2.2.1综合法和分析法
2.2.1综合法和分析法
1
1.综合法:(顺推证法)(由因导果法)
例:已知a, b 0, 求证:a(b2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) 4abc
知识点提示： 基本不等式：a b 2 ab (a 0, b 0) a 2 b 2 2ab
1.综合法:(顺推证法)(由因导果法)
因为log19360<log19361=2， 所以
1 2 3 2 log 5 19 log 3 19 log 2 19
思考题：
已知a, b是正数, 且a b 1, 1 1 求证： 4. a b
当堂训练： 课本P42，练习T1.
课后作业： 课本P44，A组，T1。
例:已知a, b 0, 求证:a(b2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) 4abc
2 证明 : : bb 2 c 222bcaa 0 c2 bc, , 0 证明 2 2 证明 : b c 2bc, a 0 aabb 2 c ) ) 22abc. ( ( 2 c 2 2 abc. 2 a (b 2 c 2 ) 2abc. 同理, bbcc 2 a ) ) 22abc. ( ( 2 a 2 2 abc. 同理, 同理, b(c a 2 ) 2abc. aabb 2 c ) ) bcc 2 a ) ) 44abc. ( ( 2 c 2 2 b( ( 2 a 2 2 abc. 2 a (b c 2 ) b(c 2 a 2 ) 4abc.
P Q1
Q1 Q2
Q 2 Q3
Qn Q
综合法是由一个个推理组成的
例1:如图,△ABC在平面α外, AB P, BC Q, AC R. 求证:P,Q,R三点共线.
2.2.1-综合法和分析法-课件(人教A版选修1-2)
从_要__证__明____的结论出发，
利用_已_知__条__件___和某些数 逐步寻求使它成立的 学__定_义____、___公_理____、 _充__分__条__件____，直至最后，
定 __定__理____等，经过一系列 把要证明的结论归结为判
义 的_推__理__论_证____，最后推导 定一个明显成立的条件(已 出所要证明的结论成立， 知条件定、义_______定_、理
a+b 2
第二章 推理与证明
ab
证明:要证;a
+ 2
b
ab
还原成综合法： 证明:
只需证;a + b 2 ab 只需证;a + b 2 ab 0 只需证;( a b)2 0
因为;( a b)2 0 所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
因为;( a b)2 0 成立
要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)，3 分 只需证( a2＋b2)2≥ 22（a＋b）2，5 分
第23页，共43页。
栏目 导引
第二章 推理与证明
即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)， 即证 a2＋b2≥2ab.6 分 ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立.7 分
∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立.8 分 综上所述，不等式得证．
这种证明方法叫做综合法 _公__理____、_______等)，这
种证明方法叫做分析法
第10页，共43页。
栏目 导引
第二章 推理与证明
综合法
P⇒Q1 →
Q1⇒Q2 →
框
Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
图
表 (P表示_已__知__条__件____、已有
2.2.1《综合法和分析法》区教研课课件
充分条件
思考6：上述证明方法叫做分析法. 一般 地，分析法的基本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直到归结为判定一个显然成 立的条件（已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等）为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是：由未知探需知，逐步推向 已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？ 右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不 等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已 知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号 语言或者图形语言，由因导果！
探究（二）：分析法
回顾基本不等式： a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证： 3 a b c
(综合法)
R ∵a，b，c ，
符号语言
b a c a c b 与 ， 与 ， 与 均为正实数且不能同时相等， a b a c b c b a c a c b 2， ＋ 2 ， ＋ 2 ， 由重要不等式得： ＋ a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
2.2.1综合法和分析法
推理
合情推理 演绎推理
三段论 (一般到特殊)
(特殊到一般)
归纳
类比 (特殊到特殊)
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重 要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
2.2直证明与间接证明
2.2.1综合法和分析法
直接证明（问题情境）
如图，四边形ABCD是平行四边形
求证：AB=CD，BC=DA
P P1 P1 P2 …
Pn-1 Pn Qm
… Q Q1
2
Q1
Q
练一练：
1 tan a 已知 1, 求证:3sin 2a 4cos 2a 2 tan a
说明：本题可以单独使用综合法或者分析法进行证明， 但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.
小结：
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方 法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证 结论或需求问题出发，一步一步地探索下去， 最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学 题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最 后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来 说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由 因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考 方法，应用十分广泛。
A B . 2
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推 证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直 至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等） 为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点： 执果索因 用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q P1
得到一个明显 成立的结论
由于上式与③相同,于是问题得证.
点评:在解决问题时，我们经常把综合法和分析
法结合起来使用:根据条件结构特点去转化结论,得 到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得 到中间结论P,若P可以推出Q,就可以证明结论成立 用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
2.2.1综合法与分析法课件人教新课标2
1 - tan2α 1 - tan2β 求证 1 + tan2α = 2(1 + tan2β) .
证明：
因为（sin2θ + cos2θ）2 - 2sinθcosθ = 1,
所以将(1)(2)代入，可得
4sin2α - 2sin2β = 1. 另一方面要证
4.作业：89页1 2 3
练习.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为 F,求证 AF⊥SC.
S
判断
F E
应该用综合法还
是分析法？
A
C
B
1 - 2sin2α = 1 (1 - 2sin2β)， 2
4sin2α - 2sin2β = 1.
由于上式与③相同，于是问题得证.
课堂小结
1.综合法的概念：
一般地，利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明 方法叫做综合法.
2.分析法的概念:
则综合法可用 框图表示如下：
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
例题1
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的 边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列， a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三 角形．
分析
•将A，B，C成等差数列，转化为符号 语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°；
这就是另一种证 明方法——分析法.
一般地，从要证明的结论出发，逐 步寻求推证过程中，使每一步结论成立 的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止， 这种证明的方法叫做分析法．
第二章2.2.1(一)综合法和分析法(一
§2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法(一)课时目标 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法.2.理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法证明数学问题．综合法分析法定义利用__________和某些数学______、______、______等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的______，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、______、______、______等)，这种证明方法叫做分析法框图表示 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (P 表示________、已 有的______、______、 ______等，Q 表示 ________________) Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→ P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显成立的条件特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法一、选择题1．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值12．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法3．如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是( )A ．32B ．23－2C ．1＋ 3D ．2－ 34．要证明a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法5．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是零D ．正、负不能确定二、填空题6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．7．已知a 、b 、u ∈R *，且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是__________．8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为__________．三、解答题9．已知a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .10．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).能力提升11．a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值为________．12．已知a >0，b >0，用两种方法证明：a b ＋ba≥a ＋b .1．运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性．2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件．最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．§2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法(一)答案综合法 分析法定利用已知条件和某些数学定义、定理、从要证明的结论，逐步寻求使它成立的充分条1．D [f (x )＝x －22＋12(x －2)∵x －2≥12，∴f (x )≥2·x －22×12(x －2)＝1.当x ＝3时，f (x )min ＝1.]2．B [从证明的过程来看是从已知条件入手经过推导得到结论，符合综合法．] 3．B [由x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则2－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3.∵x >0，y >0，∴x ＋y 的最小值为23－2.] 4．C [要证a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4， 只要证a ＋a ＋7＋2a (a ＋7) <a ＋3＋a ＋4＋2(a ＋3)(a ＋4)， 只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 只要证0<12.由此可知，最合理的是分析法．]5．B [∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0，∴ab ＋bc ＋ac ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.又abc >0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc<0.]6．a <b解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b .7．(－∞，16]解析 ∵a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b ≥10＋2b a ×9a b ＝16，当且仅当b a ＝9ab即3a ＝b 时取等号，若a ＋b ≥u 恒成立，则u ≤16. 8．a >c >b解析 b ＝47＋3，c ＝46＋2，显然b <c . 而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48 <8－36＝2＝a 2， ∴a >c .9．证明 ∵b 2a ＋a 2b ＝a 3＋b3ab＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)ab，又∵a >0，b >0，∴a 2－ab ＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2－ab ＋b 2≥ab ，∴a 2－ab ＋b 2ab≥1，∴(a ＋b )·a 2－ab ＋b 2ab≥a ＋b .∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 10．证明 ①当ac ＋bd ≤0时，显然成立． ②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立， 只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2. 即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立． 故原不等式成立，综合①、②知，命题得证． 11．4解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.若1a －b ＋1b －c ≥n a －c 恒成立， 即a －c a －b ＋a －c b －c≥n 恒成立． a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2b －c a －b ·a －b b －c ＝4.∴当且仅当a －b ＝b －c 时取等号． ∴n 的最大值为4.12．证明 方法一 (综合法)： 因为a >0，b >0，所以a b ＋ba －a －b＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫ba －a ＝a －b b ＋b －aa＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b －1a＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋ba≥a ＋b .方法二(分析法)：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a>0，b>0，a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0成立，所以ab＋ba≥a＋b成立．。
高二数学人教A版选修1-2课件：2.2.1《 综合法与分析法》
只需证11－ ＋ccssooiinnss2222xxxx＝211－＋cscsoioinsns2222yyyy，
即证ccooss22xx－ ＋ssiinn22xx＝2（ccooss22yy－＋ssiinn22yy），
栏 目
即证 cos2x－sin2x＝12(cos2y－sin2y),
链 接
∵BB1∩AB＝B，∴CB⊥平面AA1B1B.
又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴CB⊥AB1.
∵四边形A1ABB1为菱形，
∴AB1⊥A1B.
栏
∵CB∩A1B＝B，
目 链
∴AB1⊥平面A1BC.
接
(2) 若
x，y≠kπ
＋
π 2
(k∈Z)
，
试
用
分
析
法
证
明
：
1－tan2x 1＋tan2x
＝
1－tan2y 2（1＋tan2y）.
证明：(1)∵ sin θ与 cos θ的等差中项是 sin x，等比中项是 sin
y，
∴ sin θ＋cos θ＝2sin x，①
sin θcos θ＝sin2y，②
①2－②×2，可得
栏 目
(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝4sin2x－2sin2y，
链
即 4sin2x－2sin2y＝1.
接
∴ 4×1－c2os 2x－2×1－c2os 2y＝1,
即 2－2cos 2x－(1－cos 2y)＝1.
故证得 2cos 2x＝cos 2y.
(2)要证11＋ －ttaann22xx＝2（11－＋ttaann22yy），
只需证 cos 2x＝21cos 2y.
由(1)的结论可知，cos 2x＝12cos 2y 显然成立．
【高中数学选修2-2】2.2.1综合法和分析法
即证4sin2 2sin2 1
只需证
1
sin 2 c os2
1
sin 2 c os2
1
s c
in 2 ห้องสมุดไป่ตู้s2
21
sin 2 c os2
根据③，问题得证.
点评：用P表示已知条件、定义、定理、公理 等，用Q表示要证明的结论，则本题过程可用 框图表示为：
Pn P'
P P1 P1 P2
求证：1 tan2 1 tan2 1 tan2 2 1 tan2
证明：因为sin cos 2 2sin cos 1
所以将①②代入上式，可得
4sin2 2sin2 1 ③
即证cos2 sin2 1 cos2 sin2 2
即证1 2sin2 1 1 2sin2 2
Pn P'
P P1 P1 P2
Q2 Q1 Q1 Q
Q' Qm
综合法与分析法的综合使用：
例3.已知， k k Z ,且 sin cos 2sin ①
2
sin cos sin 2 ②
求证：1 tan2 1 tan2 1 tan2 2 1 tan2
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
复习
推理
合情推理
演绎推理
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
我们知道，合情推理所得结论的正确性是需要证明的， 本节开始我们将学习两类基本的证明方法：
直接证明与间接证明。
直接证明有两种最基本的证明方法----综合法、分析法.
1.综合法 例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
2.1综合法与分析法
1
2.2.1 综合法和分析法
2
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两 种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和 综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法分析法证明问题；了解 综合法分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法和分 析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法
练习1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+a2
≥2ac,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 练习2:课本P9
【思维总结 】 2．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性
因为;( a b ) 2 0 成立
a+b 所以 2
a+b ab 成立 所以 2 ab成立
如图所示，已知BE，CF分别为△ABC的边AC， AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点。 A 求证：HG⊥EF 证明：考虑待证的结论 F G E “HG⊥EF” 根据命题的条件：G是EF的中点， 连接EH,FH, 只要证明△EHF为等腰三角形，即 B C H EH=HF 根据条件CF⊥AB，且H是BC的中点，可知Rt△BCF斜 边上的中线
1 所以 BM AC 2 1 同理 DM AC 2
变式1
这样就证明了△BMD为等腰三角形
所以 MN ⊥ BD
引例2
a 3 b 3 a 2b ab 2 已知a, b R , 且a b, 求证 :
第2章 2.2.1(二)2.2.1 综合法和分析法(二)
2.2.1
【学习要求】
本 课 时 栏 目 开 关
综合法和分析法(二)
加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问 题． 【学法指导】 通过本节课的学习，比较两种证明方法的优点，进而灵活 选择证明方法，规范证明步骤，养成言之有理、论之有据 的好习惯，提高思维能力.
试一试· 双基题目、基础更牢固
也就是证明 2 a＋2 b＋2 c<2bc＋2ac＋2ab. 因为 a、b、c 为互不相等的正数且 abc＝1， 所以 bc ＋ ac>2 abc2 ＝ 2 c ； ac ＋ ab>2 a2bc ＝ 2 a ； ab ＋ bc>2 ab2c＝2 b；
相加得 2 a＋2 b＋2 c<2bc＋2ac＋2ab. 所以，原不等式成立．
2.2.1(二)
跟踪训练 3 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面 BDE；
本 课 时 栏 目 开 关
(2)求证：CF⊥平面 BDE.
证明 (1)如图，设 AC 与 BD 交于点 G. 1 因为 EF∥AG，且 EF＝1，AG＝ AC＝1， 2 所以四边形 AGEF 为平行四边形．
研一研· 题型解法、解题更高效
2.2.1(二)
题型二 例2
选择恰当的方法证明等式
已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，对应 1 1 3 的三边为 a，b，c，求证： ＋ ＝ . a＋b b＋c a＋b＋c
本 课 时 栏 目 开 关
a＋b＋c a＋b＋c 证明 要证原式，只需证 ＋ ＝3， a＋b b＋c c a 即证 ＋ ＝1， a＋b b＋c bc＋c2＋a2＋ab 即只需证 ＝1， 2 ab＋b ＋ac＋bc
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第一课时
2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：
一、复习准备：
1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12
114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则
12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c
++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c
+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
2. 练习：
① ,A B
为锐角，且tan tan tan tan 3A B A B +60A B +=. （提示：算
tan()A B +）
② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c
+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c
+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.
第二课时
2.2.1 综合法和分析法（二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了
解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2
a b a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1.
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：
要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ
，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4
l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）
三、巩固练习：
1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.
略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，
即证：2cos C C -≥cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+
≤（成立）. 2. 作业：教材P 52 练习 2、3题.。