苏科版八年级数学上册：第二章轴对称图形5.docx
数学八年级苏科版(上册)第二章轴对称图形电子课件
苏科八年级 上册
【探究活动2】 观察下面图形,它们有什么共同特点?
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【探究活动2】
把一个图形沿一条直线折叠，如果直 线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫 _轴__对__称__图__形___．_
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【探究活动2】
联系实际，你能举出一个轴对称图形的 实例吗？
你能正确地完成课本P41页第1题的练习吗？
l
l
AO ●
A′
●
●
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l
12
A●
o
● A′
∵ 把纸沿折痕 l 折叠时，点A、A′重合，
∴ 线段OA、OA′重合， ∴ O是AA′的中点． ∵ ∠1＝∠2 且 ∠1＋∠2＝180°， ∴ ∠1＝∠2＝90°． ∴ l 垂直且平分AA′．
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【归纳概括】
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线 段的垂直平分线．
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【归纳总结】
问题1： 根据课本图形2-1和2-4进行比较，轴对 称与轴对称图形之间有什么区别吗？
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【归纳总结】
问题2： 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两 个图形，那么这两个图形成轴对称吗？如果把两个 成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图 形吗？
苏科八年级 上册 【归纳总结】
【活动四】 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后
将纸放在镜子前． （(11）)图你中能两画个出“镜4”子有所什在么直关线系l的？位置吗？
方方法法（（21））
l
●A
E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
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（2）图中点A、B、C、D的对称点分
苏科版八年级上册第二章轴对称图形 线段和最值问题(有答案)
八上第二章线段和最值问题班级姓名得分一、选择题1.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A. 6B. 8C. 10D. 122.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为A. 12B. 16C. 24D. 323.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A. 7B. 72C. 9 D. 1124.如图，∠MON=90°，OB=2，点A是直线OM上的一个动点，连结AB，作∠MAB与∠ABN的角平分线AF与BF，两角平分线所在的直线交于点F，求点A在运动过程中线段BF 的最小值为（）A. 2B. 4C. √2D. √3二、填空题5.如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是14，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为____．6.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．7.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．8.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_________cm．9.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．10.如图，四边形ABCD为菱形，∠C=120°，AB=4，H为边BC上的动点，连接AH，作AH的垂直平分线GF交CD于F点，则线段GF的最小值为．11.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．12.如图，在锐角△ABC中，AB=4√3,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为13.如图，在锐角△ABC中，AB=3√2,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．14.15.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝√6，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是__________．三、解答题16.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．17.如图，BD是ΔABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G，连接ED,DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由;(2)若∠ABC=30∘,∠C=45∘,ED=2√10，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值.18.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是______度．（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．19.如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC=3，DK=2，BK=4．（1）若CD=6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM 的长；（2）若CD=13，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求2AP+PQ+QB的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，以及考查了轴对称中最短路线问题．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：如图，连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC ×AD =12×4×AD =16，解得AD =8， ∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =8+12×4=8+2=10． 故选C ．2.【答案】A【解析】【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，以及考查了轴对称中最短路线问题．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，从而得到AD 长，由等腰三角形三线合一的性质可得AD 为BC 边上的高，最后由三角形面积公式求得答案.【解答】解：连接AD ，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，△CDM 的周长为CM +DM +CD ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∵CD =2，∴AD =6，∵AB =AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，∴△ABC 的面积为4×6÷2=12. 故选A .3.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为BM +MD 的最小值，由此即可得出结论.【解答】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =14，解得AD =7， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =7+12×4=7+2=9. 故选C .4.【答案】C【解析】【分析】作FC ⊥OB 于C ，FD ⊥OA 于D ，FE ⊥AB 于E ，由角平分线的性质得出FD =FC ，证出点F 在∠MON 的平分线上，∠BOF =45°，在点A 在运动过程中，当OF ⊥AB 时，BF 最小，△OBF 为等腰直角三角形，即可得出BF =√22OB =√2． 【解答】解：作FC ⊥OB 于C ，FD ⊥OA 于D ，FE ⊥AB 于E ，如图所示：∵∠MAB 与∠ABN 的角平分线AF 与BF 交于点F ，∴FD =FE ，FE =FC ，∴FD =FC ，∴点F 在∠MON 的平分线上，∠BOF =45°，在点A 在运动过程中，当OF ⊥AB 时，F 为垂足，BF 最小，此时，△OBF 为等腰直角三角形，BF =√22OB =√2； 故选C ．5.【答案】9【解析】【分析】本题考查垂直平分线的性质，轴对称的性质和等腰三角形的性质，得出AD 的长为CM +MD 的最小值是解题的关键，先做C 点关于EF 的对称点A ，连接AD 交EF 于M ，此时CM +MD 的值最小，求出周长即可.【解答】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =14，解得AD =7， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =7+12×4=8+2=9． 故答案为9．6.【答案】8【解析】【分析】连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S ∆ABC =12BC ·AD =12×4×AD =12，解得AD =6，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．故答案为8.7.【答案】8【解析】【分析】连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S ∆ABC =12BC ·AD =12×4×AD =12，解得AD =6，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．8.【答案】8【解析】【分析】本题考查的是轴对称 -最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为BM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：如图，连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =12，解得AD =6cm ， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为BM +MD 的最小值，∴△BDM 的周长最短=（BM +MD ）+BD =AD +12BC =6+12×4=6+2=8cm ． 故答案为8．9.【答案】8【解析】【分析】连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM .∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC ⋅AD =12×4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM .∴BM +MD =MD +AM .∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6.∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8.故答案为8.10.【答案】3【解析】【分析】这是一道考查菱形的性质以及线段垂直平分线的性质的题目，解题关键在于知道当AH ⊥BC 时，GF 最短，即可求出答案.【解答】解：连接AF 、HF ，则当AH 最短时，GF 最小，此时AH ⊥BC ，AH ⊥AB ，∵GF 为AH 的垂直平分线，∴G 为AH 中点，F 为CD 中点，∴GF =12(AD +HC )=3.故答案为3.11.【答案】8【解析】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12.【答案】6【解析】【分析】本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM +MN 进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．【解答】解：如图，在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，∴∠EAM =∠NAM ，在△AME 与△AMN 中，{AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△AME ≌△AMN （SAS ），∴ME =MN ．∴BM +MN =BM +ME ≥BE ．∵BM +MN 有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4√3，∠BAC=60°，此时，在Rt△ABE中，得出BE=6，即BE取最小值为6，∴BM+MN的最小值是6．故答案为6.13.【答案】3【解析】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，{AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=3√2，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，∴BE=3，即BE取最小值为3，∴BM+MN的最小值是3．故答案为3．从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．规律与趋势：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点．14.【答案】3√22【解析】【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角的平分线的性质，勾股定理以及直角三角形的性质．解题关键是根据角平分线的性质和垂线段最短得出CE的长是PN+PC的最小值．作CE⊥AB 于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在Rt△ACE中利用勾股定理求解即可．【解答】解：作CE⊥AB于点E，交AD于P点，∵AD是∠BAC的平分线，PN⊥AC，CE⊥AB，∴PN =PE ，∴PN ＋PC =PE +PC =CE ，∴根据“垂线段最短”可知CE 的长就是PN +PC 的最小值．在Rt △ACE 中，∠BAC ＝60°，AC ＝√6， ∴AE =12AC =√62， 由勾股定理得：CE =3√22． 故答案是3√22．15.【答案】8【解析】【分析】本题主要考查三角形周长的知识，关键是知道线段垂直平分线的性质，知道等腰三角形的性质.【解答】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM =BM ．∴BM +MD =MD +AM ．∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8．故答案为8.16.【答案】解：（1）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，{∠EDF=∠GBF ∠EFD=∠GFB DF=BF，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四边形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2√10，∴EM=12BE=√10，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=√10，MN=DE=2√10，在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=√10，∴MC=3√10，在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=√10．MC=3√10，∴EC=√EM2+MC2=√(√10)2+(3√10)2=10．∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为10．【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型.（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可；（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题.17.【答案】（1）50（2）①6②14【解析】解：（1）∵AB =AC ，∴∠C =∠ABC =70°，∴∠A =40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM =90°，∴∠NMA =50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM =BM ，∴△MBC 的周长=BM +CM +BC =AM +CM +BC =AC +BC ，∵AB =8，△MBC 的周长是14，∴BC =14-8=6；②当点P 与M 重合时，△PBC 周长的值最小，理由：∵PB +PB =PA +PC ，PA +PC ≥AC ，∴P 与M 重合时，PA +PC =AC ，此时PB +PC 最小，∴△PBC 周长的最小值=AC +BC =8+6=14．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM =BM ，然后求出△MBC 的周长=AC +BC ，再代入数据进行计算即可得解，②当点P 与M 重合时，△PBC 周长的值最小，于是得到结论．本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．18.【答案】解：（1）如图1中，连接AB ，作线段AB 的中垂线MN ，交AB 于N ，交EF 于M ，连接AM ，BM ．设DM =x ．在Rt △ACM 中，AM 2=AC 2+CM 2=32+（6-x ）2，在Rt △BDM 中，BM 2=DM 2+BD 2=x 2+62，∵AM =MB ，∴32+（6-x ）2=x 2+62，解得x =34，∴CM =CD -MD =6-34=214．（2）如图2中，如图，作点A 故直线GH 的对称点A ′，点B 关于直线EF 的对称点B ′，连接A ′B ′交GH 于点P ，交EF 于点Q ，作B ′H ⊥CA 交CA 的延长线于H ．则此时AP +PQ +QB 的值最小．根据对称的性质可知：PA =PA ′，QB =QB ′，∴PA +PQ +QB =PA ′+PQ +QB ′=A ′B ′，∴PA +PQ +PB 的最小值为线段A ′B ′的长，在Rt △A ′B ′H 中，∵HB ′=CD =132，HA ′=DB ′+CA ′=7+6=13，∴A ′B ′=√HA′2+B′H 2=√132+(132)2=132√5， ∴AP +PQ +QB 的最小值为132√5．【解析】（1）如图1中，连接AB ，作线段AB 的中垂线MN ，交AB 于N ，交EF 于M ，连接AM ，BM ．设DM =x ．根据MA =MB 构建方程即可解决问题；（2）如图2中，如图，作点A 故直线GH 的对称点A ′，点B 关于直线EF 的对称点B ′，连接A ′B ′交GH 于点P ，交EF 于点Q ，作B ′H ⊥CA 交CA 的延长线于H ．则此时AP +PQ +QB 的值最小．最小值为线段A ′B ′的长；本题考查轴对称-最短问题，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
苏教版八年级数学上册知识点总结(苏科版)
知识点总结第一章三角形全等一、全等三角形的定义1、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、理解：（1）全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；（2）一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；（3）三角形全等不因位置发生变化而改变。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：（1）长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；（2）对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
2、全等三角形的周长相等、面积相等。
3、全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
三、全等三角形的判定1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
2、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
3、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
4、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
5、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
四、证明两个三角形全等的基本思路1、已知两边：（1）找第三边（SSS）；（2）找夹角（SAS）；（3）找是否有直角（HL）。
2、已知一边一角：（1）找一角（AAS或ASA）；（2）找夹边（SAS）。
3、已知两角：（1）找夹边（ASA）；（2）找其它边（AAS）。
第二章轴对称一、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
二、轴对称的性质1、轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线。
三、线段的垂直平分线1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
2、判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3、拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
四、角的角平分线1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
最新苏科版初二数学上册第2章《轴对称图形》全单元课件
方法（ 方法（ 21 ） ）
●
A
●
l
D H
●
E
●
C
● ●
●
F
B
G
●
2.2 轴对称的性质(1)
（2）图中点A、B、C、D的对称点分别 是 E、G、F、H，线段AC、AB的对应线段 分别是 EF、EG ∠CAB= ∠FEG ，CD= FH . ， ，∠ACD= ∠EFH
●
A
●
l D H
●
E
●
C
● ●
●
F
B
G
●
2.2 轴对称的性质(1)
（3）连接AE、BG， AE与BG平行吗？为什么？ 解：（3）平行． 因为 A和E，B和G是关于直线 l 的对称点， 所以 l⊥AE ，l⊥BG． 所以 AE ∥BG． l
● ●
●
A D
E
●
●
C
●
H
●
F
B
G
●
2.2 轴对称的性质(1)
（4） AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一 定互相平行吗？ 解：（4） 不一定． 如图，对称点的连线DH、CF就不互相平行，而是 在同一条直线上，从而说明轴对称图形对称点的连线 互相平行或在同一条直线上． A
即 O是AA′的中点． 因为 ∠1＝∠2 且 ∠1＋∠2＝180°， 所以 ∠1＝∠2＝90°． 所以 l 垂直且平分AA′．
2.2 轴对称的性质(1)
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂 直平分线(midpoint perpendicular). 如图，直线 l 交线段AB于点O, ∠1＝90°，AO＝BO， 直线l是线段AB的垂直平分线． l A
苏科版初中八年级数学上册第二章《轴对称图形》PPT课件
●A
l E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
2.2 轴对称的性质(1)
（3）连接AE、BG， AE与BG平行吗？为什么？ 解：（3）平行． 因为 A和E，B和G是关于直线 l 的对称点， 所以 l⊥AE ，l⊥BG． 所以 AE ∥BG．
●A
l E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
2.2 轴对称的性质(1)
所以 线段OA、OA′重合，
即
O是AA′的中点．
因为 ∠1＝∠2 且 ∠1＋∠2＝180°，
所以 ∠1＝∠2＝90°．
所以 l 垂直且平分AA′．
2.2 轴对称的性质(1)
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂 直平分线(midpoint perpendicular).
如图，直线 l 交线段AB于点O, ∠1＝90°，AO＝BO，
（1） （3）
（2） （4）
2.2 轴对称的性质(1)
活动一：
如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；
再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A′，折
痕记为l ；连接AA′，AA′与l相交于点O ．
你有什么发现 （小组交流）？
l
●
l
AO
A′
●
●
2.2 轴对称的性质(1)
l
12
A●
o
● A′
因为 把纸沿折痕 l 折叠时，点A、A′重合，
3．轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称 轴上或对称线段所在直线互相平行．
2.2 轴对称的性质(2)
思考：
如图，点A、B、 C都在方格纸的格点上， 请你再找一个格点D， 使点A、B、C、D组成 一个轴对称图形．
苏科版八年级数学上册：第二章轴对称图形3.docx
初中数学试卷 马鸣风萧萧预学目标1．根据教材P11上的画法，尝试用三角板作出点A 关于直线l 的对称点A'．2．尝试完成教材P12上的操作1，从中体会成轴对称的两个图形不一定位于对称轴的两侧．3．初步了解成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称．4．根据知识梳理2中的方法尝试完成教材P14第4题．知识梳理 (预习课本P45-46)图形的对称就是点的对称。
问题：你能画出点Ａ关于直线l 的对称点吗？ l操作：按下列要求，作点A 关于直线l 的对称点A ’；①过点A 作AB ⊥l ，垂足为点B ；②延长AB 至A ’，使A ’B=AB 。
问题1：点A ’就是点A 关于直线l 的对称点吗？为什么？问题2：你是如何验证的？归纳：画图形关于某直线的对称图形，关键在于画出已知图形的关键点关于这条直线 的练习 1．画已知三角形关于某直线的对称三角形画出图1中△ABC 关于直线AB 对称的△ABC'和关于直线AC 对称的△ACB'步骤：(1)画出点C 关于直线AB 的对称点C'，连接AC'、BC'得△ABC'；(2)画出点B 关于直线AC 的对称点B'，连接AB'、CB'得△ACB'．A .2．把一个图形补成轴对称图形如图2，找一格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形．方法：先确定对称轴，再作相应的对称点．常常以连接两点所得线段的垂直平分线或所在直线为对称轴．(1)以线段AB所在直线为对称轴，作出点C的对称点D1；(2)以线段AB的垂直平分线为对称轴，作出点C的对称点D2；(3)以线段BC所在直线为对称轴，作出点A的对称点D3；(4)以线段BC的垂直平分线为对称轴，作出点A的对称点D4；(5)以线段AC所在直线或其垂直平分线为对称轴，作出点B的对称点，发现所作的对称点都不在格点上，所以符合要求的点有4个，例题精讲例1 (1)如图①，直线MN表示一条河流的河岸，在河流同旁有A、B两个村庄，现要在河边建一个供水站给A、B两村供水，问：这个供水站建在什么地方，可以使铺设的管道最短？请在图①中找出表示供水站的点P．（保留作图痕迹）(2)如图②，一个人准备牵马从点P出发，到OA处让马吃草，然后到OB处让马饮水，最后回到点P，请画出行走的路线，使路程最短．(3)如图③，P、Q分别为△ABC的边AB、AC上的两个定点，在BC上找一点R，使△PQR的周长最短．例2 如图①，(1)作△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；(2)若网格中每个小正方形的边长都是1，求△ABC的面积．课堂练习1．画出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'．3．如图，在正方形网格中有四边形ABCD，每个小正方形的边长都为1．(1)求四边形ABCD的面积．(2)画出四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于直线MN对称．4．如图是7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．在图中找格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画出一个即可）巩固练习1．下列各数中，成轴对称图形的有A．1个B．2个C．3个D．4个2．轴对称图形的对称轴的条数( )A．只有一条B．2条C．3条D．至少一条3．如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是( )A．150°B．300°C．210°D．330°4．如图，∠MON内有一点P，PP1、PP2分别被OM、ON垂直平分，P1P2与OM、ON分别交于点A、B．若P1P2＝10厘米，则△PAB的周长为( )A．6厘米B．8厘米C．10厘米D．12厘米5．如果△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A＝50°，∠B'＝70°，那么∠C'＝______．6．如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A＝35°，∠BCO＝30°，那么∠AOB＝__________．7．B 在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝______．8．如图△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F，BE＝7，△BCE的周长为______．9．已知如图，四边形ABCD关于直线MN对称，其中A，C是对称点，则直线MN与线段AC的关系是______．10．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置，若∠EFB ＝65°，求∠AED'等于多少度．11．如图表示的是长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠后的情况，图中有没有关于某条直线对称的图形？如有，请作出对称轴，图中是否有相等的线段、相等的角（不含直角）?如有，请写出相等的线段、相等的角．12．如图，已知∠AOB内有一点P，画△PQR，使Q在OA上，R在OB上，且使△PQR 的周长最小．。
苏科版八年级数学上册：第二章轴对称图形1.docx
初中数学试卷桑水出品预学目标1．阅读轴对称、轴对称图形的概念，知道轴对称是指两个图形成轴对称，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形．2．会判断一些常见图形是否是轴对称图形，如等腰三角形、直角三角形、平行四边形、正方形、直角梯形等，尝试画出轴对称图形的对称轴，做到不遗漏．预习(预习课本P40-42)问题：下列图片形状是怎么样的？它们有什么共同的特性？这些图片的形状是：它们的共同特征是：把图形沿着某一条直线，直线两旁的部分能够。
操作：把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形；想一想：把纸展开后会是什么样的图形？位于折痕两侧的图案有什么关系？它是否也具有上述图形的共同特征？与同学交流一下。
知识梳理1．轴对称如图1，把△ABC沿着直线m_______，如果它能与△A'B'C'_______那么称这两个图形关于这条直线_______，也称这两个图形_______，这条直线叫做_______，两个图形中的对应点叫做_______．请写出图1中的一对对称点：_______．2．轴对称图形如图2，把这个图形沿着某一条_______折叠，如果直线两旁的部分能够_______，那么这个图形是________．这条_______是对称轴．3．轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：(1)轴对称是指_____个图形的位置关系，轴对称图形是指_______个具有特殊形状的图形；(2)轴对称是对两个图形而言的，轴对称图形是对一个图形而言的．联系：如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么这个整体就是一个_______；反过来，如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分图形就成________．例题精讲下列图形是否是轴对称图形，如果是，请找出它的所有的对称轴。
问题（1）、判断一个图案是否是轴对称图形的关键是问题（2）、根据轴对称图形的定义，你觉得能否用对折的方法进行检验？思考：正三角形有条对称轴正四边形有条对称轴正五边形有条对称轴正六边形有条对称轴圆有条对称轴小结：一个轴对称图形的对称轴的条数不一定是一条。
苏科版本初中八年级的上第二章轴对称图形提优练习包括答案.docx
苏科版八年级上第二章《轴对称图形》提优练习（含答案）第2 章轴对称图形第1 课时轴对称与轴对称图形1.下列图形中，对称轴的数量小于 3 的是 ()2.已知各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，也称为正数 ).如图，请你探究下列正多边形的对称轴的条数，并填在表格中正多边形的边教345678n 边形(这里.n 3 且n为整对称轴的条数(1) 猜想 :正n边形有条对称轴;(2) 当n越来越大时，正多边形接近于，该图形有条对称轴.3.小明学习了轴对称知识后，忽然想起了参加数学兴趣小组时老师布置的一道题，当时小明没做出来，题目是这样的:有一组数据排列成方阵，如图.试用简便方法计算这组数据的和.小明想 :不考虑每个数据的大小，只考虑每个数据的位置，这个图形是个轴对称图形，能不能用轴对称思想来解决这个问题呢 ?小明顺着这个思路很快解决了这个题目，请你写出他的解题过程 .第 2 课时轴对称的性质(1)1.如图，把一张长方形纸片点 B 处，若 2 40ABCD 沿 EF，则 1 的度数为折叠后，点()A 落在 CD边上的点A处，点B 落在A. 115 °B. 120 °C. 130°D. 140 °2.如图，点P 关于 OA, OB 的对称点分别是P1, P2， PP12分别交OA,OB于点D, C, PP12=16cm，则PCD 的周长为cm.如图， O 为 ABC 内部一点13., OB 3 .2(1)分别画出点 O 关于直线 AB, BC 的对称点 P, Q ;(2) 请指出当ABC 的度数为多少时，PQ =7，并说明理由;(3) 请判断当ABC 的度数不是(2)中的度数时，PQ 的长度是小于7 还是大于7，并说明你的判断的理由.第 3 课时轴对称的性质(2)1.如图，点A, B 在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点 C ，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点 C 在图中共有()A. 4 个B. 6 个C. 8 个D. 10 个2.如图，在 2× 2 的正方形网格纸中，有一个以格点为顶点的ABC .请你找出网格纸中所有与ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的不角形共有个.3.如图，在由边长为 1 的正方形组成的6× 5 方格中，点A, B 都在格点上.(1) 在给定的方格中将线段AB 平移到 CD ，使得四边形ABDC 是长方形，且点 C , D 都落在格点上 .画出四边形ABDC ,并叙述线段AB 的平移过程.(2) 在方格中画出ACD 关于直线 AD 对称的AED .(3)求五边形 AEBDC 的面积.第 4 课时轴对称的性质—习题课7.如图，线段AB在直线l的一侧，请在直线l上找一点P，使PAB 的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.2.如图，在直线l 上找一点 Q ，使得 QA,QB 与直线 l 的夹角相等.画出图形，保留画图痕迹，不写画法 .3. (1) 如图① ,P 是 AOB 内一点，在 OA, OB 上分别找点 C , D ，使得PCD 的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.(2) 如图② ,P, Q 是AOB 内的两点，在 OA, OB 上分别找点 C , D ，使得以 P,Q, C , D 为顶点的四边形的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.第 5 课时设计轴对称图案1.在一次数学活动课上，小颖将一个四边形纸片依次按如图①②所示的方式对折，然后按图③中的虚线裁剪成图④样式，将纸片展开铺平，所得到的图形是()2.在 4× 4 的方格中，有五个同样大小的正方形按如图所示的方式摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有种.3.在 3× 3 的正方形网格图中，有格点三角形ABC 和格点三角形DEF关于某条直线成轴对称，请在如图①~⑥所示的网格中画出六个这样的均不相同 )，且ABCDEF和DEF.( 每种方案第 6 课时线段、角的轴对称性(1)1.ABC 中， AC 的垂直平分线分别交AC , BC于点E, D , EC = 4 ,ABC 的周长如图，在为 23，则ABD 的周长为()A. 13B. 15C. 17D. 192.如图，在ABC 中， AB 的垂直平分线分别交AB, BC 于点 D , E, AC 的垂直平分线分别交 AC , BC 于点 F ,G .若 AEG 的周长为2018，则线段 BC 的长为.如图，在ABC 中， AB 的垂直平分线EF 交 BC 于点 E ，交 AB 于点F , D 为线段 CE的3.中点，且CAD 18 , ACB 72.求证 :BE AC .第 7 课时线段、角的轴对称性(2)1.设P是ABC 内一点，满足PA PB PC ，则 P 是ABC()A.三条内角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点2.如图，在EDC ABC 的周长为中， BC24,边上的垂直平分线ABC 与四边形DEAEDC交边 BC 于点的周长之差为D，交边 AB12 ，则线段于点DEE .若的长为.3.在ABC 中， AB AC, O 为平面上一点，且OB OC .点 A 到 BC 的距离为8，点O到BC 的距离为 3.求 AO 的长.第 8 课时线段、角的轴对称性(3)1.如图，上的点ABC 的面积为6, ACC 处， P 为直线 AD=3，现将ABC上的一点，则线段沿AB 所在直线翻折，使点BP 的长不可能是()C 落在直线ADA. 3B. 4C. 5. 5D. 102.AB // CD , BP, CP分别平分ABC , DCB , AD.=8，如图，过点 P ，且与 AB 垂直若 AD 则点 P 到 BC 的距离为.3.ABC 的边 AC 的垂直平分线，过点 M 作ABC 另外两边AB, BC所在直如图， MN 为线的垂线，垂足分别为 D , E ,且 AD CE ，作射线 BM.求证 : BM平分ABC .第 9 课时线段、角的轴对称性(4)1.ABC , EAC的平分线BP, AP交于点 P ，过点 P作PM BE , PN BF，垂如图，足分别为 M , N .下列结论:① CP 平分 A C F;②ABC APC180 ;③AM CN AC ;④BAC 2 BPC .其中正确的是()A. ①②③B.①③④C. ②③④D.①③如图， AD 是ABC 的角平分线，DE , DF 分别是ABD 和 ACD 的高，连接 EF 交 AD2.,于点 O .下列结论:① DE DF ;② OA OD ;③ AD EF ;④ AE DF AF DE ;⑤AD垂直平分EF.其中一定正确的是.(填序号 )3.如图 .在 ABC 中，ABAC，边BC 的垂直平分线DE交ABC 的外角BAM的平分线于点D ,垂足为 E, DFAB ，垂足为F.求证 :BFACAF .第 10 课时 等腰三角形的轴对称性 (1)如图，在ABC 中，B55 , C 30，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 1的长1.AC2为半径画弧，两弧相交于点 M , N ，作直线 MN ，交 BC 于点 D ，连接 AD ，则 BAD的度数为 ()A. 65 °B. 60°C. 55°D. 45 °2. 如 图 ， 在ABC 中 ， D 为AB 上 一 点 ， E 为 BC 上 一 点 ， 且A C C D，则CDE 的度数为.B D, B E5 0 A3.如图，在 ACB 中，ACB90 , D , E 为斜边 AB 上的两点， 且 BD BC, AE AC ，求DCE 的度数 .第 11 课时 等腰三角形的轴对称性(1)—习题课1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 60°，则这个等腰三角形的底角的度数为()A. 30 °B. 75 °C. 15°或 30°D. 75 °或15°2.如图，在ABC 中， ACBABP 是等腰三角形，此时90 , ABCAPB 的度数为60，在边AC .所在的直线上找一点P ，使3.在ABC 中， ABAC, AB 的垂直平分线DE 与 AC 所在的直线相交所成的锐角为40°，求B 的度数 .第12 课时 等腰三角形的轴对称性(2)1.如图，在ABC 中， ABAC ,A 36 , BD , CE分别是ABC , ACB的平分线，且相交于点A. 5 个F ，则图中的等腰三角形有B. 6 个()C. 7个D. 8 个2.在 ABC 中， A 50 ，当 B 的度数为 时， ABC 为等腰三角形 .如图①，在 ABC 中， AB AC, ABC , ACB 的平分线交于点 O ，过点 O 作 EF // BC3.交 AB , AC 于点 E, F .(1)图中有几个等腰三角形 ?EF 与 BE, CF 之间有怎样的数量关系，并说明理由 .猜想(2) 如图②，若 AB AC ，其他条件不变，则图中还有等腰三角形吗?如果有，分别写出来 ;另外在 (1)中 EF 与 BE, CF 之间的数量关系还存在吗 ?(3) 如图③， 若在 ABC 中 ,ABC 的平分线 BO 与 ABC 的外角平分线交于点O ，过点 O 作 OE // BC 交 AB 于点 E 、交 AC 于点 F .这时图中还有等腰三角形吗 ? EF 与BE, CF 之间的数量关系又如何?并说明你的理由 .第 13 课时等腰三角形的轴对称性(2)—习题课1.如图，AOB120 , OP平分AOB ，且OP=2.若点M , N分别在OA,OB上，且PMN A. 1 个为等边三角形，则满足上述条件的B. 2 个PMNC. 3有 (个)D. 3个以上2.ABC 中，AE CD , AD, BE相交于点P, BQ AD于点Q ,如图，在等边三角形则线段BP, PQ 的数量关系为.3. 如图，C为线段AB上一点， ACM , CBN 是等边三角形. AN , BM 相交于点O, AN ,CM 交于点 P ,BM ,CN 交于点 Q ，连接 PQ .(1)求证 : AN MB ;(2)求 AOB 的度数;(3)求证 : PQ // AB .第 14 课时等腰三角形的轴对称性(3)1.如图，在ABC 中，BE AC ,CF AB ,垂足分别为E, F .若 M 是 BC 的中点，则图中等腰三角形有 ()A. 1 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个2.如图，在四边形ABCD 中，BCD BAD 90 , AC , BD 相交于点 E,G , H 分别是AC, BD 的中点如果 BEC80，那么GHE 的度数为..如图，在 Rt ABC 中， ACB 90 ，点 D 在边 AC 上不与点A,C 重合),DE AB 于3.(点 E ，连接BD, F 为 BD 的中点.试猜想 A 与CEF 的关系并证明.第 2 章 轴对称图形第 1 课时 轴对称与轴对称图形1.D2. 3 4 5 6 7 8(1)n(2) 圆无数3. 从方阵的数据看出， 正方形的一条对角线上的数据都是10.若把这条对角线所在的直线作 为对称轴，把这个方阵对折，对称轴两侧重合的小正方形内的数据之和都是 10，相加后如图所示，这样方阵中的所有数据之和为10 10 100第 2 课时 轴对称的性质 (1)1.A2. 163. (1) 如图，过点 O 画 OH AB ，垂足为 H ，在垂线段 OH 的延长线上取一点P ，使得PHOH P ，此时点 P 就是点 O 关于直线 AB 的对称点，同理画出点Q .(2) 当 ABC90 时， PQ 7理由：如图，连接 BP 、 BQ ∵点 O 、 P 关于直线 AB 对称 ∴直线 AB 垂直平分 OP∴ BHO BHP 90 ， PH OH∵ BH BH∴ BHO BHP∴ OBPB 3 1， OBHPBH2同理 OBQB 3 1， OBCQBC2 ∴ PBQB 313172 2若 PQ 7 ，则 PB QB PQ ，此时 P 、 B 、 Q 三点共线∴ PBQ 180∴ABCOBH OBC1PBQ 902(3) 当 ABC90 时， PQ 7理由：∵ABC90∴ P 、 B 、 Q 三点不在同一直线上，此时构成PBQ ∴ PB BQ PQ .由 (2) ，得 PB BQ 7∴ PQ7第 3 课时 轴对称的性质 (2)1.D2. 53.(1) 如图，将线段AB 先向右平移 1 个单位长，再向上平移2 个单位长度，得线段CD (平移过程不唯一 ).(2) 如图，画点 C 关于直线 AD 的对称点 E ，连接 AE 、 DE ，则 AED 即为所求 .( 3) S 五边形 AEBDC S ACD S 梯形 AEBD1 52 1(3 5)2 1322第 4 课时 轴对称的性质—习题课1. 由干线段 AB 的长度是固定的，要使PAB 的周长最短，只要 PA PB 最短即可 .如图，过点 A 作它关于直线 l 的对称点 A ' ，连接 A' B 交直线 l 于点 P ，连接 PA 、 PB ，此时PAB 就是周长最短的三角形，∴点P 即为所求 .2.如图，过点A 作它关干直线 l 的对称点 A' ，连接 A 'B 交直线 l 于点 Q .连接 QA 、 QB ，此时AQHBQD ，∴点 Q 即为所求 .3. (1) 如图①，过点P分别作关于射线OA 、 OB的对称点 P1、 P2，连接 PP12，分别交OA、OB 于点 C 、D ，连接 PC 、 PD 、CD ，此时PCD 的周长最短，∴点 C 、 D 和 PCD即为所求 .(2) 如图② .过点P、Q分别作射线OA、OB的对称点P、Q，连接PQ，分别交OA、11 1 1OB 于点 C 、D ，连接 PC 、PQ 、QD 、CD ，此时四边形PCDQ 的周长最短，∴点 C 、D 和四边形 PCDQ 即为所求.第 5 课时设计轴对称图案1.A2. 133.要使DEF 和ABC 于某条直线成轴对称，关键是确定适当的对称轴.再根据轴对称的性质画出符合条件的图案，可以以 3 3 的正方形网格图的对称轴为对称轴画出所求的DEF，有四个不同位置的三角形;也可以以ABC的边AC、 BC的中点连线所在的直线为对称轴画出所求的DEF 的直线作为对称轴画出所求的，有一个三角形 ; 还可以把过ABC 的顶点DEF ，也有一个三角形.如图① ~⑥中的C 与边DEFAB 平行即为所求第 6 课时线段、角的轴对称性(1)1.B2. 20183.连接 AE ，∵EF 是 AB 的垂直平分线∴ AE BE∵在ADC 中.，CAD ∴ADC 180CAD 18 ，ACBACB9072即AD EC∵D 为线段 CE 的中点∴ ED CD∴AD 垂直平分 EC∴AE AC∴BE AC第 7 课时线段、角的轴对称性(2)1.D2. 63.∵AB AC∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上∵OB OC∴点 O 也在线段 BC 的垂直平分线上∴ AO 所在的直线即为线段BC 的垂直平分线.设直线 AO 与 BC 交于点 M .由题意，得 AM8, OM3如图① .当点A、O在BC的同侧时，AO AM OM83 5 ;如图②，当点 A 、 O 在 BC 的异侧时， AO AM OM8311第 8 课时线段、角的轴对称性(3)1.A2. 43.连接MA、MC∵点 M 在 AC 的垂直平分线上∴MA MC∵MD AB , ME BC∴ADM CEM 90在Rt MAD 和 Rt MCE 中MA MCAD CE∴Rt MAD Rt MCE∴点 M 在ABC的平分线上，即第 9 课时BM 平分ABC .线段、角的轴对称性(4)1.B2. ①③④⑤3.如图 .在ABC 中，AB AC，边的垂直平分线DE交ABC 的外角BAM的平分线于点 D ,垂足为 E, DF AB ，垂足为F.求证 :BF AC AF.3.过点D 作 DN MC ，垂足为N，连接DB 、 DC.∵ DN MC , DF AB∴AND AFD 90∵AD 平分 BAM∴NAD FAD在DNA 和 DNA 中，AND AFDNAD FADAD AD∴DNA DFA∴AN AF , DN DF∵ DE 是边 BC 的垂直平分线∴ DB DC∵ DN MC , DF AB∴DNC DFB90在 Rt DFB和 Rt DNC 中DB DCDF DN∴Rt DFB Rt DNC∴BF CN∵ CN ∴ BF ACACANAFAC AF第 10 课时等腰三角形的轴对称性(1)1.A2. 52.5°3.设BDC x,AEC y∵BD BC∴BDC BCD x∵BDC 的内角和为180°∴ B 180 2x同理可求 A180 2 y∵在ACB 中，ACB90∴A B90即1802x180 2 y90整理，得 x y135∵DEC 的内角和为180°第 11 课时等腰三角形的轴对称性(1) —习题课1.D 2. 15°或 30°或 75°或 120°3.分三种情况讨论:①当顶角BAC 为锐角时，如图①.∵DE 垂直平分 AB∴ADE 90∵AED 40∴在 Rt ADE 中， A 90 4050∵AB AC ∴ B C 1(180 50 )65 2②当顶角BAC 为直角时， BA AC ，此时 DE // AC ，不合题意，舍去.③当顶角BAC 为钝角时，如图②.∵DE 垂直平分 AB∴ ADE 90∵AED 40∴在 Rt ADE 中，BAE50∵BAE B C∴B C50∵ AB AC∴B C 150 25 2综上所述， B 的度数为 65或 25第 12 课时等腰三角形的轴对称性(2)1.D2. 50 °或 80°或 65°2.在ABC 中， A 50 ，当 B 的度数为时，ABC 为等腰三角形.3. (1) 图中有 5 个等腰三角形：ABC 、AEF 、OBC 、EBO 、 FOCEF 与 BE 、 CF 之间的数量关系是EF BE CF理由：∵ BO 平分 ABC∴ EBO OBC∵EF // BC∴EOB ∴EBO OBC EOB∴BE OE同理可证 CF OF∴EF OE OF BE CF(2) 若AB AC ，则图中仍旧存在 2 个等腰三角形：EBO 和FOC ， EF 与 BE 、CF之间的数量关系是EF BE (3) 图中存在等腰三角形CFEBO仍旧存在 .和FOC， EF与 BE、 CF之间的数量关系是E F B E C F理由：∵ BO 平分ABC ∴EBO OBC∵EF // BC∴EOB ∴EBO OBC EOB∴BE OE同理可证 CF ∴ EF OEOFOF BE CF第 13 课时等腰三角形的轴对称性(2)—习题课1.D2. BP2PQ3.(1) 如图，∵ACM , CBN都是等边三角形∴6 1 60 , AC CM ,CN BC∵ACB 180∴ 3 60 , ACN MCB 120在ACN 和 MCB 中AC MCACN MCBCN CB∴ACN MCB∴AN MB(2) 如图，由 (1) ，知ACN MCB∴54∵OQN与CQB 的内角和均为180°，且 OQNCQB ∴NOQ 1 60∵AOB NOQ180∴AOB 120(3) 如图，∵ 1 60 ， 3 60∴31在PCN 和 QCB 中3 1CN CB5 4∴ PCNQCB∴ PC QC又 3 60∴ PCQ 为等边三角形∴ 2 60 ∴21∴ PQ // AB第 14 课时等腰三角形的轴对称性 (3)1.D2. 10°3. ACEF证明：EBF x, CBF y∵在 Rt ABC 中， ACB 90∴ A 180 90 x y 90 x y∵ACB 90 ， F 为 BD 的中点∴ CF1BDBF2∴FCB FBC y∴DFCFCBFBC2 y∵ DE AB ， F 为 BD 的中点∴ EF1BD BF2∴ FEB FBE x∴ DFE FEB FBE 2x ∴EFCDFEDFC2x 2 y又∵ CF1BD ， EF1BD22∴ CF EF∴ CEFECF∵ CEF 的内角和为 180° ∴CEF 1(180EFC )1(180 2x 2y) 90 x y2 2∴ACEF。
苏科版八年级数学上册 轴对称图形§2.1~2.5
§2.1轴对称与轴对称图形【知识点总结】一、轴对称的概念把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
例1：如图，观察下面的图形，它们有什么共同特点？二、轴对称图形把一个图形沿着有一条直线折叠，如果直线两旁部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
例2：下列表情图中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．三、轴对称与轴对称图形的区别与联系区别：轴对称是两个图形之间的对称关系，而轴对称图形是一个图形自身的对称性.联系：（1）在这两个概念中，都有一条直线，都是沿着这条直线折叠后能够重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形；如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么两部分图形就成轴对称.如图就是一个轴对称图形，也可以看成是直线AB两侧的图形关于直线AB成轴对称.例3：如图，在长方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，适用折叠的方法判断.（1）图中哪几对三角形成轴对称？画出它们的对称轴.（2）图中哪几对三角形是轴对称图形？画出它们的对称轴.【典例展示厅】题型一识别轴对称图形例1:下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．题型二确定对称轴的条数例2：如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（）A.1条B.2条C.4条D.8条题型三生活中的对称例3:小亮在镜子中看到身后墙上的时钟如图所示，你认为实际时间最接近8：00的是（）A．B．C．D．题型四 实践操作题例4：把一张正方形纸片如图①、②对折两次后，再如图伞挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是（)A ．B ．C ．D ．题型五 探索规律题例5：如图，认真观察下列图形，从轴对称的角度去分析这些图形所蕴含的内在规律，并在空白处设计一个恰当的图形题型六 开放型问题例6：如图①是由三个小正方形组成的体验.请你在图中②～⑤上分别补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.题型七 探究性问题例7：数的运算中有一些又去的对称式，如12×231=132×21，请你仿照这个等式填空： ×462= × 【误区警示】误点1 不能正确识别轴对称图形，导致错误例1：如图，下列四个汽车标志图案中，是轴对称图案的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个误点2 不能正确找出轴对称图形的对称轴，导致出现错误 例2：下列美丽的图案中，对称轴最多的是（ ）§2.2轴对称的性质 【知识点梳理】一、线段垂直平分线的概念垂直并平分一条线段的直线，叫作这条直线的垂直平分线. 例1：如图，直线MN 垂直平分线段AB ，垂足是O.如果AB=6cm ，那么AO 长为多少？∠MON 的度数为多少？例4图① ② ③ ④ ⑤A B CD 例1图二、轴对称的性质成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 例2:如图，两片树叶成轴对称，请你画出它们的对称轴.三、利用轴对称的性质作轴对称图形画一个图形关于一条直线对称的图形，关键是确定某些点关于这条直线的对称轴.往往按照下面的步骤.1.画轴对称图形，首先应确定对称轴，然后找出对称点.2.画已知线段关于某条直线的对称线段，或画已知三角形（四边形）关于某条直线对称的三角形（四边形），关键在于画出已知线段的各端点或已知三角形（四边形）的各顶点关于这条直线的对称点.例3：如图①是四边形ABCD 和直线l ，画出四边形ABCD 关于直线l 对称的四边形A ′B ′C ′D ′【典例展示厅】题型一 求轴对称图形中的角度例1：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在边AC 上的点E 上，若∠A=22°，则∠BDC 的度数为（ ）A.44°B.60°C.67°D.77°题型二 根据轴对称的性质解题例2：如图，正方形纸片ABCD 的边长为a8，将其沿EF 折叠，则图中①、②、③、④四个三角形的周长之和为题型三 画出轴对称图形的对称轴例3：如图是两个轴对称图形，画出它们的对称轴。
苏科版八年级上册数学教学课件 第2章 轴对称图形 轴对称与轴对称图形
课程讲授
1 轴对称
定义：像这样，把一个图形沿一条直线折叠，如果
它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 这条直线对称，也称这两个图形成轴对称。
课程讲授
1 轴对称
问题2：下面的图形沿虚线对折后，左边图形中的几个 点与右边图形的哪几个顶点重合？
A
A'
C C'
B
B'
课程讲授
1 轴对称
A
B
A'
C C' B'
课程讲授
2 轴对称图形
定义：像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线
折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫 做轴对称图形。
课程讲授
2 轴对称图形
练一练：汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构 体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.在下列四个 汉字中，不是轴对称图形的是（ D ）
随堂练习
1.现在低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行 新方式.下列共享单车图标中是轴对称图形的是（ A ）
随堂练习
2.下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称 的是（ B ）
随堂练习
3.画出下面轴对称图形的对称轴.
课堂小结
轴对称
把一个图形沿一条直线折叠，如果它能 够与另一个图形重合，那么就说这两个 图形关于这条直线对称，也称这两个图 形成轴对称。
轴对称 轴 对 称 图 形
一个平面图形沿一条直线折叠，直线两 旁的部分能够互相重合，这个图形就叫 做轴对称图形。
第2章 轴对称图形
2.1 轴对称与轴对称图形
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.轴对称 2.轴对称图形
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初中数学试卷
马鸣风萧萧
预学目标
1.探索并掌握线段的垂直平分线的性质；
2 .了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合；
3、在“操作--探究---归纳---说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力。
4、经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；
学习重难点:
1.探索并掌握线段的垂直平分线的性质
2.线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合
预习阅读课本P51-53)
1．线段的轴对称性
线段_______（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴有_______条，是_______ ___________________________________________________________________________．2．垂直平分线的性质和判定
(1)如图1，直线MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P在直线MN上，
想一想，PA,PB相等吗？为什么？
根据垂直平分线的性质填空：
∵MN⊥AB，AC＝BC，
∴________（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
(2)活动:用圆规找点
问题1：已知线段AB，你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？
问题2：观察点Q、M，与直线L有_______________________关系.符合上述条件的点你
能找出______________个。
它们在__________________
归纳：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
根据垂直平分线的判定填空：
∵QA=QB，
∴(到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
)
作图：不写作法，用尺规画线段AB的垂直平分线MN
(作法在P53的表格中)
练习：1、如图2，已知△ABC，先用尺规作出线段AB、AC的垂直平分线m、n，直线m、n相交于点O，再填空：
∵直线m垂直平分线段AB，
∴OA＝OB( )．
∵直线n垂直平分线段AC，
∴_______＝_______（）．
∴_______＝_______＝_______．
∵OB＝OC(即点O到线段BC两端的距离相等)，
∴点O在线段_______的垂直平分线上( )．
例题精讲
例1 如图①，点A、B表示安达公路l边上两个新建的居民小区，某镇需在公路边增加一个公共汽车站，这个公共汽车站建在什么位置时，才能使两个小区到车站的路程一样远？找出汽车站的位置P，并说明理由．
例2 如图，AB＝AC，DB＝DC，F在AD的延长线上，试说明BF＝CF．
提示：说明含有线段BF、CF的两个三角形全等或F在BC的垂直平分
线上．
课堂练习
1．线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________________________________．2．线段的垂直平分线是_____________________________的点的集合．
3．如果MA＝MB，即点________到线段_______两端的距离相等，根据定理：_______ ____________________________，可得点M在线段AB的_______．
4．到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形( )
A．三条中线的交点B．三边的垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条角平分线的交点
5．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分
线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
6．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，△ABC的周长为18厘米，△ABE的周长为10厘米，求BD的长．
7．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点E，边AC的垂直平分线交BC于点D，若BC＝8，求△ADE的周长．
巩固练习
1．在△ABC中，AB＝AC，BC＝5 cm，作AB的中垂线交另一腰AC于D，连接BD，如
果△BCD的周长是17 cm，则腰长为( )
A．12 cm B．6 cm C．7 cm D．5 cm
2．如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、BA于点
3．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点，在这个5×5的方格纸中，找出格点C，使AC＝AB，则满足条件的格点C有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．若PA＝PB，则点P在线段AB的_______上．
5．已知线段AB垂直平分线上有一点P，若PA＝3 cm，则PB＝____cm．
6．如图，直线MN是四边形ABCD的对称轴，如果四边形ABCD的周长
是18 cm，则AB＋CD＝__________ cm．
7．在四边形ABCD中，如果AB＝BC，AD＝DC，那么四边形ABCD
的对角线AC与BD的关系是__________．
8．如图，三角形纸片ABC，AB＝10 cm，BC＝7 cm，AC＝6 cm，沿
过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为
BD，则△AED的周长为_______cm；连接CE，则线段BD、CE的关系是
__________________________________．
9．如图，分别作出线段AB与线段AC的中垂线．
10．如图，三家公司A、B、C准备共建一个污水处理站M，使得该站到B、C两公司的距离相等，且使A公司到污水处理站M的管线最短，试确定污水处理站M的位置．11．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
(1)在直线l上求一点P，使PA＝PB：
(2)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．。