计算方法模拟试题及答案

计算方法模拟试题

一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0⨯的误差限为（ ）。

A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3

1

)1(34)0(31)(2

0f f f dx x f ++≈

⎰的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。

A. 0det ≠A

B. 某个0

det ≠k A

C. )1,1(0det -=≠n k A k

D. ),,1(0det n k A k =≠

4.已知⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。

A. 1+k x

B. k k x x 11λ++

C. k x

D. k k x x 11λ-+

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。

2. 已知近似值21,x x ，则=-∆)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是对称阵 的一种变换方法。

5．改进欧拉法的公式为 。 三、计算题（每小题12分 ，共60分） 1. 求矛盾方程组；

⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+=+2

42321

2121x x x x x x 的最小二乘解。

2．用列主元法解方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++4

26453426352321

321321x x x x x x x x x

3．已知方程组

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----131********x x x a a a a （1） 写出雅可比法迭代公式； （2） 证明2

（3） 取1=a ，初始值T X )1,1,1()0(=，求出)1(X 。

4．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰21

1

dx x

，并估计误差。

5．用切线法求方程 0134=+-x x 的最小正根。

（1） 确定含根区间，检验切线法收敛条件 （2） 写出切线法迭代公式； （3） 选初始值0x ，计算出1x 。

四、证明题（本题10分，每小题5分）

1．设1)(max ),(<'==**x x x φρφ

证明 由 ,1,0)(1==+n x x n n φ ，得到的序列{}n x 收敛于*x 。

2．对于初值问题，⎩⎨⎧=-='1)0(10y y

y

证明当2.0

计算方法模拟试题答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．B ． 2. C. 3. C. 4. D. 5. B 二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 3.14

2. 2. 21x x ∆-∆ .

3. 1

4. 全部特征值和特征向量

5. ()()()

[]

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨⎧-==++=+=+++++1,,1,0,...1,0),(),(2),(11101

1N n m y x f y x f h y y y x hf y y m n n n n n m n n n n n . 三、计算题(每题12分，共60分)

1． 解

22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ 6分 由

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0

96209232

12

211

x x x x x x ϕϕ

解得 14

9

,71821==

x x 9分 故该矛盾方程组的最小二乘解为14

9

,71821==x x 。 12分 2.

解 ⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110042204264422032104264426453426352 故得方程组的解为 ,1,1,1321==-=x x x 12分 3.

（1） 雅可比法迭代公式为：

,1,0)1(41)3(41)1(41)

(2)1(3

)

(3)(1)1(2

)

(2)1(1=⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧+=++=+=+++m ax x ax ax x ax x m m m m m m m

5分 （2）因为2

8分

（3）取1=a ，T X )1,1,1()0(=， 计算得T X )4

2

,45,42()0(= 12分

4.解 697.0]2

1

)746454(21[81121

≈++++≈⎰dx x 8分

用2)(max ,2

)(,1)(,1)(232=''==''-='=

x f M x

x f x x f x x f 所以，96

1

412)(224=

⨯≤M f R 12分

5．（1） 由于04375.0)5.0(,01)0(<-=>=f f 所以]5.0,0[*∈x 在区间]5.0,0[上,012)(,034)(,3≥=''<-='x x f x x f

则由条件,0)()(0≥''x f x f 取5.00=x ，切线法收敛。 4分 （2）切线法迭代公式为： ,1,0,3

4133

41

=-+--=+n x x x x x n n n n n 8分 （3）由,0)()(0≥''x f x f 取00=x ，用上迭代公式计算得3

1

1=x 12分

证明题（每小题5分，共10分）

1.证明 由 ,1,0)(1==+n x x n n φ ，)(**=x x φ 两式相减，应用中值定理得

***1*1*)()()(x x x x x x x x x x n n n n n n n -≤≤-≤-'=-=---ρρξϕϕϕ 由1<ρ 得)(*∞→→n x x n 。 5分 2. 由欧拉公式得

11

~)101(~)101(---=-=n n n n y h y y h y 所以，01101101e h e h e n

n n -==-=- 当2.0

所以欧拉法绝对稳定。 5分