含可调参数的一次有理样条插值

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样条插值函数与应用

样条插值函数及应用摘要样条函数具有广泛的应用，是现代函数论的一个十分活跃的分支，是计算方法的主要基础和工具之一，由于生产和科学技术向前发展的推动以及电子计算机广泛应用的需要，人们便更多地应用这个工具，也更深刻的认识了它的本质。

在实际问题中所遇到许多函数往往很复杂，有些甚至是很难找到解析表达式的。

根据函数已有的数据来计算函数在一些新的点处的函数值，就是插值法所需要解决的问题。

插值法是数值逼近的重要方法之一，它是根据给定的自变量值和函数值,求取未知函数的近似值。

早在一千多年前,我国科学家就在研究历法时就用到了线性插值和二次插值。

而在实际问题中,有许多插值函数的曲线要求具有较高的光滑性,在整个曲线中,曲线不但不能有拐点,而且曲率也不能有突变。

因此，对于插值函数必须二次连续可微且不变号 ,这就需要用到三次样条插值。

关键词三次样条函数；插值法目录引言 0第一章三次样条插值 (1)1.1 样条插值函数简介 (1)1.2 三次样条函数应用 (2)第二章AMCM91A 估计水塔水流量 (4)2.1 理论分析及计算 (5)2.2运用MATLAB软件计算 (8)参考文献 (13)引言样条函数具有广泛的应用，是现代函数论的一个十分活跃的分支，是计算方法的主要基础和工具之一，由于生产和科学技术向前发展的推动以及电子计算机广泛应用的需要，人们便更多地应用这个工具，也更深刻的认识了它的本质。

上世纪四十年代，在研究数据处理的问题中引出了样条函数，例如，在1946年Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数，直到五十年代，还多应用于统计数据的处理方面，从六十年代起，在航空、造船、汽车等行业中，开始大量采用样条函数。

在我国，从六十年代末开始，从船体数学放样到飞机外形设计，逐渐出现了一个使用样，逐渐出现了一个使用样条函数的热潮，并推广到数据处理的许多问题中。

在实际生活中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求，例如飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数，用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当节点逐渐加密时其函数值整体上能很好地逼近被插函数，相应的导数值也收敛于被插函数的导数值，不会发生“龙格现象”。

样条插值

数值分析
作业
• 教材第146页习题：20、22、25、26
数值分析
数值分析
三次样条插值
数值分析
余下的n+3个条件的确定：
（1）n+1个插值节点条件，即s3(xk)=f(xk)=yk; （2）两个边界条件！
数值分析
三次样条插值的边界
数值分析
构造三次样条插值函数S ( x )的基本方法
(1)三弯矩插值法
（2）三转角方（3）基于B样条的三次样条插值函数
数值分析
f (1.25) ≈ S (1.25) = S1 (1.25) = 1.0336,Q 1.25 ∈[1.2,1.4].
数值分析
数值分析
B（皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier））样条
数值分析
样条函数插值
定义：记
k ⎧ x , x≥0 k x+ = ⎨ ⎩ 0, x < 0
k x+ (k = 1, 2,L ) 称为 k 次半截单项式，并规定
• • • • • 一元函数插值（一元Lagrange插值）二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值分段低次插值样条插值
数值分析
样条插值
• 分段低次插值，收敛性好，但光滑性不够理想。为了得到光滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。 • “样条”名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计：给出外形曲线上的一组离散点(样点),(xi , yi),i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定,使其在其它地方自由弯曲,这种样条所表示的曲线,称为样条曲线(函数). • 这样，整个曲线不仅通过样点，并且在整个区间上其一阶导数，二阶导数是连续的。

计算机辅助几何设计含参数保形有理样条插值

计算机辅助几何设计含参数保形有理样条插值计算机辅助几何设计（Computer-Aided Geometric Design，简称 CAGD）是计算机科学、数学和工程的交叉学科，它的发展历程可以追溯到20世纪70年代。

CAGD主要是利用计算机帮助人们完成各种几何设计任务，如曲线拟合、曲面建模、数据可视化等等。

其中，参数保形有理样条插值是CAGD中的一种基本技术之一，下面我们将对其进行详细介绍。

一、CAGD简介计算机辅助几何设计是一种利用计算机技术进行几何建模、分析、验证和制造的方法。

CAGD的应用范围非常广泛，涵盖了工业设计、航空航天、汽车制造、医学医疗、艺术设计等领域。

通过CAGD的技术手段，可以在计算机上创建数学模型，并对其进行几何变换、仿真分析、优化求解等操作，从而提高设计效率和质量。

CAGD的发展历程可以追溯到20世纪70年代，当时计算机的性能和软件工具都比较有限，所以主要应用于科学计算和工程仿真领域。

随着计算机技术的飞速发展，CAGD的应用范围也越来越广泛，涌现出了许多优秀的方法和算法，如Bezier曲线、B样条曲线、NURBS曲面、三角网格模型等等。

二、参数保形有理样条插值有理样条曲线是一种常用的数学曲线，它可以用来表示各种形状的曲线和曲面。

和其他曲线表示方法相比，有理样条曲线具有重要的优点，如良好的几何性质、局部控制性能、优秀的逼近性能等等。

参数保形有理样条插值是有理样条曲线中的一种插值方法，它可以通过已知的插值点来构造一条参数保形的有理样条曲线。

插值问题是求解函数$f(x)$在一些已知点$x_i$处的函数值$f(x_i)$的问题。

对于一些简单的函数，这个问题可以直接求解。

但是对于复杂的函数，如曲线和曲面，这个问题并不容易解决。

在实际应用中，经常需要求解一条曲线通过已知点，并且曲线在每个插值点处具有特定的曲率、斜率等属性。

这个问题就可以通过参数保形有理样条插值方法来解决。

参数保形有理样条插值是一种基于控制点的插值方法。

关于可微函数的一类有理插值逼近

关于可微函数的一类有理插值逼近可微函数的一类有理插值逼近是一种常用的数值逼近方法，它通过有理函数来逼近给定的可微函数。

有理函数的形式为两个多项式的比值，通过选择适当的多项式系数来使得有理函数与给定的函数在插值点上取得相同的值，并尽量减小两者之间的差距。

有理插值逼近的优势之一是可以得到较高的逼近精度，特别是在函数发生奇点或光滑性不佳的位置附近。

此外，有理函数比多项式具有更高的灵活性，可以更好地逼近一些特殊形式的函数。

有理插值逼近的一般步骤如下：1. 选择插值节点：在给定的区间上选择一组插值节点。

常见的选择方式有等距节点和Chebyshev节点等。

2.构造有理函数的分子和分母多项式：根据插值节点和给定的可微函数，构造出有理函数的分子和分母多项式，其中分子和分母的次数通常可以不同。

3.求解系数：利用插值条件，可以得到一系列的线性方程组来求解分子和分母多项式的系数。

4.进一步优化：通常情况下，得到的有理函数在插值点上的逼近效果会比较好，但在插值点之外的区域可能存在较大的误差。

为了进一步优化逼近效果，可以增加约束条件，如最小二乘法或最大化逼近区间。

使用有理插值逼近方法的好处之一是可以通过选择适当的插值节点和优化方法来调整逼近效果。

插值节点的选择可以根据函数的特性来进行，例如在函数的奇点附近增加更多的插值点，或者在比较光滑的区域以较少的插值点进行逼近。

优化方法可以根据需要来选择，以求得更好的逼近结果。

总结起来，有理插值逼近是一种用有理函数逼近可微函数的方法，具有较高的逼近精度和较好的灵活性。

通过选择适当的插值节点和优化方法，可以得到更好的逼近效果。

在数值计算中，有理插值逼近常常用于替代传统的多项式插值法，以逼近一些特殊形式的函数。

一次有理插值样条

ＡｂｔａｔＩｌｋｏｈｔபைடு நூலகம்ａｙｅｔｉｒｔｎｌｎｅｐｌｔｎｈｖｕｆｉｎｌｍｏｔ，ｎｏｅｎｓｒｃ：ｔｉｗｅｌｎｗｎｔａｒｃｎｒａｉａｔｒｏａｉａｅｓｆｉｅｔｓｏｈｏｐｌｓａｄｓｂｃｏｉｏｃｙ
ｈｇｐｒｘｍａｉｎｏｄｒ，ｒｇｒｌｓｆｔｅｄｓｒｂｔｎｏｈｏｎｓＦｒｔｉｈａｐｏｉｔｏｒｅｓｅａｄｅｓｏｈｉｔｉｕｉｆｔｅｐｉｔ．ｉｓｌｏｙ，ｇｖｎｗｅｇｔａｅｉｅｉｈｓｂｓｄｌｃｌｂｒｃｎｒｃｒｔｎｌｎｅｐｌｎｓａｅｃｎｔｕｔｄａｄｔｅａｐｏｉａｔａｕｓｏｅｉａｉｅｒｂｏａａｙｅｔｉａｉａｔｒｏａｔｒｏｓｒｃｅｎｈｐｒｘｎａｅｖｌｅｆｒｖｔｖｓａｅｏ — ｏｉｄｔｉｅ．ＳｃｎｌｎｗａｉｎｌｉｔｒｏａｉｎｓｌｅｗｉｉｅｒｎｍｅａｏｎｉｅｅｏｉａｏＳａｎｄｅｏｄｙ，ｅｒｔｏａｎｅｐｌｔｏｐｉｔｌａｕｒｔｒａｄｌａｄｎｍｎｔｒｉｎｈｎｎｐｅｅｔｄＴｈｈｍｅｈｓｂｅｓｄｔｂａｎａＣｕｖｎｔｔｅｓｍｅｔｍｅｒｓｒｅｎｔｎｃ— ｒｓｎｅ．ｅｓｅａｅｎｕｅｏｏｔｉｃｒｅａｄａｈａｉｓｐｅｅｖｓｍｏｏｏｉｉｔ．ｔｅｅｄｎｈｐｏｓｒｉｔｒｅｉｅｎｔａｌｓｏａａｅｅｓｔｎｕｅｐｅｅｖｎｈｙＤａａｄｐｎｅｔｓａｅｃｎｔａｎｓａｅｄｒｖｄｏｗｏｆｍｉｅｆｐｒｍｔｒｏｅｔｒｒｓｒｉｇｔｅｉｓａｅｏｈａａｗｈｌｈｔｅｗｏｆｍｉｅｆａａｅｅｓａｅｌｆｒｅｆｒｕｅｏｃｎｒｌｎｄｆｈｐｆｔｅｄｔｉｔｅｏｈｒｔａｌｓｏｒｍｔｒｒｔｆｅｏｓｒｔｏｔｏｄｍｏｉｅｉｐｅａｙｔｅｓａｅｏｈｉｅａａｆｒｈｒｉｈｅｉｅｅｉｎｏｕｖ．Ｌａｔｙｈｒｏｎｕｅｉｌｘｈｈｐｆｔｅｇｖｎｄｔｕｔｅｔｅｄｓｒｄｒｇｏｆｃｒｅｎｓｌ，ｔｅｅｒｒａｄａｎｍｒｃ — ａｅａｌｒｉｅｏｓｏｔｅｅｆｃｉｅｅｓｏｈｅｍｅｈｄｍｐｅａｅｇｖｎｔｈｗｈｆｅｔｖｎｓｆｔｅｎｗｔｏ．Ｋｅｒｓｗｅｇｔｂｒｃｎｒｃｒｔｎｌｎｅｐｌｔｎ；ａｉｎｌｓｌｅｉｔｒｏａｉｎ；ｓａｅｐｅｅｖｎｙｗｏｄ：ｉｈ；ａｙｅｔｉａｉａｔｒｏａｉｒｔａｐｉｎｅｐｌｔｏｏｉｏｏｎｈｐｒｓｒｉｇ

数值分析(15)样条插值

数值分析
于是,在[xi , xi 1 ]上
( x xi 1 )2 (hi 2( x xi )) ( x xi )2 (hi 2( xi 1 x )) Si ( x ) yi yi 1 3 3 hi hi ( x xi 1 ) 2 ( x x i ) ( x xi ) 2 ( x xi 1 ) mi mi 1 2 2 hi hi
故构造S ( x )需要4n个条件由（1）已知节点上函数值 yi , i 0,1, 2, ..., n。这是n+1个条件
由（2）S ( x ) C 2 [a , b], 隐含着在内节点上应有 Si 1 ( xi ) Si ( xi ), Si'1 ( xi ) Si' ( xi ), Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1
数值分析
数值分析
(3)如何求mi？利用在节点上二阶导数连续的条件由 Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1 导出三转角方程（n 1个方程要解n 1个未知数）
（4）再由三转角方程边界条件（补充两个方程）封闭的方程组，可求出mi ,( i 0,1, 2, ..., n)
（2）构造三弯矩方程
利用S ( x )在内节点上一阶导数连续的条件，在区间[ x i , x i 1 ]上 ' ( x ) 3a ( x- x ) 2 2b ( x- x ) c Si i i i i i
数值分析
数值分析
三、三弯矩方程求解法
三弯矩法的基本思想（1）yi'' f '' ( xi )未知，但可设S '' ( xi ) M i , ( M i yi'' , 只是M i yi'' ) （2）如能求出M i，则可由M i 和yi 构造S ( x ).

样条插值函数 matlab

样条插值函数 matlab引言插值是数值分析中的一种常用技术，它可以根据已知数据点的信息，通过建立一个函数模型来预测未知数据点的值。

样条插值函数是插值中的一种方法，它通过连接已知数据点的线段和曲线段来逼近未知数据点，从而实现预测的目的。

在 matlab 中，我们可以使用样条插值函数来快速、准确地进行数据的估计和插值操作。

样条插值的原理样条插值是一种分段函数的插值方法，它首先将整个数据区间分成若干小段，然后在每个小段内使用一个函数去逼近已知数据点。

样条插值函数通常具有一阶、二阶或三阶连续性，这意味着在每个小段的端点上，函数值、一阶导数值、二阶导数值都是连续的。

在 matlab 中，可以使用spline函数来实现样条插值。

该函数的调用形式如下：spline(x, y, xx)其中，x和y是已知数据点的坐标，xx是需要估计的数据点的坐标。

spline函数会根据已知数据点的信息，计算出估计数据点的值。

样条插值的使用在使用样条插值函数之前，我们首先需要准备好已知数据点的坐标。

假设有以下的数据点：x = [0, 1, 2, 3, 4, 5]y = [0, 1, 4, 9, 16, 25]我们可以使用plot函数将这些数据点绘制出来，以便观察其分布情况：plot(x, y, 'o')样条插值的一阶连续性样条插值函数的一阶连续性要求每个小段的端点处函数值相等。

为了满足这个要求，我们可以在spline函数的参数列表中增加额外的约束条件：spline(x, y, xx, '1')这样，计算出的插值函数就会满足一阶连续性。

样条插值的二阶连续性样条插值函数的二阶连续性要求每个小段的端点处一阶导数值相等。

为了满足这个要求，我们可以在spline函数的参数列表中增加额外的约束条件：spline(x, y, xx, '2')这样，计算出的插值函数就会满足二阶连续性。

样条插值的三阶连续性样条插值函数的三阶连续性要求每个小段的端点处二阶导数值相等。

样条函数插值

样条函数插值样条函数插值，是在有限的几何点中求出一组平滑函数，可以精确的贴近原来的数据的过程。

样条函数插值最早是在19世纪末由V. Schoenberg提出的，用于在复合空间中进行自由流体动力学和扩散模拟的数值方法，随着被提出的时间的推移，样条函数插值得到了不断的发展，现如今被广泛的用于数据拟合、函数拟合、仿射变换、几何曲线建模、机器学习等应用上。

样条函数插值法，通常指用于数据拟合的办法。

它是将原先的数据点（插值点）集合连接，形成一系列的平滑曲线，然后在这些曲线上根据每一条曲线规律生成具有明确调整参数的单个函数，即样条曲线函数，该函数可用来表示插值点集合中每一处点，从而可以实现数据拟合。

使用样条函数插值拟合数据的不同之处，就在于样条函数插值拟合完成初始数据可以尽可能的扩展，边界地带可以沿着给定点扩展，此外，它也有良好的几何特性，可以连续变化，具有一定的多参数优化能力，确定多参数的优化问题的逼近度，确定拟合的参数等强大的能力，使其能更有效的完成拟合。

此外，样条函数拟合的原理可以用简单的几何形式来描述，即将整个空间中的点分为三种不同的情况。

将首尾的点假定为特定参考点，而中间的点连接成一个平滑曲线，内部每一条曲线段以某种最小二乘拟合方式来生成具体的样条曲线，每条曲线段有两个参数，斜率和曲线弧度。

并且根据参数调整，可以使得这条曲线会拟合出原始数据点集中最佳的接近度，同时这条曲线也可以优化在给定参数范围内的定义域内的曲线，以使得样条函数拟合所得结果最接近数据集的原始值。

样条函数拟合的技术广泛应用于数据拟合、函数拟合、图像处理等领域，比如计算机视觉领域中可以应用于精细分割，几何形状拟合，曲线和曲面建模等等。

样条函数拟合一般应用在缺少精确计算的情况下，比如波形拟合和几何图形拟合等情形，它具有在定义域内的精度可控性和多参数优化也很有用，这在曲面建模和机器学习上也有大的应用价值，证明其对普遍的函数估计有着不可忽略的作用。

常见的插值方法及其原理

常见的插值方法及其原理1. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，通过n+1个已知点的函数值来构造一个n次多项式。

具体的计算公式如下：L(x) = Σ[yk * lk(x)], k=0 to n其中yk为已知点（xi, yi）的函数值，lk(x)为拉格朗日基函数，定义为：lk(x) = Π[(x - xj)/(xi - xj)], j=0 to n, j≠k拉格朗日插值法的原理是通过构造一个通过已知点的n次多项式，来代替未知函数的近似值。

利用拉格朗日基函数的性质，可以保证插值多项式通过已知点。

2. 牛顿插值法（Newton Interpolation）牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过已知点的函数值和差商来逐步构造插值多项式。

差商的定义如下：f[x0]=y0f[x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)f[x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)...f[xn] = (f[xn] - f[xn-1]) / (xn - xn-1)利用差商的定义，可以得到牛顿插值多项式的表达式：N(x) = f[x0] + f[x0, x1](x-x0) + f[x0, x1, x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)牛顿插值法的原理是通过递推计算差商来得到插值多项式。

通过使用差商来处理已知点的函数值差异，可以得到更高次的插值多项式。

3. 样条插值法（Spline Interpolation）样条插值法是一种基于分段低次插值函数的插值方法，常用的是三次样条插值。

样条插值法通过寻找一组分段函数，使得满足原函数的插值条件，并要求函数在每个插值点处的函数值、一阶导数和二阶导数连续。

这样可以保证插值函数在每个插值点处的平滑性。

三次样条插值法的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，在每个小区间内使用三次多项式进行插值。

样条插值及应用研究

报告题目《样条插值及应用》研究学院：研究生学院专业：机械工程组号： 39成员：日期： 2012年12月31日《样条插值及应用》研究第一章对象描述一．《样条插值及应用》的描述自上世纪60 年代以来, 由于航空造船等工程设计的需要, 发展了样条插值技术, 现在样条函数越来越流行, 它不仅是现代函数逼近的一个活跃的分支,而且也是现代数值计算中一个十分重要的数学工具。

它以各种方式应用到逼近论、数据拟合、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程的数值求解中。

在外形设计乃至计算机辅助设计的许多领域,样条函数都被认为是一种有效的数学工具。

设)(x s 是定义在],[b a 上的函数，在],[b a 上有一个划分∆：b x x x a n =<<<= 10, （1.1）若)(x s 满足如下条件：(1) )(x s 在每区间],[1i i i x x I -=(n i ,,2,1 =)上是m 次多项式；(2)函数],[)(1b a C x s m -∈,即)(x s 在],[b a 上有1-m 阶连续导数．则称)(x s 是关于划分∆的一个m 次样条函数。

简单地说，样条函数就是由一些具有某些连续性条件的子区间上的分段多项式构成的。

若样条函数)(x s 还满足条件：(3)对给定的某函数在节点上的函数值),,1,0)((n i x f f i i ==，且 ),,2,1,0()(n i f x s i i ==，（1.2）则称)(x s 是)(x f 关于划分∆的一个m 次样条插值函数。

二．《样条插值及应用》的相关概念1.2.1插值法设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，且已知在点b x x a n ≤≤≤≤ 0上的值),,1,0()(n i y x f i i ==，若存在一简单函数)(x ϕ，使得),,1,0()(n i y x i i ==ϕ （1.3）成立，就称)(x ϕ为)(x f 的插值函数，点),,1,0(n i x i =为插值节点，包括插值节点的区间],[b a 称为插值区间，求插值函数)(x ϕ的方法称为插值法。

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含可调参数的一次有理样条插值
为了使有理插值样条在计算机图形和CAD领域有更灵活的应用，构造了带有可调参数一次有理样条函数（1/1型）。

该函数可通过选取适当的形状参数使得曲线具有保形性。

可以通过调整参数交互式的修改插值曲线的形状，以得到满意的曲线，并证明了此类插值函数的保单调性和给出了其误差分析。

标签：有理样条；参数；保单调
引言
有理插值在逼近理论中有着重要的作用，多项式插值是其中典型的方法。

然而生成的曲线虽然具有较好的光滑性，但容易产生不必要的震荡，并且有时还会破坏原函数的单调性。

所以文章构造一个分母分子均为一次的分段有理插值函数（即1/1型），它具有非常好的保单调性并得以验证，而且是含有可调参数的。

带有可调参数的有理插值样条可以通过调节相应区间上的可调参数来局部改变曲线形状。

因为保形问题一直是插值中一个很重要的问题，实际的工程问题往往要求所构造的插值曲线保持被插函数或者插值点所反映的在插值区间上的单调、凹凸性质。

1 插值函数的构造
定义如果函数s（x）满足条件：
（i）S（xi）=fi，1，2，…，n
（ii）S（x）在每个区间[xi，xi+1]上分子、分母均为一次多项式；
（iii）S（x）在[xi，xn]上是单调的，
则称S（x）是定义在[xi，xn]上的分段线性保形有理插值。

构造上述函数的表达式f（x），设f（x）在区间[a，b]上有定义，区间[a，b]剖分为a=x10是可调参数，由式（1）构造的函数明显满足以下等式
由此可以得到函数S（x）满足上述对于分段线性保形有理插值定义的条件（i）与（ii）。

2 一元插值函数的严格保单调性
定理（严格保单调性）已知严格单调数据{（xi，fi）i=1，2，…，n}，u1>0，u2>0并且参数ui满足ui+1=（？驻i-1/？驻i）ui-1，i=2，3，…，n-1时，则有理插值函数s（x）∈C1[a，b]并且是保单调的。

证明：不妨假设f1>f2…>fn或？驻i<0
因为s（x）是C0连续的，为了讨论s（x）的一阶连续性，对式（1）求导，并化简得：
因为
所以
又由于，明显得到。

所以函数S（x）在区间[xi，xn]上是保单调的并且是一阶连续的。

3 误差估计
因为文章所构造的函数是分段的，故只需考虑在区间[xi，xi+1]上的情形。

定理假设，s（x）为由（1）定义的分段有理插值函数，当时
成立，其中：。

证明：
其中，又设l（x）是区间[xi，xi+1]上关于f（x）的线性插值，即
令
因为Li（t）是区间[0，1]上关于Pi（t），Qi（t）线性插值，所以有
（2）
（3）
又对（1）式求二阶导数得
上式带入（3）得
（4）
由三角不等式得
（5）
将（2）、（4）式代入（5），即
4 结束语
针对多项式插值的不稳定性，构造了分子分母均为一次的分段线有理插值函数（即1/1型），并讨论了此插值函数的保单调性，而且适当地调节可调参数，可以达到曲线的保形性。

不过此插值只能处理严格的单调数据，所以，文章所构造的插值还有许多不足，需要继续改进。

参考文献
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