2013年青岛大学考研真题657数学分析

青岛大学2013年硕士研究生入学考试试题科目代码：657科目名称：数学分析（共2页）请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效

一、求下列极限（满分24分）1．n n n 10lim ∞

→．2．n n n )211(lim +∞→．3．⎟⎠

⎞⎜⎝⎛−−→111lim 0x x e x ．4．)

1ln(cos lim 020x dt t x x +∫→．二、求下列积分（满分30分）

1．求积分dt x e x ∫2

0sin π

．2．设}4|),{(2222

ππ≤+≤=y x y x D ，求∫∫+−D

y x dxdy e )(22.

3．设S 是立方体a z y x ≤≤,,0表面的外侧，计算曲面积分

∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x

222.

三、（满分12分）抛物面z y x =+22被平面1=+=z y x 截成一个椭圆，求此椭圆到原点的最长与最短距离。

四、（满分12分）证明x x f 2sin

)(=在]1,0(上不一致连续。

五、（满分12分）设f 在],[b a 上非负连续，],[,,,21b a x x x n ∈⋯，求证],[b a ∈∃ξ，使得n n x f x f x f f )()()()(21⋅⋅⋅=⋯ξ．

六、（满分12分）设b a <<0，用微分中值定理证明

b

a b a b b a b −<<−ln ．七、（满分12分）证明级数),0(,sin 1π∈∑∞

=x n nx n 条件收敛。八、（满分14分）设,,2,1,)(⋯=n x f n 均在点a x =连续，数列)}({a f n 发散，求证0>∀δ，})({x f n 在),(δ+a a 内非一致收敛。

九、（满分12分）确定幂级数

∑∞=+−−−112211)2()1(n n n x n 的收敛域，并求其和函数。

十、（满分10分）设2

)(π−=x x f 在],0[π上展开成余弦级数。