高中数学：直线方程中的对称问题

高中数学：直线方程中的对称问题

在高中数学必修二的第三章“直线方程”中，可以有一个小专题为直线中的“对称问题”。这主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。

一、对称问题的求解方法

1、点关于点的对称

【例1】已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B。

分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。

2、直线关于点的对称

【例2】求直线3x-y-4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。

分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为3x-y+b=0。

说明：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线3x-y-4=0上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。

3、点关于直线的对称

【例3】求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称的点的坐标。

分析：利用点关于直线对称的性质求解。

4、直线关于直线的对称

二、关于对称常见的几种题型

1、角平分线问题

已知的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线

方程。

根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。

例1：已知△ABC的顶点A（-1，-4），内角B、C的平分线所在直线分别为1：y+1=0，2：x+y+1=0 ，求BC边所在的直线方程。

2、入射光线和反射光线问题

关于过点A(x0,y0),入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线经过点B(x1,y1),求反射线所在直线方程的有关问题。

根据光学性质，点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线上.因此,只要求出A点关于直线

A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。这样,就知道了反射光线BD 上两点的坐标,由两点式就得到反射线所在直线方程。

例2：光线从点M(－2，3）射到x轴上一点P(1，0)后被x轴反射，求反射光线所在的直线的方程.

3、线段之和最小问题

例3求的最小值

大自然中有很多精妙之处，比如蜂巢的结构可以使得蜜蜂用最少的材料造出最大的空间，比如光总是沿直线传播，即使在物体表面反射后，所走路线仍然是最短的．在数学中，最短距离问题往往可以通过某种对称，转化为两点之间的距离最短的问题．比如从初中开始，我们就很熟悉的这样的

问题：已知点和点，在轴上求一点

，使得取最小值．

我们只需要作关于轴的对称点，由

便可得到当三点共线时，有最小值．从而得到

．在光线反射问题中，因为光总是走最短距离的，所以将入射光线上的点关于反射面作对称，得到的点一定在反射光线上．

例1、(1)在直角坐标平面内，一条光线从点射出，经直

线反射后，经过点，则反射光线的方程为_________；

(2)如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是_______．

分析：(1)点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，由上一招可以直接写出对称点坐标为

，所以反射光线的方程为

整理得．

(2)由光线反射的性质知，点关于的对称点，与点关于

的对称点都在第一次反射后的光线上，如图：

的方程为，故，而

，光线所经过的路程就是的长，故为．

说明：入射光线与反射光线是相对的，如果光线反过来，从反射光线方向射入，则原来的入射光线就会变成反射光线，在处理光线相关问题时注意灵活转化．

例2：已知是直线上一点，分别是圆

与圆

上的动点，则

的最大值为_______．

分析：因为是相对独立的，要想取到最大值，我们希望尽量大，尽量小．设为圆外

的一点，为圆上一点，我们来研究的最大值与最小值，如图：

我们有

所以的最大值为，最小值为

．

于是的最大值为

如图，我们来求的最大值．

作关于直线的对称点

，则有

如图，当点为的延长线与直线的交点时，取到等号．

容易计算得的最大值为4．

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