2019年高考数学艺术生百日冲刺专题07数列的综合应用测试题 含答案解析
高三数学数列综合应用试题答案及解析
高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】解：(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，∴a2＝6，a3＝12.当n≥3时，an －an－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，∴an －a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝6，也满足上式，∴数列{an }的通项公式为an＝n(n＋1)．(2)bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn )max＝.要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，则需t2－2mt＋>(bn )max＝，即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，∴，解得t>2或t<－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an ∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(a n)得到的数列{an }满足an＋1>a n(n∈N*)，则该函数的图象是()【答案】A【解析】由an＋1>a n可知数列{a n}为递增数列，又由a n＋1＝f(a n)>a n可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.3.设函数）定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn+1=的值为( ) A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知：,,故选D.【考点】数列的周期性4.是点集A到点集B的一个映射，且对任意，有.现对点集A中的点，，均有，点为（0,2），则线段的长度 .【答案】【解析】∵，∴，，，，，，…，根据变化规律可知，∴，，∴.【考点】1.数列的性质；2.两点间距离公式.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)【答案】(1)5030(2)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….从而由上述规律可猜想:b2k =a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.6.已知数列满足，则该数列的通项公式_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，，…，，∴，∴，∴.【考点】1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.7.数列满足，则 .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故.【考点】数列的通项公式.8.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】是递减数列，从开始是用式子计算，这时只要，即即可，关键是是通过二次式计算，根据二次函数的性质，应该有且，即且，解得，综上取值范围是．【考点】数列的单调性．9.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为．【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.10.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式．【答案】(1)18;(2);(3) .【解析】(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系，证明是一个常数；(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式，求解与的关系式；（3）根据第二问的递推关系，采用构造数列的思想进行求解.试题解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而（常数）． 4分（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得① 8分（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．由①，,由等比数列的通项公式知：，所以． 12分【考点】1.数列的递推式；（2）数列的通项公式；（3）实际应用问题.11.等比数列的各项均为正数，且，则【答案】B【解析】等比数列中，所以【考点】等比数列性质及对数运算点评：等比数列中，若则，在对数运算中12.已知数列的首项为，对任意的，定义.（Ⅰ）若，(i)求的值和数列的通项公式；(ii)求数列的前项和；（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.【答案】(1) ,,(2) 当为偶数时，；当为奇数时，【解析】(Ⅰ) 解：(i),,………………2分由得当时，=………4分而适合上式，所以.………………5分(ii)由(i)得：……………6分……………7分…………8分(Ⅱ)解：因为对任意的有，所以数列各项的值重复出现，周期为. …………9分又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分设数列的前项和为，则，当时，，……………11分当时，，…………12分当时所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分【考点】数列的通项公式，数列的求和点评：解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用，并能结合裂项法求和，以及分情况讨论求和，属于中档题。
高考数学艺术生百日冲刺专题07数列的综合应用测试题20190307367
专题7数列的综合应用测试题命题报告：1.高频考点：等差数列、等比数列的综合，数列与函数的、不等式、方程等的综合考情分析：数列的综合问题在近几年的高考试题中一直比较稳定，难度中等，主要命题点是等差数列和等比数列的综合，数列和函数、方程、不等式的综合，与数列有关的探索性问题以及应用性问题等，对于数学文化为背景的数列问题需要特别关注。
3.重点推荐：基础卷第2、7等，涉及新定义和数学文化题，注意灵活利用所给新定义以及读懂题意进行求解。
一．选择题（共12小题，每一题5分）1. （2018春•广安期末）在等差数列{a n}中，a2=3，若从第7项起开始为负，则数列{a n}的公差d的取值范围是（）A．[﹣，﹣）B．[﹣，+∞）C．（﹣∞，﹣）D．（，]【答案】：A【解析】，解得﹣≤d＜﹣．故选：A．2. （2018•永定区校级月考）定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列a n，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x3；②f（x）=3x；③；④f（x）=lgx，则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】B【解析】由任意给定的等比数列a n，公比设为q，定义在（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x3；=q，即有==q3为常数，则f（x）为“保等比数列函数”；②f（x）=3x；=q，即有==3不为常数，则f（x）不为“保等比数列函数”；3. （2018 •黄冈期末）数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2018=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵a n+1=，a1=∈[，1），∴a2=2a1﹣1=∈[0，），∴a3=2a2=2×=∈[0，），∴a4=2a3=∈[，1），∴a5=2a4﹣1==a1，∴数列{a n}是以4为周期的数列，又2018=504×4+2，∴a2018=a2=．故选：A．4. (2019华南师范大学附属中学月考) 设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意，都有成立，则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设等差数列的公差为,由可得，即由可得，解得,，,，解得,的最大值为，则故选5. 在数列{a n}中，，又，则数列{b n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．【答案】：A6. 已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*有，且1＜S k＜12则k的值为（）A．2或4 B．2 C．3或4 D．6【答案】：A【解析】对任意的n∈N*有，可得a1=S1=a1﹣，解得a1=﹣2，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣1=a n﹣1﹣，又，相减可得a n=a n﹣﹣a n﹣1+，化为a n=﹣2a n﹣1，则a n=﹣2•（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，S n==﹣[1﹣（﹣2）n]，1＜S k＜12，化为＜（﹣2）k＜19，可得k=2或4，故选：A．7. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10﹣2米时，乌龟爬行的总距离为（）A．B．C．D．【答案】：B【解析】由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n}，且a1=100，q=，a n=10﹣2；∴乌龟爬行的总距离为S n===．故选：B．8. 已知函数f（x）=sin（x﹣3）+x﹣1，数列{a n}的公差不为0的等差数列，若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f （a7）=14，则a1+a2+a3+…+a7=（）A．0 B．7 C．14 D．21【答案】：D【解析】∵f（x）=sin（x﹣3）+x﹣1，∴f（x）﹣2=sin（x﹣3）+x﹣3，令g（x）=f（x）﹣2，则g（x）关于（3，0）对称，∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，∴f（a1）﹣2+f（a2）﹣2+…+f（a7）﹣2=0，即 g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，∴g（a4）为g（x）与x轴的交点，由g（x）关于（3，0）对称，可得a4=3，∴a1+a2+…+a7=7a4=21．故选：D．9. 巳知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=﹣，且满足S n+（n≥2），则S2018等于（）A．B．C．D．【答案】：D【解析】数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+（n≥2），则：，所以：，，当n=2时，=﹣，当n=3时，，…猜想：，所以选择D。
2019年高考数学试题分项版—数列(解析版)
2019年高考数学试题分项版——数列（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅲ文，6)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.2．(2019·浙江，10)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a n 2＋b ，n ∈N *，则( )A ．当b ＝12时，a 10＞10 B ．当b ＝14时，a 10＞10 C ．当b ＝－2时，a 10＞10 D ．当b ＝－4时，a 10＞10 答案 A解析 当b ＝12时，因为a n ＋1＝a n 2＋12，所以a 2≥12，又a n ＋1＝a n 2＋12≥√2a n ，故a 9≥a 2×(√2)7≥12×(√2)7＝4√2，a 10＞a 92≥32＞10.当b ＝14时，a n ＋1－a n ＝(a n −12)2，故当a 1＝a ＝12时，a 10＝12，所以a 10＞10不成立．同理b ＝－2和b ＝－4时，均存在小于10的数x 0，只需a 1＝a ＝x 0，则a 10＝x 0＜10，故a 10＞10不成立．3．(2019·全国Ⅰ理，9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵{S 4＝0，a 5＝5，∴{4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得{a 1=−3，d =2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝na 1＋n (n−1)2d ＝n 2－4n .故选A.4．(2019·全国Ⅲ理，5)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4. 二、填空题1．(2019·全国Ⅰ文，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.答案 58解析 设等比数列的公比为q ， 则a n ＝a 1q n －1＝q n －1. ∵a 1＝1，S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝34， 即4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－12，∴S 4＝1×[1−(−12)4]1−(−12)＝58.2．(2019·全国Ⅲ文，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________. 答案 100解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13， ∴公差d ＝a 7−a 37−3＝13−54＝2，首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100.3．(2019·江苏，8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________． 答案 16解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二 ∵S 9＝a 1+a 92×9＝27，∴a 1＋a 9＝6， ∴a 2＋a 8＝2a 5＝6， ∴a 5＝3，则a 2a 5＋a 8＝3a 2＋a 8＝0， 即2a 2＋6＝0， ∴a 2＝－3，则a 8＝9，∴其公差d ＝a 8−a 58−5＝2，∴a 1＝－5，∴S 8＝8×a 1+a82＝16.4．(2019·全国Ⅰ理，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 42＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 42＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1−q 5)1−q＝13×(1−35)1−3＝1213.5．(2019·全国Ⅲ理，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则s 10s 5＝________.答案 4解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1， 即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以s 10s 5＝10a1+10×92d 5a1+5×42d＝10a1+10×92×2a15a1+5×42×2a1＝10025＝4.6．(2019·北京理，10)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ．【思路分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出14a =-，1d =，由此能求出5a 的n S 的最小值．【解析】：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，510S =-，∴113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得14a =-，1d =，5144410a a d ∴=+=-+⨯=， 21(1)(1)19814()22228n n n n n S na d n n --=+=-+=--， 4n ∴=或5n =时，n S 取最小值为4510S S ==-．故答案为：0，10-．【归纳与总结】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，18)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5，即9a 5＝－a 5，所以a5＝0，得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n，n∈N*.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，.S n＝n(n−9)d2由a1>0知d<0，≥(n－5)d，化简得故S n≥a n等价于n(n−9)d2n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．2．(2019·全国Ⅱ文，18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.3．(2019·北京文，16)设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．解(1)设{a n}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．即(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，a n＝2n－12.则当n≥7时，a n>0；当n≤6时，a n≤0.所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.4．(2019·天津文，18)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝{1,n 为奇数，b n 2,n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q ＞0. 依题意，得{3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得{d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝[n ×3+n(n−1)2×6]＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1 ＝－3(1−3n )1−3＋n ×3n ＋1＝(2n−1)3n+1+32.所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×(2n−1)3n+1+32＝3(n−1)3n+2+6n 2+92(n ∈N *)．5．(2019·浙江，20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝√a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n ＜2√n ，n ∈N *.(1)解 设数列{a n }的公差为d ，由题意得 a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ， 解得a 1＝0，d ＝2. 从而a n ＝2n －2，n ∈N *. 所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *.由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列得(S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )．解得b n ＝1a (S n+12－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)证明 c n ＝√a n 2b n＝√2n−22n(n+1)＝√n−1n(n+1)，n ∈N *.我们用数学归纳法证明．①当n ＝1时，c 1＝0＜2，不等式成立； ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时不等式成立，即 c 1＋c 2＋…＋c k ＜2√k . 那么，当n ＝k ＋1时，c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1＜2√k ＋√k(k+1)(k+2)＜2√k ＋√1k+1＜2√k ＋√k+1+√k＝2√k ＋2(√k +1－√k )＝2√k +1.即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n ＜2√n 对任意n ∈N *成立．6．(2019·江苏，20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M －数列”； (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n＝2b n －2b n+1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M －数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k＋1成立，求m 的最大值．(1)证明 设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3−4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2−4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M －数列”． (2)解 ①因为1S n＝2b n－2bn+1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由2S n＝2b n－2bn+1，得S n ＝b nb n+12(b n+1−b n )，当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1， 得b n ＝b nb n+12(b n+1−b n)－b n−1bn2(b n−b n−1)， 整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.因为数列{c n }为“M －数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1≤k ≤q k ，其中k ＝1,2,3，…，m . 当k ＝1时，有q ≥1； 当k ＝2,3，…，m 时，有lnk k≤ln q ≤lnkk−1.设f (x )＝lnx x(x >1)，则f ′(x )＝1−lnx x 2(x >1)．令f ′(x )＝0，得x ＝e ，列表如下：因为ln22＝ln86<ln96＝ln33，所以f (k )max ＝f (3)＝ln33.取q ＝√33，当k ＝1,2,3,4,5时，lnk k≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.7．(2019·全国Ⅱ理，19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n−1,，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.8．(2019·北京理，20)（13分）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，若12m i i i a a a <<⋯<，则称新数列1i a ，2i a ，⋯，m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)⋯，求数列{}n a 的通项公式．【思路分析】()1I ，3，5，6．答案不唯一．()II 考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，可得0n a >该数列的第p 项0m a ，即可证明结论．()III 考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列，这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，可得2s 必在21s -之前．继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．因此对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，可得研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -，即可得出：递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．可得2，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造． 【解析】：()1I ，3，5，6．()II 证明：考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，∴0n a >该数列的第p 项0m a ， ∴00m n a a <．()III 解：考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列， 这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，2s ∴必在21s -之前． 继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，∴研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -， 对于1至2s 的所有整数，研究长度为1s +的递增子列时，第1项是1与2二选1，第2项是3与4二选1，⋯⋯，第s 项是21s -与2s 二选1，故递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．2∴，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造． 即221k a k =-，212k a k -=，*k N ∈．【归纳与总结】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题．9．(2019·天津理，19)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝{1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (ⅰ)求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式；(ⅱ)求(n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 依题意得{6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得{d ＝3，q ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1， b n ＝b 1·q n －1＝6×2n －1＝3×2n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n . (2)(ⅰ)a 2n (c 2n －1)＝a 2n (b n －1)＝(3×2n ＋1)(3×2n －1)＝9×4n －1. 所以数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式为a 2n (c 2n －1)＝9×4n －1. (ⅱ)a i c i ＝[a i ＋a i (c i －1)] ＝a i ＋a 2i (c 2i －1)＝[2n ×4+2n (2n −1)2×3]＋(9×4i －1) ＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×4(1−4n )1−4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．。
数列综合问题(练)-2019年高考数学---精校解析Word版
数学试题1.若无穷数列满足：恒等于常数,则称具有局部等差数列.（1）若具有局部等差数列，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有局部等差数列，并说明理由；（3）设既具有局部等差数列，又具有局部等差数列，求证：具有局部等差数列.2.已知数列是首项为、公比为的等比数列，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列前项和为，求所有满足等式成立的正整数；（3）若且对任意都有，求实数的取值范围．【解析】（1）依题意，由可得当时，当时，，因此（2）由题意得，由得，化简得，由得；因为，所以，当时，由式得，无正整数解；当时，由式得，无正整数解；当时，由式得，所以．综上可知，满足条件的正整数3.设等比数列的各项均为正数，前项和为，且.（1）求；（2）是否存在常数，使得数列是等差数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设等比数列的公比为，因为各项均为正数，所以.由得，解得已舍去.所以.（2）设，由（1）知.若数列是等差数列，则成等差数列，于是，即，整理得，解得或.当时，，满足，所以是等差数列；当时，，则，所以，舍去.综上，存在唯一的常数满足题意.4.已知为正整数，数列满足，，设数列满足. （1）求证：数列为等比数列；（2）若数列是等差数列，求实数的值；（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.当=12时，，，，5．已知数列的前项和为，满足，且，正项数列满足，其前7项和为42．（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；（3）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．【答案】（1）；（2）；（3），【解析】（1）∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴，即，∴，又，∴．∵，∴，又，∴，∴数列是等差数∴，∵对任意正整数，都有恒成立，∴．（3）数列的前项和，数列的前项和，①当时，；②当时，，特别地，当时，也符合上式；③当时，．综上：，．6.已知数列的首项，且满足，其中.设数列的前项和分别为.（Ⅰ）若不等式对一切恒成立，求；（Ⅱ）若常数且对任意的，恒有，求的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件:（ⅰ）若存在唯一正整数的值满足；(ⅱ) 恒成立.试问：是否存在正整数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】故，而，因为，所以，令，则所以存在正整数，使得，此时，或者.7.在数列中，已知为常数．（Ⅰ）证明：成等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和；（Ⅲ）当时，数列中是否存在三项成等比数列，且也成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）因为，所以，同理，，，又因为，，所以，故，，成等差数列．（Ⅱ）由，得，令，则，，所以是以0为首项，公差为的等差数列，则，即，因为成等比数列，所以，所以，化简得，联立，得．这与题设矛盾． 故不存在三项成等比数列，且也成等比数列．8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－n Sn ，(n ＋2) c n ＝2 an ＋1＋an ＋2－n Sn，其中n ∈N*．（1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列． 解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，因此c n ＝21( b n ＋b n ＋1)．因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝21(b n ＋b n ＋1)≤λ， 故b n ＝λ，c n ＝λ．所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－n Sn， ① (n ＋2)λ＝21(a n ＋1＋a n ＋2)－n Sn， ②②－①，得21(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ． 故a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥2)．又2λ＝a 2－1S1＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥1)． 所以数列{a n }是等差数列． 9．设数列的前n 项和为S n ，且满足：①；②，其中且．（1）求p 的值； （2）数列能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r 2时，数列是等差数列．解：（1）n 1时，，因为，所以，又，所以p1．（2）不是等比数列．理由如下：……10．已知正项数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若对于，都有成立，求实数取值范围；（3）当时，将数列中的部分项按原来的顺序构成数列，且，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列．【解析】（1）当时，，故；当时，，所以，即，又，所以，所以，，，故（2）当为奇数时，，由得，恒成立，令，则，所以．当为偶数时，，由得，恒成立，所以．又，所以实数的取值范围是．（3）当时，若为奇数，则，所以．解法1：令等比数列的公比，则．设，因为，所以，，因为为正整数，。
高考数学艺体生百日突围专题数列的通项与求和(综合篇含答案)
【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题三 数列的通项与求和数列的通项【背一背根底知识】：假设数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.2．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-． 3．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --== 4.等差数列性质：假设n S 是公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和，那么 ①()n m a a n m d =+-；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a +=+； ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列；5.等比数列性质：假设n S 是公差为d 的等比数列{n a }的前n 项和，那么 ①n m n m a a q -=；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a = ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列〔其中1q ≠-或n 不是偶数〕； 【讲一讲根本技能】 1. 必备技能：〔1〕等差数列的断定：①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔2〕等比数列的断定：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔3〕数列通项公式求法：①观察法：对数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系构造，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.②累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+=1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数③累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数④构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+〔其中p 是常数〕型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.⑤利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项 对递推公式为nS 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适宜n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适宜n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2. 典型例题例1 在数列{}n a 中，11,a =()11,2.1n n n a a n a --=≥+(1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S .【分析】〔1〕递推式，要求通项公式，我们应该把进展变形，看能否构成等差〔比〕数列，由111n n n a a a --=+得1111111n n n n a a a a ---+==+，从而新数列1{}na 是等差数列，通项可求；〔2〕根据〔1〕求出2n n a a +=1(2)n n +=111()22n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕由于()11,21n n n a a n a --=≥+，那么11111111111n n n n n n a a a a a a ----+==+⇔-=，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差1的等差数列，那么1n n a =，所以n a =()1,n N n *∈.例2例3 在数列{}n a 中，n n a n na 21+=+，且21=a . (1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S 【分析】〔1〕由n n a n n a 21+=+得+12n n a na n =+，即111n n a n a n --=+，故2113a a =，3224a a =， , 111n n a n a n --=+,用累乘法得12(1)n a a n n =+，故4(1)n a n n =+；〔2〕根据〔1〕求出n a =4(1)n n +=114()1n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕∵n n a n n a 21+=+，∴+12n n a na n =+， ∴121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅122142143(1)n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅⋅=++. 〔2〕因为n a =4(1)n n +=114()1n n -+， 所以n S =11111114(1)4()4()4()223341n n -+-+-++-+=41n n +.例 3 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*N n a S n n ∈-=，数列{}n b 中，11b ，121n n n b b b +=+．〔*n N ∈〕〔1〕求数列{}n a ,{}n b 的通项n a 和n b 〔2〕设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【分析】〔1〕由22n n S a =-，可得当n ≥2时，1122n n S a --=-，两式相减可得12n n a a -=，从而可知数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故可得2n a n =；根据121nn n b b b +=+，两边取倒数，可得数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求{}n b 的通项；〔2〕()212n nn na c nb ==-⋅，所以数列{}n c 的前n 项和n T 利用错位相减法可求数列{}n c 的前n 项和.【解析】【练一练趁热打铁】{}n a 中，其前n 项和n S 满足：11=S ，1221--=n n S n n S (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.【答案】2(1)n a n n =+．【解析】2.设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2)数列{}3log n n a a +的前n 项和n T . 【答案】〔1〕13n n a =；〔2〕nT =11(1)(1)232n n n +--．【解析】〔1〕由题意，2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=，∴1113333n n n n a --=-=，13n n a =，又113a =适宜上式，∴13n n a =，*n N ∈． 〔2〕由〔1〕3log n na a +=13nn -，所以n T =211112333n n -+-++-=211112333n n +++----=11(1)(1)331213n n n -+--=11(1)(1)232n n n +--. 数列的求和【背一背根底知识】1. 数列{}n a 的前n 项和为12n n S a a a =+++．2．等差数列{}n a 的前n 和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=． 3．等比差数列{}n a 的前n 和公式：1111,1,1(1),1,111n n n na q na q S a a q a q q q q q ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩，【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时假设有公式可提，并且剩余项的和易于求得，那么这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的互相抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和，其中{a n }假设为等差数列，那么1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1.常见的拆项公式： ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1； ②1nn ＋k＝1k (1n －1n ＋k )； ③12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)； ④1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．例1数列{}n a 满足11a ＝，1()(1)1n n na n a n n ＋＝＋＋＋，*n ∈N ．〔1〕证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； 〔2〕设3n n n b a ={}n b 的前n 项和n S ．【分析】〔1〕将等式两边同时除以(1)n n +即可使问题得证；〔2〕先由〔1〕得出n b 的表达式，再用错位相减法即可求解． 【解析】例2正项数列{n a }，{n b }满足：，{n b }是等差数列，且对任意正整数n ，都有成等比数列．〔1〕求数列{n b }的通项公式；〔2〕求n S ＝12111na a a +++． 【分析】〔1〕因为成等比数列，所以，由得，解得：，所以公差 ，数列的通项公式为；〔2〕由知，，所以，采用裂项相消的方法，即可求出．【解析】〔1〕∵对任意正整数n ，都有成等比数列，且数列{n a }，{n b }均为正项数列， ∴n a ＝〔n∈N *〕．由a 1＝3，a 2＝6得又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝，b 2＝，∴数列{b n }是首项为，公差为的等差数列．∴数列{b n }的通项公式为n b ＝〔n∈N *〕．〔2〕由〔1〕得，对任意n∈N *，＝(1)(2)2n n ++，从而有，∴例3数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-. 〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设{}n a 的前n 项和为n T ，求n T .【分析】〔1〕由题知112()n n a n a n +++=+，所以{n a n +}是首项为2公比为2，利用等比数列的通项公式即可求得数列{n a n +}的通项公式，从而即可求得数列{}n a 的通项公式．〔2〕 采用分组求和法求和． 【解析】【练一练趁热打铁】1. 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1)求数列{}n a 的通项；〔2〕设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】〔1〕13n na =；〔2〕1213344n n n S +-=⋅+． 【解析】2. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()12--=n n na S n n ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且3352b T T +=． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n M ，求证：4151<≤n M ．【答案】〔1〕4-3n a n =；〔2〕见解析． 【解析】3. {}n a 是各项均为正数的等比数列，31a +是2a 与4a 的等差中项且212n n n a a a ++=+． 〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕设2(1)n n na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】〔Ⅰ〕12n n a -=；〔Ⅱ〕1122+12n n n --+． 【解析】〔20*5=100分〕1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=1341,,a a a 成等比数列． 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】〔Ⅰ〕21n a n =+；〔Ⅱ〕 22 4.n n T n +=+-【解析】〔Ⅰ〕依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ ,解得13,2.a d =⎧⎨=⎩ 因此1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+． 〔Ⅱ〕依题意，1212212+=+⨯==+n n n n a b ． 12n n T b b b =+++231(21)(21)(21)n +=++++++ =23122 (2)n n +++++4(12)12n n -=+-22 4.n n +=+- 2. 设数列{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有22n n S a n =-．〔1〕设2n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列， 〔2〕求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕详见解析〔2〕2(1)24+(1)n n T n n n +=-++【解析】由①—②得：2341212+12+12++122n n n T n ++'-=⨯⨯⨯⨯-⨯22242n n n T n ++'-=--⨯2(1)24n n T n +'=-+由123n T n ''=++++可得(1)2n n n T +⋅''= +n n T T '=2n T ''=2(1)24+(1)n n n n +-++3. 数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= 〔1〕求证：数列{}n a 是等差数列；〔2〕设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕21n n + 【解析】4. 数列{}n a 满足11=a ，*++∈=-N n n a a na n n n ,11． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设nnn a b 2=，数列{}n b 的前n 项和n T ，求n T ． 【答案】〔1〕)(1*∈=N n na n ；〔2〕22)1(1+⋅-=+n n n T ． 【解析】5. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n N *=-∈． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设+1131,log 1n n n n nb b bc a n n ==++{}n c 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕()1=3n n a n N *∈；〔2〕11n -+ 【解析】〔1〕当1n =时，由21n n S a =-，得：11=.3a由21n n S a =- ① ()-1-1212n n S a n =-≥ ② 上面两式相减，得：()11=23n n a a n -≥所以数列{}n a 是以首项为13，公比为13的等比数列，得：()1=3n n a n N *∈。
2019年高考数学备考艺体生百日突围系列 强化训练01(理)解析版
2106届艺体生强化训练模拟卷一（理）一．选择题.1. 已知集合}22{≤≤-=x x M ，}1{x y x N -==，那么=N M （ ） A ．}12{<≤-x x B ．}12{≤≤-x x C ．}2{-<x x D ．}2{≤x x【答案】B【解析】因为{}{}{|10|1,N x y x x x x ===-≥=≤又因为}22{≤≤-=x x M ，所以=N M {}|1x x ≤⋂{22}x x -≤≤=}12{≤≤-x x ，所以应选B.2. 2015i ++，则复数z 在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】由于4()n k k i i n Z +=∈，所以22015231i i i i i i +++=++=-，所以1(1)111(1)(1)22i z i i i i ---===-+++-，对应点11(,)22-，在第二象限，故选B ．3. 下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“220x x --=”的必要不充分条件C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题D ．“t an 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件【答案】C 【解析】4. 已知向量)2,1(=，)1,3(21=-b a ，)3,(x =，若()//2+，则=x （ ） .A 2- .B 4- .C 3- .D 1-【答案】C【解析】由题意，()1(3,1)2(3,1)4,22a b b a ⎡⎤-=⇒=-=-⎣⎦，则()()2=-5,52//-15-503a b a b c x x ++∴=∴=-，故选C.5. 已知等差数列{}n a 中,25a = ,411a =,则前10项和=10S （ ） A ．55 B ．155C ．350D ．400【答案】B【解析】 由21110(101)10124152101553113a a d a S a d a a d d -=+==⎧⎧⇒∴=+=⎨⎨=+==⎩⎩. 6．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6，则输入的整数0S 的可能值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．15 【答案】C 【解析】7．函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（ ）【答案】B 【解析】8．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50）,[50,60），[60,70),[70,80)，[)90,80，[)100,90 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．120 【答案】B【解析】由频率分布直方图可知，该模块测试成绩不少于60分的频率为(0.0300.0250.0150.010)10+++⨯＝0.8，所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数为4808.0600=⨯，故选B ．9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c , 且(2)cos cos b a C c A -= , 3c =,sin sin sin A B A B +=，则ABC ∆的面积为( )A.8 B.2 C.2 D.4【答案】D【解析】2221(2)cos cos ,,cos ,=23b a Cc A a b c ab C C π-=∴+-=∴=∴，结合sin sin sin A B A B +=可得()sin sin sin sin A B C A B += ， 由正弦定理可得()222,,c 2cos a b c a b a b ab C +=∴+==+- ，()22390,3ab ab ab ∴--=∴=，1sin 2ABC S ab C ∆∴==，故选D. 10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为c 35（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（ ） A ．25 B ．253 C ． 23 D ．53【答案】C 【解析】二、填空题. 11.二项式5的展开式中常数项为 ． 【答案】10-.【解析】因为二项式5的展开式的通项为：1555655((1)rr r r r rC C x --=-，令1550r -=，即3r =，所以其展开式中的常数项为：335(1)10C -=-，故应填10-.12．设变量,x y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为 .【答案】7-【解析】如图作出约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩的可行域，ABC ∆内部（含边界），再作出直线0:20l y x -=，当把直线0l 向下平移时对应的2z y x =-在减小，向上平移时，z 增大，因此当平移直线0l 过点(5,3)B 时，z 取得最小值7-.13. 若函数()cos2sin f x x a x =+在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞． 【解析】三．解答题14. 在公差不为零的等差数列{n a }中，32=a ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{n a }的通项公式；（2）设数列{n a }的前n 项和为n S ，记nn S b 31=. 求数列}{n b 的前n 项和n T .【解析】①设{n a }的公差为d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+=+0)6()2(311211d d a a d a d a ，解得 21=a ，1=d ，∴ 1)1(2⨯-+=n a n 即 1+=n a n . ② .2)1(92)132(32)(3313+=++=+=n n n n a a n S n n)111(92)1(9213+-=+==n n n n S b n n )1(92)]111()3121()211[(9221+=+-++-+-=+++=n nn n b b b T n n故 T n =)1(92+n n.15. 汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2015年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5量进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km ）经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120/x g km =乙.（Ⅰ）求标准x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；（Ⅱ）从被检测的5量甲品牌轻型汽车中任取2量，二氧化碳排放量超过130g/km 的车辆数为X ，求X 的分布列与期望. 【解析】（Ⅱ）被检测的5辆甲品牌轻型汽车中二氧化碳排放量超过130g/km 的车辆数为2，故X 的可能取值为0,1,2，所以2325(0)C P X C ===310，113225(1)C C P X C ===35，2225(2)C P X C ===110， 所以X 的分布列为EX=3310+1+210510⨯⨯⨯=45…………………………12分 16. 如图，已知ACD AB DE ACD DE ∆⊥,//,平面是正三角形,22===AB DE AD ,且CD F 是的中点．⑴求证：BCE AF 平面//；【解析】17. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上．求椭圆C 的方程.【答案】1422=+y x 【解析】因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4，故可设椭圆C 的方程为14222=+b y x （0>>b a ）， 因为点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1在椭圆C 上，所以143412=+b ， 解得12=b ，所以，椭圆C 的方程为1422=+y x ． 18. 已知函数()32=3 1.f x x x +++讨论()f x 的单调性.【答案】(1)-∞1,)+∞11) 【解析】请考生在第19、20、21三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.19. 如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，过点D 作圆O 的切线交BC 于E ，AE 交圆O 于点F ．（1）证明：E 是BC 的中点；（2）证明：AD AC AE AF ⋅=⋅． 【解析】（1）证明：连接BD ，因为AB 为O 的直径，所以BD AC ⊥． 又90B ∠=︒，所以CB 切O 于点B ，且ED 切于O 于点E ，因此EB ED =，EBD EDB ∠=∠，90CDE EDB EBD C ∠+∠=︒=∠+∠， 所以CDE C ∠=∠，得ED EC =，因此EB EC =，即E 是BC 的中点．（2）证明：连接BF ，显然BF 是Rt ABE ∆斜边上的高， 可得ABEAFB ∆∆，于是有AB AEAF AB=， 即2AB AE AF =⋅，同理可得2AB AD AC =⋅，所以AD AC AE AF ⋅=⋅． 20. 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的坐标方程是3πθ=，且直线l 圆C 交于,A B 两点，试求弦AB 的长．【解析】21. 已知函数()|21||23|f x x x =++-． （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()|1|f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围．【解析】（1）原不等式等价于32(21)(23)6x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或1322(21)(23)6x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩， 解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤≤-，即不等式的解集为[]2,1-； （2）∵|21||23||(21)(23)|4x x x x ++-≥+--=， ∴|1|4a ->，∴3a <-或5a >．试题习题，尽在百度百度文库，精选试题。
数列综合问题(讲)-2019年高考数学---精校解析Word版
，若数列满足：对任意正总成立，则称数列）证明：等差数列是“）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：从而，当，是“）数列数列”，又是“时，所以数列①用定义证明：为常数）；③通项法：为关于的一次函数；④前项和法：因此由，因此）得是的子集，则.不是的子集，且的子集，，.，，进而由，得中的最大数，为中的最大数，则）知，，于是，所以，即.，故，，所以.的前项和为若对任意的正整数总存在正整数使得则称）若数列项和为，证明：是“是等差数列，其首项，公差是“对任意的等差数列数列”使得，（Ⅰ）求..，有，，上述两式相减，得所以，数列项和为.项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前（②③（为常数）④（（）（），，=，则，则项的和构成的数列、……仍为等差数项的和构成的数列……仍为等比数列n、、设公差为（为奇数，且）的等差数列的前项和为，若，，其中，【答案】【解析】由题意得：，由，而为奇数，且，因此，从而设数列项和为，且，）求数列）若数列为等差数列，且，公差为，当时，比较与年该生产线的维护费用为求年每年的平均维护费用大于年每年的平时，数列的等差数列，时，数列是首项为，公比为的等比数列，又，的表达式为表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得，当时，时，由已知数列的前项和为，且对任意的正整数其中常数．，求数列的通项公式；且，设，证明数列是等比数列；，都有，求实数的取值范围．（．且且是首项为，公比为）中，若也适合，所以当时，）可知时，，显然不满足条件，故时，时，，，时，，，，且所以只须即可，显然成立．故符合条件；已知数列的前项和为，向量满足条件,且，数列满足条件①求数列，求数列的前．）因为时，，满足上式，，又是以为公差的等差数列，，②得，。
压轴题07 数列的通项、求和及综合应用(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题07数列的通项、求和及综合应用数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．考向一：数列通项、求和问题考向二：数列性质的综合问题考向三：实际应用中的数列问题考向四：以数列为载体的情境题考向五：数列放缩1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列{}n a 满足1n n a a d +-=（常数）（2n ≥，n *∈N ）不能判断数列{}n a 为等差数列，需要补充证明21a a d -=；2、数列{}n a 满足212n n n a a a +++=()*n ∈N ，则{}n a 是等差数列；3、数列{}n b 满足1n n b qb +=()*n ∈N ，q 为非零常数，且10b ≠，则{}n b 为等比数列；4、在处理含n S ，n a 的式子时，一般情况下利用公式n a =1*1,1,2,n n S n S S n n - =⎧⎨-∈⎩N≥且，消去n S ，进而求出{}n a 的通项公式；但是有些题目虽然要求{}n a 的通项公式，但是并不便于运用n S ，这时可以考虑先消去n a ，得到关于n S 的递推公式，求出n S 后再求解n a ．5、遇到形如1()n n a a f n +-=的递推关系式，可利用累加法求{}n a 的通项公式，遇到形如1()n na f n a +=的递推关系式，可利用累乘法求{}n a 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：（1）形如1n n a pa q +=+（1p ≠，0q ≠），可变形为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，则1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11q a p +-为首项，以p 为公比的等比数列，由此可以求出n a ；（2）形如11n n n a pa q ++=+（1p ≠，0q ≠），此类问题可两边同时除以1n q +，得111n n n n a a p q q q ++=⋅+，设n n n a b q =，从而变成1n b +=1n pb q+，从而将问题转化为第（1）个问题；（3）形如11n n n n qa pa a a ++-=，可以考虑两边同时除以1n n a a +，转化为11n nq pa a +-=的形式，设1n nb a =，则有11n n qb pb +-=，从而将问题转化为第（1）个问题．7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．81k=，1111()n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．常见的裂项公式：（1）111(1)1n n n n =-++；（2）1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（3）1111(2)22n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；（5）(1)(2)(1)(1)(1)3n n n n n n n n ++--++=．9、用错位相减法求和时的注意点：（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10、分组转化法求和的常见类型：（1）若n n n a b c =±，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和；（2）通项公式为,, n n nb n ac n ⎧=⎨⎩奇数偶数，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．11、在等差数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a +=+=．在等比数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a ==．12、前n 项和与积的性质（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ．①n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等差数列，公差为2n d ．②n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，且122n S d d n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，公差为2d ．③若项数为偶数2k ，则 S S kd -=奇偶，1k kS a S a +=偶奇．若项数为奇数21k +，则1 k S S a +-=奇偶，1S k S k+=奇偶．（2）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为.n S ①当1q ≠-时，n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等比数列，公比为.n q ②相邻n 项积n T ，2n n T T ，32n nT T ，…也成等比数列，公比为()nn q 2n q =．③若项数为偶数2k ，则()2111k a q S S q--=+奇偶，1S S q=奇偶；项数为奇数时，没有较好性质．13、衍生数列（1）设数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且等差数列{}n a 的公差为d ，λ，μ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ ()*,k m ∈N 也是等差数列，公差为kd ．②数列{}n a λμ+，{}n n a b λμ±也是等差数列，而{}na λ是等比数列．（2）设数列{}n a 和{}n b 均是等比数列，且等比数列{}n a 的公比为q ，λ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ 也是等比数列，公比为k q ．②数列{}(0)n a λλ≠，(0)n a λλ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，{}n a ，{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}mn a也是等比数列，而{}log a n a ()010n a a a >≠>，，是等差数列．14、判断数列单调性的方法（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）方法1：利用数列的单调性；方法2：设最大值项为n a ，解方程组11n n nn a a a a -+⎧⎨⎩≥≥，再与首项比较大小．一、单选题1．（2023·上海闵行·统考二模）若数列{}n b 、{}n c 均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得[]1,m n n b c c +∈，则称数列{}n b 为数列{}n c 的“M 数列”．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列选项中为假命题的是（）A ．存在等差数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”B ．存在等比数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”C ．存在等差数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”D ．存在等比数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”2．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1530S =，160S <，则（）A ．当15n =时，n S 最大B ．当16n =时，n S 最小C ．数列{}n S 中存在最大项，且最大项为8SD ．数列{}n S 中存在最小项3．（2023·山西·校联考模拟预测）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若70a >，70S <，则（）A ．360a a +<B ．580a a +>C ．47S S <D ．1493S a >4．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足：212n n n a a a +++=对*n ∈N 恒成立，且981a a <-，其前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的最大的n 的值是（）A ．10B ．12C ．15D ．175．（2023·北京门头沟·统考一模）已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.给出下列四个结论：①数列{}n a 每一项n a 都满足*01()n a n <≤∈N ；②数列{}n a 的前n 项和2n S <；③数列{}n a 每一项都满足21n a n ≤+成立；④数列{}n a 每一项n a 都满足1*1(()2n n a n -≥∈N .其中，所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②④6．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知一族曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y的通项为n y =C ．当3n >时，1352111n n nx x x x x x --⋅⋅⋅>+ Dnnxy <7．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）在正三棱柱111ABC A B C -中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面ABC 的概率为n P ，有如下说法：①112P =；②21325P =；③12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；④11111052n n P -⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，其中说法正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）给定函数()f x ，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为函数()f x 的牛顿数列．已知{}n x 为()22f x x x =--的牛顿数列，2ln1n n n x a x -=+，且()11,1n a x n +=<-∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．则2023S =（）A ．202321-B ．202421-C ．2022112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2023112⎛⎫- ⎪⎝⎭9．（2023·河南安阳·统考二模）已知数列{}n x 和{}n a 满足()212223n n n n x x x x +-=>-，2ln1n n n x a x -=-，11a =．若()22n n n b a a n *++=+∈N ，124b b +=，则数列{}n n b a -的前2022项和为（）A ．20222B ．20202C ．202224-D ．202023-10．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，119a =-，746a a -=，若对于任意的*n ∈N ，总有n m S S ≥恒成立，则m =（）A ．6B ．7C ．9D ．10二、多选题11．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）如果有限数列{}n a 满足()11,2,,i n i a a i n -+== ，则称其为“对称数列”，设{}n b 是项数为()*21N k k -∈的“对称数列”，其中121,,,k k k b b b +- 是首项为50，公差为4-的等差数列，则（）A ．若10k =，则110b =B ．若10k =，则{}n b 所有项的和为590C ．当13k =时，{}n b 所有项的和最大D ．{}n b 所有项的和可能为012．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）如图，有一列曲线1Ω，2Ω，L ，n Ω，L ，且1Ω是边长为6的等边三角形，1i +Ω是对(1,2,)i n Ω= 进行如下操作而得到：将曲线i Ω的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到1i +Ω，记曲线(1,2,)n n Ω= 的边长为n a ，周长为n c ，则下列说法正确的是（）A ．212(3n n a -=⋅B ．52569c =C ．在3Ω中OA OC OD OC ⋅=⋅D ．在3Ω中40OB OC ⋅=13．（2023·浙江·统考二模）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数x ，如果x 是奇数㩆乘以3再加1，如果x 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设*N k ∈，各项均为正整数的数列{}n a 满足11a =，1,,2,,nn n n n a a a a k a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数则（）A ．当5k =时，54a =B ．当5n >时，1n a ≠C ．当k 为奇数时，2n a k≤D ．当k 为偶数时，{}n a 是递增数列14．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知数列{}n a 满足12a =，11,2,n n n n a n a a n ++⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（）A ．524a =B ．2nn b n =⋅C ．12n n T n +=⋅D ．()122122n n S n +=-+15．（2023·河北唐山·统考二模）如图，ABC 是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到111A B C △，再连接111A B C △的各边中点得到222A B C △，…，如此继续下去，设n n n A B C 的边长为n a ，n n n A B C 的面积为n M ，则（）A ．234n n M =B ．2435a a a =C ．21222nn a a a -++⋅⋅⋅+=-D．12n M M M ++⋅⋅⋅+16．（2023·浙江金华·模拟预测）已知定义在R 上且不恒为0的函数()f x ，若对任意的,R x y ∈，都有()()()f xy xf y yf x =+，则（）A ．函数()f x 是奇函数B ．对*N n ∀∈，有()()nf x nf x =C ．若()22f =，则()()()23(2)222(1)2-2n nf f f f n ++++=+ D ．若(2)2f =，则2310111122210232123101024f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++=-三、填空题17．（2023·广西·统考模拟预测）有穷数列{}n a 共有k 项，满足127a =，2737a =，且当*n ∈N ，3n k ≤≤时，211n n n n a a a ---=-，则项数k 的最大值为______________．18．（2023·江西九江·校联考模拟预测）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数()f x ，若数列{}n x 满足1()()n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，若函数2()f x x =，2log n n a x =，且11a =，则8a =__________.19．（2023·北京石景山·统考一模）项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，满足123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，其中10a ≠.给出下列四个结论：①若2k =，则22a =；②若3k =，则满足条件的数列{}n a 有4个；③存在11a =的数列{}n a ；④所有满足条件的数列{}n a 中，首项相同.其中所有正确结论的序号是_________.20．（2023·广西·统考一模）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有10层，则该锥垛球的总个数为___________.（参考公式：()2222*(1)(21)1236n n n n n ++++++=∈N ）21．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列{}n a 中，11,0n a a =>，前n 项和为n S .若)*1N ,2n n n a S S n n -=∈≥，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项和为___________.22．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*122n n n a a a n ++=+∈N ，且3a ，7a 为方程218650x x -+=的两根，且73a a >.若对于任意*n ∈N ，不等式()()2241nn n a a λ->-恒成立，则实数λ的取值范围为___________.23．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知在正项等比数列{}n a 中，38a =，532a =，则使不等式511n S >成立的正整数n 的最小值为________．24．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）数列{}n a 满足n a n p =-+，数列{}n b 满足52n n b -=，设,,n n nn n nn a a b c b a b ≤⎧=⎨>⎩，且对任意*n ∈N 且9n ≠，有9n c c >，则实数p 的取值范围为____.四、解答题25．（2023·全国·模拟预测）已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，21511S S =，112n n naa a++=-.(1)求1a ，2a 的值，并证明11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)证明：11111222n n n n S n +-+<<-+.26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2023·天津·校联考一模）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，其前8项的和为64；数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记211n n n n na c a ab ++-=，*n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)记()12221,21,N1,2,N n n n n n a n k k a d n k k b +**⎧-⋅=-∈⎪⎪+=⎨=∈⎪⎪⎩，求221nn k k S d ==∑．28．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 与4-n 的等差中项为n n S a -.(1)证明：数列{}2n a +是等比数列；(2)设32log 2n n a b +=，证明：1352111111111n b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 29．（2023·天津·统考一模）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()24Nn n a a n *+-=∈，数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)若215n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)在（2）的条件下，设124n n n n n b c b b ++=，求证：111346822n n n k n n --=++-<-.30．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．31．（2023·天津河北·天津外国语大学附属外国语学校校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n =∈N ，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项．(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)若数列()()1322(1)11+⋅-=+-⋅--n nn n n n n c a b b b ，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；(3)求证：()2131nii i b b =<-∑．32．（2023·河北石家庄·统考一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数1x >-且0x ≠，正整数n 不小于2，那么(1)1n x nx +≥+．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题．(1)证明：当[1,)α∈+∞时，(1)1x x αα+≥+对任意1x >-恒成立；(2)证明：对任意*n ∈N ，123(1)n n n n n n n ++++<+ 恒成立．。
2019年高考数学艺术生百日冲刺专题06等差数列和等比数列测试题(1)
专题6等差数列和等比数列测试题命题报告：1.高频考点：等差（等比数列）定义，通项公式以及求和公式以及数列的性质等。
2.考情分析：本部分是高考必考内容，多以选择题、填空题形式出现，突出小巧活的特征，有时候在解答题中出现，考察数列的基本量的计算，数列的性质，求数列的通项公式，利用定义法证明等差数列（等比数列）等，求和（裂项求和、错位相减法、分组求和等）。
3.重点推荐：第12题，需要探索出数列的周期，再利用周期求解。
一．选择题（共12小题，每一题5分）1. 已知等差数列{a n}满足a2=2，前5项和S5=25，若S n=39，则n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】：B【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则a2=a1+d=2，S5=5a1+d=25，联立解得a1=﹣1，d=3，∴S n=na1+d=﹣n+×3=39，解得n=6，故选：B．2. (2019华南师范大学附属中学月考)在数列中，若，且对所有满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】：依题意，；；；，所以.3. （2018 •滨州期末）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n，则S12=（）A．310B．311C．D．【答案】：B【解析】∵a1=1，a n+1=2S n，∴S n+1﹣S n=2S n，即S n+1=3S n，S1=1．∴数列{S n}是等比数列，首项为1，公比为3．∴S12=1×311=311．故选：B．4. (2018—2019赣州市十四县(市)期中)已知等差数列的前项和为，若，则（）A. 1009B. 1010C. 2018D. 2019【答案】A【解析】由题得，所以，所以=.故答案为：A5. 已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a22+a42≥2a32B．a3+a5≥2a4C．若a2＜a4，则a1＜a3D．若a2=a4，则a2=a3【答案】：A6. 设直线与两坐标轴围成的三角形面积为S n，则S1+S2+…+S2018的值为（）A．B．C．D．【答案】：C【解析】直线与两坐标轴的交点为：（0，）和（，0），则S n=••==﹣，则S1+S2+…+S2018=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：C．7. （2018•双流区期末）已知{a n}是首项为2的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且28S3=S6，则数列{}的前3项和为等于（）A．B．C．或D．或3【答案】：B【解析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵28S3=S6，∴28（1+q+q2）=1+q+q2+q3+q4+q5，∵1+q+q2≠0，可得：28=1+q3，解得q=3．∴a n=2×3n﹣1．∴=（）n﹣1则数列{}的前3项和为=×=，故选：B．8. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=a n+1﹣1，则b n=log4a n，T n为数列{b n}的前n项和，则T100=（）A．4950 B．99log46+4851C．5050 D．99log46+4950【答案】：B【解析】a1=1，S n=a n+1﹣1，a1=a2﹣1，可得a2=6，可得n≥2时，S n﹣1=a n﹣1，又S n=a n+1﹣1，两式相减可得a n=S n﹣S n﹣1=a n+1﹣1﹣a n+1，即有a n+1=4a n，则a n=6•4n﹣2，n≥2，b n=log4a n=，T100=0+99×（log46﹣2）+×99×（2+100）=4851+99log46．故选：B．9. 在一个排列中，如果一个大数排在一个小数前面，就称它们为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数．如排列2，3，7，5，1中2，1；3，1；7，5；7，1；5，1为逆序，逆序数是5．现有1～50这50个自然数的排列：2，4，6，8，…50，49，47…5，3，1，则此排列的逆序数是（）A．625 B．720 C．925 D．1250【答案】：A【解析】根据题意，在排列：2，4，6，8，…50，49，47…5，3，1中，1的逆序有49个，即2，4，6，8，…50，49，47…5，3；3的逆序有47个，即4，6，8，…50，49，47…5；……49的逆序有1个，即50，其逆序为首项为49，末项为1，项数为25的等差数列，则此排列的逆序数：49+47+……+1==625；故选：A．10. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=﹣2016，﹣=2，则S2018的值为（）A．﹣2 018 B．2 018 C．2 017 D．﹣2 019【答案】：B11. （2018春•黔东南州期末）己知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+2=3a n（n∈N*），则数列{a n}的前2018项的和S2018等于（）A．2（31008﹣1）B．2（31009﹣1）C．2（32018﹣1）D．2（32017﹣1）【答案】：B【解析】由a n+2=3a n（n∈N*），即，当n=1时，可得a1，a3……a2n﹣1成等比，首项为1，公比为3．当n=2时，可得a2，a4……a2n成等比，首项为2，公比为3．那么：，前2018项中，奇数项和偶数项分别有1009项故得S2018==2×31009﹣2=2（31009﹣1）．故选：B．12. （2018•蚌埠期末）定义函数f（x）如下表，数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*，若a1=2，则a1+a2+a3+…+a2018=（）A．7042 B．7058 C．7063 D．7262【答案】：C【解析】由题意，∵a1=2，且对任意自然数均有a n+1=f（a n），∴a2=f（a1）=f（2）=5，a2=5，a3=f（a2）=f（5）=1，a3=1，a4=f（a3）=f（1）=3，a4=3，a5=f（a4）=f（3）=4，a5=4，a6=f（a5）=f（4）=6，a6=6，a7=f（a6）=f（6）=2，a7=2，故数列{a n}满足：2，5，1，3，4，6，2，5，1…是一个周期性变化的数列，周期为：6．a1+a2+a3+…+a6=21．a1+a2+a3+…+a2018=336×（a1+a2+a3+…+a6）+a1+a2=7056+2+5=7063．故选：C．二．填空题（共4题，每小题5分）13. 在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是 .【答案】4【解析】设等比数列的公比为．∵，∴，化为，解得．∴．故答案为：4．14. （2018•宁波期末）数列{a n}满足，则通项公式a n= ．【答案】：【解析】当n=1时，a1=1；当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=（n﹣1）2，，作差可得，na n=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，故a n=，a1=1也满足上式；故a n=，故答案为：．15. （2018•江门一模）设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣3.2]=﹣4，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]= ．【答案】：92【解析】∵[lg1]=[lg2]=[lg3]=…[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=…+[lg99]=1，[lg100]=2．∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90×1+2=92．故答案为：92．16（2018•黄浦区二模）已知数列{a n}是共有k个项的有限数列，且满足，若a1=24，a2=51，a k=0，则k= ．【思路分析】根据题意，将a n+1=a n﹣1﹣变形可得a n+1a n﹣a n﹣1a n=﹣n，据此可得（a3a2﹣a2a1）=﹣2，（a4a3﹣a3a2）=﹣3，……a k a k﹣1﹣a k﹣1a k﹣2=﹣（k﹣1），用累加法分析可得a k a k﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，代入数据变形可得k2﹣k﹣2450=0，解可得k的值，即可得答案．【解析】：根据题意，数列{a n}满足a n+1=a n﹣1﹣，变形可得：a n+1a n﹣a n﹣1a n=﹣n，则有（a3a2﹣a2a1）=﹣2，（a4a3﹣a3a2）=﹣3，（a5a4﹣a4a3）=﹣4，……a k a k﹣1﹣a k﹣1a k﹣2=﹣（k﹣1），相加可得：a k a k﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，又由a1=24，a2=51，a k=0，则有k2﹣k﹣2450=0，解可得：k=50或﹣49（舍）；故k=50；故答案为：50．三解答题（本大题共6小题）17. 数列{a n}的前n项和为S n且S n=n2+1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（I）由S n=n2+1．可得n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，n=1时，a1=S1=2．即可得出a n．（II）n=1时，T1=2．n≥2时，b n===，利用裂项求和方法即可得出．【解析】：（I）∵S n=n2+1．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+1﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1．n=1时，a1=S1=2．∴a n=．…………4分（II）n=1时，T1=2．n≥2时，b n===，…………6分∴数列{b n}的前n项和T n=2++……+=2+．n=1时，上式也成立．∴T n=2+．…………10分18. 已知是一个公差大于的等差数列,且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列和数列满足等式,求数列的前项和.【解析】：（1）设等差数列的公差为,由,得①由,得②…………4分易得.………………6分（2）令,则有, ,由（1）得,故,即,………………8分面,所以可得,于是.即.…………12分19. （2018•山东淄博二模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，数列是公差为1的等差数列，若a1=2b1，a4﹣a2=12，S4+2S2=3S3．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）设c n=，T n为{c n}的前n项和，求T2n．（2）c n=，即为c n=，…………8分T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）=[++…+]+（++…+）=（1﹣+﹣+…+﹣）+=﹣•+（1﹣）=﹣•﹣•．…………12分20. （2018•萍乡期末）已知数列{a n}中，a1=1，，记T2n为{a n}的前2n项的和，b n=a2n．（1）证明：数列{b n}是等比数列，并求{b n}的通项公式b n；（2）若不等式T2n＜k对于一切n∈N+恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由等比数列的定义，结合条件，化简可得结论，由等比数列的通项公式即可得到所求通项；（2）讨论n为奇数或偶数，可得{a n}的通项公式，运用分组求和可得T2n，运用不等式的性质即可得到所求范围．【解析】：（1）证明：∵，所以{b n}是以，公比为的等比数列，所以；…………6分（2）当n=2k（k∈N+）时，，当n=2k﹣1（k∈N+）时，．即，…………8分∴，得T2n＜3，因不等式T2n＜k对于一切n∈N+恒成立．所以，k的取值范围为[3，+∞）…………12分21. 已知S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S2=2，S4=﹣20．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）是否存在n，使S n，S n+2+2n，S n+3成等差数列，若存在，求出n，若不存在，说明理由．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；（2）假设存在n，使S n，S n+2+2n，S n+3成等差数列，运用等差数列中项性质，解方程可得n，即可得到所求结论．【解析】：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S2=2，S4=﹣20，∴2a1+d=2，4a1+6d=﹣20，联立解得a1=4，d=﹣6，∴a n=4﹣6（n﹣1）=10﹣6n，S n==7n﹣3n2；…………6分22（2018•大庆一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）在曲线上，数列{b n}满足b n+b n+2=2b n+1，b4=11，{b n}的前5项和为45．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式恒成立的最大正整数k 的值．【分析】（1）利用已知条件求出{a n}的通项公式，判断数列是等差数列求解{b n}的通项公式；（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．【解析】：（1）由已知得：，当n=1时，，…………2分当n≥2时， =n+2，当n=1时，符合上式．所以a n=n+2．…………4分因为数列{b n}满足b n+b n+2=2b n+1，所以{b n}为等差数列．设其公差为d．11 则，解得，所以b n =2n+3．…………6分（2）由（1）得， =，…………8分=，因为，所以{T n }是递增数列．所以，故恒成立只要恒成立．所以k ＜9，最大正整数k 的值为8．…………12分。
2019高考数学文一轮复习：数列综合复习(含答案解析)
2019高考数学文一轮复习： 数列综合复习一、选择题：1.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018=( ) A.1 B.0 C.2 018 D.－2 018 2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n －1)，则a n = ( ) A.2n B.2n －1 C.2nD.2n－1 3.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1a n =2n(n ∈N *)，则a 10=( ) A.64 B.32 C.16 D.8 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12=24，则S 13=( ) A.52 B.78 C.104 D.208 5.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7=( ) A.12 B.13 C.14 D.156.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 6＋a 7>0”是“S 9≥S 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充要也不必要条件7.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3=a 4－2，3S 2=a 3－2，则公比q=( ) A.3 B.4 C.5 D.68.在等比数列{a n }中，已知a 3=6，a 3＋a 5＋a 7=78，则a 5=( ) A.12 B.18 C.36 D.249.已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12 C.3－52 D.3＋5210.在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n =34，a 3·a n －2=64，且前n 项和S n =42，则n 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.S n =12＋12＋38＋…＋n2n 等于( )A.2n－n 2n B.2n ＋1－n －22n C.2n －n ＋12n ＋1D.2n ＋1－n ＋22n12.数列{a n }的通项公式是a n =1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A.120B.99C.11D.121二、填空题:13.已知数列{a n }，{b n }，若b 1=0，a n =1n （n ＋1），当n ≥2时，有b n =b n －1＋a n －1，则b 10=________.14.在等差数列{a n }中，a 3＋a 9=27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11=________. 15.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，则正整数m 的值为________. 16.已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4=9，a 2a 3=8，则数列{a n }的前n 项和S n =________. 17.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6=0，则S 6S 3=________.18.设函数f(x)=12＋log 2x 1－x ，定义S n =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，其中n ∈N *，且n ≥2，则S n=________.三、解答题：19.已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和S n =n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.20.已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .21.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4=117，a2＋a5=22.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=S nn＋c，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.22.已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n－a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和.23.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n=(n－1)S n＋2n(n∈N*).(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{S n＋2}是等比数列.24.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n＋1＋a(n∈N*).(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(1－an)log3(a2n·a n＋1)，求数列{1b n}的前n项和T n.25.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1a n 的前n 项和T n .26.已知S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n =4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.参考答案解析1.解析：选B.因为a 1=1，所以a 2=(a 1－1)2=0，a 3=(a 2－1)2=1，a 4=(a 3－1)2=0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，所以a 2 018=a 2=0.2.解析：选C.当n=1时，a 1=S 1=2(a 1－1)，可得a 1=2，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2a n －2a n －1，所以a n =2a n －1，所以数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n =2n. 3.解析：选B.因为a n ＋1a n =2n，所以a n ＋2a n ＋1=2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n=2.又a 1a 2=2，a 1=1，所以a 2=2.法一：a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2=24，即a 10=25=32.法二：数列{a 2n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a 10=2×24=32. 4.解析：选C.依题意得3a 7=24，a 7=8，S 13=13（a 1＋a 13）2=13a 7=104，选C.5.解析：选B.设{a n }的公差为d ，由S 5=5（a 2＋a 4）2⇒25=5（3＋a 4）2⇒a 4=7，所以7=3＋2d ⇒d=2，所以a 7=a 4＋3d=7＋3×2=13.6.解析：选A.法一：将它们等价转化为a 1和d 的关系式.a 6＋a 7>0⇒a 1＋5d ＋a 1＋6d>0⇒2a 1＋11d>0；S 9≥S 3⇒9a 1＋9×8×d 2≥3a 1＋3×2×d2⇒2a 1＋11d ≥0.法二：a 6＋a 7>0⇒a 1＋a 12>0，S 9≥S 3⇒a 4＋a 5＋…＋a 9≥0⇒3(a 1＋a 12)≥0.7.解析：选B.由题意知，q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q 3－23a 1（1－q 2）1－q＝a 1q 2－2，两式相减可得－3（q 3－q 2）1－q =q 3－q 2， 即－31－q=1，所以q=4. 8.解析：a 3＋a 5＋a 7=a 3(1＋q 2＋q 4)=6(1＋q 2＋q 4)=78⇒1＋q 2＋q 4=13⇒q 2=3，所以a 5=a 3q 2=6×3=18.故选B. 9.解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5=a 3＋a 4，即a 3q 2=a 3＋a 3q ，故q 2－q －1=0，解得q=1＋52或q=1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6=a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2=a 3（1＋q 2）a 4（1＋q 2）=1q =25＋1=2（5－1）（5＋1）（5－1）=5－12，故选A. 10.解析：选A.因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2=a 1·a n =64.又a 1＋a n =34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64=0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2. 又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝32.由S n =a 1－a n q 1－q =2－32q1－q =42，解得q=4.由a n =a 1qn －1=2×4n －1=32，解得n=3.故选A.11.解析：选B.由S n =12＋222＋323＋…＋n 2n ，①得12S n =122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②①－②得，12S n =12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，所以S n =2n ＋1－n －22n. 12.解析：选A.a n =1n ＋n ＋1=n ＋1－n（n ＋1＋n ）（n ＋1－n ）=n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n =(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n)=n ＋1－1=10. 即n ＋1=11，所以n ＋1=121，n=120.13.解析：由b n =b n －1＋a n －1得b n －b n －1=a n －1，所以b 2－b 1=a 1，b 3－b 2=a 2，…，b n －b n －1=a n －1，所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1=a 1＋a 2＋…＋a n －1=11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n ，即b n －b 1=a 1＋a 2＋…＋a n －1=11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n =11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n=1－1n =n －1n ，又b 1=0，所以b n =n －1n ，所以b 10=910.答案：91014.解析：因为a 3＋a 9=27－a 6，2a 6=a 3＋a 9，所以3a 6=27，所以a 6=9，所以S 11=112(a 1＋a 11)=11a 6=99.答案：9915.解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，所以a m =S m －S m －1=2，a m ＋1=S m ＋1－S m =3，数列的公差d=1，a m ＋a m ＋1=S m ＋1－S m －1=5，即2a 1＋2m －1=5，所以a 1=3－m.由S m =(3－m)m ＋m （m －1）2×1=0，解得正整数m 的值为5.答案：516.解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n =1－2n1－2=2n －1.答案：2n－117.解析：由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3=a 1q 2，a 6=a 1q 5，所以27a 1q 2=a 1q 5，所以q=3，由S n =a 1（1－q n）1－q ，得S 6=a 1（1－36）1－3，S 3=a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3=a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）=28.答案：28 18.解析：因为f(x)＋f(1－x)=12＋log 2 x 1－x ＋12＋log 2 1－xx=1＋log 21=1，所以2S n =⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ]＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n =n －1.所以S n=n －12.答案：n －1219.解：(1)由S 2=43a 2得3(a 1＋a 2)=4a 2，解得a 2=3a 1=3.由S 3=53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)=5a 3，解得a 3=32(a 1＋a 2)=6.(2)由题设知a 1=1.当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n =n ＋1n －1a n －1.于是a 1=1，a 2=31a 1，a 3=42a 2，…a n －1=n n －2a n －2，a n =n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n =n （n ＋1）2.显然，当n=1时也满足上式.综上可知，{a n }的通项公式a n =n （n ＋1）2.20.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2=a 1＋d ，a 3=a 1＋2d.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n =2－3(n －1)=－3n ＋5或a n =－4＋3(n －1)=3n －7.故a n =－3n ＋5或a n =3n －7.(2)当a n =－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2，不成等比数列； 当a n =3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件.故|a n |=|3n －7|=⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n=1时，S 1=|a 1|=4；当n=2时，S 2=|a 1|＋|a 2|=5；当n ≥3时，S n =S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |=5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) =5＋（n －2）[2＋（3n －7）]2=32n 2－112n ＋10.当n=2时，满足此式，当n=1时，不满足此式.综上，S n =⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.21.解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4=a 2＋a 5=22.又a 3·a 4=117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117=0的两实根，又公差d>0，所以a 3<a 4，所以a 3=9，a 4=13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n =4n －3.(2)由(1)知a 1=1，d=4，所以S n =na 1＋n （n －1）2×d=2n 2－n ，所以b n =S n n ＋c =2n 2－n n ＋c ，所以b 1=11＋c ，b 2=62＋c ，b 3=153＋c，其中c ≠0.因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2=b 1＋b 3，即62＋c ×2=11＋c ＋153＋c ，所以2c 2＋c=0，所以c=－12或c=0(舍去)，故c=－12.即存在一个非零实数c=－12，使数列{b n }为等差数列.22.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d=a 4－a 13=12－33=3，所以a n =a 1＋(n －1)d=3n(n=1，2，…).设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3=b 4－a 4b 1－a 1=20－124－3=8，解得q=2.所以b n －a n =(b 1－a 1)q n －1=2n －1.从而b n =3n ＋2n －1(n=1，2，…).(2)由(1)知b n =3n ＋2n －1(n=1，2，…).数列{3n}的前n 项和为32n(n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n1－2=2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n(n ＋1)＋2n－1.23.解：(1)因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n =(n －1)S n ＋2n(n ∈N *)，所以当n=1时，a 1=2×1=2； 当n=2时，a 1＋2a 2=(a 1＋a 2)＋4，所以a 2=4；当n=3时，a 1＋2a 2＋3a 3=2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，所以a 3=8.综上，a 2=4，a 3=8.(2)证明：因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n =(n －1)S n ＋2n(n ∈N *).①所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1=(n －2)S n －1＋2(n －1).②①－②，得na n =(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2=n(S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2=na n －S n ＋2S n －1＋2. 所以－S n ＋2S n －1＋2=0，即S n =2S n －1＋2，所以S n ＋2=2(S n －1＋2). 因为S 1＋2=4≠0，所以S n －1＋2≠0，所以S n ＋2S n －1＋2=2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.24.解：(1)因为6S n =3n ＋1＋a(n ∈N *)，所以当n=1时，6S 1=6a 1=9＋a ，当n ≥2时，6a n =6(S n －S n －1)=2×3n ，即a n =3n －1，所以{a n }是等比数列，所以a 1=1，则9＋a=6，得a=－3，所以数列{a n }的通项公式为a n =3n －1(n ∈N *).(2)由(1)得b n =(1－an)log 3(a 2n ·a n ＋1)=(3n －2)(3n ＋1)， 所以T n =1b 1＋1b 2＋…＋1b n =11×4＋14×7＋…＋1（3n －2）（3n ＋1）=13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1)=n3n ＋1. 25.解：(1)当n=1时，a 1=2.当n ≥2时，S n －1=2a n －1－2， 所以a n =S n －S n －1=2a n －2－(2a n －1－2)，即a n a n －1=2(n ≥2，n ∈N *)， 所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n =2n(n ∈N *). (2)令b n =n ＋1a n =n ＋12n ，则T n =221＋322＋423＋…＋n ＋12n ，①①×12，得12T n =222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，②①－②，得12T n =32－n ＋32n ＋1，整理得T n =3－n ＋32n .26.解：(1)由a 2n ＋2a n =4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1=4S n ＋1＋3.② ②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )=4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )=a 2n ＋1－a 2n =(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).由a n >0，得a n ＋1－a n =2.又a 21＋2a 1=4a 1＋3，解得a 1=－1(舍去)或a 1=3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n =2n ＋1. (2)由a n =2n ＋1可知b n =1a n a n ＋1=1（2n ＋1）（2n ＋3）=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =b 1＋b 2＋…＋b n =12[⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3]=n 3（2n ＋3）.。
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专题7数列的综合应用测试题
命题报告：
1.高频考点：等差数列、等比数列的综合，数列与函数的、不等式、方程等的综合
考情分析：数列的综合问题在近几年的高考试题中一直比较稳定，难度中等，主要命题点是等差数列和等比数列的综合，数列和函数、方程、不等式的综合，与数列有关的探索性问题以及应用性问题等，对于数学文化为背景的数列问题需要特别关注。
3.重点推荐：基础卷第2、7等，涉及新定义和数学文化题，注意灵活利用所给新定义以及读懂题意进行求解。
一．选择题（共12小题，每一题5分）
1. （2018春•广安期末）在等差数列{a n}中，a2=3，若从第7项起开始为负，则数列{a n}的公差d的取值范围是（）
A．[﹣，﹣）B．[﹣，+∞）C．（﹣∞，﹣）D．（，]
【答案】：A
【解析】，解得﹣≤d＜﹣．故选：A．
2. （2018•永定区校级月考）定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列a n，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x3；②f（x）=3x；③；④f（x）=lgx，则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】B
【解析】由任意给定的等比数列a n，公比设为q，
定义在（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x3；
=q，即有==q3为常数，
则f（x）为“保等比数列函数”；
②f（x）=3x；
=q，即有==3不为常数，
则f（x）不为“保等比数列函数”；
3. （2018 •黄冈期末）数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2018=（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】：∵a n+1=，a1=∈[，1），
∴a2=2a1﹣1=∈[0，），
∴a3=2a2=2×=∈[0，），
∴a4=2a3=∈[，1），
∴a5=2a4﹣1==a1，
∴数列{a n}是以4为周期的数列，
又2018=504×4+2，
∴a2018=a2=．
故选：A．
4. (2019华南师范大学附属中学月考) 设数列为等差数列，其前项和为，已知
，，若对任意，都有成立，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为,由可得，即
由可得，解得,，
,，解得,的最大值为，则
故选
5. 在数列{a n}中，，又，则数列{b n}的前n项和S n 为（）
A．B．C．D．
【答案】：A
6. 已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*有，且1＜S k＜12则k的值为（）A．2或4 B．2 C．3或4 D．6
【答案】：A
【解析】对任意的n∈N*有，
可得a1=S1=a1﹣，解得a1=﹣2，
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，
S n﹣1=a n﹣1﹣，又，
相减可得a n=a n﹣﹣a n﹣1+，
化为a n=﹣2a n﹣1，
则a n=﹣2•（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，
S n==﹣[1﹣（﹣2）n]，
1＜S k＜12，化为＜（﹣2）k＜19，
可得k=2或4，
故选：A．
7. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10﹣2米时，乌龟爬行的总距离为（）A．B．C．D．
【答案】：B
【解析】由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n}，
且a1=100，q=，a n=10﹣2；
∴乌龟爬行的总距离为
S n===．
故选：B．
8. 已知函数f（x）=sin（x﹣3）+x﹣1，数列{a n}的公差不为0的等差数列，若f（a1）+f（a2）+f （a3）+…+f（a7）=14，则a1+a2+a3+…+a7=（）
A．0 B．7 C．14 D．21
【答案】：D
【解析】∵f（x）=sin（x﹣3）+x﹣1，∴f（x）﹣2=sin（x﹣3）+x﹣3，
令g（x）=f（x）﹣2，则g（x）关于（3，0）对称，
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，
∴f（a1）﹣2+f（a2）﹣2+…+f（a7）﹣2=0，
即 g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，
∴g（a4）为g（x）与x轴的交点，由g（x）关于（3，0）对称，可得a4=3，
∴a1+a2+…+a7=7a4=21．故选：D．
9. 巳知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=﹣，且满足S n+（n≥2），则S2018等于（）
A．B．C．D．【答案】：D
【解析】数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+（n≥2），
则：，所以：，，当n=2时，=﹣，
当n=3时，，
…
猜想：，所以选择D。