15.2.1(2)分式-乘除

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15.2.1_分式的乘除(2)

2
x3 2 y 3 z 4 例4. 计算： ( 2 ) ( ) ( ) . 2 y x xy
x3 2 y z 解: ( 2 ) ( 2 ) 3 ( ) 4 y x xy
( x 3 )2 y3 (xy) 4 2 2 2 3 (y ) ( x ) ( z) 4
x : y : z 2 :3: 4
x y z 2 2 2 2x y z
2 2 2
则分式
的值.
已知
2 x 3 y z 0,3x 2 y 6 z 0, z 0
则分式
x y z 2 2 2 2x y z
2 2 2
的值.
2x y 2 (1)( ) 3z 3 4 2ab 2 6a 3c 3 ( 2) ( 2 ) 3 ( 2 ) c d b b 2 x 1 2 x 6x 9 2 1 ( 3)( ) ( ) 2 2 3 x 9 x x 2x 1
练习2
计算：
-2 x 4 y 2 3 （ 1）（）； 3z 2ab3 2 6a 4 -3c 3 （2）（ 2 ） 3 （ 2 ）． -c d b b
试解相关题
x y 2. ( x y) xy 2x 6 ( x 3)( x 2) 3. ( x 3) 2 4 4x x 3 x
1 2 (3) 2 原式= 1 2 3
a ab ac (a b) c a (b c) 2 2 2 解: a ab 2ab a b a 2 b2
2 2 2 2
2
课堂练习
练习1 计算:
2m 2 n 5 p 2 q 5mnp （ 1）； 2 2 3q 3 pq 4mn m -n （n-m） m+n （2）； 2 2 2 m （m-n） mn 16-a 2 a- 4 a- 2 （3） 2 ． 2a+8 a+ 2 a +8a+16

15.2.1分式的乘除第2课时

分式乘方的符号规则乘方结果的符号与有理数乘方确定符号的方法相同，即（1）正数的任何次方都是正数. （2）负数的偶次方为正；负数的奇次方为负.
方法点拨
分式乘方的“三点注意” 1. 要把分式加上括号，分式中分子、分母的系数也要乘方. 2.分式乘方时，分式本身的符号也要同时乘方. 3.注意分子、分母乘方后的符号.
b b ab ( ) ∴ a b a - b a b
2
b （a - b)(a b) a b = a b ab a 1 ( 2) 当a=-1,b=-2时,原式= =-1 1 答案:-1
2 2
特别提醒
解本题的注意事项：
(1)已知条件中的等式是非负数的和等于0这种关系.
2
2
方法提示
分式乘除运算的“两点注意” 1.运算顺序：分式的乘除运算要从左到右依次运算. 2. 运算技巧：乘除混合运算，先统一成乘法运算，能约分的要先约分，以减少运算量.
知识应用
二.分式的乘方例3.计算
2a b (1) （ ) c
2
3
ab c bc (2) （ ) ( ) ( ) c ab a
15.2.1分式的乘除第2课时
基础知识
1.分式的乘除混合运算: 乘法运算. (1)分式的乘除混合运算可以统一为_____ 乘方，再 (2)式与数有相同的混合运算顺序：先 _____ 乘除. 2.分式的乘方: (1) 语言叙述：分式乘方要把分子、分母分别乘方． n _____ a a n (2)字母表示： (n是正整数)． ( ) =
思维训练
3 已知|3a-b+1|+ (3a b) =0. 2
2

15.2.1第1课时分式的乘除课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

（3）分式乘除法的运算结果的符号的确定方法与分数的乘除的
符号的确定方法相同，且其结果要通过约分化为最简分式或整式.
新知探究
知识点
例3
分式的乘除
如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方
形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小
麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获
1
.
当取m=1时，原式=
11
2
化简求值问题要注意字母的取值要使分数有意义！
相乘的积做分母.（能约分化简的要约分化简）
分数除以分数的法则：分数除以分数，等于被除数乘以除数的倒数.
（能约分化简的要约分化简）
新知探究
知识点
分式的乘除
思考类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
分式的乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为
积的分母.
a c ac
上述法则可以用式子表示为：
A．三个人都正确
B．甲有错误
C．乙有错误
D．丙有错误
课堂训练
5.计算（x2-xy）÷
的结果是
x2
.
6.如果检测员在n分钟内可检查9个产品,那么他在2小时内可检查产
品
40�� 个

课堂训练
7.八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与一个分式相乘.
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解.
n
V
V m
长方体容积的高为，水面的高度为 ab n .
ab
分式的乘法运算
新知探究
知识点
问题2
分式的乘除

人教版数学八年级上册15.2.1：分式的乘除法课件

分乘分，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
(2)12xy8x2y 5a
解：原式
12xy 5a
8
1 x2
y
12xy 5a 8x2 y
3 10 ax
巩固练习
(3) xy yx ; xy xy
解：原式 x y -(x y) ; xy xy
(x y)(x y) (x y)(x y)
分乘分，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
一定要注意符号变化呦！
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行
3a16b 分的乘法法则：
解：原式分的乘法法则：
2
4b9a （3）因式分解在分式乘除法中的应用；
思考：类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。
2 分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.
4 xy （3）因式分解在分式乘除法中的应用；当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行 2
3 3 分乘分，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
6 x y 分乘分，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行
分的乘法法则：
（3）因式分解在分式乘除法中的应用；
4xy 分的除法法则：
解：原式（2）运用法则时注意符号变化；
（3）因式分解在分式乘除法中的应用；
3
3y2x （1）分式的乘除法法则；
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行
分乘分，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分乘分，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

人教版数学八年级上册15.2.1分式的乘除(第2课时)教学设计

2.教师通过具体的例题，演示分式乘除法的运算步骤，强调注意事项，如符号处理和化简方法。
3.教师引导学生观察分式乘除法与整式乘除法之间的联系，如乘法分配律、交换律等，帮助学生更好地理解分式乘除法。
4.教师通过讲解典型例题，让学生了解分式乘除法在实际问题中的应用，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力。
2.学生分享自己在学习分式乘除法过程中的收获和感悟，以及遇到的困难和问题。
3.教师针对学生的反馈，进行针对性的解答和指导，巩固学生的知识点。
4.教师布置课后作业，要求学生在课后继续巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的分式乘除知识，培养学生的数学思维能力，特布置以下作业：
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，每组挑选一道具有代表性的分式乘除题目进行讨论。
2.学生在小组内部分享自己的解题思路和方法，互相交流，共同探讨。
3.各小组在讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的解题过程，及时发现问题并给予指导。
4.讨论结束后，各小组派代表进行汇报，分享本组的讨论成果和心得体会。
5.练习巩固：设计难易程度不同的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。针对学生的错误，教师要及时给予指导和纠正。
6.知识拓展：引导学生将分式乘除法与整式乘除法进行对比，总结它们之间的联系与区别，提高学生的数学思维能力。
7.总结反馈：在教学结束时，教师对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。同时，鼓励学生分享自己的学习心得，以便教师了解学生的学习情况。
4.实践题：结合生活实际，设计一道与分式乘除相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题，并简要说明解题思路。此举旨在培养学生的知识运用能力和创新意识。
5.小组讨论题：以小组为单位，共同探讨以下问题：“分式乘除法在生活中的应用有哪些？”并撰写一篇简要的讨论报告，培养学生的合作意识和沟通能力。

15 2 1 1 分式的乘除教案(表格式)人教版数学八年级上册

15.2分式的运算15．2.1分式的乘除第1课时分式的乘除教学目标课题15.2.1第1课时分式的乘除授课人素养目标 1.经历探索分式的乘除运算法则的过程，渗透类比转化的思想.2.理解并掌握分式的乘除法法则，能运用法则对分式进行乘、除运算.3.能解决一些与分式乘除有关的实际问题．教学重点运用分式的乘除法法则进行运算．教学难点分子、分母为多项式的分式乘除运算.教学活动教学步骤师生活动活动一：提出问题，导入新课设计意图开始安排两个具有实际背景的问题，意在体现分式的乘除运算是由实际需要产生的，是研究某些问题时不可或缺的运算，从而引起学生的兴趣.【问题导入】问题1一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的mn时，水面的高度为多少？问题2大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？教师提出问题，请大家小组讨论，待讨论完成请两位学生板书问题的答案：问题1长方体容器的高为Vab，水面的高度为Vab·mn.(分式乘法)问题2大拖拉机的工作效率是am hm2/天，小拖拉机的工作效率是bnhm2/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的am÷bn倍．(分式除法)如何计算Vab·mn和am÷bn呢？让我们一起进入本课的学习！【教学建议】对这两个问题，教学中只要学生考虑列式，并由所列式子识别出它们是分式的什么运算即可．至于如何进行运算则是下面要学习的内容.活动二：类比探究，获取新知设计意图通过回顾分数的乘除法法则，引出分式的乘除法法则，温故而知新，不仅有利于接受新知识，还能让学生体会由数到式的过程.探究点分式的乘除法你还记得分数的乘除法法则吗？带着问题完成下面练习：34×25＝3×24×5；56×27＝5×26×7；34÷25＝34×52＝3×54×2；56÷27＝56×72＝5×76×2.根据上面的计算，回忆一下分数的乘除法法则：乘法法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母．除法法则：一个数除以一个分数，等于乘上这个分数的倒数.类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？类似于分数，分式有：乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.【教学建议】教师可让学生先自主思考后，再引导学生一起完成练习和分数乘除法法则的回忆总结.【教学建议】教学中应首先出现文字表述，在学生理解后，可以适时地提出如何用式子表达例(教材P136例3)如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1) m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2－1) m2，单位面积产量是500 a2－1kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2m2，单位面积产量是500（a－1）2 kg/m2. ∵a＞1，∴(a－1)2＞0，a2－1＞0.[或∵a ＞1，∴ (a －1)2－(a 2－1)＝(a 2－2a ＋1)－(a 2－1)＝－2(a －1)＜0，即(a －1)2＜(a 2－1)．]∴500a 2－1＜500（a －1）2，所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高. (2)500（a －1）2÷500a 2－1＝500（a －1）2·a 2－1500＝（a ＋1）（a －1）（a －1）2＝a ＋1a －1.所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍. 【对应训练】甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修(a 2－4) m ，乙工程队每天修(a －2)2 m (其中a>2)，甲工程队修900 m 所用时间是乙工程队修600 m 所用时间的多少倍？分析：根据题意，分别表示出甲工程队修900 m 所用时间和乙工程队修600 m 所用时间，再将两时间相除即可求解. 解：甲工程队修900 m 所用时间为900a 2－4天，乙工程队修600 m 所用时间为600（a －2）2天，由题意可得900a 2－4÷600（a －2）2＝900（a ＋2）（a －2）·（a －2）2600＝3a －62a ＋4，∴甲工程队修900 m 所用时间是乙工程队修600 m 所用时间的3a －62a ＋4倍. 得出结论，旁白中给出严格的数学证明．教学中，教师应根据学生的基础和认知能力等具体情况，灵活处理.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.分式乘法的法则是什么？用式子如何表示？2.分式除法的法则是什么？用式子如何表示？3.分式乘除法的运算结果应化成什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P 146～147习题15.2第1，2，10，11题.2.相应课时训练．板书设计15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除 1．分式的乘法法则：a b ·c d ＝a·cb·d .2． 2.分式的除法法则：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·db·c.教学反思本节课是从实际背景问题切入，让学生明白分式乘除是由实际需要产生的，研究不可或缺，引发学生兴趣，继而从分数的乘除法法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法法则，培养学生类比的探究能力，加深对“从特殊到一般”的数学思想的认识，同时让学生在自主探究、合作交流中感受探索的乐趣和成功的体验.解题大招一分式乘除法有意义的条件例1 若x ＋2x －1÷xx －1有意义，求x 的取值范围．分析：解：由题意可得⎩⎨⎧x －1≠0，x≠0，即x 的取值范围是x≠1且x≠0.解题大招二含整式的分式乘除的解法含整式的分式乘除的解法跟分式与分式的乘除的解法相同，只是整式与分式进行乘除运算时，整式可以看作分母是1的“分式”．例2 计算：(1)－3a 24b 2÷(－6a 2b)； (2)x 2－4x x ÷(x 2－16)．解：(1)－3a 24b 2÷(－6a 2b)＝－3a 24b 2·(－16a 2b )＝3a 224a 2b 3 ＝18b3； (2)x 2－4x x ÷(x 2－16)＝x （x －4）x ·1（x ＋4）（x －4）＝x （x －4）x （x ＋4）（x －4）＝1x ＋4. 解题大招三与分式的乘除有关的取值合适型化简求值的方法按照解题大招二的分式乘除法的运算步骤化简后，取一个使原分式有意义的值，代入计算即可．对于除法的取值还需特别注意既不能使原分数的分母为0，也不能使除式为0．例3 先化简分式a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－aa ＋1，然后请你选取一个合适的a 的值代入，求分式的值．解：原式＝（a ＋1）（a －1）（a ＋1）2÷a （a －1）a ＋1＝（a ＋1）（a －1）（a ＋1）2·a ＋1a （a －1）＝1a. ∵a 取0，1，－1时，原式无意义，∴当a ＝3时，原式＝13(答案不唯一)．培优点整体思想与分式乘除的化简求值例先化简，再求值：2x ＋1÷x 2x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.分析：2 x＋1·（x＋1）2x2＝2（x＋1）x2.∵x2－x－1＝0，∴x2＝x＋1，∴原式＝2（x＋1）x＋1＝2.解：原式＝。

15.2.1_分式的乘除(2)最新

所以取x=2, 所以 4 = 4 =2.
x 2
通过本课时的学习，需要我们.
1.理解并掌握分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方
的运算. 2.熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 3.能解决一些与分式乘除法有关的实际问题.
一个人在科学探索的道路上，走过弯路，犯过错误，并不是坏事，更不是什么耻辱，要在实践中勇于承认和改正错误。 —— 爱因斯坦
2 3 10
:
a a a a a a2 2 b b bb b b a a a a ________________ b b b b a ________________________ b
10 3
2
一地当 n是整时般，正数，
1 3 9 1 2 8 x y x y 27 36

1 3 9 36 x y 2 8 27 x y
2
4
18 x
12 x 2 y 30 x 4 9 x 2
2 2 4
4 xy 3
1 (18 x 12 x y 30 x ) ( ) 2 9 x
ab
2x 2 3 4.计算：1 3x 2 y ( ) y
8x6 y3 3y4 3 x 2 y ( 3 ) 3 x 2 y ( ) 6 y 8x 8x4
2
x 3 y2 2 x2y 2 ( ) ( ) ( ) y x z
x3 y 4 z 2 ( 3 ) 2 4 2 y x x y
4
y x y 3x y
2 2 4 2
3
2
4 x y
.
1
6 x
y 4 2 xy

人教版八年级数学上15.2.1分式的乘除优秀教学案例

（四）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课学习的分式乘除法则和简化分式的方法。
2.学生共同总结分式乘除的运算规律，如分子分母分别相乘或相除，注意约分等。
3.教师强调分式乘除在实际问题中的应用，并鼓励学生在生活中发现数学的影子。
4.通过对课堂学习内容的总结，帮助学生构建知识体系，加深对分式乘除法则的理解。
（四）反思与评价
1.教师应引导学生对所学知识进行反思，总结分式乘除的运算规律和技巧。
2.组织学生进行课堂小结，让他们分享自己的学习心得和感悟。
3.针对学生的课堂表现，给予积极的评价和反馈，关注他们的进步。
4.鼓励学生自我评价，发现自己的不足，明确今后的学习目标。
在教学过程中，教师应注重评价的多元性，关注学生的全面发展。通过反思与评价，帮助学生巩固知识，提高能力，培养他们的自主学习意识和团队合作精神。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个简单的实际例子，如“小华和小明分享一块巧克力，如果小华吃掉了这块巧克力的1/3，小明吃掉了剩下的1/2，问小明吃掉了这块巧克力的多少？”引导学生思考，并复习分数乘除的基本概念。
2.提问：“同学们，我们已经学过分数的乘除，那么分式是否也可以进行乘除运算呢？今天我们就来学习分式的乘除法则。”
5.个性化的教学指导
教师在本案例中充分关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求，提供有针对性的指导。在小组合作过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导他们发现并掌握分式乘除的运算规律。这种个性化的教学指导有助于提高学生的学习效果，使他们在数学学习中都能获得成就感。
4.强调在分式乘除运算中，简化分式的必要性，并教授简化分式的方法。
（三）学生小组讨论
1.教师给出几道分式乘除的练习题，要求学生在小组内讨论解题方法。

15.2.1分式的乘除

是多项式时，先分解因式便于约分的进行.
例题解析
例2 计算： 1 1 ( 2) 2 . 2 49 m m 7m 1 1 解： 2 2 49 m m 7m 1 m 2 7m 2 49 m 1 1 m(m 7) (7 m)(7 m) 1 m 一定要注 . 意符号变化呦！ 7m
a c ac b d bd
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母
颠倒位置后，与被除式相乘. 用符号语言表达：
a c a d ad . b d b c bc
例题解析
例1 计算： 4x y (1) 3 ; 3 y 2x 4x y 解： 3 3y 2x 4x y 3 3y 2x 4 xy 3 6x y 2 2； 3x
a 4 12ab ; 1 2 8a b 3a 6
2
a2 1 （2） 2 a 2 a 2a
a 6a 9 12 - 4a (3) 2 1 4a 4a 2a 1
2
例.计算:
a 4 12ab ; 1 2 8a b 3a 6
2
(a 2)(a 2) 12ab 解 : 原式 2 8a b 3(a 2)
2 2
小结
（1）分式的乘除法法则；（2）运用法则时注意符号变化；
（3）因式分解在分式乘除法中的应用；
（4）步骤要完整，结果要最简，最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如：
(a 1) 2 a 2 2a 1 或 . a a
a 6a 9 12 - 4a (3) 2 1 4a 4a 2a 1
2
( a 3) 2a 1 原式 2 ( 2a 1) 4(3 a )

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15.2.1分式的乘除（2）
主备人：_刘老师__审核人_______
学习重难点：
1.会进行分式的乘除法混合运算。

2.理解分式乘方的原理，掌握乘方的规侓，会进行乘方运算。

☆ 预习自测 ☆
我的疑惑：
☆ 探究学习 ☆
探究：
1、回顾分式的乘除法则并计算: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷x x y 27 (2)4
411242222++-⋅+--a a a a a a 2、计算:（类比分数的乘除混合运算法则）
3、总结分式乘除混合运算法则：
探究二
完成下列问题：
问题1：美术课上需要一张边长为
b a
cm 的正方形卡纸，你能算出它的面积吗？问题2：一个正方体的容器，它的棱长为b a ,你能求出它的容积吗？问题3：根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算：
分式的乘方法则：．
分式乘除乘方的混合运算解题步骤是： ☆ 训练检测 ☆
-------把简单的题做好就是不简单！
1.计算
:
（1）)
4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅ x x x x x x x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(44462)2(2 2、计算:
（1）332)23(c b a - （2）32223
)2()3(x
ay xy a -÷ （3）232)23()23()2(ay x y x x y -÷-⋅- 3.计算：(1)322)2(2163b a a bc a b -⋅÷ (2)103326423020)6(25b
a c c a
b b a
c ÷-÷ (3)x y y x x y y x -÷-⋅--9)()
()(3432 4.使分式22222)
(y x ay ax y a x a y x ++⋅--的值等于5的a 的值是( ) A.5 B.－5 C.51 D.－5
1 ☆ 能力训练 ☆
挑战高手，我能行！
1.计算:
（1）2222⎪⎭⎫ ⎝
⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b a ab b a (2)22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷- 2.已知()
2490a b ++-=,求 22222
a a
b a ab b a b +-⋅-的值. [错题整改区]
☆ 自我反思 ☆。