第七章一般图论中的程序设计
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2024版python程序设计基础教程(微课版)教案
字典元素的访问与修改
元组（Tuple）和字典（Dictionary）
01
通过键访问字典元素
02
修改字典元素的值
03
字典的常用操作
元组（Tuple）和字典（Dictionary）
添加键值对
删除键值对
查找键值对
遍历字典
元组（Tuple）和字典（Dictionary）
直接使用键赋值
get() 方法或 in 运算符
文件路径处理
通过文件扩展名或内容判断文件类型，例如使用`imghdr`模块判断图像类型。
文件类型判断
文件路径处理与文件类型判断
使用`try...except`语句块捕获异常，并在`except`子句中处理异常。
异常捕获
了解常见的异常类型，如`FileNotFoundError`、`TypeError`、`ValueError`等，以便更好地处理异常。
微课作为一种新型教学资源，能够满足学生随时随地学习的需求，提高教学效果。
弥补传统课堂不足
传统课堂时间有限，微课可以针对重点、难点进行深入讲解，帮助学生更好地掌握知识。
提升学生自主学习能力
微课以学生自主学习为主，能够培养学生的自主学习能力，提高学习效果。
函数与模块
讲解Python中函数的定义、调用、参数传递等，以及模块的概念、导入和使用方法。
01
02
03
04
自定义模块开发流程规范
包（Package）概念及其组织结构
包（Package）概念
包是一个包含多个模块的目录，用于组织和管理相关代码。
包可以包含子包，形成层次化的组织结构。
组织结构
包内可以包含多个模块文件（.py）。
包目录应包含一个`__init__.py`文件，用于标识该目录为包。
元组（Tuple）和字典（Dictionary）
01
通过键访问字典元素
02
修改字典元素的值
03
字典的常用操作
元组（Tuple）和字典（Dictionary）
添加键值对
删除键值对
查找键值对
遍历字典
元组（Tuple）和字典（Dictionary）
直接使用键赋值
get() 方法或 in 运算符
文件路径处理
通过文件扩展名或内容判断文件类型，例如使用`imghdr`模块判断图像类型。
文件类型判断
文件路径处理与文件类型判断
使用`try...except`语句块捕获异常，并在`except`子句中处理异常。
异常捕获
了解常见的异常类型，如`FileNotFoundError`、`TypeError`、`ValueError`等，以便更好地处理异常。
微课作为一种新型教学资源，能够满足学生随时随地学习的需求，提高教学效果。
弥补传统课堂不足
传统课堂时间有限，微课可以针对重点、难点进行深入讲解，帮助学生更好地掌握知识。
提升学生自主学习能力
微课以学生自主学习为主，能够培养学生的自主学习能力，提高学习效果。
函数与模块
讲解Python中函数的定义、调用、参数传递等，以及模块的概念、导入和使用方法。
01
02
03
04
自定义模块开发流程规范
包（Package）概念及其组织结构
包（Package）概念
包是一个包含多个模块的目录，用于组织和管理相关代码。
包可以包含子包，形成层次化的组织结构。
组织结构
包内可以包含多个模块文件（.py）。
包目录应包含一个`__init__.py`文件，用于标识该目录为包。
程序的简单算法设计
贪心算法
分治算法是将一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
分治算法的适用场景包括但不限于归并排序、快速排序、堆排序等。
分治算法
动态规划
动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。
优化算法设计
复杂度分析的重要性
算法应用实例
04
排序算法
冒泡排序：通过重复地遍历待排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来，遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
Dijkstra算法
用于求解最短路径问题的图论算法。该算法的基本思想是从起始节点出发，按照距离的远近逐步向外扩展，直到扩展到目标节点为止。
空间复杂度
1
2
3
通过分析算法的时间复杂度和空间复杂度，可以评估算法在处理不同规模输入时的性能表现。
评估算法性能
通过比较不同算法的时间复杂度和空间复杂度，可以评估算法的优劣，选择适合特定问题的最优算法。
比较不同算法
了解算法的时间复杂度和空间复杂度，可以帮助我们发现算法中的瓶颈，进而优化算法设计，提高运行效率。
时间复杂度优化
优化算法所需存储空间，通过减少数据结构的大小或使用更有效的数据结构来降低空间复杂度。
空间复杂度优化
将算法拆分成多个独立的任务，并利用多核处理器或多线程环境并行执行，以提高处理速度。
并行化与并发
将问题分解为子问题，并存储子问题的解以避免重复计算，提高算法效率。
动态规划
算法优化策略
通过数学公式推导简化算法，减少计算量，提高效率。
《数据结构C语言》课件
堆排序
总结词
比较型时间复杂度最快的排序算法之一
详细描述
堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有 效改进。堆排序的基本思想是：将一个无序数组构建 成一个大顶堆（或小顶堆），然后将堆顶元素（最大 值或最小值）与堆尾元素互换，之后将剩余元素重新 调整为大顶堆（或小顶堆），以此类推，直到整个数 组有序。堆排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，最坏 情况下时间复杂度也为O(nlogn)，其空间复杂度为 O(1)。
详细描述
数据结构是计算机科学中一个重要的概念，它涉及到如何有效地组织和存储数据 ，以便能够高效地进行数据的检索、插入、删除和更新等操作。数据结构不仅决 定了数据在计算机中的表示方式，还影响了程序设计的效率。
数据结构的分类
总结词
数据结构可以根据不同的分类标准进行划分，如数据的逻辑结构和物理结构、静态和动态数据结构等 。
图论的应用
图论是研究图的结构和性质的一门学科，图论中的图是由节点和边组成的 数据结构。
图论在计算机科学中有着广泛的应用，例如社交网络分析、搜索引擎、路 由协议等。
在图论中，常见的算法包括最短路径算法、最小生成树算法、拓扑排序算 法等。
哈希表的应用
哈希表是一种基于哈希函数的数据结构，它能 够通过哈希函数将键映射到桶中，从而快速地 查找和插入数据。
详细描述
根据数据的逻辑结构和物理结构，数据结构可以分为线性结构和非线性结构。线性结构如数组、链表 、栈和队列等，非线性结构如树、图和集合等。此外，数据结构还可以根据是否在运行时动态分配内 存分为静态数据结构和动态数据结构。
数据结构的基本操作
总结词
数据结构的基本操作包括创建和销毁数据结构、插入和删除元素、查找和修改元素等。
数据结构 第七章 章节重点概要三
活动a3 e (3)=ve(2)=3 l (3)=vl (4)-2=13
活动a4 e (4)=ve(2)=3 l (4)=vl (5)-1=6
活动a5 e (5)=ve(3)=4 l (5)=vl (5)-3=4
活动a6 e (6)=ve(3)=4 l (6)=vl (6)-5=14
活动a7 e (7)=ve(4)=5 l (7)=vl (7)-6=15
ptr=G->adjlist[j].firstedge;
while (ptr!=null)
{ k=ptr->adjvex;
G->adjlist[k].count--;/*当前输出顶点邻接点的入度减1*/
if(G->adjlist[k].count= =0)/*新的入度为0的顶点进栈*/
{G->adjlist[k].count =top;
（3）从汇点vn出发，令vl[n-1]=ve[n-1],按逆拓扑有序求其余各顶点的最迟发生时间vl[i](n-2≥i≥2)；
（4）根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s)和最迟开始时间1（s）。若某条弧满足条件e(s)=l(s),则为关键活动。
算法7.8求出了各事件的最早发生时间，Stack为栈；引用的函数FindInDegree(G, indegree)用来求图G中各顶点的入度，并将所求的入度存放于一维数组indegree中。
如果用AOE网来表示一项工程，那么，仅仅考虑各个子工程之间的优先关系还不够，更多关心的是：整个工程完成的最短时间是多少？哪些活动的延期将会影响整个工程的进度？而加速这些活动是否会提高整个工程的效率？
因此，通常在AOE网中列出完成预定工程计划所需要进行的活动，每个活动计划完成的时间，要发生哪些事件以及这些事件与活动之间的关系，从而可以确定该项工程是否可行，估算工程完成的时间以及确定哪些活动是影响工程进度的关键。
活动a4 e (4)=ve(2)=3 l (4)=vl (5)-1=6
活动a5 e (5)=ve(3)=4 l (5)=vl (5)-3=4
活动a6 e (6)=ve(3)=4 l (6)=vl (6)-5=14
活动a7 e (7)=ve(4)=5 l (7)=vl (7)-6=15
ptr=G->adjlist[j].firstedge;
while (ptr!=null)
{ k=ptr->adjvex;
G->adjlist[k].count--;/*当前输出顶点邻接点的入度减1*/
if(G->adjlist[k].count= =0)/*新的入度为0的顶点进栈*/
{G->adjlist[k].count =top;
（3）从汇点vn出发，令vl[n-1]=ve[n-1],按逆拓扑有序求其余各顶点的最迟发生时间vl[i](n-2≥i≥2)；
（4）根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s)和最迟开始时间1（s）。若某条弧满足条件e(s)=l(s),则为关键活动。
算法7.8求出了各事件的最早发生时间，Stack为栈；引用的函数FindInDegree(G, indegree)用来求图G中各顶点的入度，并将所求的入度存放于一维数组indegree中。
如果用AOE网来表示一项工程，那么，仅仅考虑各个子工程之间的优先关系还不够，更多关心的是：整个工程完成的最短时间是多少？哪些活动的延期将会影响整个工程的进度？而加速这些活动是否会提高整个工程的效率？
因此，通常在AOE网中列出完成预定工程计划所需要进行的活动，每个活动计划完成的时间，要发生哪些事件以及这些事件与活动之间的关系，从而可以确定该项工程是否可行，估算工程完成的时间以及确定哪些活动是影响工程进度的关键。
数据结构授课教案-第7章
第二节图的存储结构
邻接矩阵、邻接表、十字链表和邻接多重表。
第三节图的遍历
深度优先搜索的定义及实现和广度优先搜索的定义及实现。
第四节图的连通性问题
无向图的连通分量和生成树，最小生成树的定义以及构造最小生成树的算法（Prim算法和Kruskal算法）。
第五节有向无环图及其应用
有向无环图的定义；拓扑排序、AOV-网的定义和拓扑排序的算法；AOE-网的定义、关键路径的定义和求法。
有向图的出度/入度：在有向图的邻接表中，第i个边链表上顶点的个数是顶点vi的出度。在有向图的逆邻接表中，第i个边链表上顶点的个数是顶点vi的入度。
３（有向图的）十字链表(Orthogonal List)
４（无向图的）邻接多重链表(AdjacencyMulti_list)
7.３图的遍历
图的遍历(Traversing Graph)从图中的某个顶点出发，按某种方法对图中的所有顶点访问且仅访问一次。
课程名称：
数据结构（计科）
课程代码：
0301306
学分：
4.5
课程类别：
必修
开课单位:
信息科学与技术学院
授课班级：
授课教师：
杨春花
山东轻工业学院教务处制
授课时间
年月日星期第节
年月日星期第节
年月日星期第节
授课内容概要
第七章图
第一节图的定义和术语
图的定义；有向图和无向图、完全图、顶点的度、路径、连通分量、生成树等基本术语。
弧：若<x，y>∈VR，则<x，y>表示从顶点x到顶点y的一条弧（arc），并称x为弧尾（tail）或起始点(Initial node)，称y为弧头（head）或终端点(Terminal node)。此时的图称为有向图(Digraph)。
邻接矩阵、邻接表、十字链表和邻接多重表。
第三节图的遍历
深度优先搜索的定义及实现和广度优先搜索的定义及实现。
第四节图的连通性问题
无向图的连通分量和生成树，最小生成树的定义以及构造最小生成树的算法（Prim算法和Kruskal算法）。
第五节有向无环图及其应用
有向无环图的定义；拓扑排序、AOV-网的定义和拓扑排序的算法；AOE-网的定义、关键路径的定义和求法。
有向图的出度/入度：在有向图的邻接表中，第i个边链表上顶点的个数是顶点vi的出度。在有向图的逆邻接表中，第i个边链表上顶点的个数是顶点vi的入度。
３（有向图的）十字链表(Orthogonal List)
４（无向图的）邻接多重链表(AdjacencyMulti_list)
7.３图的遍历
图的遍历(Traversing Graph)从图中的某个顶点出发，按某种方法对图中的所有顶点访问且仅访问一次。
课程名称：
数据结构（计科）
课程代码：
0301306
学分：
4.5
课程类别：
必修
开课单位:
信息科学与技术学院
授课班级：
授课教师：
杨春花
山东轻工业学院教务处制
授课时间
年月日星期第节
年月日星期第节
年月日星期第节
授课内容概要
第七章图
第一节图的定义和术语
图的定义；有向图和无向图、完全图、顶点的度、路径、连通分量、生成树等基本术语。
弧：若<x，y>∈VR，则<x，y>表示从顶点x到顶点y的一条弧（arc），并称x为弧尾（tail）或起始点(Initial node)，称y为弧头（head）或终端点(Terminal node)。此时的图称为有向图(Digraph)。
数据结构第7章图3
从顶点0出发的深度优先遍历 序列。
1
1
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
1
0
深度优先遍历序列：
1
1
0
0
1
1
0
0, 1, 3, 4, 2, 5, 6
1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0
例5：已知图的邻接表如下，求从顶点0出发的深度优 先遍历序列。
for (v = 1; v <= G.vexnum; ++v)
visited[v] = FALSE; // 访问标志数组初始化
for (v = 1; v <= G.vexnum; ++v)
if(!visited[v]) DFS(G, v, Visit);
}
深 度 优 先 遍 历
void DFS (Graph G, int v, Status (*Visit)(int v)) {
2.广度优先搜索
广度优先遍历类似于树的按层次遍历。
采用的搜索方法的特点是尽可能先对横向进行搜 索，故称其为广度优先搜索(Breadth-FirstSearch)。 相应的遍历就称为广度优先遍历。
1. 深度优先搜索 DFS
基本思想：
选择图中某个(强)连通分量中某个顶点v出发： ⑴访问顶点 v，并将其访问标记置为访问过，即
连通分量： 非连通图的每一个连通部分称为连通分量。
A
BA
CD E
C
FGH
F
B
GH
I
K
I JK
程序员的数学4：图论入门
内容摘要
这一章通过分析图的连通性，让读者理解图中的信息流动和路径问题。 第四章介绍了图的遍历算法，包括深度优先遍历和广度优先遍历。这两种算法是常用的图遍历算 法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何遍历一个图并获取所需信息。 第五章介绍了最小生成树算法，包括Prim算法和Kruskal算法。这两种算法是最常用的最小生成 树算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何找到一个图中连接所有节点的最小代价的树。 第六章介绍了拓扑排序算法，包括Kahn算法和DFS算法。拓扑排序是解决有向无环图（DAG）上 的一种排序算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何对一个有向无环图进行拓扑排序。 《程序员的数学4：图论入门》这本书是一本非常适合程序员阅读的数学书籍，它介绍了图论的 基本概念和应用，并提供了很多实例和练习题帮助读者理解和应用所学知识。这本书不仅可以提 高程序员的数学素养，还可以帮助程序员更好地理解和应用图论来解决实际问题。
精彩摘录
精彩摘录
《程序员的数学4：图论入门》是一本面向程序员群体的数学入门指南，其作 者罗博·福布斯将带大家探索图论的基础概念和算法，从而更好地理解和应用编 程技术。本书将选取一些精彩的摘录，供大家欣赏。
精彩摘录
“图论是一个研究图形和结构的学科，其中节点和边分别表示对象和它们之 间的关系。”
精彩摘录
这是本书最基本的概念之一，通过节点和边这两个概念，我们可以描述各种 复杂的结构。在编程中，我们通常会使用节点和边来表示数据结构，例如树、图 等。
精彩摘录
“一个图G=(V,E)由一组节点V和一组边E组成。”
精彩摘录
这个定义简洁明了，很好地概括了图论的基本构成要素。在许多应用场景中， 节点可以表示人、物体或其他实体，而边则表示这些实体之间的关系。
图论中几个典型问题的求解
图论中几个典型问题的求解
具有n个顶点的无向连通图是树的充分必要条 件是它有n-1条边．连通图G的子图T，如果它的 顶点集与G的顶点集相同，且T为树，则称T是图 G的生成树，又称支撑树。如果图的边有权（对 应于边的实数），则生成树上各边权的总和称为 生成树的权，生成树并不唯一，权达到最小的生 成树称为最小生成树(Minimal Spanning Tree， 简称MST)，最小生成树不一定唯一．
end end end end D,R %输出最短路矩阵和最短路的路径矩阵。
图论中几个典型问题的求解
以上程序是通用程序，只需输入初始距离矩 阵，就能输出最短路矩阵以及最短路的路径矩阵， 将程序以文件名floyd.m存盘。
例1 以2007年研究生数学建模竞赛C题为例， 已知16个邮政支局的初始距离矩阵，求任意两个 节点之间的最短路。
§2 最短路问题
图论中几个典型问题的求解
最短路问题是图论应用的基础，很多实际问 题，如线路的布设、运输规划、运输网络最小费 用流等问题，都可以通过建立最短路模型来求解。 有些有深度的图与网络优化问题，如旅行售货商、 中国邮递员等问题，需要在首先求出任意两点之 间最短路的基础上解决。
一、最短路的概念
1．算法原理 设A=[aij]m×n是图的权矩阵（也称带权邻接矩 阵），其中aij是图上连接顶点i和j的边的权，如 果两顶点之间没有直接相连的边（即两顶点不相 邻），则aij=∞。
图论中几个典型问题的求解
令矩阵D(0)=A，作为迭代的初始矩阵，从它出 发按照一定规则求D(1)，又由D(1)按照类似的规则 求D(2)，依此类推进行迭代直至求出D(n)，设矩阵 D(m)的元素为dij(m)，迭代规则为：
输入数据中的inf表示无穷大（两个顶点之间 没有边直接相连）。
具有n个顶点的无向连通图是树的充分必要条 件是它有n-1条边．连通图G的子图T，如果它的 顶点集与G的顶点集相同，且T为树，则称T是图 G的生成树，又称支撑树。如果图的边有权（对 应于边的实数），则生成树上各边权的总和称为 生成树的权，生成树并不唯一，权达到最小的生 成树称为最小生成树(Minimal Spanning Tree， 简称MST)，最小生成树不一定唯一．
end end end end D,R %输出最短路矩阵和最短路的路径矩阵。
图论中几个典型问题的求解
以上程序是通用程序，只需输入初始距离矩 阵，就能输出最短路矩阵以及最短路的路径矩阵， 将程序以文件名floyd.m存盘。
例1 以2007年研究生数学建模竞赛C题为例， 已知16个邮政支局的初始距离矩阵，求任意两个 节点之间的最短路。
§2 最短路问题
图论中几个典型问题的求解
最短路问题是图论应用的基础，很多实际问 题，如线路的布设、运输规划、运输网络最小费 用流等问题，都可以通过建立最短路模型来求解。 有些有深度的图与网络优化问题，如旅行售货商、 中国邮递员等问题，需要在首先求出任意两点之 间最短路的基础上解决。
一、最短路的概念
1．算法原理 设A=[aij]m×n是图的权矩阵（也称带权邻接矩 阵），其中aij是图上连接顶点i和j的边的权，如 果两顶点之间没有直接相连的边（即两顶点不相 邻），则aij=∞。
图论中几个典型问题的求解
令矩阵D(0)=A，作为迭代的初始矩阵，从它出 发按照一定规则求D(1)，又由D(1)按照类似的规则 求D(2)，依此类推进行迭代直至求出D(n)，设矩阵 D(m)的元素为dij(m)，迭代规则为：
输入数据中的inf表示无穷大（两个顶点之间 没有边直接相连）。
图论课件、子图的相关概念
判定方法：VF算法详解
初始化：为两个图的顶点分配初始颜色，并根据颜色对顶点进行排序。 搜索：从两个图中选择未匹配的顶点作为当前顶点对，并尝试建立映射关系。如果当前顶点对可以建立映射关系，则递归地搜索下一个顶点对；否则回溯到上一个顶点对，并尝试其他可能的映射关系。 剪枝：在搜索过程中，如果发现当前映射关系无法满足同构条件，则提前终止该分支的搜索。 判定：当所有顶点对都建立了映射关系时，判断映射是否满足同构条件。如果满足，则两个图是同构的；否则它们不是同构的。
子图领域未来发展趋势预测
THANKS FOR
WATCHING
感谢您的观看
对于子图中的任意顶点v，其在子图中的度不大于在原图中的度。
子图的连通分量数可能大于、等于或小于原图的连通分量数。
子图的补图不一定是原图的补图的子图。
02
子图类型及其特点
生成子图是指由原图中所有顶点及部分边构成的子图，且子图中任意两个顶点间若存在边，则这条边一定是原图中的边。
生成子图保留了原图的所有顶点，但边数可能少于原图。由于包含原图所有顶点，因此生成子图能够较好地反映原图的拓扑结构。
适用于任意图，通过每次选择最小边的方式逐步构建生成树，求解最小生成树。
05
子图在计算机科学中应用
树是一种特殊的图，用于表示具有层次结构的数据。在计算机科学中，树被广泛应用于各种数据结构和算法，如二叉树、红黑树、B树等。
树（Tree）
图是一种更一般化的数据结构，用于表示对象之间的复杂关系。在计算机科学中，图被用于表示网络、电路、程序流程等多种结构。
判定方法：VF算法详解
在化学领域中，图论被广泛应用于分子结构的表示和比较。通过将分子结构转换为图模型，并利用子图同构判定方法，可以比较两个分子的结构相似性，从而预测它们的化学性质和反应活性。
程序设计中常用的计算思维方式
程序设计中常用的计算思维方式算法思维逻辑思维第1章正确认识和处理整体与部分的关系概述：“整体”与“部分”是一对虽然对立、但并非僵化不变的概念。
在一定条件下，“部分”可以看作“整体”，“整体”又可以看作是另一个“整体”的“部分”，两者相互依存和影响。
“整体”与“部分”又可以相互转化的。
“整体”的问题可以分割成“部分”来处理，“部分”的问题也可以通过“整体”来解决。
整体实现的关键是准确地应用必要条件A、选择有助于简化问题、变难为易的必要条件这里面就是说我们要在坚持“简化问题、变难为易”的原则下，尽力寻找“精确”的必要条件，以缩小求解范围，提高出解速度。
当碰到一道难题时，总是尝试从最简单的特殊情况入手，找出有助于简化问题、变难为易的必要条件，逐渐深入，最终分析归纳出一般规律。
B、合成必要条件，从整体结构上优化在搜索和动态规划中，必要条件有期很好的应用价值。
一般地，对于深度优先搜索和广度优先搜索，如何限制搜索范围、减少搜索量最有效的手段是“剪枝”。
然而由于问题的错综复杂，所以我们要找最高效的优化条件，来提高程序的效率。
所以我们可以尝试从多个侧面分析寻找必要条件，把问题分解，根据各部分的本质联系，将各方面的必要条件综合起来使用。
C、必要条件与原有模型比较、更新算法上面所说的两种优化程序的策略其实是都是在“缩小求解范围”，改进在有算法的基础上进行的，属于局部优化。
然而精确选择揭示问题本质的必要条件，与原有的模型比较，小结：必要条件是逻辑推到的理论依据，也是思考过程的一种取向。
解题时，若能寻找出精确的必要条件，一方面能帮助我们揭示问题的本质，设计出正确的算法；另一种方面又能“缩小求解范围”，提高算法效率。
因此，准确地应用必要条件是整体实现的关键。
所以我们要在坚持“具体问题具体分析”的原则，不拘一格，灵活处理；在分析问题时，要勤于思考，善于发现。
整体思考的一个重要角度是“守恒”A、从具体问题中抽象出守恒量守恒量需要通过联想和化归思维将其抽象出来，从问题本身的结构中抽象出守恒量。