多边形单元上有理函数插值的误差估计
插 值 法(3)
第三章 插 值 法在观察或总结某些现象时，往往会发现所关心变量之间存在着某种联系，但是这种联一般很难用解析式表达。
有时即便找出了其解析表达式，由于表达式过于复杂，使用或计算起来也可能十分困难。
于是就想到能否用形式比较简单的函数去近似原来很困难得到或应用起来不便的函数。
本章所讨论的插值法就是函数近似表达的一种方法。
这里介绍的插值方法本身也是以后介绍的方法如：数值积分，数值微分，以及微分方程的数值解的基础。
本章主要介绍插值函数的构造，误差估计及简单介绍方法的收敛性和稳定性。
§1.插值的基本概念插值定义：设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n 10x ,,x ,x 为［a,b ］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：n ,,2,1,0i ),x (f )x (y i i ==(3—１)则称y(x)为f(x)关于节点n 10x ,,x ,x 在Ｙ上的插值函数，点n 10x ,,x ,x 称为插值节点,f(x)称为被插值函数。
包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。
关于函数插值，我们要回答以下几个问题：(1)给定了被插函数（即f(x)），插值节点n 10x ,,x ,x 及插值函数类Ｙ，那么满足插值条件的插值函数是否存在？若存在，是否唯一？即插值的存在性与唯一性问题。
(2)如若插值函数存在唯一，如何构造插值函数?即采用何种插值方法问题。
(3)y(x)作为f(x)的近似函数，存在误差R(x)=f(x)-y(x)。
如何估计其误差？当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。
现在首先回答第一个问题：由于我们这里介绍的插值函数类Ｙ是多项式类。
故要求插值函数是多项式的情况下，来回答存在性与唯一性问题。
定理：设)x (M n 表示次数不超过n 次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x (M n 的插值多项y(x)存在且唯一。
有限元误差估计
有限元误差估计有限元误差估计是计算数值模拟中一种常见的误差估计方法。
有限元方法是一种将连续物理问题离散化为有限元网格的数值方法。
在有限元方法中，通过将物理区域划分成小的单元，构造适当的插值函数来近似原始问题，然后用数值方法求解近似问题。
在有限元方法中，误差是指近似解与准确解之间的差别。
误差估计是计算近似解误差大小的方法。
有限元误差估计有以下两种类型：全局误差估计和局部误差估计。
全局误差估计是对整个求解域内的误差进行估计。
估计方法包括后验误差估计和检验方法。
后验误差估计是通过计算近似解和准确解的误差，然后根据误差的特征来估计整个求解域内的误差。
检验方法是通过对已知问题进行数值实验，比较近似解和准确解的差异，从而估计整个求解域内的误差。
局部误差估计是对每个单元内的误差进行估计。
局部误差估计方法包括超薄元法（超收敛元法）和修正残差法。
超薄元法是通过在每个单元内选择更精确的插值函数来提高近似解的精度，从而减小局部误差。
修正残差法是通过计算修正残差来估计局部误差。
修正残差是近似解和准确解的残差，通过在局部区域中适当地增加修正函数，使得修正残差的估计更加准确。
在有限元误差估计中，还存在一些困难和挑战。
首先，确定精确解是困难的，因为很多实际问题没有解析解。
其次，误差估计需要计算大量的数值积分和求解大规模的线性方程组，计算复杂度较高。
此外，误差估计还与插值函数的选取和网格的划分有关，这是通过经验和实验确定的。
有限元误差估计在工程和科学计算中有着广泛的应用。
它可以用于验证数值模拟结果的准确性，也可以用于适当地改进数值模拟方法，提高计算结果的精度。
因此，有限元误差估计在数值模拟研究中具有重要的意义。
综上所述，有限元误差估计是求解数值模拟问题中必不可少的一部分。
它通过估计近似解与准确解之间的差别，帮助我们判断数值模拟结果的精度和准确性。
有限元误差估计在解决工程和科学计算问题中起着关键的作用。
等距节点分段二次插值的误差估计
(x xn )
当点
x
与插值节点
{xi
}n i0
互不相同时，构造以
t
为新自变量的函数
g(t) f (t) (t) k(x)n1 (t)
g(t) 在区间[a, b] 上的 n 2 个互异零点： x 、{xi}in0
当 g(t) 充分光滑时， g (n1) (t) 在开区间(a, b) 内至少存在一个零点ξ
特别的取 =Pn span 1, x, x2 ,, xn , 即
Pn (x ) (x ) a0 a1x a2x 2 an x n , ai R , 0 i n
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4 . 存在惟一性
分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确 定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组
f (x)
0 m3 m2
f (m) (x)
插值余项： Rn (x) f (x) (x)
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误差估计(续1)
分析： Rn (xi ) f (xi ) (xi ) 0, i 0,1, 2, , n
Rn (x) f (x) (x) k(x)n1(x) n1(x) (x x0 )(x x1)
0ik 0 i k 1
Lk (x) Lk1(x) A (x x0 )( x x1)(x xk1)
Lk
li (
(x) x)
(
k
f (xi )li (x)
i0
(x x0 )(x x1)(x xi x0 )(xi x1)(xi
拉格朗日插值法理论及误差分析
拉格朗日插值法理论及误差分析拉格朗日插值法理论及误差分析浅析拉格朗日插值法目录：一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、1、截断误差在[a,b]区间上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x)，其截断误差是指Rn?x??f?x??Ln?x?通常称Rn?x?为拉格朗日插值余额。
注意到利用公式估计截断误差实际上非常困难。
一是因为它要计算函数f(x)的高阶导数，当f(x)很复杂时，计算量很大，而当f(x)没有可用来计算的表达式时，导数无法准确计算；二是因为即使能得到高阶导数的解析式，但于?的具体位置不知道，所以要估计高阶导数在插值区间上的界一般是非常困难的事情。
因此，公式并不实用。
2、截断误差的实用估计式既然公式估计误差时不实用，那么实际中如何估计截断误差呢？假设插值条件中包含n+2组数据?,n,n?, 1f(xi)?yi , i?0,1那么利用n+1组数据我们可以构造一个n 次拉格朗日插值多项式Ln(x)，利用后n+1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式L*n(x)。
利用公式知，他们各自的插值余项为f(x)?Ln(x)?1f(n?1)(?)(x?x0)(x?x1)?(x?xn),(n?1)!1f(n?1)(?*)(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1), (n?1)!f(x)?L*n(x)?两式相减得L*n(x)?Ln(x)?并可写成1fn?1(?)(x?x1)?(x?xn)(xn?1?x0),(n?1)!L*(x)?Ln(x)1(n?1)f(?)(x?x1)?(x?xn)?n.(n?1)!xn?1?x0注意到上式中利用fn?1(?)?fn?1(?*).该条件在很多情况下是成立的。
利用式可得?Ln(x)?L*n(x)R(x)?f(x)?L(x)?,n? nx0?xn?1? ? *?R*(x)?f(x)?L*(x)?Ln(x)?Ln(x),nn?xn?1x0?式给出了用Ln(x)或L*n(x)作近似计算时的实用误差估计式，它不需要计算高阶导数，也不用估计插值区间上高阶导数的界。
计算方法第三章(插值法)解答
Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根 思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则 根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2
xn
y2
插值MATLAB实现(牛顿差商插值误差龙格现象切比雪夫插值)
插值MATLAB实现（牛顿差商插值误差龙格现象切比雪夫插值）插值是数值分析中的一种方法，通过已知数据点的函数值来估计函数在其他点的值。
MATLAB提供了多种方法来实现插值，包括牛顿差商插值、插值误差分析、龙格现象和切比雪夫插值。
下面将详细介绍这些方法的实现原理和MATLAB代码示例。
1.牛顿差商插值：牛顿差商插值是一种基于多项式插值的方法，其中差商是一个连续性的差分商。
该方法的优势在于可以快速计算多项式的系数。
以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [coeff] = newton_interpolation(x, y)n = length(x);F = zeros(n, n);F(:,1)=y';for j = 2:nfor i = j:nF(i,j)=(F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));endendcoeff = F(n, :);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，返回值coeff表示插值多项式的系数。
2.插值误差分析：插值误差是指插值函数与原始函数之间的差异。
一般来说，通过增加插值节点的数量或使用更高次的插值多项式可以减小插值误差。
以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [error] = interpolation_error(x, y, x_eval)n = length(x);p = polyfit(x, y, n-1);y_eval = polyval(p, x_eval);f_eval = sin(pi*x_eval);error = abs(f_eval - y_eval);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，x_eval表示插值节点的x坐标，error表示插值误差。
3.龙格现象：龙格现象是插值多项式在等距插值节点上错误增长的现象。
数值逼近：有理逼近
Rm 1 am 1 Pm 1 a m Pm 2 bm 1 a bm qm 1 m 1 qm 1 a m qm 2 bm 1 bm Pm 1
bm 1 Pm a m 1 Pm 1 bm 1qm a m 1qm 1
由序列 { Pk }, {qk } 的定义，上式右端的分子为 Pm 1 分母为
但自由度只有 m n 1 个.
给定 f ( x ) 的 n m 1 个互异的节点 xi 处的值 yi f ( xi )，要求寻找一个有理分式
Rm ,n ( x i ) f ( x i )
( i 0, 1, , n m )
Rm ,n ( x )
使得
（6）
1°插值问题（6）是否有解，解是否唯一? 问题： 2°怎样构造插值函数？ 3°插值函数的误差估计.
此处
P1 1, q1 0, P 0 b 0 , q0 1
（3）
则由（2）式定义的 Rk 等于 P k , qk 之比，即
Pk Rk qk ,
k 1, 2, , n来自（4）a1 b0 b1 a1 证： k 1 时，由（2）有 R1 b0 b1 b1
另一方面，由关系式（3）有
x x0 R( x ) v 0 ( x 0 ) x x1 v 1 ( x1 ) v2 ( x2 ) x x n 1 x x n 1 vn ( xn ) vn ( x )
（9）
（9）式是一个连分式，假设对于互异节点 x0 , x1 , , x n 函数 v k ( x) 在 x k 处有定义，那么有
R n的连分式可采用递推公式来计算.
R n b0 a1 b1 b2 a2 an bn
单元和单元插值函数
二、Hermite 单元 如果希望单元间的公共节点上还保持场函数导数的连续性，则节点参数还应包含场函数导数的节
点值。这时可采用 Hermite 多项式作为单元的插值函数。对于只有两个端节点的一维单元（如弯曲梁单
元），场函数采用 Hermite 多项式的插值函数可表示为
2
i 1
H
2
(0 i
节点值）或 Hermite 族（还含场函数导
数的节点值）；
图 3-3、三次或高次单元
（3） 按插值函数：Lagrange 多项式或Hermite 多项式；
（4） 按单元坐标：笛卡尔坐标和自然坐标。
134
§3-2 一维单元
如大家熟知的杆单元或弯曲梁单元 ，实质上是两种形式的一维单元 ：杆单元的节点参数中只包含
1
N9
9 2
L1L3 3L1
1
对于中心节点
N 10
L1 L2 L3 13 13 13
27L1L2 L3
如有需要，可以构造更高次的三角形单元，其步骤
是
（1） 按二维域内各次完全多项式的要求确定节
点的数目（ n ）和位置，此要求可表示如 Pascal 三角形
如图 3-6 所示。
（2） 按广义的 Lagrange 插值多项式构造插值函
（3-2-10）
其 中 f j j 表 示 任 一 点 至 点 j 的 距 离 ， 也 是 j 点 坐 标 j 表 示 成 方 程 形 式
f jj 0 的左端项。显然可见 f j j 0 ，从而保证了 Ni j 0（ j i ）这一要求的满足。
f ji i j 是点i 的坐标代入 f j 后得到的数值，这一因子引入的分母，是为了保证 Ni i 1 这一要求的满足。理解 f j 和 f j i j 的意义，对今后构造其他形式 Lagrange 单元的插值函数是有帮
拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange）、牛顿（Newton）、高斯（Gauss）等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系y f （x）在某些离散点上的函数值：P m (x)m m 1 a 0xa 1xam 1x插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x) 的一种简单的近似表达式， 以便于计算点 x x i ,i 0,1,L , n 的函数值 f ( x) ，或计算函数的一阶、二阶导数 值。
2、插值的几何意义3.1 基本概念假设 y f (x) 是定义在区间 a,b 上的未知或复杂函数，但一直该函数在 点a x 0 x 1 Lx n b 处的函数值 y 0, y 1,L y n 。
找一个简单的函数， 例如函数 P(x)，使之满足条件P(x) y i ,i 0,1,2,L ,n, (3.1)通常把上述 x 0 x 1 L x n 称为插值节点，把 P(x)称为 f ( x)的插值多项 式，条件( 3.1)称为插值条件，并把求 P(x) 的过程称为插值法。
3.2 插值多项式的存在性和唯一性如果插值函数是如下 m 次的多项式：那么插值函数的构造就是要确定P m (x)表达式中的 m+1 个系数 a0,a1,L am 1,am 。
三次样条插值的拟合误差
三次样条插值是一种常用的数据拟合方法，它通过在相邻数据点处拟合三次多项式，并满足一定的边界条件，从而得到一条光滑的曲线。
拟合误差是指拟合曲线与原始数据点之间的差异。
一般来说，拟合误差可以通过计算拟合曲线在各个数据点处与实际数据的差值来评估。
具体来说，对于三次样条插值，可以通过以下步骤来计算拟合误差：
1. 首先，利用三次样条插值方法拟合出曲线。
2. 然后，在每个原始数据点处，计算拟合曲线与实际数据的差值，即拟合误差。
3. 最后，可以计算拟合误差的均方根误差（RMSE）或其他指标来评估拟合的精度。
需要注意的是，拟合误差的大小并不是唯一衡量拟合质量的标准，还需要结合实际应用场景和对拟合曲线的要求来综合评估拟合效果。
如果你有具体的数据和想要进行三次样条插值拟合误差计算的问题，也可以提供更详细的信息，我可以帮你进行具体的计算和分析。