自主招生考试中的数列与极限(带答案)
竞赛与自主招生专题第08讲：数列的通项与递推数列
第八讲 数列的通项与递推数列从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，数列是自主招生必考的一个重要内容之一，数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应用等。
一、知识精讲 一．等差数列：1.通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；2.前n 项和公式：1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+. 二．等比数列：1.通项公式：1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 2.前n 项和公式：11(1)111n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩,,或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩ .三．数列的通项公式与前n 项的和的关系：11,1,2n n n S n a S s n -=⎧=⎨-≥⎩(n S 为数列{}n a 的前n 项的和为).四．常见数列的前n 项和公式：(1)1232n n n +++++=21357(21)n n ++++-=24682(1)n n n ++++=+2222(1)(21)1236n n n n ++++++=33332(1)123[]2n n n +++++=【知识拓展】一．对于数列{}n a ，若存在正整数k 及一个将n k a +与前面k 项12,,n k n k n a a a +-+-联系起来的方程1(,,)0,1,2,n k n k n f a a a n ++-==，则称数列{}n a 是k 阶递推数列，此方程为递推方程。
北京市清华大学附中全国高校自主招生考试数学复习讲义：第四讲数列与极限()
第四讲数列与极限例 1（ 2009 四川初赛）已知正项特别值数列a n , b n知足 a n ,b n , a n 1成等差数列， b n , a n 1,b n 1成等比数列，令 c n b n，则以下对于数列c n的说法正确的选项是（）A ．c n为等差数列B ．c n为等比数列C．c n的每一项为奇数 D ．c n的第一项为偶数例 2（ 2010 年上海交大）,,c ,abc0,b, ()2(c)x(a b)0有两a b R c a b c x b a c相等实根。
1 1 1求证：, ,成等差数列。
例 3（2008浙江初赛）已知数列 { x n } ，满足 ( n1) x n 1 x n n, 且 x1 2 ，则x2005。
例 4（ 2009 年北京大学）已知由正整数构成的无量等差数列中有三项：13， 25， 41。
求证： 2009为此中的一项：例 5（2010 年上海交大）两个等差数列200，203， 206，和 50，54，58都有 100 项，它们共同的项的个数是（）例 6 若[ x]表示不超出x的最大整数（如[1.3] 1,[ 21] 3 等等），41则11111 23234 3 420112010 20112=。
例 7（ 2006 年复旦大学）已知数列{ a n } 的前 n 项和为 S n ，a n1, 求S 2003 ．n 1 n )( n 1 n 1)( n(n 1)例 8（ 2012 年光约）等差数列 a 1 , a 2 , 知足 a 313, a 7 3 。
这个数列的前 n 项和为 S n ，问数列 S 1 , S 2 , 中哪一项最小，交求出这个最小值。
例 11（ 2011 年光约）已知函数 f ( x)2x , f (1) 1, f12, 令 x 1 1 ， x n 1 f ( x n ) ．ax b23 2（Ⅰ）求数列 { x n } 的通项公式；（Ⅱ）证明： x 1 , x 2 x n1．2e2例 12. 已知数列a n知足a10, a n 1nP n qa n.（1）若q 1.求a n等于多少？（2）若P 1, q 1.求证：数列a n有界 .3。
《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限
专题之6、数列与极限一、选择题。
1．(2009年复旦大学)设数列{a n},{b n}满足b n=a n−a n−1,n=1,2,3,…,如果a0=0,a1=1,且{b n}是公比为2的等比数列,又设S n=a1+a2+…+a n,A.0B.C.1D.22．(2009年复旦大学)已知x2−(tan θ+cot θ)x+1=0(0<θ<π),且满足x+x3+…+x2n−1+…3．(2009年复旦大学)设实数a,b,c都不为0,则下列不等式一定成立的是4．(2011年复旦大学)设有4个数的数列为a1,a2,a3,a4,前3个数构成一个等比数列,其和为k,后3个数构成一个等差数列,其和为9,且公差非零.对于任意固定的k,若满足条件的数列的个数大于1,则k应满足A.12k>27B.12k<27C.12k=27D.其他条件5．(2011年复旦大学)设n为一个正整数,记则P(n)是n的一个多项式.下面结论中正确的是6．(2011年复旦大学)A.0<a+b≤10B.0<a+b<10C.a+b>0D.a+b≥107．(2011年复旦大学)A.数列{x n}是单调增数列B.数列{x n}是单调减数列C.数列{x n}或是单调增数列,或是单调减数列D.数列{x n}既非单调增数列,也非单调减数列8．(2012复旦大学)二、填空题。
9．(2009年华中科技大学) . 10．(2012年清华大学等七校联考).三、解答题。
11．(2009年华南理工大学)已知a2+a−1=0,b2+b−1=0,a<b,设a1=1,a2=b,a n+1+a n−a n−1=0(n≥2),b n=a n+1−a·a n.(1)证明数列{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项;(3)设c1=c2=1,c n+2=c n+1+c n,证明:当n≥3时,(−1)n(c n−2a+c n b)=b n−1.12．(2009年华中科技大学)已知数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列,在平面直角坐标系xOy 中,直线x=a n与x轴和函数f(x)=2x的图象分别交于点A n(a n,0)和B n(a n,b n).(Ⅰ)记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为S n,求证数列{S n}是等比数列;(Ⅱ)判断△B n B n+1B n+2的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形),并予以证明;(Ⅲ)对于给定的正整数n,是否存在这样的实数d,使得以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形?如果存在,求出d的取值范围;如果不存在,请说明理由.13．(2009年中国科技大学)已知A={x|x=n!+n,n∈N*},B是A在N*上的补集.(1)求证:无法从B中取出无限个数组成等差数列;(2)能否从B中取出无限个数组成等比数列?试说明理由.15．(2010年浙江大学)16．(2011年同济大学等九校联考)设数列{a n}满足a1=a,a2=b,2a n+2=a n+1+a n.(1)设b n=a n+1−a n,证明:若a≠b,则{b n}是等比数列;(2)若(a1+a2+…+a n)=4,求a,b的值.17．(2009年清华大学)证明:正整数数列a1,a2,…,a2n+1是常数列的充分必要条件是其满足性质P:对数列中任意2n项,存在一种方法将这2n项分为两类(每类n个数),使得两类之和相等.18．(2009年清华大学)已知数列{a n},且S n=na+n(n−1).19．(2009年清华大学)请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论.22．(2009年北京大学)已知由整数组成的无穷等差数列中有三项:13,25,41.求证:2 009为其中一项.23．(2011年北京大学等十三校联考)等差数列a1,a2,…满足a3=−13,a7=3.这个数列的前n项和为S n,数列S1,S2,…中哪一项最小?并求出这个最小值.24.1.D【解析】通过叠加的方法求出数列{a n}的通项,再求出其前n项和,根据极限的运算法则进行计算.根据b1=1,b n=2n−1,得a n−a n−1=2n−1,令n=1,2,…,n,得n个等式,叠加得a n=1+2+…+2n−1=2n−1,从而S n=2n+1−2−n..选D.4.A【解析】根据后3个数成等差数列,前3个数成等比数列设出这四个数,再根据前3个数的和为k,进行分析求解.因为后3个数成等差数列且和为9,故可依次设为:3−d,3,3+d,又因为前3个数成等比数列,则第1个数为:,即+3−d+3=k,化简得:d2−9d+27−3k=0,因为满足条件的数列的个数大于1,需要Δ>0,所以12k>27,选A.5.D【解析】首先要对式子P(n)=k4进行化简,得到一个有确定项数的表达式,再去分析各项的系数特点.6.B【解析】由于a,b是不相等的正数,且a,b的大小对数列的极限值有影响,所以可对a,b的大小9.−ln 2【解析】10.lg 3【解析】a n=lg=lg(n2+3n+2)−lg[n(n+3)]=[lg(n+1)−lg n]−[lg(n+3)−lg(n+2)],所以S n=a1+a2+…+a n=[lg(n+1)−lgn]+[lgn−lg(n−1)]+…+(lg2−lg1)−{[lg(n+3)−lg(n+2)]+[lg(n+2)−lg(n+1)]+…+( lg 4−lg 3)}=[lg(n+1)−lg 1]−[lg(n+3)−lg 3]=lg+lg 3,所以S n=lg 3+lg=lg 3.11.12.13.(1)若能从B中取出无限个数组成等差数列{a m},并设公差为d.则a m=a1+(m−1)d,而n>d时,n!+n,(n+1)!+(n+1),(n+2)!+(n+2),…被d除,其余数分别与n,n+1,n+2,…被d除的余数相同,而这些余数应该是逐一递增的,取得d−1后,又以周期性的形式出现,所以存在n0,使n0!+n0被d除与a m被d除的余数相同.这就说明:n0!+n0是等差数列{a m}中的项,而n0!+n0∈A,故n0!+n0∉B.于是,矛盾就产生了,故假设不成立,即要证明的结论成立.(2)能从B中取出无限个数组成等比数列.例如b m=5m(m∈N*).由于n!+n=n[(n−1)!+1],并且当n>5时,5不能整除(n−1)!+1,故5m∉A,因此,5m∈B.故数列{b m}是从B中取出无限个数组成的等比数列.14.(1)当n=1时,a1=1∈[1,2].假设当n=k(k∈N*) 时,1≤a k≤2成立.则当n=k+1时,a k+1=1+,而1≤a k≤2,故≤≤1.a k+1=1+∈[,2]⊆[1,2],即当n=k+1时,1≤a k+1≤2.综上,1≤a n≤2(n∈N*).(2)，而由a n=1+(n≥2)及1≤a n≤2(n∈N*)知,a n·a n−1=a n−1+1∈[2,3],故∈[,](n≥2,n∈N*),所以原式得证.15.如图所示,16.(1)由2a n+2=a n+1+a n得2(a n+2−a n+1)=−(a n+1−a n).b n=a n+1−a n,则b n+1=−b n,∴{b n}是首项为b−a,公比为−的等比数列.(2)由(1)知,b n=(−)n−1·b1,即a n+1−a n=(−)n−1(b−a),∴a2−a1=(−)1−1(b−a),a3−a2=(−)2−1(b−a),…a n+1−a n=(−)n−1(b−a),以上各式相加得:a n+1−a1=(b−a)·,a n+1=a+(b−a)[1−(−)n],即a n=a+(b−a)[1−(−)n−1],∴a1+a2+…+a n=na+(b−a)[n−]=na+(b−a)n−(b−a)+(b−a)(−)n.∵(a1+a2+…+a n)=4,∴,解得.17.这里必要性是显然的,下面证明充分性,即满足性质P的2n+1个正整数构成常数列.可用反证法证明:若a1,a2,…,a2n+1不全相等,并且它们从小到大的排列为:a'1≤a'2≤…≤a'2n≤a'2n+1,而且在a'i+1−a'i>0中,最小者为a−a.设S=a1+a2+…+a2n+1,若S为奇数,则由性质P知,每一个a i均为奇数;若S为偶数,则每一个a i 又均为偶数.①当a i均为奇数时,a1−1,a2−1,a3−1,…,a2n+1−1也具有性质P;②当a i均为偶数时,,,,…,也具有性质P.从而可知,a−a一定是偶数.当最小者a−a=2时,我们有:是n个奇偶性相同的正整数之和,也是n个奇偶性相同的正整数之和,所以它们的差:=是偶数,而另一方面,由于a−a=2,故=1,从而产生了矛盾.故正整数数列a1,a2,…,a2n+1为常数列.而当最小者a−a=2k(k>1,k∈N)时,我们对数列{a'i}应用①与②的变换,有限次后,就能得到数列{b'i}(b'i为正整数),而这个数列满足性质P,并且b−b=2.这样{b'i}为常数列,从而正整数数列a1,a2,…,a2n+1亦为常数列.18.19.三个质数组成的公差为8的等差数列只有一个,即:3,11,19.证明如下:当第一个质数为2时,则等差数列为2,10,18,不符合题意;当第一个质数大于或等于3时,设第一个质数分别为:m=3k, n=3k+1, p=3k+2,且k∈N*.则分别有:①3k,3k+8,3k+16;②3k+1,3k+9,3k+17;③3k+2,3k+10,3k+18.对于①,由于3k为质数,故k=1.此时,这三个数为3,11,19;对于②,由于3k+9=3(k+3)不是质数,此种情况不会出现;对于③,由于3k+18=3(k+6)不是质数,此种情况不会出现. 因此,所求的等差数列仅有:3,11,19.20.21.22.41−25=16,25−13=12,16和12的最大公因子是4,此等差数列的公差一定是4的因子,设公差为d,则nd=4,n为正整数,而2 009=41+1 968=41+4×492=41+492×nd,故2 009为其中一项. 23.24.。
05自主招生试题分类汇编-数列
M = {3a + (i + j + k )d |1 i j k 13} = {3a + md | 6 m 36, m N *}
3a + xd = 0, 7 ( y − x) d = , 7 2 于是存在正整数 6 x, y, z 36 ,使得 3a + yd = , 从而 2 ( z − x)d = 16 16 3 3a + zd = 3
n 特征方程 x = 4 x − 4 有重根 2，可设 a n = (c1 + c 2 ) 2 ，
2
将 a1 = 1 ， a 2 = 5 代入上式，得 c1 = − 于是 a n = (
1 3 ， c2 = ， 4 4
3n 1 − ) 2 n = (3n − 1) 2 n−2 ，∴ a 2013 = 6038 2 2011 ． 4 4
(
)(
)
1 的等差数列， 4
(
)(
)
1 1 1 1 设等差数列的公差为 d ，则四个根分别为 , + d , + 2d , + 3d 4 4 4 4 1 1 1 1 由韦达定理可知 与 + 3d 为上式方程的两实根，而 + d 与 + 2d 则是 4 4 4 4 1 1 另一个方程的两实数根，故 + 3d = 2 ， d = 2 2
(
)
n
= c + d 2 = c 2 + 2d 2 − 1 = S + S − 1
2019年高校自主招生考试数学真题分类Word版含解析精心整理(打包9套真题)
2019《名校自主招生》——高校自主招生考试数学真题专题试卷分类解析精心整理打包9套下载含详细答案目录2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数、平面向量2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角函数2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之专题之1、不等式一、选择题。
1．(2017年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)D.不能确定2．(2018年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.-错误!未找到引用源。
3．(2018年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=错误!未找到引用源。
称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( )A.k≥1B.k≤2C.k=2D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+错误!未找到引用源。
初升高自主招生——数与式（含答案）
初升⾼⾃主招⽣——数与式（含答案）初升⾼⾃主招⽣研讨——数与式（答案）【涉及知识点】1、数列（1）求和：基础、裂项、错位、倒序（2）其他：找规律、累加累乘等2、⼆重根式直接法、乘2除2法、解⽅程组、字母变形、平⽅法3、乘法公式（1）基础公式（7+3）（2）拓展公式4、因式分解（1）多项式的因数定理与余数定理（2）多项式除以多项式（综合除法）（3）⼀猜（有理根）⼆添、⼆拆、⼆除、⼆待（3）猜不中（⽆理根）⼆待、⼆凑（4次⽅凑平⽅和+平⽅差）5、代数式恒等变形（重中之重）6、其他（1）简单计数与数论（2）三个⾮负数、两次有理化、【涉及⽅法】1、猜、凑2、配⽅法3、待定系数法4、换元法【涉及思想】1、消元与降次思想2、构造思想3、整体与讨论思想4、定义域与化简优先【题型⼀】基础题（指数计算、三个⾮负数等）【题型⼆】分式（化简、求值、求和）【题型三】⼆次根式（化简、求值、求和、⼆重根式）【题型四】整式（多项式、因式分解、乘法公式、化简、求值）【题型五】数列（找规律、简单计数、求和、新定义）【题型⼀】基础题（指数计算、三个⾮负数等）1、若()6255252=xxx，则x=________________。
【参考答案】2或-12、已知: 23a =，32b =，则1111a b +=++______________.【参考答案】13、已知()21240x y x y --+++=则32x y -=（）-1A 、 -2B 、 2C 、 1D 、【参考答案】Ｄ4、已知实数a 满⾜2008a -a ，那么a －22008值是（）（A ）2009 （B ） 2008 （C ） 2007 （D ） 2006【参考答案】A【参考答案】-15、()1015323π-??-+---=( ).A ．4-B ．12C ．4D ．2【参考答案】Ｃ7、有理数a ，b 在数轴上的位置如图所⽰，则a b +的值是( ).A ．0⼩于B ．0⼤于C ．a ⼩于D ．b ⼤于【参考答案】Ｂ8、若,,a b c三个数在数轴上对应点的位置如图所⽰，化简：。
大学自招数学试题及答案
大学自招数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. -1D. 52. 以下哪个选项是不等式x^2 - 5x + 6 < 0的解集？A. (1, 6)B. (2, 3)C. (-∞, 2) ∪ (3, +∞)D. (2, 3)3. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (2, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. 4B. 2C. -2D. 04. 若复数z满足z^2 = 1 + i，则z的值是：A. 1B. -1C. iD. -i二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值为 _______。
6. 已知等比数列{a_n}的首项a_1 = 2，公比q = 3，求第5项a_5的值为 _______。
7. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx 的值为 _______。
8. 若矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，则矩阵A的行列式det(A)的值为_______。
三、解答题（每题15分，共40分）9. 证明：若x > 0，y > 0，则x + y ≥ 2√(xy)。
证明：由基本不等式可知，对于任意正数x和y，有x/y + y/x ≥ 2。
将不等式两边同时乘以xy，得到x^2 + y^2 ≥ 2xy。
由于x和y都是正数，所以x + y ≥ 2√(xy)。
10. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将第一个方程乘以2，得到2x + 2y = 10。
将第二个方程加到第一个方程上，得到3x = 11，所以x = 11/3。
将x的值代入第一个方程，得到y = 5 - 11/3 = 4/3。
因此，方程组的解为x = 11/3，y =4/3。
四、综合题（20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(x)的单调区间，并证明。
从高校自主招生试题看数列极限
从 高 校 自 主 招 生 试 题 看 数 列 极 限
●徐 国君 （ 杭州外国语学校 浙江杭州 ３０２） １ ３ ０
数列问题融计算、 推理于一体 ， 综合性与灵活
性都很强． 数列 问题的基础是等差数列、 等比数列 ， 热点是递推（ 递归） 数列 （ 等差数列、 比数列也是 等
一
ｌ ａ ＋ ｃ）＝ ｉ ａ ＋ ｉ ｂ ＋ ｉ ｃ ｉ ｂ＋ ｌ ｌ ｌ ｍ（ ｍ ｍ ｍ ． 特别地 ， 如果 ｃ是常数 ， 那么
（） １ 无穷递缩等 比数列各项的和． 当公 比 ＜１时， 穷等 比数列 ｛ 称 为无 无 ａ｝ 穷递缩等比数列．
ｌｒ ｉ ａ
¨ ∞
并且是 和高等数学联系最为紧密 的知识模块之一 ， 因而成为高校 自主招生考试 的重点内容之一． 本文
将结合高校的自主招生试题谈谈数列极限方面的
第 ７期
徐 国君 ： 高校 自主 招 生 试题 看 数 列 极 限 从
・３ ・ ９
二次曲线 ｆ为椭圆时 ， 数学学习》 数学 问题 是《 的“ 与解 答 ” 目中 的问题 ７ ９４ 栏 ９ Ｊ ． ’ （） ２ 在命 题 ７中， 当二次 曲线 ， 退 化为不 在 ＡＢ Ａ Ｃ边上的一点时 ， 就是塞瓦定理 ； 在命题 ８中 ，
（） ２ 其他无穷数列各项的和．
（ ）ｉ １ｌ ｍＣ＝Ｃ； （ ）ｉ ２ｌ ｍ１ ： ； ０
ｎ－－￣ ．－ ｏ ￣
若无穷数列 ｛ ｝ ｂ 不是等 比数列， 但可求得前
项和 ， ｌ ＝ ， 且 ｉ ｍ ｔ则无穷数列 ｛ 的各项和存 ｂ｝
在 ， 为 Ｓ＝ｌ ＝ ． 且 ｉ ｍ ｔ
— —
分析
从 条 件 出发 ， 出 Ｙ 找 或 ＹＹＹ … Ｙ ， 或
自主招生考试数学卷(答案) (6)
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
24、函数 y 4sin x 3cos x 的最小值为 (
)
A .0
B .-3
C .-5
D . 13
25、已知角 的终边上有一点 P- 3， 4，则 cos (
A、0
3
B、 5
C、0.1
二、填空题：（共 30 分．）
) D、0.2
1.双曲线
D、 y sin x cos x
sin
21、若
5 13
，且
为第四象限角，则 tan
的值等于(
)
12
A、 5
12
B、 5
5
C、 12
5
D、 12
22、下列命题中正确的是（
）
A、第一象限角必是锐角
B、终边相同的角相等
C、相等的角终边必相同
D、不相等的角其终边必不相同
23、－870°角的终边所在的象限是( )
7、【答案】 C
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：z z + i = 2 − i 2 + 2i = 4 + 4i − 2i − 2i2 = 6 + 2i
故答案为：C
【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.
8、【答案】 B
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
自考本科数学卷
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题：（本题共 25 小题，共 50 分）
1．对 2×2 数表定义平方运算如下：（ ）
a
c
b d
2
a
c
b d
a c
职高数学真题数列解析及答案
职高数学真题数列解析及答案数学作为一门基础学科，在职业高中学习中占据重要的地位。
掌握数学的基本知识和解题技巧，对于职高学生的学业发展至关重要。
在数学考试中，题目类型繁多，其中数列题目常常出现。
本文将围绕职高数学真题数列进行解析及给出相应答案，帮助读者更好地理解和掌握数列的相关知识。
一、等差数列等差数列是数学中最基础的数列类型之一。
考察等差数列的题目通常包括求前n项和、求通项公式等。
下面通过一个具体的例子来讲解等差数列的解题方法。
例题：某等差数列的首项为3，公差为2，前n项和为120，求该等差数列的第n项。
解析：设该等差数列的第n项为an，则根据等差数列的性质可知：an = a1 + (n - 1)d，其中a1是首项，d是公差。
代入已知条件可得3 + (n - 1)2 = 120，化简得到 n = 59。
所以第n项an = a1 + (n - 1)d = 3 + (59 - 1)2 = 120。
答案为120。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型。
与等差数列不同的是，等比数列的相邻两项之比是一个固定的常数。
接下来通过一个例题来解析等比数列的解题方法。
例题：某等比数列的首项是2，公比是3，前n项和是242，求该等比数列的第n项。
解析：设该等比数列的第n项为an，则根据等比数列的性质可知：an = a1 * r^(n - 1)，其中a1是首项，r是公比。
代入已知条件可得2 * 3^(n - 1) = 242, 化简得到 3^(n - 1) = 121。
由此可知 n - 1 = 2，即 n = 3。
所以第n项an = a1 * r^(n - 1) = 2 * 3^2 = 18。
答案为18。
三、无穷等差数列与无穷等比数列无穷等差数列与无穷等比数列是数列的另外两种形式。
考查这两种数列的题目通常是求其前n项和或特定项的值。
下面通过一个例题来解析无穷等差数列与无穷等比数列的解题方法。
例题：已知无穷等差数列的首项为5，公差为3，请计算其前10项的和。
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自主招生考试中的数列与极限
一、 数列的通项
1、（2012卓越）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，若3344,,a b a b ==且5342
5S S T T -=-，则5353a a b b +=+ 。
（35-） 2、（2012北大保送生）正项等比数列{}n a ，满足43215a a a a +--=，求56a a +的最小值。
答案：20
3、（2005全国数学联赛浙江预赛）已知数列{}n x ，满足1(1)n n n x x n ++=+，且12x =，则2005x = 。
4、（2009北大自主）已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。
求证：2009为数列中一项。
5、（2000上海交大）两个等差数列200,203,206，……和50,54,58，……都有100项，它们共同的项的个数是 。
21
二、 数列的前n 项和
6、若[]x 表示不超过x 的最大整数（如1
[1.3]1,[2]34
=-=-等），
则++++= ： 答案：2012
7、（2006复旦大学）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，
n a =，求2003S 。
答案：2003S =
8、设等比数列{}n a 的各项为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项的和的4倍，且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的9倍，则数列{lg }n a 的前 项和最大。
9、（2011安徽高考）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个实数构成递增的
等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令lg (1)n n a T n =≥
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1tan tan n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
10、（2012卓越）设数列{}n a 的前n 项和为111,0,n n n S a vS uS a v +≠-=，其中,u v 是正整数，且*,u v n N >∈。
（Ⅰ）证明{}n a 为等比数列；
（Ⅱ）设1,p a a 两项均为正整数，其中3p ≥。
（1） 若1p a ≥，证明v 整除u ；
（2） 若存在正整数m ，使得11p a m
-≥，1(1)p p a m -≤+，证明：(1)p p p S m m =+-。
三、 数列与极限
11、（2012华约）已知数列{}n a 的通项公式22lg(1),1,2,3n a n n n
=+
=+ ，n S 是数列的前n 项和，求lim n n S →∞。
答案：lg 3
12、（2011华约）已知函数21()(1)1()2x f x f f ax b =
==+2，，3， 令111()2n n x x f x +==，。
(I)求数列{}n x 的通项公式；(II)证明12112n x x x e
+> 。
解：由12(1)1()1()21
x f f a b f x x =====+2，得，3 (I)先求出123412482359x x x x ====，，，，猜想1
1221
n n n x --=+。
用数学归纳法证明。
当n = 1显然成立；假设n = k 显然成立，即1
1221
k k k x --=+，则122()121
k
k k k k k x x f x x +===++，得证。
(II) 我们证明121
12n e x x x +> 。
事实上，
12111112(1)(1)(1)242n n x x x +=+++ 。
我们注意到 2212(1)12(1)n n a a a a +<++<+ ，，，于是
122121212111112(1)2(1)2(1)2222
n n n n n n n e x x x -+++-+<+=+<+< 13、（2009浙江大学自主）已知1111,1(2)n n a a n a -==+
≥， （1）求证：12n a ≤≤；
（2） 求证：1112||33
n n n n a a a a +--≤≤- 14、(2010湖南改编)若数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈，只有有限个正整数使得m a n ≤成立，记这样的的个数为*
()n a ，则得到一个新数列*{()}n a ．例如，若数列{}n a 是0,1,2,3,4,5,,1,n - ，则数列*{()}n a 是2,3,4,5,,1,n + ．已知对任意的
*
n N ∈，2n a n =，则*9()a
= ，**(())n a = 答案：3，2
2n n +
解答：当2n a n =时，数列{}n a 是1,4,9,16,25, ，所以： *****12345()1,()1,()1,()2,()2a a a a a =====，…… 更一般地，当22(1)k n k ≤<+时，*
()n a k =，(即: *()n a =) 所以：****14916()1,()2,()3,()4,a a a a ==== 所以：**21(())213,a =-=**22(())318,a =-=**23(())4115a =-=，…… **22(())(1)12n a n n n =+-=+
m m。