3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值
新高考 大一轮复习 · 数学极值 例 1 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象 如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
新高考 大一轮复习 · 数学
令13x3＋x2－23＝－23，得 x＝0 或 x＝－3，则结合图象可知，a－＋35≤>a0<，0， 解得 a ∈[－3,0)． 答案：C
新高考 大一轮复习 · 数学
(2)已知函数 f(x)＝2sinx＋sin2x，则 f(x)的最小值是________． 解析：f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1) ＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)． ∵cosx＋1≥0， ∴当 cosx＜12时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当 cosx＞12时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
新高考 大一轮复习 · 数学
若1k>1e即1e≤k<e 时，f(x)在1e，1k上为减函数，在1k，e上为增函数，f(x)min＝f1k＝ k－1－klnk. 综上，当1e≤k<e 时，f(x)min＝k－1－klnk， 当 k≥e 时，f(x)min＝e－k－1.
新高考 大一轮复习 · 数学
【思维升华】 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与 f(b)一个为最大 值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与 f(a)，f(b)比较， 最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； (3)函数 f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点， 此结论在导数的实际应用中经常用到．
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§3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值
新高考 大一轮复习 · 数学极值 例 1 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象 如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
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令13x3＋x2－23＝－23，得 x＝0 或 x＝－3，则结合图象可知，a－＋35≤>a0<，0， 解得 a ∈[－3,0)． 答案：C
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(2)已知函数 f(x)＝2sinx＋sin2x，则 f(x)的最小值是________． 解析：f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1) ＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)． ∵cosx＋1≥0， ∴当 cosx＜12时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当 cosx＞12时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
新高考 大一轮复习 · 数学
若1k>1e即1e≤k<e 时，f(x)在1e，1k上为减函数，在1k，e上为增函数，f(x)min＝f1k＝ k－1－klnk. 综上，当1e≤k<e 时，f(x)min＝k－1－klnk， 当 k≥e 时，f(x)min＝e－k－1.
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【思维升华】 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与 f(b)一个为最大 值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与 f(a)，f(b)比较， 最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； (3)函数 f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点， 此结论在导数的实际应用中经常用到．
2024高考数学课件 导数与函数的单调性、极值和最值讲解册
例1
设函数f(x)=aln
x+x
x
1 1
,其中a为常数.讨论函数f(x)的单调性.
解析
函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f
'(x)=
a x
+
(
x
2 1)2
=
ax2
(2a 2)x x(x 1)2
a
,
当a≥0时, f '(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
3
3
3
, 1
1 3
3a
∪
1
1 3a ,+∞
3
时, f '(x)>0,当x∈
1 1 3a, 1 1 3a 时, f '(x)<0,所
3
3
以f(x)在 ,1
1 3
3a
和
1
1 3
3a
,
上单调递增,在
1
1 3a 1
3,
1 3a 3
上单调
递减.
(2)设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x0,y0),则切线的斜率为f '(x0)=3x02-2x0+a,故
a
a
即练即清
1.(2024届湖南长沙一中基础测试,8)若函数g(x)=ln x+ 1 x2-(b-1)x存在单调递减区间,则
2
实数b的取值范围是 ( B ) A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.(-∞,3) D.(-∞,3]
题型2 利用导数研究函数的极(最)值 1.解决函数极值问题的一般思路
2019-2020学年人教A版选修2-2 函数的最大(小)值与导数 课件(50张)
这些命题中，真命题的个数是________． 【解析】 ②③正确． 【答案】 2
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
人教A版高中数学选修1-1课件-函数的最大(小)值与导数
∴当 x＝－23时， f(x)有极大值2227＋c. 又 f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c， ∴当 x∈[－1,2]时， f(x)的最大值为 f(2)＝2＋c. ∵当 x∈[－1,2]时， f(x)<c2 恒成立． ∴c2>2＋c，解得 c<－1 或 c>2， ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[解析] (1)解：f′(x)＝－ax2＋2eax－1x＋2，f′(0)＝2. 因此曲线 y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是 2x－y－1＝0. (2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令 g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则 g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当 x<－1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>－1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以 g(x)≥g(－1)＝0.因此 f(x)＋e≥0.
4．函数 f(x)＝sin x＋cos x 在 x∈[－2π，π2]上的最大值为___2___，最小值为 ___－__1__.
[解析] f′(x)＝cos x－sin x， 令 f′(x)＝0，即 cos x＝sin x， ∵x∈[－π2，2π]，∴x＝4π. f(4π)＝ 2，f(－2π)＝－1，f(2π)＝1， ∴f(x)在区间[－2π，π2]上的最大值为 2，最小值为－1.
[思路分析] 本题主要考查导数的几何意义，极值的逆用和不等式的恒成立问题，求解第(2)小题的关 键是求出函数f(x)在[－1,2]上的最大值．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－x＋b, f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线，则 f′(x)＝ 0 有实数解，
即方程 3x2－x＋b＝0 有实数解， ∴Δ＝1－12b≥0，解得 b≤112. 故 b 的取值范围为(－∞，112]．
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
1．设f(x)为R 上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cos x<0，则不等式f(x)<sin x的解集为 ________． 解析：令φ(x)＝f(x)－sin x，当x≥0时，φ′(x)＝f′(x)－cos x<0，∴φ(x)在 [0，＋∞)上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，∴φ(x)为R上的奇函数，∴φ(x)在 (－∞，0]上单调递减，故φ(x)在R 上单调递减且φ(0)＝0，不等式f(x)<sin x可化为 f(x)－sin x<0，即φ(x)<0，即φ(x)<φ(0)，故x>0，∴原不等式的解集为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)
分别是________，g(x)在(1,2)上的最小值和最大值________．
[记结论] 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分 条件．
2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数 的最值点．
4 27
．若f(x)在(a－1，a＋3)上存在极大值，则a
的取值范围是________．
1．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数 为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2．导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必 须检验．
2．设 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1 的导数为 f′(x)，若函数 y＝f′(x)的图象关于直
考向1 根据函数图象判断函数极值
(2022·郑州模拟)设函数f(x)在R 上可导，其导函数为
高中数学选择性必修二 课件 5 3 2 第2课时函数的最大(小)值与导数课件(共58张)
[跟进训练] 1．已知函数 f (x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数 f (x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为 f (x)＝excos x－x，所以 f ′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f ′(0)＝0. 又因为 f (0)＝1，所以曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为 y＝1.
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函 数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多 个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点 取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为 最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数 f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若 在这一点处 f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定 f (x)在该点处取得 最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
4．函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是( ) A．1 B．2 C．0 D．－1 A [设 f (x)＝3x－4x3，∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)． ∵x∈[0，2]，∴当 x＝12时，f ′(x)＝0. 又 f (0)＝0，f 12＝1，f (2)＝－26， ∴函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是 1.]
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第2课时 函数的最大(小)值与导数
学习目标
核心素养
1.理解函数的最值的概念．(难点) 1.通过函数最大(小)值存在性的
2．了解函数的最值与极值的区别 学习，体现直观想象核心素养．
导数与函数的极值、最值(课件)高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
在导数的实际应用中经常用到.
例4 [2022全国卷乙]函数 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最
大值分别为( D
)
A.
π π
－ ，
2 2
B. － ，
C.
π π
－ ， ＋2
2 2
D. － ， ＋2
3π
2
π
2
3π
2
π
2
[解析] 由 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1， x ∈[0，2π]，
2
1 2 > 0，
− > 0，
2 + 8 > 0，
所以 > 0，
故B，C，D正确.因为 ab ＞0， ac ＜0，所以 bc ＜0，A错误，
< 0.
故选BCD.
（2）[2022全国卷乙]已知 x ＝ x 1和 x ＝ x 2分别是函数 f ( x )＝2 ax －e x 2( a
2
2
2
2
角度2
已知函数的最值求参数
例5 [全国卷Ⅲ]已知函数 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b .
(1)讨论 f ( x )的单调性.
[解析] (1)对 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b 求导，得 f '( x )＝6 x 2－2 ax ＝2 x (3 x － a ).
令 f '( x )＝0，得 x ＝0或 x ＝ .
的图象可能是( D
A
)
B
C
D
[解析] 根据题意，已知导函数的图象与 x 轴有三个交点，且每个交点的两边
例4 [2022全国卷乙]函数 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最
大值分别为( D
)
A.
π π
－ ，
2 2
B. － ，
C.
π π
－ ， ＋2
2 2
D. － ， ＋2
3π
2
π
2
3π
2
π
2
[解析] 由 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1， x ∈[0，2π]，
2
1 2 > 0，
− > 0，
2 + 8 > 0，
所以 > 0，
故B，C，D正确.因为 ab ＞0， ac ＜0，所以 bc ＜0，A错误，
< 0.
故选BCD.
（2）[2022全国卷乙]已知 x ＝ x 1和 x ＝ x 2分别是函数 f ( x )＝2 ax －e x 2( a
2
2
2
2
角度2
已知函数的最值求参数
例5 [全国卷Ⅲ]已知函数 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b .
(1)讨论 f ( x )的单调性.
[解析] (1)对 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b 求导，得 f '( x )＝6 x 2－2 ax ＝2 x (3 x － a ).
令 f '( x )＝0，得 x ＝0或 x ＝ .
的图象可能是( D
A
)
B
C
D
[解析] 根据题意，已知导函数的图象与 x 轴有三个交点，且每个交点的两边
高考数学导数与函数的极值、最值复习课件
件和充分条件．
命题
最值求参数范围问题仍是高考
2．会用导数求函数的极大值、极小值 趋势
的难点，题型各种类型都有，
(其中多项式函数一般不超过三次)．
一般难度中等.
3．会求闭区间上函数的最大值、最小
核心
值(其中多项式函数一般不超过三次).
数学运算、数学抽象
素养
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第四章 导数及其应用
3
1．函数的极值与导数
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第四章 导数及其应用
25
当 f′(x)>0 时，0<x<1 或 x>2， 函数在(0，1)和(2，＋∞)上单调递增； 当 f′(x)<0 时，1<x<2，函数在(1，2)上单调递减； 所以函数在 x＝1 时有极大值，函数在 x＝2 时有极小值为 f(2)＝ln 2－2. 【答案】 (1)(－∞，－1) (2)ln 2－2
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第四章 导数及其应用
18
由图象判断函数 y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由 y＝f′(x)的图象与 x 轴的 交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数 y＝f′(x)的图象可以看出 y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数 y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．
角度三 已知函数的极值求参数值(范围) (1)(2021·江西八校联考)若函数 f(x)＝x2－x＋aln x 在(1，＋∞)上有极
值点，则实数 a 的取值范围为________． (2)设函数 f(x)＝ln x＋ax2－32x，若 x＝1 是函数 f(x)的极大值点，则函数 f(x) 的极小值为________．
高中数学(新课标)选修2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
当12<a<2e时，令 g′(x)＝0，得 x＝ln(2a)∈(0,1)， 所以函数 g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1] 上单调递增．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．