2018五年级奥数.数论.因数个数(A级).学生版

因数个数

富翁打赌

有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻。贪财好利是他们的共同特点。

一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来。

精明的富翁说：“我可以每天给你1万元，只收回你1分钱。”

吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：“你若真的每天给我1万元，别说我给你1分钱，就是再给你1千我也干！”

“不！”精明的富翁说，“条件只是第一天，你给我1分。”

“难道你第二天还要给我1万？”

“是的”，精明的富翁说：“只是你第二天收了我的1万，要给我2分。第3天……”

没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：“第三天你再给我1万，我给你

“4分！就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍。”

吝啬的富翁心想：这家伙可能神经出了毛病，便问：“每天送我1万，这样下去，你的钱够送多少天呢？”

“我是人人都知道的百万富翁。”精明的富翁说：“我不打算都送给你，只拿出30万，先送你一个月足够了。但是你给我的钱也1分不能少！”

吝啬的富翁怕精明的富翁反悔，提出要签协议。

吝啬的富翁说：“你敢签订协议吗？”

于是他们找来了几个公证人，签了协议。

吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼。天刚亮，对方提着1万元送上门来，按约定他给了对方1分钱。

第二天，对方仍然如约送来了1万元。他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方2分钱。

对方高高兴兴地拿走了2分钱，还叮嘱：“别忘了，明天给我4分钱！”

可是，20多天以后，吝啬的富翁突然要求终止打赌。

对方以及一些证人当然不会同意，30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议。到最后，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了。

聪明的小朋友，你们说这是为什么？

原来呀，吝啬的富翁在1个月内共得到300000元。

他需要付给对方的钱，总数是：

1＋2＋4＋8＋16＋32……＋536870912＝1073741823（分）＝10737418.23（元）。

即：一千零七十三万七千四百一十八元二角三分。

这是一个何等大的数目呀，吝啬的富翁当然会把全部家当都输光了。知识框架

一、约数的概念与最大公约数

0被排除在约数与倍数之外

1．求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812

39632

，所以(12,18)236=⨯=；

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．

例如，求600和1515的最大公约数：151********÷= ；6003151285÷= ；315285130÷= ；28530915÷= ；301520÷= ；所以1515和600的最大公约数是15．

2．最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．

3．求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子

的最大公约数b ；b a

即为所求．二、倍数的概念与最小公倍数

1.求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；

②短除法求最小公倍数；例如：21812

396

32，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；③[,](,)

a b a b a b ⨯=．欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270

2.最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

3.求一组分数的最小公倍数方法步骤

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,412(4,12)4

==注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()

1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数．

2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3．对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为