考研数学三(微积分)模拟试卷191(题后含答案及解析)
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
考研数学三(微积分)模拟试卷202(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷202(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=∫0sinx2(1－cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价的无穷小正确答案：A解析：得m=6且g(x)～x6，故x→0时，f(x)是g(x)的低阶无穷小，选A．知识模块：函数、极限、连续2．f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是( )．A．f(x)，g(x)在x0处都可导B．f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C．f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D．f(x)，g(x)在x0处都可能不可导正确答案：D解析：令显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡－1在任何一点都可导，选D．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)满足关系f’’(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点D．(0，f(0))不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0得f’’(0)=0，f’’(x)=1－2f’(x)f’’(x)，f’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f’’’(x)＞0，再由f’’(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选C．知识模块：一元函数微分学填空题4．设f’(x)连续，x(0)=0，f’(0)=1，则=______．正确答案：0解析：∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncos(x－t)d(x－t)=一∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，知识模块：函数、极限、连续5．设y=y(x)由yexy+xcosx－1=0确定，求dy｜x=0=______．正确答案：－2dx解析：当x=0时，y=1，将yexy+xcosx－1=0两边对x求导得将x=0，y=1代入上式得故dy｜x=0=－2dx．知识模块：一元函数微分学6．______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学7．设则a=______．正确答案：ln2解析：故a=ln2．知识模块：一元函数积分学8．微分方程的通解为______．正确答案：lnx+C解析：知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷180(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷180(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设α～β(x→a)，则等于( )．A．eB．e2C．1D．正确答案：D解析：因为α～β，所以＝0，于是，选(D)．知识模块：微积分2．下列命题成立的是( )．A．若f(x)在x0处连续，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x－x0｜＜δ内连续B．若f(x)在x0处可导，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x－x0｜＜δ内可导C．若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)存在，则f(x)在x0处可导，且f’(0)＝f’(x)D．若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)不存在，则f(x)在x0处不可导正确答案：C解析：设f(x)＝显然f(x)在x＝0处连续，对任意的x0≠0，因为f(x)不存在，所以f(x)在x0处不连续，(A)不对；同理f(x)在x＝0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0处也不可导，(B)不对；因为＝f’(ξ)，其中ξ介于x0与x之间，且f’(x)存在，所以也存在，即f(x)在x0处可导且f’(x0)＝f’(x)，选(C)；令f’(x)不存在，(D)不对．知识模块：微积分3．设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)＝∫0xf(x－t)dt，G(x)＝∫01xg(xt)dt，则当x→0时，F(x)是G(x)的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：D解析：F(x)＝∫0xf(x－t)dt＝－∫0xf(x－t)d(x－t)＝∫0xf(u)du，G(x)＝∫01xg(xt)dt＝∫0xg(u)du，则＝1，选(D)．知识模块：微积分4．设幂级数an(x－2)n在x＝6处条件收敛，则幂级数(x－2)2n的收敛半径为( )．A．2B．4C．D．无法确定正确答案：A解析：因为an(x－2)n在x＝6处条件收敛，所以级数anxn的收敛半径为R ＝4，又因为级数anxn有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R＝4，于是(x－2)2n的收敛半径为R＝2，选(A)．知识模块：微积分填空题5．当x→0时，x－sinxcos2x～cxx，则c＝______，k＝______．正确答案：，3解析：因为x→0时，sinx＝x－＋ο(x3)，cos2x＝1－＋ο(x2)＝1－2x2＋ο(x2)，sinxcos2x＝x－3＋ο(x3)，所以x－sinxcos2x＝x3＋ο(x3)～x3，故c＝，k ＝3．知识模块：微积分6．当x→0时，－1～cos2x－1，则a＝______．正确答案：－3解析：因为(1＋x2，cos2x－1＝(cosx＋1)(cosx－1)～－x2，且(1＋－1～cos2x －1，所以a＝－3．知识模块：微积分7．设函数y＝y(x)由确定，则y＝y(x)在x＝ln2处的法线方程为______．正确答案：(x－ln2)解析：当x＝ln2时，t＝±1；当t＝±1时，y＝0．(1)当t＝－1时，由＝－1，∫0yeu2du＋∫t21arcsinudu＝0两边对t求导数得－2tarcsint2＝0，则，则法线方程为y＝(x－ln2)．(2)当t＝1时，由＝1．∫0yeu2du＋∫t21arcsinudu＝0两边对t求导得ey2－2tarcsint2＝0，则，法线方程为y＝(x－ln2)，即法线方程为y ＝(x－ln2)．知识模块：微积分8．＝______．正确答案：解析：知识模块：微积分9．I(x)＝du在区间[－1，1]上的最大值为______．正确答案：ln3解析：I’(x)＜0，当x∈时，I’(x)＞0，所以x＝为f(x)在[－1，1]上的最小值点，又I(1)＝∫01＝ln(u2－u＋1)｜01＝0，I(－1)＝∫0－1du＝ln(u2－u＋1)｜－10＝－(0－ln3)＝ln3，故I(x)在[－1，1]上的最大值为ln3．知识模块：微积分10．＝______．正确答案：3e解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=3x2+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n=A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：因3x2在(一∞，+∞)具有任意阶导数，所以f(x)与函数g(x)=x2｜x｜具有相同最高阶数的导数．因从而综合即得类似可得综合即得g’’(0)存在且等于0，于是由于g’’(x)在x=0不可导，从而g(x)存在的最高阶导数的阶数n=2，即f(x)存在的最高阶导数的阶数也是n=2．故应选C．知识模块：微积分2．设f(x)在x=0的某邻域连续且f(0)=0，则f(x)在x=0处A．不可导．B．可导且f’(0)≠0．C．有极大值．D．有极小值．正确答案：B解析：因，由极限的保号性质知，由于1—cosx＞0→当0＜｜x｜＜δ时f(x)＞0，又f(0)=0，故f(x)在x=0取得极小值．故应选D．知识模块：微积分3．若x f’‘(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x且f’(x0)=0(x0≠0)，则A．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．B．f(x0)是f(x)的极小值．C．f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点．D．f(x0)是f(x)的极大值．正确答案：B解析：由题设知又由f’’(x)存在可知f’(x)连续，再由在x=x0≠0附近连续可知f’’(x)在x=x0附近连续，于是由f’(x0)=0及f’’(x0)＞0可知f(x0)是f(x)的极小值．故应选B．知识模块：微积分4．曲线渐近线的条数是A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：令f(x)的定义域是(一∞，一2)U(一2，1)U(1，+∞)，因从而x=1与x=一2不是曲线y=f(x)的渐近线．又因故是曲线y=-f(x)的水平渐近线．综合知曲线y=f(x)有且只有一条渐近线．选A．知识模块：微积分5．曲线的拐点有A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：f(x)的定义域为(一∞，一1)∪(一1，1)∪(1，+∞)，且在定义域内处处连续．由令f’’(x)=0，解得x1=0，x2=2；f’’(x)不存在的点是x3=一1，x4=1(也是f(x)的不连续点)．现列下表：由上表可知，y在x1=0与x2=2的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选B．知识模块：微积分填空题6．设y=aretanx，则y(4)(0)=__________．正确答案：0解析：因y=arctanx是奇函数，且y具有任何阶连续导数，从而y’，y’’是偶函数，y’’，y(4)是奇函数，故y(4)(0)=0．知识模块：微积分7．74的极大值点是x=__________，极小值点是x=____________．正确答案：极大值点x=0；极小值点为解析：知识模块：微积分8．设f(x)=xex，则f(n)(x)在点x=__________处取极小值___________．正确答案：x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1) 解析：由归纳法可求得f(n)(x)=(n+x)ex，由f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0得f(n)(x)的驻点x0=一(n+1)．因为f(n+2)(x)｜x=x0=(n+2+x)ex｜x=x0=ex0＞0，所以x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1)．知识模块：微积分9．曲线y=x2e-x2的渐近线方程为____________．正确答案：y=0解析：函数y=x2e-x2的定义域是(一∞，+∞)，因而无铅直渐近线．又因故曲线y=x2e-x2有唯一的水平渐近线y=0．知识模块：微积分10．曲线的渐近线方程为__________．正确答案：解析：本题中曲线分布在右半平面x＞0上，因故该曲线无垂直渐近线．又其中利用了当故曲线仅有斜渐近线知识模块：微积分11．曲线(x一1)3=y2上点(5，8)处的切线方程是__________．正确答案：解析：由隐函数求导法，将方程(x一1)3=y2两边对x求导，得3(x一1)2=2yy’．令z=5，y=8即得y’(5)=3．故曲线(x一1)3=y2在点(5，8)处的切线方程是知识模块：微积分12．曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________．正确答案：y=x－1解析：与直线x+y=1垂直的直线族为y=x+c，其中c是任意常数，又因y=lnx 上点(x0，y0)=(x0，lnxn)(x0＞0)处的切线方程是从而，切线与x+y=1垂直的充分必要条件是即该切线为y=x一1．知识模块：微积分13．设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=aPb，其中a和b是常数，且a＞0，则该商品需求对价格的弹性=________．正确答案：b解析：知识模块：微积分14．设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=100—5P．若商品的需求弹性的绝对值大于1，则该商品价格P的取值范围是__________．正确答案：10＜P≤20解析：从而P的取值范围是10＜P≤20．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷126(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷126(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且满足=一1，则x=0A．是f(x)的驻点，且为极大值点．B．是f(x)的驻点，且为极小值点．C．是f(x)的驻点，但不是极值点．D．不是f(x)的驻点．正确答案：C解析：本题应先从x=0是否为驻点人手，即求f’(0)是否为0；若是，再判断是否为极值点．由f(x)=0，从而f(0)=0，f’(0)==(1一cosx)]=一1×0=0可知x=0是f(x)的驻点．再由极限的局部保号性还知，在x=0的某去心邻域内＜0；由于1—cosx＞0，故在此邻域内，当x＜0时f(x)＞0=f(0)，而当x＞0时f(x)＜0=f(0)，可见x=0不是极值点，故选(C)．知识模块：微积分填空题2．(Ⅰ)用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则当△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是( )无穷小，△y=f(x0+△x)一f(x0)与△x比较是( )无穷小，△y—df(x)与△x比较是( )无穷小．(Ⅱ)设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2一x垂直，则=( )正确答案：(Ⅰ)同阶；同阶；高阶(Ⅱ)0解析：(Ⅰ)与△x是同阶无穷小量；按定义=f’(x)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知当△x→0时差△y一df(x)=o(△x)，即它是比△x高阶的无穷小．(Ⅱ)由题设可知f’(0)=1，又△y一dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是知识模块：微积分3．设=________．正确答案：Acosb解析：补充定义f(a)=b，则有知识模块：微积分4．设y=f(lnx)ef(x)，其中f可微，则dy=_________．正确答案：ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)dx解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．知识模块：微积分5．若y=f(x)存在反函数，且y’≠0，y”存在，则=_________．正确答案：解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷150(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷150(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．函数f（x）=的间断点及类型是（）A．x=1为第一类间断点，x=—1为第二类间断点B．x=±1均为第一类间断点C．x=1为第二类间断点，x=—1为第一类间断点D．x=±1均为第二类间断点正确答案：B解析：分别就|x|=1，|x|＜1，|x|＞1时求极限得出f（x）的分段表达式：所以，x=±1均为f（x）的第一类间断点，故选B。
知识模块：微积分2．设F（x）=g（x）φ（x），x=a是φ（x）的跳跃间断点，g’（a）存在，则g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件正确答案：A解析：因φ（x）在x=a处不可导，所以不能对F（x）用乘积的求导法则，须用定义求F’（a）。
题设φ（x）以x=a为跳跃间断点，则存在A+，A+≠A—。
当g（a）=0时，这表明，g（a）=0时，F’（a）存在下面证明若F’（a）存在，则g（a）=0。
反证法，若g（a）≠0，φ（x）=由商的求导法则，φ（x）在x=a 可导，这与题设矛盾，则g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的充要条件。
故选A。
知识模块：微积分3．设f（x）在（0，+∞）内二阶可导，满足f（0）=0，f”（x）＜0（x＞0），又设b＞a＞0，则a＜x＜b时，恒有（）A．af（x）＞xf（a）B．f（x）＞xf（b）C．xf（x）＞bf（b）D．xf（x）＞af（a）正确答案：B解析：将A，B选项分别改写成于是，若能证明或xf（x）的单调性即可。
又因令g（x）=xf’（x）—f（x），则g（0）=0，g’（x）=xf”（x）＜0（x ＞0），那么g（x）＜g（0）=0 （x＞0），即故在（0，+∞）内单调减小。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷149(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷149(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．把x→0+时的无穷小量α=cost2 dt，β=sint3 dt排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）A．α，β，γB．α，γ，βC．β，α，γD．β，γ，α正确答案：B解析：因为所以当x→0+时，α是x的一阶无穷小，β是x的三阶无穷小，γ是x的二阶无穷小，故选B。
知识模块：微积分2．设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（）A．充分必要条件B．充分条件但非必要条件C．必要条件但非充分条件D．既非充分条件也非必要条件正确答案：A解析：而由φ（x）在x =0处可导的充分必要条件是φ+’（0）与φ—’（0）都存在且相等可知，若f（0）=0，则必有φ+’（0）=φ—’（0）；若φ+’（0）=φ—’（0），即有f（0）=—f（0），从而f（0）=0。
因此f（0）=0是φ（x）在x=0处可导的充分必要条件，也是F（x）在x=0处可导的充分必要条件。
故选A。
知识模块：微积分3．设函数f（x）连续，且f’（0）＞0，则存在δ＞0，使得（）A．f（x）在（0，δ）内单调增加B．f（x）在（—δ，0）内单调减少C．对任意的x∈（0，8有f（x）＞f（0）D．对任意的x∈（一δ，0）有f（x）＞f（0）正确答案：C解析：由导数定义，知f’（0）=根据极限的保号性，存在δ＞0，使对任意x∈于是当x∈（一δ，0）时，有f（x）＜f（0）；当x∈（0，δ）时，有f（x）＞f（0）。
故选C。
知识模块：微积分4．函数y= f（x）在（一∞，+∞）连续，其二阶导函数的图形如图1—2—2所示，则y= f（x）的拐点个数是（）A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：只须考查f”（x）=0的点与f”（x）不存在的点。
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考研数学三（微积分）模拟试卷191(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设α～β(x→a)，则等于( )．A．eB．e2C．1D．正确答案：D解析：因为α～β，所以选D．知识模块：函数、极限、连续2．设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)=4，f’(2)=，f’(4)=6，则g’(4)等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因为所以选B．知识模块：一元函数微分学3．设k＞0，则函数的零点个数为( )．A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：C解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由得x=e，当0＜x＜e时，f’(x)＞0；当x＞e时，f’(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k＞0，又于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选C．知识模块：一元函数微分学填空题4．=______．正确答案：1解析：知识模块：函数、极限、连续5．设f(x)连续，且=______．正确答案：1解析：∫0xtf(x－t)dt∫x0(x－u)f(u)(－du)=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du，∫0xtan(x－t)2dt∫x0arctanu2(－du)=∫0xarctanu2du，则知识模块：函数、极限、连续6．设在x=1处可微，则a=______，b=______．正确答案：a=2，b=－1解析：因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，于是f(1－0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1处可微得a=2，所以a=2，b=－1. 知识模块：一元函数微分学7．=______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学8．设连续非负函数f(x)满足f(x)f(－x)=1，则=______．正确答案：1解析：知识模块：一元函数积分学9．设z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=______．正确答案：f’+xf’’+xy－1g1’+yxy－1lnxg1’+yx2y－1lnxg11’’+2y2xy－1g12’’+2xy+1lnxg21’’+4xyg22’’.解析：由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxy－1g1’(xy，x2+y2)+2xg2’(xy，x2+y2)=f’+xf’’+xy－1g1’+yxy－1lnxg1’+yx2y－1lnxg11’’+2y2xy－1g12’’+2xy+1lnxg21’’+4xyg22’’. 知识模块：多元函数微分学10．设f(u)连续，则∫0xdu∫u1vf(u2－v2)=______．正确答案：－xf(x2－1)解析：∫uxf(u2－v2)dv=∫u1f(u2－v2)d(u2－v2)=∫0u2－1f(t)dt，则∫0xdu ∫u1vf(u2－v2)=∫0xdu∫0u2－1f(t)dt=∫0x2－1f(t)dt，∫0xduvf(u2－v2)du=－xf(x2－1)．知识模块：重积分11．差分方程yt+1－2yt=3×2t的通解为y(t)=______．正确答案：解析：yt+1－2yt=0的通解为y(t)=C×2t，f(t)=3×2t，因为2为特征值，所以设特解为yt*=at×2t，代入原方程得，故原方程的通解为知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
12．设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0xtf(t2－x2)dt，且当x→0时，F(x)～xn，求n及f’(0)．正确答案：F(x)=∫0xtf(t2－x2)dt=∫0xf(t2－x2)d(t2－x2)则n－2=2，n=4，且于是f’(0)=－4．涉及知识点：函数、极限、连续13．求极限正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续14．求正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续15．设．f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．正确答案：因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而｜f(x)｜在[0，1]上连续，故｜f(x)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得｜f(x0)｜=M．当x0=0时，则M=0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]；当x0≠0时，M=｜f(x0)｜=｜f(x0)一f(0)｜=｜f’(ξ)｜x0≤｜f’(ξ)｜其中ξ∈(0，x0)，故M=0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．涉及知识点：一元函数微分学16．求由方程x2+y2－xy=0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．正确答案：根据隐函数求导数法，得令得y=2x，再将y=2x代入原方程得涉及知识点：一元函数微分学17．设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a2)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得正确答案：当c=ai(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立；设c为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜c＜a2＜…＜an．令构造辅助函数φ(x)=f(x)－k(x－a1)(x－2)…(x－n)，显然φ(x)在[a1，an]上n阶可导，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由罗尔定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，ξn(1)∈(an－1，an)，使得φ’(ξ1(1))=φ’(ξ2(1))=…=φ’(ξn(1))=0，φ’(x)在(a1，an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ(n－1)(x)在(a1，an)内至少有两个不同零点，设为c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n－1)(c1)=φ(n－1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，an)，使得φn(ξ)=0．而φn(x)=fn(x)－n!k，所以fn(ξ)=n!k，从而有涉及知识点：一元函数微分学18．求正确答案：由涉及知识点：一元函数积分学19．设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1.证明：｜f(x)｜≤1．正确答案：令φ(x)=exf(x)，则φ’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，由｜f(x)+f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(－∞)=0，则φ(x)=φ(x)－φ(－∞)=∫－∞xφ’(x)dx，两边取绝对值得ex｜f(x)｜≤∫－∞x｜φ’(x)｜dx≤∫－∞xexdx=ex，所以｜f(x)｜≤1．涉及知识点：一元函数积分学20．设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．证明积分不等式：In∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx．正确答案：令g(t)=lnt(t＞0)，再令x0=∫01f(x)dx，则有g(t)≤g(x0)+g’(x0)(t －x0)=>g[f(x)]≤g(x0)+g’(x0)[f(x)－x0]，两边积分，得∫01lnf(x)dx≤ln∫01f(x)dx．涉及知识点：一元函数积分学设21．f(x，y)在点(0，0)处是否连续?正确答案：因为=0=f(0，0)，故f(x，Y)在点(0，0)处连续．涉及知识点：多元函数微分学22．f(x，y)在点(0，0)处是否可微?正确答案：所以f(x，y)在点(0，0)处不可微．涉及知识点：多元函数微分学23．计算(x2+y2)dxdy，其中D：x2+y2≤2x+2y－1．正确答案：D：x2+y2≤2x+2y－1可化为D：(x－1)2+(y－1)2≤1，令0≤t ≤2π，0≤r≤1，则(x+y2)dxdy=∫02πdt∫01(1+rcost+1+2rsint+r2sin2t)rdr=涉及知识点：重积分24．设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：正确答案：等价于∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx≥∫01f(x)dx∫01f2(x)dx，等价于∫01f2(x)dx∫01f(y)dy≥∫01f(x)dx∫01yf2(y)dy，或者∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)－f(y)]dy≥0令I=∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)－f(y)]dy，根据对称性，I=∫01dx∫01xf(x)f(y)[f(y)－f(x)]dy，2I=∫01dx∫01f(x)f(y)(y－x)[f(x)－f(y)]dy，因为f(x)＞0且单调减少，所以(y－x)[f(x)－f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以涉及知识点：重积分25．设y=y(x)满足y’=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数的敛散性．正确答案：由y’=x+y得y’’=1+y’，再由y(0)=1得y’(0)=1，y’’(0)=2，根据麦克劳林公式，有因为绝对收敛．涉及知识点：级数26．证明：满足微分方程y(4)－y=0并求和函数S(x)．正确答案：显然级数的收敛域为(－∞，+∞)，显然S(x)满足微分方程y(4)－y=0．y(4)－y=0的通解为y=C1ex+C2e－x+C3cosx+C4sinx，由S(0)=1，S’(0)=S’’(0)=S’’’(0)=0得C4=0，故和函数为涉及知识点：级数27．设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．正确答案：因为曲线是上凸的，所以y’’＜0，由题设得令arctanp=C1－x．因为曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为y=x+1，所以P｜x=0=1，从而y’=因为曲线过点(0，1)，所以所求曲线为因为涉及知识点：常微分方程与差分方程28．设A从原点出发，以固定速度v0沿y轴正向行驶，B从(x0，0)出发(x0＜0)，以始终指向点A的固定速度v1朝A追去，求B的轨迹方程．正确答案：设t时刻B点的位置为M(x，y)，则两边积分，得由y’(‘‘)=0，得c0=x0k，从而当k≠1时，由y(x10)=0，得则B的轨迹方程为当k=1时，B的轨迹方程为涉及知识点：常微分方程与差分方程。