第一讲因式分解

第1讲 因式分解【考点 .方法 .破译】(一) 考点点击1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

2. 因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法、换元法、主元法、配方法、待定系数法等。

3. 因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。

4. 竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项法、配方法和待定系数法等方法、例如2x px q ++的多项式,当; a p b =+，q ab =时，可分解为()()x a x b +- 的形式。

5. 利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解。

(二)热点提示1． 本章的重难点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法。

2. 考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。

重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

【预见性困难】学生结合自己实际情况认真填表【教材知识全解】一、知识结构二、知识要点因式分解的概念：把一个含字母的多项式表示成多个均含字母的多项式乘积的形式，其中单项式可以看成只有一项的多项式，分解后的多项式是原多项式的因式。

如：f gh =，其中,g h 是f 的因式。

强化观念：⑴整式的乘法是一种运算，而因式分解是对多项式形 式的一种转变。

⑵因式分解是对多项式而言的,单项式不能进行因式分解,如 3...a b a a a b = 就不是因式分解。

⑶因式分解的结果必须是积的形式,不能是和差的形式,如 234(3)4y y y y --=-- 从总体上看，等式的右边是两数之 差，不是积的形式，所以从左边到右边的变形不是因式分解。

(4)因式分解的结果中的每一个因式必须是整式，即分母中不含字母，如11(1)x x x -=- , 结果中的因式中含11x - 不是整式,所以这不是因式分解。

(5)因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。

例1.判断下列变形是否是因式分解。

2233abc a b c =∙∙∙ 234(34)m mn m m m n -+=- ()my ny r y m n r -+=-+22()()a b a b a b -=+- 2(1)(3)23x x x x +-=--思路与技巧：判断一种变形是否为因式分解依据有两点，其一是否把一个多项式分解成多个因式的乘积，其二看它是否为恒等变形。

解：评析：正确理解因式分解的概念是解决此题的关键。

公因式:几个多项式的公因式称为它们的公因式，如：23ab c 和32a b c 的公因式为2ab c 。

说明：找公因式应按下面规则去找：系数应该是各项系数的最大公约数，字母应是各项都含有相同字母的最低次幂。

例2.写出下列各项公因式。

3242,4,10x x x -- 3(),4()a a b b a b ++ 225(2),20(2)a a b b b a ---思路与技巧：公因式是指每个单项式中都含有的因式，不仅单项式可以作为公因式，多项式也可以作为公因式。

解：评析：找公因式的系数，则取各项系数绝对值的最大公因数作为系数，确定公因式的字母，应是各项中相同的字母，字母的指数应取各项中次数最低的，特别注意，互为相反数时的情况。

提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，提公因式法是因式分解中最常见的方法。

说明：①提公因式法的依据是乘法对加法的分配律，可以看成是单项式乘以多项式的乘法法则的逆运用②注意：一是公因式要提尽，二是不要漏掉“1”，三是首项取正，四是公因式是多项式要注意符号问题。

例3.把33()(2)()(2b a x y a b y x -----）分解因式思路与技巧：底数互为相反数，转成同底数后提负号再提公因式，要注意添括号法则。

解：评析：注意带有负号的括号时，一定要先变号。

平方差公式：22a ()()b a b a b -=+- 特点：左边有两项式，是两数(式)的平方差，右边是两个数（式）的和和差的积的形式。

完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=± 特点：左边有三项式，其中首末两项是两个数的平方和的形式，中间一项是这两个数的积的2倍， 是平方和还是平方差取决于左边两数两倍的符号。

例4.把下列因式分解。

22()()x p x q +-+ 2114m m -+ 22342139m n mn n ++ 思路与技巧：注意用换元的思想看待问题，灵活变形再套用公式。

解：评析：①因式分解后要注意合并同类项②变形后套用公式③一提二套三分解。

【热点难点精析】分解因式①22121824x y xy xy -+- ② 238()4()a a b b a -+- ③ 22161a b - ④ 229()16()x m x m --+ ⑤24(1)20(1)25x x ---+⑥ 4224162362x x y y -+ ⑦ 22224()12()+9x y x y x y +---（） 思路解析: 一提二套三分解解:评析: ①首项为负，添括号要改变符号②在有指数()n x y -式中，当n 为偶数时，()()n n x y y x -=-，当n 为奇数时()()n n x y y x -=-- ③④平方差公式系数⑤采用换元法⑥必需在实数范围分解彻底⑦灵活变形求值例1. 已知6,1x y xy +==- 计算22x y xy +的值例2. 不解方程组234+31m n m n -=⎧⎫⎨⎬=⎩⎭，求225(2)2(2)n m n n m ---的值 思路解析: 先因式分解，然后整体代入求值解：评析: 综合运用了转化和整体思想，有助于提公因式，把条件和所求有机结合起来，体现了思维的广阔性。

整除问题例1.221)1n n +-为整数，(能被8整除吗？例2.试判断791381279--能被45整除？思路解析: 先因式分解，含有被除这个因数解：评析：分解的目的是含有因式(数)，灵活转化。

【基本方法和思路归纳小结】【感悟中考真题】一、选择题1. （2010山东济宁）把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -2.（2010 贵州贵阳）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（A ）xy x -2 （B ）xy x +2 （C ）22y x + （D ）22y x -3．（2010 四川自贡）把x 2－y 2－2y －1分解因式结果正确的是（ ）。

A ．（x ＋y ＋1）(x －y －1)B ．（x ＋y －1）(x －y －1)C ．（x ＋y －1）(x ＋y ＋1)D ．（x －y ＋1）(x ＋y ＋1)二、填空题1．（2010安徽芜湖）因式分解：9x 2－y 2－4y －4＝__________．2．（2010广东广州，15，3分）因式分解：3ab 2＋a 2b ＝_______．3．（2010浙江杭州）分解因式 m 3 – 4m = .4．（2010浙江嘉兴）因式分解：=+-m mx mx 2422 ．5．（2010浙江绍兴）因式分解：y y x 92-=_______________.6．（2010四川宜宾）分解因式：2a 2– 4a + 2＝7．（2010 山东莱芜）分解因式：=-+-x x x 232 ．8（2010福建宁德）分解因式：ax 2＋2axy ＋ay 2＝______________________.9．2010江西）因式分解：=-822a ．10．（2010四川 巴中） 把多项式2336x x +-分解因式的结果是11．（2010江苏常州）分解因式：224a b -= 。

八年级下数学（湘教版）第一版12．（2010湖南郴州） 分解因式：22a 8-= .13．（2010湖北荆州）分解因式 x(x －1)－3x+4= ．14．（2010北京）分解因式：m 2－4m ＝15．（2010山东泰安）分解因式2x 3-8x 2y+8xy 2= .16．（2010 山东东营）把x x 43-分解因式，结果为________________________________.17．（2010江苏 镇江）分解因式：a a 32-= ； 化简：22)1(x x -+= . 18．（2010 山东荷泽）将多项式a 3－6a 2b ＋9ab 2分解因式得 ．19．（2010吉林长春）因式分解：a-a ²= .20．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式________。

21．（2010云南昭通）分解因式：3a 2b －4ab =_________________．三、解答题1．（2010江苏扬州）（2）因式分解：m 3－4m2．（2010广东清远）分解因式：2x 3y －2xy 3.【考点精题精练】1.(2008年·南京)分解因式：做=2.(2009·河北)分解因式：4222-++y xy x =3.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )A.y x -2B. x x 22+C. 22y x +D. 22y xy x +-4.(2006年·济南)分解因式： 442+-a a =5.(2008年·桂林)分解因式： a a a ++232= .6.(2009年·呼和浩特)将下列式子因式分解22y y x x +--= .7.(2007年·大连试验区)关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为1x ＝1，2x ＝2，则c bx x ++2分解因式的结果为： .8.(2008年·北京市)分解因式：y x y x 2422-+-= 典型题：因式分解(1) xy xy y x 122422-+- (2) )()(32a b x b a x ---(3) 22)(4)(9y x y x --+ (4) 1814-a 233x -(5) 1)2(2)2(222++++x x x x (6) 222224)(b a b a -+求证：对于自然数n ， n n 224-+能被30整除. 【经典 .考题 . 解析竞赛】多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2)a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) 2x px q ++=()()x a x b +-; a p b =+，q ab =(4)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；(7)a n -b n =(a -b)(a n-1+a n-2b+a n-3b 2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；(8)a n -b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；(9)a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例2 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．3．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例1 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．【冲刺名校】1．分解因式：(2)x 10+x 5-2；(4)(x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)2-x 5．2．分解因式：(1)x 3+3x 2-4； (2)x 4-11x 2y 2+y 2； (3)x 3+9x 2+26x+24； (4)x 4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x 2-3x+1)2-22x 2+33x -1； (2)x 4+7x 3+14x 2+7x+1； (3)(x+y)3+2xy(1-x -y)-1； (4)(x+3)(x 2-1)(x+5)-20．【奥林匹克】主元法：在解多个变元问题的时候，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除其他字母的干扰，简化结构。