数学 反比例函数的专项 培优 易错 难题练习题及答案
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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.在平面直角坐标系内,双曲线:y= (x>0)分别与直线OA:y=x和直线AB:y=﹣
x+10,交于C,D两点,并且OC=3BD.
(1)求出双曲线的解析式;
(2)连结CD,求四边形OCDB的面积.
【答案】(1)解:过点A、C、D作x轴的垂线,垂足分别是M、E、F,
∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°,
∵直线OA:y=x和直线AB:y=﹣x+10,
∴∠AOB=∠ABO=45°,
∴△CEO∽△DEB
∴= =3,
设D(10﹣m,m),其中m>0,
∴C(3m,3m),
∵点C、D在双曲线上,
∴9m2=m(10﹣m),
解得:m=1或m=0(舍去)
∴C(3,3),
∴k=9,
∴双曲线y= (x>0)
(2)解:由(1)可知D(9,1),C(3,3),B(10,0),∴OE=3,EF=6,DF=1,BF=1,
∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB
= ×3×3+ ×(1+3)×6+ ×1×1=17,
∴四边形OCDB的面积是17
【解析】【分析】(1)过点A、C、D作x轴的垂线,垂足分别是M、E、F,由直线y=x
和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°,证明△CEO∽△DEB,从而可知 = =3,然后设设D(10﹣m,m),其中m>0,从而可知C的坐标为(3m,3m),利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值.(2)求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案.
2.如图,已知A(﹣4,),B(﹣1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数
(m≠0,m<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于
D.
(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?(2)求一次函数解析式及m的值;
(3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标.【答案】(1)解:当﹣4<x<﹣1时,一次函数大于反比例函数的值;
(2)把A(﹣4,),B(﹣1,2)代入y=kx+b得,解得,
所以一次函数解析式为y= x+ ,
把B(﹣1,2)代入y= 得m=﹣1×2=﹣2;
(3)解:如下图所示:
设P点坐标为(t,t+ ),
∵△PCA和△PDB面积相等,
∴• •(t+4)= •1•(2﹣t﹣),即得t=﹣,
∴P点坐标为(﹣,).
【解析】【分析】(1)观察函数图象得到当﹣4<x<﹣1时,一次函数图象都在反比例函数图象上方;(2)先利用待定系数法求一次函数解析式,然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值;(3)设P点坐标为(t, t+ ),利用三角形面积公式可得到• •(t+4)= •1•(2﹣ t﹣),解方程得到t=﹣,从而可确定P点坐标.
3.已知点P在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,将点P向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到点Q,点Q也在该函数y=kx+b的图象上.
(1)k的值是________;
(2)如图,该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=
图象交于C,D两点(点C在第二象限内),过点C作CE⊥x轴于点E,记S1为四边形CEOB的面积,S2为△OAB的面积,若 = ,则b的值是________.
【答案】(1)﹣2
(2)3
【解析】【解答】解:(1)设点P的坐标为(m,n),则点Q的坐标为(m﹣1,n+2),
依题意得:,
解得:k=﹣2.
故答案为:﹣2.
(2)∵BO⊥x轴,CE⊥x轴,
∴BO∥CE,
∴△AOB∽△AEC.
又∵ = ,
∴ = = .
令一次函数y=﹣2x+b中x=0,则y=b,
∴BO=b;
令一次函数y=﹣2x+b中y=0,则0=﹣2x+b,
解得:x= ,即AO= .
∵△AOB∽△AEC,且 = ,
∴.
∴AE= AO= b,CE= BO= b,OE=AE﹣AO= b.
∵OE•CE=|﹣4|=4,即 b2=4,
解得:b=3 ,或b=﹣3 (舍去).
故答案为:3 .
【分析】(1)设出点P的坐标,根据平移的特性写出Q点的坐标,由点P,Q均在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组,两式作差即可求出k的值;
(2)由BO⊥x轴,CE⊥x轴,找出△AOB∽△AEC.再由给定图形的面积比即可求出
==,根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长,利用OE=AE﹣AO求出OE的长,再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程,解方程即可得出结论。
4.如图,在平面直角坐标系中,矩形OADB的顶点A,B的坐标分别为A(﹣6,0),B
(0,4).过点C(﹣6,1)的双曲线y= (k≠0)与矩形OADB的边BD交于点E.
(1)填空:OA=________,k=________,点E的坐标为________;
(2)当1≤t≤6时,经过点M(t﹣1,﹣ t2+5t﹣)与点N(﹣t﹣3,﹣ t2+3t﹣)的
直线交y轴于点F,点P是过M,N两点的抛物线y=﹣ x2+bx+c的顶点.
①当点P在双曲线y= 上时,求证:直线MN与双曲线y= 没有公共点;
②当抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点,求t的值;
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时,求t的取值范围,并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积.
【答案】(1)6;-6;(﹣,4)
(2)解:①设直线MN解析式为:y1=k1x+b1
由题意得:
解得
∵抛物线y=﹣过点M、N
∴
解得