高三数学专题复习14.直线与圆(1)

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第49讲直线与圆的位置关系(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

Δ＜0 d＞r
Δ＝0 d＝r
Δ＞0 d＜r
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.
12＋（－1）2 选 C.
4、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为________________．
【答案】 x＝2 或 4x－3y＋1＝0
【解析】 ①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为 y＝k(x－2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1，得 k＝4，所以切线方程为 4x－3y＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为 x＝2，符合题意，所以直
【解析】（2）由 ax－y＋2－a＝0 得直线 l 恒过点 M(1，2)．又因为点 M(1，2)在圆 C 的内部，当 MC 与 l
垂直时，弦长最短，所以 kMC·kl＝－1，所以2－1×a＝－1，解得 a＝2 . 1－3
（3）由题意，得圆心 C(3，1)，半径 r＝3 且∠ACB＝90°，则圆心 C 到直线 l：ax－y＋2－a＝0 的距离为
3 线方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
5、直线 l：3x－y－6＝0 与圆 x2＋y2－2x－4y＝0 相交于 A，B 两点，则 AB＝________．
【答案】 10
【解析】由 x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径 r＝ 5，又圆

第二讲直线与圆的位置关系章末复习方案课件(人教A选修4-1)(2)

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(2)如果点C在⊙O的内部(如图)．
延长BC与圆相交于点E，连接AE. 则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾， ∴点C不可能在圆内，
∴点C只能在圆上．
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证明命题的一般步骤： (1)弄清题意，辨明题设和结论；
(2)用分析法探明证题思路和方法；
(3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件； (4)用综合法有条理地写出证明过程； (5)检查证明过程，看有无矛盾或不合理的地方．返回
[例1]
已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点
B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆． [证明] 连接EF，
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因为四边形ABCD为平行四边形，
所以∠B＋∠C＝180°. 因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°. 所以∠AEF＝∠C. 所以C、D、E、F四点共圆．
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[例2]
已知：如图，四边形ABCD
中，∠1＝∠2. 求证：A、B、C、D四点共圆． [证明] 由A、B、D三点可以确定
一个圆，设该圆为⊙O.
(1)如果点C在⊙O的外部(如图)．与圆相交于点E， ∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB. 而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．返回
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1 ∴S△ ABC＝ ab. 2 又 S△ ABC＝S△ AOB＋S△ AOC 1 1 1 ＝ ar＋ br＝ r(a＋b)． 2 2 2 1 1 1 ∴ab＝r(a＋b)．则，AB是⊙O直径，过A作
切线，过B作割线交⊙O于E，交切线于 F，过B再作割线交⊙O于C，交切线于D.

圆的最值问题总结讲义-2024届高三数学一轮专题复习

圆的最值问题总结高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。

在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。

希望对读者有些启发。

类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。

1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。

所以max min 2; 2.222CH BH AH d d d d d ===+==-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。

涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。

1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方.max min 22max min 5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d d d =====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。

专题12直线和圆(新高考地区专用)-2021届高三《新题速递·数学》(适用于高考复习)(解析版)

专题12直线和圆姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·河北省尚义县第一中学高二期中）直线)12y x +=-的倾斜角为（）A ．30°B ．120°C ．60°D ．150°2．（2020·福建高二期中）已知直线MN 的斜率为4，其中点()1,1N -，点M 在直线1y x =+上，则点M 的坐标为（）A ．（2，3）B ．（4，5）C ．（2，1）D ．（5，7）3．（2020·吕梁市贺昌中学高二期中）已知直线(2)a x -+1ay -=0与直线2x +3y +5=0平行，a 的值为（）A ．-6B ．6C ．45-D ．454．（2020·福建高二期中）两直线1:3260l x y --=，2:3280l x y -+=，则直线1l 关于直线2l 对称的直线方程为（）A ．32240x y -+=B ．32100x y --=C ．32200x y --=D ．32220x y -+=5．（2020·安徽宣城·高二期中（文））已知圆C 的方程为222610x y x y +-++=，点P 在圆C 上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值为（）A ．3B 3C ．3-D ．26．（2020·湖南高二期中）直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）A ．9B ．4C ．12D ．147．（2020·安徽宿州·高二期中（理））若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（）A B ．C D ．8．（2018·安庆市第七中学高二期中（理））设点(3,4)M 在圆222(0)x y r r +=>外，若圆O 上存在点N ，使得3OMN π∠=，则实数r 的取值范围是（）A ．5[,)2+∞ B ．[,)2+∞ C ．[2 D ．5[,5)2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·重庆市万州第二高级中学高二月考）下列说法正确的有（）A ．若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则()k b ，在第二象限B ．直线32y ax a =-+过定点()32，C ．过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-D ．斜率为2-，在y 轴截距为3的直线方程为23y x =-±．10．（2020·湖南湘潭一中高二期末）已知直线l ：(2)10mx m y m --+-=，圆C ：22(1)1x y -+=，则下列结论中正确的是（）A ．存在m 的一个值，使直线l 经过圆心CB ．无论m 为何值时，直线l 与圆C 一定有两个公共点C ．圆心C 到直线l 的最大距离是22D ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(1)1y x +-=.11．（2020·河北承德第一中学高二月考）圆221:(2cos )(2sin )1C x y θθ-+-=与圆222:1C x y +=，下列说法正确的是（）A ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切B ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线C ．当6πθ=时，圆1C 被直线310l x y --=3D ．P ，Q 分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则PQ 的最大值为412．（2020·山东高二期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，已知()4,2A -，()2,2B ，点P 满足2PAPB =，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（）A ．圆C 的方程是()()224216x y -+-=B ．过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为3π C ．过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，该直线斜率为155±D ．在直线2y =上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得2PD PE= 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·上海黄浦·格致中学高三期中）如果直线l 将圆：22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，则l 的斜率取值范围是_________.14．（2020·内蒙古包头一中高二期中（文））已知M ，N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则线段MN 的长度为______.15．（2020·淮南第一中学高二期中（理））已知直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，则直线1l ，2l 之间的距离为__________.16．（2020·浙江诸暨中学高二期中）已知直线:l 10mx y m -+-=，则此直线必过定点_________；设直线l 与圆22:(1)5C x y +-=交于,A B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为____________四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·上海徐汇·南洋中学高二期中）已知圆C 的圆心在直线2x -y -3=0上，且圆C 过点(1，6)，(5，2). （1）求圆C 的标准方程；（2）过点P (3，2)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |=6时，求直线l 的方程.18．（2020·重庆市江津中学校高二月考）已知圆C ：()2234x y -+=，直线l ：()()13130+--+-=m x m y m ．（1）求直线l 所过定点A 的坐标及当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；（2）已知点()3,3M ，在直线MC 上存在定点N （异于点M ），满足对圆C 上任一点P 都有PM PN为常数，试求所有满足条件的点N 坐标及该常数． 19．（2020·福建高二期中）已知一个动点M 在圆2216x y +=上运动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.20．（2020·浙江台州·高二期中）已知直线20x y -+=和圆22:8120C x y x +-+=，过直线上的一点()00,P x y 作两条直线PA ，PB 与圆C 相切于A ，B 两点.（1）当P 点坐标为()2,4时，求以PC 为直径的圆的方程，并求直线AB 的方程；（2）设切线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，且127k k ⋅=-时，求点P 的坐标.21．（2020·山东高二期中）已知点A ，B 关于原点O 对称，点A 在直线0x y +=上，2AB =，圆M 过点A ，B 且与直线10x +=相切，设圆心M 的横坐标为a .（1）求圆M 的半径；（2）已知点()0,1P ，当2a <时，作直线l 与圆M 相交于不同的两点M ，N ，已知直线l 不经过点P ，且直线PM ，PN 斜率之和为1-，求证：直线l 恒过定点.22．（2020·四川高二期中（理））已知圆C ：22(3)(4)16x y ++-=，直线l ：(21)(2)340()m x m y m m R ++---=∈.（1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为m 的值；（2）若0m >，直线l 与圆C 相离，在直线l 上有一动点P ，过P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别13 45.求m的值，并证明直线MN经过定点.为M，N，且cos MPN的最小值为。

高三数学第一轮复习课时作业(47)直线与圆、圆与圆的位置关系

课时作业(四十七) 第47讲直线与圆、圆与圆的位置关系时间：45分钟分值：100分基础热身1．直线x ＋3y －2＝0被圆(x －1)2＋y 2＝1截得的线段的长为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．6π3．2011·哈尔滨九中二模已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 D.⎝⎛⎭⎫－18，18 4．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的取值集合为( )A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{2,7} 能力提升5．2011·山东实验中学二模圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝⎛⎭⎫θ≠π2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定6．2011·重庆卷在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 27．2011·吉林一中冲刺曲线y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤512，34B.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫13，34 D.⎝⎛⎭⎫0，512 8．2010·江西卷直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 9．2011·郑州三模若函数f (x )＝1be ax 的图像在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定10．2011·吉林一中冲刺在平面直角坐标系xOy 中，已知x 2＋y 2＝4圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．11．2010·山东卷已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．12．已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|＋|≥||，那么实数m 的取值范围是________．13．2011·江苏卷设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．14．(10分)求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．15．(13分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由．难点突破16．(12分)已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线l 交x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA |＝a ，|OB |＝b (a >2，b >2)．(1)求证：(a －2)(b －2)＝2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； (3)求△AOB 面积的最小值．课时作业(四十七)【基础热身】1．C 解析圆心到直线的距离d ＝|1＋0－2|12＋(3)2＝12， ∴弦长l ＝2r 2－d 2＝ 3.2．B 解析圆即x 2＋(y －6)2＝32，数形结合知所求的圆弧长为圆周长的三分之一，即13×(2π)×3＝2π.3．C 解析圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点线距离公式得|k ＋2k |k 2＋1<1，即k 2<18，解得－24<k <24.4．C 解析集合A ，B 表示两个圆，A ∩B 中有且仅有一个元素即两圆相切，有内切和外切两种情况，由题意，外切时，r ＝3；内切时，r ＝7，即r 的值是3或7.【能力提升】5．A 解析圆心到直线的距离d ＝11＋sin 2θ，根据θ的取值范围，0≤sin 2θ<1，故d >12＝r ⎝⎛⎭⎫注意条件θ≠π2＋k π，k ∈Z 时，sin θ≠±1..6．B 解析将圆方程配方得(x －1)2＋(y －3)2＝10. 设圆心为G ，易知G (1,3)．最长弦AC 为过E 的直径，则|AC |＝210.最短弦BD 为与GE 垂直的弦，如图1－2所示．易知|BG |＝10，|EG |＝(0－1)2＋(1－3)2＝5， |BD |＝2|BE |＝2BG 2－EG 2＝2 5.所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC ||BD |＝10 2.故选B.7．A 解析曲线y ＝1＋4－x 2为一个半圆，直线y ＝k (x －2)＋4为过定点的直线系，数形结合、再通过简单计算即可．曲线和直线系如图，当直线与半圆相切时，由|－2k －1＋4|1＋k2＝2，解得k ＝512，又k AP ＝34，所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.8．C 解析直线过定点(0,3)d ＝1，再由点到线的距离公式可得|2k －3＋3|1＋k 2k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33时，弦长|MN |≥2 3.9．B 解析 f ′(x )＝a b e ax，所以在x ＝0处的切线斜率为k ＝a b⎝⎛⎭⎫0，1b ，切线方程为y －1b ＝abx ，即ax －by ＋1＝0，它与圆x 2＋y 2＝1相离，所以圆心到该直线的距离大于1，即1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1，所以点在圆内．10．(－13,13) 解析直线12x －5y ＋c ＝0是平行直线系，当圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到该直线的距离等于1时，得保证圆心到直线的距离小于1，即|c |13<1，故－13<c <13.11．x ＋y －3＝0 解析由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知： ⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.12．(－2，－2∪2，2) 解析方法1：将直线方程代入圆的方程得2x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝4m 2－8(m2－2)>0得m 2<4，即－2<m <2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－22，|＋|≥||即|＋|≥|－|，平方得·≥0，即x 1x 2＋y 1y 2≥0，即x 1x 2＋(m ＋x 1)(m ＋x 2)≥0，即2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2≥0，即2×m 2－22＋m (－m )＋m 2≥0，即m 2≥2，即m ≥2或m ≤－ 2.综合知－2<m ≤－2或2≤m <2.方法2：根据向量加减法的几何意义|＋|≥||等价于向量，的夹角为锐角或者直角，由于点A ，B 是直线x＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m 满足1≤|m |2<2，即－2<m ≤－2或者2≤m <2.13.12≤m ≤2＋ 2 解析若m <0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而由|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋22，矛盾；若m ＝0，则代入后可知矛盾；若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，且大圆半径不小于12，即直径不小于1，集合B表示一个带形区域，且两直线间距离为22，从而当直线x ＋y ＝2m 与x ＋y ＝2m ＋1中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即可符合题意，从而有 |2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解之得2－22≤m ≤2＋2，所以综上所述，实数m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2.14．解答设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题知所求圆与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切，则(a －1)2＋b 2＝r ＋1.①又所求圆过点M 的切线为直线x ＋3y ＝0，故b ＋3a －3＝ 3.② |a ＋3b |2＝r .③ 解由①②③组成的方程组得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6. 故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 15．解答设存在直线方程为y ＝x ＋b 满足条件，代入圆的方程得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，直线与该圆相交则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，解得－3－32<b <－3＋3 2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，以AB 为直径的圆过原点时，AO ⊥BO ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，把上面式子代入得b2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1，都在－3－32<b <－3＋32内，故所求的直线是y ＝x －4或y ＝x ＋1.【难点突破】16．解答 (1)证明：圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，设直线方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|a ＋b －ab |a 2＋b21，即a 2＋b 2＋a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝a 2＋b 2，即a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝0，即ab ＋2－2a －2b ＝0，即(a －2)(b －2)＝2.(2)设AB 中点M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，代入(a －2)(b －2)＝2，得(x －1)(y －1)＝12(x >1，y >1)．(3)由(a －2)(b －2)＝2得ab ＋2＝2(a ＋b )≥4ab ，解得ab ≥2＋2(舍去ab ≤2－2)，当且仅当a ＝b 时，ab 取最小值6＋42，所以△AOB 面积的最小值是3＋2 2.。

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 12)-直线与圆

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 12) 考查：直线与圆一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1．若直线l 与直线1y =,7x =分别交于点P 、Q ,且线段P Q 的中点坐标为(1,1)-,则直线l 的斜率为( ) A.13 B.13- C.32- D.23 2．若直线1:60l x ay ++=与2:(2)320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为( )B.33．如果0A C ⋅<,且0B C ⋅<,那么直线0Ax By C ++=不经过( ). A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5. 若函数8y ax =+与12y x b =-+的图象关于直线y x =对称，则a b +=( )A.1B.2D.46．直线1l 的斜率为2，12//l l ，直线2l 过点(1,1)-)且与y 轴交于点P ,则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(3,0)-C ．(0,3)-D ．(0,3)7. 已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切,且与直线2:3460l x y +-=平行,则直线l 1的方程是( )A ．3410x y +-=B ．3410x y ++=或3490x y +-=C ．3490x y ++=D ．3410x y +-=或3490x y ++=8．若圆222()()1x a y b b -+-=+始终平分圆22(1)(1)4x y +++=的周长，则a b 、满足的关系是( )A ．22230a a b ++-=B ．222250a b a b ++++=C ．22250a a b +++=D ．22250a a b --+=二、填空题: (本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上)9. 圆心在原点且与直线24x y +=相切的圆的方程是 .10.点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是___________.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是________.12.已知点(1,3),(2,1)A B --,若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交,则k 的取值范围是________.13.圆心在曲线3(0)y x x=>上，且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为14．已知实数x y 、满足250x y ++=,的最小值为 .二、填空题(每小题5分,共30分)9.____________________. 10.___________________. 11. ____________________.12.___________________. 13. ___________________. 14.____________________.三、解答题：本大题共4小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，且经过点(3,4)A -,求直线l 的方程.16．不同两点P 、Q 的坐标分别为(,),(3,3)a b b a --，求:()Ⅰ线段P Q 的垂直平分线l 的方程;()Ⅱ圆22(2)(3)1x y -+-=关于直线l 对称的圆的方程.17．已知圆22:2440C x y x y +-+-=,是否存在斜率为1的直线l ,使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.18.在直角坐标系xOy 中，以O为圆心的圆与直线40x +=相切. ()Ⅰ求圆O 的方程;()Ⅱ圆O 与x 轴相交于A B 、两点，圆内的动点P 使PA PO PB、、|成等比数列,求PA PB ⋅的取值范围.2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 12)参考答案1解析：选B.由直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P 、Q ，可设P (x 1,1)，Q (7，y 1)，再由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，可解得：x 1＝－5，y 1＝－3.即直线l 上有两点P (－5,1)，Q (7，－3)，代入斜率公式可解得直线l 的斜率为k ＝1＋3－5－7＝－13.故选B.2 [解析]由l 1∥l 2知3＝a(a －2)且2a ≠6(a －2)，2a 2≠18，求得a ＝－1，l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23|12＋(－1)2＝823.故选B. 3．C 解析：由A·C ＜0及B·C ＜0，可知A ≠0，B ≠0，又直线Ax ＋By ＋C ＝0过⎝⎛⎭⎫－CA ，0，⎝⎛⎭⎫0，－CB ，且－C A ＞0，－C B＞0，∴直线不过第三象限．4[解析]直线ax －y ＋2a ＝0⇒a(x ＋2)－y ＝0，即直线恒过点(－2,0)，∵点(－2,0)在圆内，所以直线与圆相交，故选C.5解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝4，所以a ＋b ＝2故选B6.解析：∵点P 在y 轴上，∴设P(0，y)，又∵kl 1＝2，l 1∥l 2，∴kl 2＝y －10－(－1)＝y －1＝2，∴y ＝3，∴P(0,3)．答案：D7.D 解析：设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，∴|－4＋m|32＋42＝1.∴|m －4|＝5.∴m ＝－1或m ＝9.∴直线l 1的方程为3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0.8.解析即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0,将圆心坐标(－1,－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.答案C9解析：由题意，半径R ＝41＋22＝45，所以圆的方程为x 2＋y 2＝165，故填x 2＋y 2＝165.10解析：设圆上任一点为Q(s ，t)，PQ 的中点为A(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝4＋s 2y ＝－2＋t2，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝2x －4t ＝2y ＋2，将其代入圆的方程，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，整理得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 11.解析 (数形结合法)由已知直线l 恒过定点P(2,1)，如右图．若l 与线AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB ，∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤1212.[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．即|c|122＋52<1，解|c|<13，∴－13<c<13.13.解析：设圆心(a ，3a )(a>0),则圆心到直线的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5，而d ≥15(23a ·12a ＋3)＝3,当且仅当3a ＝12a ，即a ＝2时，取“＝”，此时圆心为(2，32)，半径为3，圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝9.14.解析：x 2＋y 2表示点(x ，y)到原点的距离．根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5.15.解析：设直线l 的方程是y ＝k(x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)(4k ＋3)＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. 16.【解析】（1）∵313P a bk b a--==--Q ，∴11l P k k =-=-Q ， ∵P Q 的中点坐标为33(,)22，直线l 的方程为3x y +=．（2）设所求圆的圆心为(,)a b ，则31223322l b k a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩， ∴所求圆的圆方程为22(1)1x y +-=．17解析假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB.设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得： 2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b)(x 2＋b)＝x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.法二:可设直线l :0x y c -+=,经过A B 、的圆:22:244()0C x y x y x y c λ+-+-+-+=分析18.解析：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＋4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A(x 1,0)，B(x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．设P(x ，y)，由|PA →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y)· (2－x ，－y)＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2，由此得y 2<1.所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．。

2020年浙江高三数学总复习：直线与椭圆的位置关系(一)复习讲义

第二节直线与椭圆的位置关系(一)-备考方向明确h --------------------------- 一方向比勢力更重要 ------------- 知识链条完善h -------------------------- 把散落的知识连起来------------阿络构建一、直线与椭圆的位置关系1. 若直线斜率不存在，数形结合分析.2. 若直线斜率k存在,设直线方程为y=kx+m,联立［厂2収1"；22得关于b x a y a bx 的方程(b 2+a2k2)x 2+2km<ax+a2(m2-b 2)=0,则有直线与椭圆相交？有两个交点？△ >0,直线与椭圆相切？有一个交点？上0,直线与椭圆相离？没有交点？ g.1. 概念理解(1) 直线与椭圆位置关系的判定有两种方法：几何法和代数法，几何法即借助椭圆与直线的图形进行判定，代数法即直线方程与椭圆方程联立得到关于x(或y)的一元二次方程，然后再判定直线与椭圆的关系，解题时应根据情况，进行判定.(2) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交，这与直线与圆的位置关系类似.2. 与直线与椭圆的位置相关的结论, , 2 2 , ,(1) 若P o(x o,y o)在椭圆刍+再=1上,则过P0的椭圆的切线方程是a bx o x + y o y =i~ar ■, , 2 2 , ,⑵若P o(X o,y o)在椭圆笃+再=1外,则过点P o作椭圆的两条切线，切点a b为R,P2,则切点弦PR的直线方程是竽+譽=1.a b二、直线与椭圆相交问题的处理方法1. 常规方法(通法), 2 2(1) 设直线y=kx+m与椭圆笃+音=1的交点为A(X1,y 1),B(x 2,y 2);a b⑵把直线与椭圆方程联立,得方程组；(3) 消去y得关于x的一元二次方程(或消去x得关于y的一元二次方程)；⑷由韦达定理得x1+x?,^1^x2的值(或Y1+y2,y1^y2的值)；(5)求解(用中点公式、弦长公式等).2. 点差法I型2 2(1) 设直线y=kx+m与椭圆笃+占=1的交点为A(X1,y 1),B(x 2,y 2);a b(2) 把点的坐标代入椭圆方程且作差可得k AB,弦长公式d=〔_k2• |x i-x2|= .i ；• |y i-y2|.3•点差法U型(弦AB的中点为(a,b))(1)设交点坐标为A(x,y),B(2a-x,2b-y);⑵把点的坐标代入椭圆方程；(3) 作差后依题意求解.1.概念理解常规方法是直线与椭圆相交问题的通用方法，运算量较大，运算应细心,按步骤整理，避免出错.在涉及中点、斜率问题时，可考虑点差法. 设出点的坐标，在遇到垂直、夹角问题时，可考虑运用向量法进行解题基本思路是先设元(设点的坐标),后消元.2.与直线与椭圆相交问题相关的结论. _ 2 2 _____________________________________ __(1)AB是椭圆务+气=1的不平行于对称轴的弦,M(x o,y 0)为AB的中点,a b.2 2贝卩k oM • k AB=- ,即k AB=- .a a y02 2⑵若P o(X o,y o)在椭圆笃+再=1内，则被P o所平分的中点弦的方程为a b2 2b2+ y°y =x0 +y。

北京航空航天大学附中2022高三数学一轮高考单元辅导与练习单元检测：直线与圆

北京航空航天大学附中2022高三数学一轮高考单元辅导与练习单元检测：直线与圆本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时刻120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线062:1=++y ax l 与01)1(:22=-+-+a y a x l 平行，则实数a 的取值是( )[来源:学+科+网]A ．－1或2B ．0或1C ．－1D ．2【答案】C2．点(11)，在圆22()()4x a y a -++=的内部，则a 的取值范畴是( ) A ．11a -<< B ．01a << C ．1a <-或1a > D ．1a =±【答案】A3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( ) A ．2 B ．221+ C ．21+ D ．221+【答案】C4．已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(2M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为( )A ． 4B ． 24C ． 5D ． 25【答案】C5．已知点(0,1)P -，点Q 在直线x-y+1=0上，若直线PQ 垂直于直线x+2y-5=0，则点Q 的坐标是( )A ．（－2，1）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（－2，－1）【答案】C6．已知点(3,4),(6,3)A B --到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值等于( )A ．79B ．13-C ．7193--或D ．7193或【答案】C7．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ． 03=--y xB ． 032=-+y xC ． 01=-+y xD ． 052=--y x 【答案】A8．一束光线从点(1,1)A -动身，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径长为( )A ．4B ．5C ．321-D ．26 【答案】A9．直线xcos θ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的范畴是( ) A ．[0,π) B ．[0,]4π∪3[,)4ππ C ．[,]44ππ-D ．3[,]44ππ[来源:1ZXXK]【答案】B10．点M 在圆 13 x 2 + 13 y 2 – 15 x – 36 y = 0上运动，点N 在射线OM 上（O 为原点）且| OM | ∙ | ON | = 12，则N 点的轨迹方程为( )A ．5 x + 12 y – 52 = 0B ．5 x – 12 y – 52 = 0C ．5 x – 12 y + 52 = 0D ．5 x + 12 y + 52 = 0 【答案】A11．方程024=++-+m y x y x 只表示一条直线，则( ) A ．02<=m m 或 B ．02>=m m 或 C ．2>m D.2=m 【答案】A12．过原点和3i -在复平面内对应点的直线的倾斜角为( ) A ．6πB ．-6πC ．23πD ．56π【答案】D第Ⅱ卷(非选择题共90分)[来源:1]二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y+c=0的距离等于1，则实数c 的取值范畴是．【答案】(13,13)-14．若)0,0(01>>=-+y x y x ，则11++x y 的取值范畴是____________. 【答案】)2,21(15．圆：02422=-+-+k y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若︒=∠90APB ，则实数k 的值是．【答案】316．若三条直线02:,53:,7:321=++=-=+c y x l y x l y x l 不能围成三角形，则c 的值为____________．【答案】-10三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤)[来源:学.科.网Z.X.X.K]17．设函数。

高三数学(文)一轮复习课件8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系ppt版本

一组实数解无解
微知识❸ 两圆公切线的条数
位置关系内含内切相交
公切线条数 0
12
外切 3
外离 4
二、小题查验 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切。(√) 解析：正确。直线与圆组成的方程组有一组解时，直线与圆相切，有两组解时，直线与圆相交。
解析：(1)如图，若|MN|＝2 3 ，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2＝22－( 3)2＝1。
∵直线方程为y＝kx＋3， ∴d＝|k·2－1＋3＋k2 3|＝1，
解得k＝±
3 3
若|MN|≥2 3，则－ 33≤k≤ 33。
(2)把圆的方程化为标准方程是x＋12k2＋(y＋1)2＝16－34k2，
【微练3】(1)两个圆：C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1
＝0的公切线有且仅有( B )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 (2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝ kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离外切相交内切内含
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝_|r_1_－__r2_| (r1≠r2) 0_≤____ d__＜__ |r1－r2|(r1≠r2)
_无__解 _一__组___实数解 __两__组__不__同__的__实数解
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切。 (×)

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14.直线与圆（1）
1．在直角坐标系中，直线01y的倾斜角的大小是__________弧度．
2．直线0534yx与直线0568yx的距离为__________．
3．若直线1:(1)3laxay与2:(1)(23)2laxay互相垂直，则实数a的值为__________．
4．设直线0132yx和圆03222xyx相交于点,AB，则弦AB的垂直平分线的方程是_________．
5．点(4,5)A关于直线l的对称点为(2,7)B 则直线l的方程为_________．

6．以)9,4(A，(6,3)B为直径的圆的方程是________________________ .

7．已知直线5120xya与圆2220xxy相切，则a的值为_________．
8．已知直线1)0(022yxabccbyax与圆相切，则三条边长分别为||,||,||abc的三角形的形状是_________．
9．已知圆C：4)2()(22yax（0a）及直线l：03yx，当直线l被C截得
的弦长为32时，则a的值为_________．

10已知线段AB,(1,9)A，B在圆22:(3)(1)16Cxy，则AB中点M的轨迹方程是
__________________

11 ．已知直线L经过点P(-4,-3)，且被圆22(1)(2)25xy截得的弦长为8，则直线L的方程是__________．

12 ．过点(1,2󰀀)P的直线L把圆22450xyx分成两个弓形，当其中较小弓形面积最小时，直线L的方程是
_________．
13 ．若方程2222110xykxyk表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是_______．
如果过点(1,2)总可以作两条直线和圆2222110xykxyk相切，则实数k的取值范
围是_________________．

14 ．如右下图,定圆的半径为a，圆心为(,)bc, 则直线
0axbyc 与直线 10xy
的交点在第 ______象限。

二解答题
15．在ABC中，点(1,2),(5,5),(6,2)ABC
求（1）ABC的面积。
（2）ABC的外接圆的方程。

16．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为3130xy，对角线,ACBD的交点为(1,5)P
求（1）正方形ABCD其它三边所在直线的方程：
（2）正方形ABCD的外接圆方程。

17．求与直线yx相切，圆心在直线3yx上且被 y 轴截得的弦长为22的圆的方程．

O
y
x
18．如图，已知直角坐标平面上点(2,0)Q和圆22:1Cxy，动点M到圆C的切线长与||MQ的比等于2．求
动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

19．已知圆22:414450,Cxyxy及点(2,3)Q，
（1）若(,1)󰀀Paa在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
（2）若M为圆C上任一点，求||MQ的最大值和最小值；

（3）若实数,mn满足22414450mnmn,求3=+2nkm的最大值和最小值

20. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方
程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和
，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线
被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

答案在17《立体几何复数》后

xoy
221:(3)(1)4Cxy22

2
:(4)(5)4Cxy

l(4,0)A1C23l

1
l
2
l
1C2C1l1C2
l

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