结构位移计算(2)
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静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
第6章 静定结构位移计算
二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C
第五章 结构位移计算
8
1 虚功原理回顾
1. 功的定义: 功=力×力作用点沿其方向的位移
F A S B F
W F cos S 常力功
F
1 W F 2
变力功
9
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的 乘积表示为：功=广义力×广义位移
1)作功的力系为一个集中力
F
2)作功的力系为一个集中力偶
W F
虚拟状态
24
1
广义力与 广义位移对应
练习:
Fp=1
C Fp=1 B
求C点竖向位移
求B点水平位移
A
Fp=1 B
Fp=1
A
Fp=1
B Fp=1
求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
3 静定结构在荷载作用下的位移计算
1. 公式
当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移△KP，此时没有支座位移，故一般公式为
注意：１.适用于任何类型的结构，弹性、非弹性、线性、非线性；
２. 外力与虚位移相互独立，两者毫不相干，虚位移 由其它原因引起，外力在此虚位移上做虚功。
实际应用时两种情形：
a) 给定力状态，另设一位移状态，用虚功方程求力状态 的未知力，称为虚位移原理；
b)给定位移状态，另设一力状态，用虚功方程求位移状态的 18 未知位移，称为虚力原理。
第五章 虚功原理与结构位移
1
“位移”是连接静定结构与超静定 结构之间的桥梁和纽带
前面所学五种静定结构(梁,刚架,拱,桁架 ,组合结构) 的内力计算可归结为强度问题, 而结构力学的重要任务之一是解决刚度问 题——结构位移计算. 本章要讨论各种杆件结构的位移计算, 依据虚功原理.先推导出杆件结构位移计算 的一般公式,再讨论具体结构的位移.
9第九章 杆件变形及结构的位移计算
产生位移的原因 一般荷载——力的作用 广义荷载 温度变化 支座位移 制造误差
P
t
一般荷载
C C
温度变化
A
支座位移 B
B
B
制造误、位移计算的目的
⑴ 刚度要求 强度校核 结构设计计算应考虑的内容 稳定性验算 刚度验算 在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度； 房屋主梁允许挠度<1/350跨度。 高层建筑框架结构，风荷载作用下的最大位移<1/450高度， 最大层间位移<1/550层高； 地震作用下的最大位移<1/400高度； 最大层间位移<1/500层高。 ⑵ 超静定结构的计算基础 超静定结构必须考虑几何条件(位移约束或变形协调)方可求解。
1
B
C a-x
M =a x
横梁BC 竖柱CA
a
A
x
注意：负号表示位移 的方向与假设的单位 力的方向相反。 （4）求B点的线位移ΔB
§9-4 图乘法
刚架与梁的位移计算公式为：
MMds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
梁和刚架位移计算公式
计算工作量很大，应用比较麻烦。一定条件下，上述积分计算可以简化。
ΔCV 2330 106 7.012mm 3 210 10 2 791.2
4m
–200
–200
5 8
3 8
5 8
3 8
5 8
杆件名称 A-C B-C D-E A-D C-D C-E
杆长l (m) 6 6 6 5 5 5
截面积A 轴力 FNP (cm2) (kN) 15.824 15.824 15.824 15.824 15.824 15.824 120 120 -120 -200 0 0
结构力学(第五版)第六章 结构位移计算
相对位移 △CD= △C+ △D
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。 返4回
B
变力 W= 1 M· ϕ 2
（d ）
返6回
P
（2）实功与虚功 实功： 力本身引起的位移上所作的功。 例如： W=
A 力在其它 虚功： 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。
△2
2
A
P1
△1
1
B P2 B
例如：
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
A RA
P
M
q B dS
q
RB N+dN Q+dQ
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QγdS+Mdϕ Wi=
（6—2)
整个结构内力的变形虚功为
虚功方程为
W=
（6—3)
dS du
dϕ
γ γ
dS
位移状态
dS
9
返dx γ回
§6—3 位移计算的一般公式
k 1. 位移计算的一般公式 t1 K △K t2 c3 K ds 设平面杆系结构由 ds k Ｒ ３ K′ 于荷载、温度变化及支 k P1 座移动等因素引起位移 du、dϕ、γdS N MQ 、、 如图示。 Ｒ １ c2 求任一指定截面K K c1 ２ 沿任一指定方向 k—k 实际状态－位移状态 Ｒ 虚拟状态－力状态 上的位移△K 。
6第六章结构位移计算
单位荷载法A (虚力原理)
几何方程
c
BC
1
A
B
A
C
a
b C
Y A(1)所建立的虚功方程,
解：首先构造出相应的虚设力状态。实即质，上在是拟几求何位方移程之。
点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设(2)置虚单设位的荷力载状。态与实
由 MB0求得： YAb/a
际位移状态无关，故 可设单位广义力 P=1
[N P NkQ P Q M P M ]d s EA GA EI
例 1：已知图示梁的E 、G,
q
求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
N(x)0,NP(x)0
Ah
l
b
Q (x) 1 ,Q P (x)q(lx)
P1 x
M A p ( x ) 2q0 lG [kqx 2lA( lG l [8,qxM EN A l)E 4kIP P (位( N x )) qA 移 (l2 方 E k q G x( 向)IlP Q 3 Q ]是dx A ) 如2 xhA/M 设 /2 lE P b:MQM 1h,M /I1I]G4d 0,EAb8EqIlE kh2/s 3M4lMG /I,1P QQ2,Q2kP.5(2q钢 P6qG/k52,A l1砼 )
所有微段的外力虚功之和We
微段外力分 体系外力
为两部分
相互作用力
a
b
b
a
b
2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W
微段位移分 刚体位移 a bab
为两部分
变形位移 ab ab
微段外力功 分为两部分
体系外力功dWe 微段外力功 相互作用力功dWn 分为两部分
结构在荷载作用下的位移计算公式
(10-12)
式 (10-12) 为结构在 荷载作用下计算位移的一 般公式，适用于线弹性结 构的位移计算。
1. 2 各类结构的位移计算公式
在荷载作用下的实际结构中，不同的结构形式其受力特点不同，各内力项对 位移的影响也不同。为简化计算，对不同结构常忽略对位移影响较小的内力项， 这样既满足于工程精度要求，又能使计算简化。
FNK FNPl EA
(10-14)
3. 拱结构
对于拱结构，当其轴力与压力线相近 ( 两者的距离与拱截面高度为同一数量
级
)
或者为扁平拱
f l
＜1 5
时主要考虑弯矩和轴力对位移的影响，则位移计算公式
简化为
KP
MKMP ds l EI
FNK M NP d s (10-15) l EA
4. 组合结构 此类结构中梁式杆以受弯为主，析杆(二力杆)则主要承受轴力，故有
② 列写实、虚两种状态的弯矩表达式。
AC 段： CB 段：
M (x) 1 x， a
M
P
(x)
3 8
qax
1 2
qx2
M (x) 1 x 1， a
1 M P (x) 8 qa(a x)
(0 x a 2) (a 2 x a)
③ 用积分法求 θC 。
C
MKMP ds l EI
2d
Fd (2 2) 3.41 Fd ()
EA
EA
建筑力学
d
x
1 EI
a 0
0
Fx
d
x
1 EI
Fa3 2
qa4 8
()
图10-12
【例10-3】试计算图10-13a 所示析架结点 C 的竖向位移 ΔCy 。设各杆 EA 为同一常数。
15结构位移计算
1. 梁和刚架 2.桁架
论
M M P ds kP = ∑ ∫ EI
在实际计算时,根据结构的具体情况,式(6)可以简化为
(7)
kP = ∑ ∫
3. 组合结构
FN FN P ds EA
=∑
FN FN P l EA
(8)
FN FNP l M M P ds kP = ∑ ∫ +∑ EI EA
(9)
14
25
例:试求如图所示桁架结点C的竖向位移 v . 已知各杆的 CP 横截面面积A及弹性模量E均为常数.
解:(1)建立虚设状态 (2)分别列出两种状态各杆的轴力 (3)由公式求位移
v CP = ∑
F NK FNF l 2 1 1 = [2( 2 F ( ) 2d + 2 F × × 2d + ( F )(1)2d ] 2 2 EA EA 2 Fd Fd = (2 + 2) = 6.83 (↓) EA EA 26
浙江水利水电专科学校
高健
1
§1 计算结构位移的目的 §4 静定结构由于荷载引起的位移计算 §5 图乘法 §6支座移动和温度变化引起的静定结构的位移 §7 功的互等定理
2
3
3. 计算位移的目的 (1)为了校核结构的刚度. (2)结构施工的需要. (3)为分析超静定结构打下基础. △ 起拱高度
kt = ∑αtω F + ∑
N
αt
ωM
kt = ∑FN αtl
(13)
桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似.设各杆长度 的制造误差为△l,其位移计算公式为
k = ∑FN l
(14)
30
31
32
33
34
35
论
M M P ds kP = ∑ ∫ EI
在实际计算时,根据结构的具体情况,式(6)可以简化为
(7)
kP = ∑ ∫
3. 组合结构
FN FN P ds EA
=∑
FN FN P l EA
(8)
FN FNP l M M P ds kP = ∑ ∫ +∑ EI EA
(9)
14
25
例:试求如图所示桁架结点C的竖向位移 v . 已知各杆的 CP 横截面面积A及弹性模量E均为常数.
解:(1)建立虚设状态 (2)分别列出两种状态各杆的轴力 (3)由公式求位移
v CP = ∑
F NK FNF l 2 1 1 = [2( 2 F ( ) 2d + 2 F × × 2d + ( F )(1)2d ] 2 2 EA EA 2 Fd Fd = (2 + 2) = 6.83 (↓) EA EA 26
浙江水利水电专科学校
高健
1
§1 计算结构位移的目的 §4 静定结构由于荷载引起的位移计算 §5 图乘法 §6支座移动和温度变化引起的静定结构的位移 §7 功的互等定理
2
3
3. 计算位移的目的 (1)为了校核结构的刚度. (2)结构施工的需要. (3)为分析超静定结构打下基础. △ 起拱高度
kt = ∑αtω F + ∑
N
αt
ωM
kt = ∑FN αtl
(13)
桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似.设各杆长度 的制造误差为△l,其位移计算公式为
k = ∑FN l
(14)
30
31
32
33
34
35
第六章 结构位移计算
1 y
1
c3
1
FR 3
F2 2 2
2x
FR1 FR 2
力状态
c2
位移状态
c1
W F11y F22 x FR1c1 FR2c2 FR3c3 F FRc
变形虚功：力状态的微段内力在位移状态的对应变形上所做的虚功， 再积分（对整段杆件）、求和（对结构所有杆件）。
F1 1
ds
1 y
1
ds
c3
dφ
FR 3
F2
2
M
FN FS
ds
FR1 FR 2
M dM FN d FN FS d FS
2
2x
ds du
γ
γd s ds
ds
c2
位移状态
力状态
c1
dWV ( FN dFN )du ( FS dFS )ds (M dM )d FN du FS ds Md
（3）、求解两点之间的相对线位移： 在两点沿连线方向施加一对指向 相反的单位力
F=1
3 4 3 F=1 4
求34
F
1
2
1
2
（4）、求解两点之间的相对角位移： 在两点施加一对方向相反的单位集 中力偶
3
4
3
4
求12
F M=1 M=1 2
1
2
1
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
q t2 FK=1
1 A yc () abl 6
正负号：如a、b在杆轴线同一侧则取“+”，在不同侧则取“-”
2、直线型与直线型图乘（斜率为常数）
A yc () EI
a
结构力学课件位移计算的一般公式
P 1
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
l
iP
(N Q M )dx
0
i
l
iP
( N Q M )dx
0
i
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
NP , kQP , M P
EA GA
EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
NP E
N A
i
kQPQi GA
MPMi EI
拉压变形（应变）： 弯曲变形（曲率）： 剪切变形（剪切角）：
N l
EA l
M 1 EI
k Q
GA
内力虚功：
当力状态的外力在结构位移状态的位移作虚 功时，力状态的内力也在位移状态的相对变形上 作虚功，这种虚功称为内力虚功（虚应变能）， 用“V”表示。
微段外力: 微段变形:
M
M dM
N
N dN
NP Nil EI
（4）拱
ip
MPMi
EI
NP Ni EA
ds
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
kx
NP Nil EA
1
1 2
1
2
Ni
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a 2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
EA
EA
作业 (8)
两种应用： 虚位移原理：虚设位移状态求力——理论力学学过 虚力原理：虚设力状态求位移——支座移动时结构位移计算
A. 虚位移原理
例： 求 A 端的支座反力。
直线
A
B
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
l
iP
(N Q M )dx
0
i
l
iP
( N Q M )dx
0
i
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
NP , kQP , M P
EA GA
EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
NP E
N A
i
kQPQi GA
MPMi EI
拉压变形（应变）： 弯曲变形（曲率）： 剪切变形（剪切角）：
N l
EA l
M 1 EI
k Q
GA
内力虚功：
当力状态的外力在结构位移状态的位移作虚 功时，力状态的内力也在位移状态的相对变形上 作虚功，这种虚功称为内力虚功（虚应变能）， 用“V”表示。
微段外力: 微段变形:
M
M dM
N
N dN
NP Nil EI
（4）拱
ip
MPMi
EI
NP Ni EA
ds
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
kx
NP Nil EA
1
1 2
1
2
Ni
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a 2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
EA
EA
作业 (8)
两种应用： 虚位移原理：虚设位移状态求力——理论力学学过 虚力原理：虚设力状态求位移——支座移动时结构位移计算
A. 虚位移原理
例： 求 A 端的支座反力。
直线
A
B