初中数学阅读理解题专题

【思考2】
直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下:
请你用上面图示的方法，解答下列问题：
(1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；
(2)对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.
(1)
【思路分析】材料的方法中，如果延长中位线，并且由底边顶点做中位线的垂线。那么如下图，箭头所指的两个三角形就是全等的，另外一边也是一样，所以这种裁减方法就是利用全等来走。第一问纯属送分，按材料中所给的三角形拆法就可以了。第二问说裁剪梯形，实质上梯形就是由两个三角形组成的，所以随便找一条对角线将梯形拆开，然后按照第一问的思路去做就可以了。
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
【思路分析】首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究。旋转60度以后BP就成了BP`,PC成了P`A,借助等量关系BP`=PP`,于是△APP`就可以计算了.至于说为什么是60°,则完全是因为大图形是等边三角形,需要用60度去构造另一个等边三角形。看完这个，再看所求的问题，几乎是一个一模一样的问题，只不过大图形由三角形变成了正方形。那么根据题中所给的思路，很自然就会想到将△BPC旋转90度看看行不行。旋转90度之后，成功将PC挪了出来，于是很自然做AP`延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。说实话如果完全不看材料，在正方形内做辅助线，当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的。但是借助材料中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷。大家可以从本题中体会一下领会材料分析方法的重要性所在。
∴△AP′P是直角三角形，即∠A P′P=90°．
∴∠AP′B=135°．
∴∠BPC=∠AP′B=135°．…
（2）过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E．
∴∠EP′B=45°.∴EP′=BE=1.∴AE=2.
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB= ．
∴∠BPC=135°，正方形边长为 ．
【例2】若 是关于 的一元二次方程 的两个根，则方程的两个根 和系数 有如下关系： .我们把它们称为根与系数关系定理.
【总结】这种阅读理解题是近年来中考题的新趋势，如果没有材料直接去做的话，往往得不到思路。但是如果仔细理解材料中所给的内容，那么就会变得非常简单。这种题的重点不在于考察解题能力，而在于考察分析，理解和应用能力。专门去找大量的类似题目去做倒也不必，而培养审题，分析的能力才是最重要的。考生拿到这种题，第一就是要静下心来慢慢看，切记不可图方便而草草看完材料就去做题，如果这样往往冥思苦想半天还要回来看，浪费了大量时间。裁剪问题和拼接问题也是经常出现在此类问题当中的，面对这种题要把握好构成那些等量关系的要素，如中点，N等分点等特殊的元素。综合来说只要仔细理解材料中的意图，那么这一部分的分数十分好拿，考生不用太过担心。
小明的做法是：
先取 ，如图2，将 绕点 顺时针旋转 至 ，再将 绕点 逆时针旋转 至 ，得到 个小正方形，所以四边形 与正方形 的面积比是 ；
然后取 ，如图3，将 绕点 顺时针旋转 至 ，再将 绕点 逆时针旋转 至 ，得到 个小正方形，所以四边形 与正方形 的面积比是 ，即 ；
……
请你参考小明的做法，解决下列问题：
【解析】
四边形 与正方形 的拼接后的正方形是正方形 ．
面积比是 ．
【例4】
阅读：如图1，在 和 中， , , 、 、 、 四点都在直线 上，点 与点 重合.
连接 、 ，我们可以借助于 和 的大小关系证明不等式： （ ）.
证明过程如下:
∵
∴
∵ ,
∴ .
即 .
∴ .
∴ .
解决下列问题：
（1）现将△ 沿直线 向右平移，设 ,且 .如图2,当 时, .利用此图,仿照上述方法,证明不等式： （ ）.
第一部分 真题精讲
【例1】请阅读下列材料
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为 ．问题得到解决．
（2）如图2， 的半径为 ，点 在 上， ， ， 是 上一动点，则 的最小值是___________；
（3）如图3， ， 是 内一点， ， 分别是 上
的动点，则 周长的最小值是___________．
【思路分析】利用对称性解题的例题。前两个图形比较简单，利用正方形和圆的对称性就可以了。第三个虽然是求周长，但是只要将这个题看成是从P点到Q，然后到R再折回来的距离最小，当成是那种“将军饮马”题目去做就可以了。
【解析】（1）
证明：连接 、 .
可得 .
∴ ，
.
∵ ，
∴ ，
即 .
∴ .
∴ .
（2）
延长BA、FE交于点I.
∵ ，
∴ ，
即 .
∴ .
∴ .
四个直角三角形的面积和 ，
大正方形的面积 .
∵ ，
∴ .
∴ .
【例5】阅读下列材料:
将图1的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形，如图2，再将图2中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.（要求：无缝隙且不重叠）
初中数学阅读理解题专题
【前言】
新课标以来中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。不同以往的单纯“给条件”to“求结果”式的题目，阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键，让我们先看以下的例题。
当abc为等腰直角三角形时过c作cdab?垂足为d则2abcd?抛物线与x轴有两个交点0?不要忘记这一步的论证2244bacbac???24bacaba??又244baccda??0a?22442bacbac?????222444bacbac???看成一个整体??222444bacbac???244bac??
【思考3】
将图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，
△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.
【解析】．⑴解：当 为等个交点，∴ ，（不要忘记这一步的论证）
∴
∵
又∵ ，
∵ ，
∴
∴ （看成一个整体）
∴
∴ …
⑵当 为等边三角形时，
⑶∵ ，
∴ ．
即 ，
∴
因为向左或向右平移时， 的度数不变，
所有只需要将抛物线 向上或向下平移使 ，然后向左或向右平移任意个单位即可．
【思路分析】本题也是较为常见的类型，即先给出一个定理或结论，然后利用它们去解决一些问题。题干中给出抛物线与X轴的两交点之间的距离和表达式系数的关系,那么第一问要求 取何值时△ABC为等腰直角三角形.于是我们可以想到直角三角形的性质就是斜边中线等于斜边长的一半.斜边中线就是顶点的纵坐标,而斜边恰好就是两交点的距离.于是将 作为一个整体,列出方程求解.第二问也是一样,把握等边三角形底边与中线的比例关系即可.第三问则可以直接利用第一问求得的 值求出K,然后设出平移后的解析式,使其满足第二问的结果即可.注意左右平移是不会改变度数的，只需上下即可。
请你参考以上做法解决以下问题：
（1）将图4的平行四边形分割成面积相等的八个三角形；
（2）将图5的平行四边形用不同于（1）的分割方案，分割成面积相等的八个三角形，再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形，类比图2，图3，用数字1至8标明.
【思路分析】这种拼接裁剪题目往往都是结合在阅读理解题中考察，结合网格，对考生的发散思维要求较强。本题材料中将平行四边形裁减成8份然后重新组成两个平行四边形。要保证平行就需要这些小四边形的边长都是平行且相等的。第一问是面积相等，那么直接利用中点这一个重要条件去做。第二问是分割为能重新组成平行四边形的三角形，那么就要想如何利用三角形去构建平行和相等的关系呢？于是可以想到平行四边形的对角线所分的三角形恰好也就满足这种条件。于是从平行四边形的对角线出发，去拆分出8个小三角形来。具体答案有很多种，在此也不再累述。
设向上或向下平移后的抛物线解析式为： ，
∵平移后 ，∴ ，
∴ ．
∴抛物线 向下平移 个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使 的度数由 变为
【例3】阅读下列材料：
小明遇到一个问题：如图1，正方形 中， 、 、 、 分别是 、 、 和 边上靠近 、 、 、 的 等分点，连结 、 、 、 ，形成四边形 ．求四边形 与正方形 的面积比（用含 的代数式表示）．
第二部分发散思考
【思考1】几何模型：
条件：如下左图， 、 是直线 同旁的两个定点．问题：在直线 上确定一点 ，使 的值最小．
方法：作点 关于直线 的对称点 ，连结 交 于点 ，则 的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形 的边长为2， 为 的中点， 是 上一动点．连结 ，由正方形对称性可知， 与 关于直线 对称．连结 交 于 ，则 的最小值是___________；
如果设二次函数 的图象与x轴的两个交点为 .利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：