高一数学必修1.4

高一上学期数学知识点总结(必修1、4)一、集合与元素1、集合与元素概念一般，我们把研究对象称为元素，把元素组成的总体叫集合2、集合的三种特性（1）确定性。

一个元素a与集合A的关系，要么，要么，两者必居其一，并且只居其一；（2）互异性。

就是指集合中的所有的元素彼此都不相同；（3）无序性。

集合中的元素可以随意排列顺序。

3、集合的表示方法（1）语言描述法。

比如集合用语言描述法表示为“小于10的正奇数组成的集合”（2）列举法。

例如、、（3）描述法。

将集合中所有元素的共有特性用数学语言表示出来。

例如或者4、常用数集的简称（1）自然数集（非负整数集），记为N；（注意集合N中的元素为0，1，2，3，4，5，...）（2）正整数集，记为；（注意集合中的元素为1，2，3，4，5，...）（3）整数集，记为Z；（4）有理数集，记为Q；（5）实数集，记为R；5、集合的形式有数的集合、点的集合、集合的集合（其中数的集合、点的集合常用）6、子集：对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称集合A为集合B的子集，记为（或）7、空集：不含任何元素的集合叫空集，记为。

注意，空集是任何集合的子集8、子集的性质：①任何一个集合都是它自身的子集②若9、真子集：若集合，且，那么集合A是集合B的真子集，记为AB 。

注意空集是任何非空集合的真子集10、元素与集合的关系有“属于”与“不属于”这两种，用符号表示11、集合与集合的关系有“包含”、“不包含”这两种，用符号、表示；其中“包含”有“真包含”和“相等”两种，用符号、 =13 、并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的并集，用符号表示14 、交集：由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的交集，用符号表示2、函数概念一、映射（一）映射：设、是两个非空集合，如果按照某种对应法则,对中的任意一个元素，在中有一个且仅有一个元素与对应，则称是集合到集合的映射．记为：，这时称是在映射的作用下的象，记作，于是．称作的原象．集合叫做映射的定义域（函数定义域的推广），所有象构成的集合叫做映射的值域，记作．注： 1．一对一、多对一是映射，一对多不是映射2．集合中的元素一定有象，集合中的元素不一定有原象．（二）一一映射：如果是到的一个映射，并且对于集合中的任意一个元素，在集合中有且只有一个原象．（三）映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．函数是数集到数集的映射．二、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则．注：①分段函数是一个函数②分段函数的定义域是自变量的取值区间的并集，值域是各个区间对应的值域的并集．③解决分段函数的重要策略就是分类讨论．三、函数的单调性1.增函数：一般地，设函数的定义域为，区间．如果取区间中的任意两个，若，，则称函数在区间上是增函数．2.减函数：一般地，设函数的定义域为，区间．如果取区间中的任意两个，若，，则称函数在区间上是减函数．3.对勾函数在区间上为增函数，在区间上为减函数；一般地，对勾函数在区间上为增函数，在区间上为减函数；4.对于复合函数，其中称为外函数，称为内函数．当内外函数单调性相同时，为增函数;当内外函数单调性相反时，为减函数．5.设，那么当，则在上是增函数；当，则在上是减函数1. 奇函数与偶函数的定义 :设 y=f(x) ，x ∈ A ，如果对于任意∈ A ，都有，则称 y=f(x) 为偶函数。

设 y=f(x) ，x ∈ A ，如果对于任意∈ A ，都有，则称 y=f(x) 为奇函数。

如果函数是奇函数或偶函数，则称函数 y= 具有奇偶性。

2. 性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，② y=f(x) 是偶函数y=f(x) 的图象关于轴对称 ,y=f(x) 是奇函数y=f(x) 的图象关于原点对称 ,③ 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，3. 函数对称的性质（课本以外）（1）针对一个函数的对称性若，则函数的图象关于直线对称若，则函数的图象关于直线对称若，则函数的图象关于直线对称（2）针对两个函数的对称性函数与函数的图象关于直线对称4. 函数周期性若，则函数的周期若，则函数的周期若，则函数的周期若，则函数的周期1、指数函数定义 一般地，函数叫做指数函数．2、指数函数图象与性质 图象定义域值域性质（1）过定点 ，即时，（2）在 上是减函数 （2）在 上是增函数（3）时，时，（3）时，时，（4）对于同一个 ， 与 的图象关于 轴对称（5） 接近于 ，越靠近 轴 （5） 越大， 越靠近轴3、有关指数运算公式 ①； ②； ③ ； ④ ．我们规定，①正分数指数幂可以定义为；（且为既约分数）②负整数指数幂可以定义为（且为既约分数）一、对数的概念1. 对数的概念：如果（，），那么b叫做以a为底N的对数，记作（，，）．2. 对数恒等式：．3. 常用对数：以为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底10略去不写，并把写成，即把记做4. 自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数为底的对数．以为底的对数叫做自然对数．通常记作．二、对数的运算（，，），，三、对数函数的概念：一般地，我们把函数（，）叫做对数函数．图象定义域值域性质（1）函数图象过定点 ，即当时，（2）在 上是减函数 （2）在上是增函数（3）当时，；当时，． （3）当 时， ；当时，．（4）与 关于 轴对称。

（5） 越接近于 ，图象越靠近 轴 （5） 越大，图象越靠近 轴四、指数函数与对数函数的关系1．反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量．我们称这两个函数互为反函数． 函数 的反函数通常用 表示．2．指数函数 与对数函数互为反函数，其图象关于对称．一、幂函数的定义 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是常数．二、幂函数的图象 函数；；； ； 的图象定义域值域奇偶性 奇函数 偶函数奇函数 非奇非偶函数 奇函数单调性单调递增在 上减 在 上增单调递增单调递增在 和 上单调递减公共点 图象所在一、三一、二一、三一一、三象限三、幂函数的性质（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；（3）时，①幂函数在上是减函数；②在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；（7）作幂函数的图象时：将第一象限的图象作出，如下图所示，遵循8字诀窍“正抛负双，大竖小横”再根据幂函数的奇偶性，将第二或者第三象限的图象作出一、函数的零点1．函数零点的概念一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则实数叫做这个函数的零点．2．函数零点的意义函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3．零点存在判定定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且，则函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的根．二、二分法1．二分法：求函数零点的近似值的一种方法．2．二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间上，求它在上的一个零点的近似值，使它满足给定的精确度．第一步在内取一个闭区间，使与异号，即．零点位于区间中．第二步取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：（1）如果，则就是的零点，计算终止；（2）如果，则零点位于区间中，令；（3）如果，则零点位于区间中，令．继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．了解象限角和轴线角的表示方法。

3 、与角终边相同的角的集合为4 、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．5 、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．6 、弧度制与角度制的换算公式：，，．7 、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．8 、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．9 、三角函数线：，，．10、同角三角函数的基本关系：；．11 、函数的诱导公式：，，．，，．，，．，，．，．，．口诀：奇变偶不变，符号看象限．二、由的图象变换到的图象的方法方法①：将的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．方法②：将的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．（一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式；；；；（）；（）．（二）二倍角的正弦、余弦和正切公式．，．(三）万能公式，其中．平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量．2、数量：只有大小，没有方向的量．3、有向线段的三要素：起点、方向、长度．4、零向量：长度为的向量．5、单位向量：长度等于个单位的向量．6、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．7、相等向量：长度相等且方向相同的向量．8、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连．平行四边形法则的特点：共起点．三角形不等式：．9、运算性质：交换律：；结合律：；．10、坐标运算：设，，则．11、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．12、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．运算律：；；．坐标运算：设，则．13、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．14、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）15、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．16、平面向量的数量积：．零向量与任一向量的数量积为．性质：设和都是非零向量，则．当与同向时，；当与反向时，；或．．运算律：；；．坐标运算：设两个非零向量，，则．若，则，或．设，，则．设、都是非零向量，，，是与的夹角，则。