三次样条插值

§2.7 三次样条插值
引例
一 背景
第二章 插值法
2.7.1 三次样条插值函数的概念
二、样条函数的定义
定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一） 例2.13
边界条件1 （固支边界）
2.7.2 三弯矩法
边界条件2（简支边界） 边界条件3（周期边界） 例2.14,2.15
2.7.3 m关系式 2. 7. 4 三次样条插值函数的性质
第二章 插值法
引例: y=sin x 在区间[0， ]上的插值逼近
1
1.
二次插值
0.8 0.6
2. 两点埃尔米特插值 x 0 Sin x 0 0 Cos x 1 –1
0.4 0.2 0
0
1
2
3
4
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
1
2
3
4
3. 分段埃尔米特插值
x 0 Sin x 0 Cos x 1
/2
1 0 0 –1
2.7.1 三次样条插值函数的概念 第二章
插值法
一 背景
L-插值（牛顿插值） Hermite插值

高次插值出现龙格现象
分段插值
但分段线性插值在节点处不一定光滑
分段Hermite插值 但导数值不容易提取（找到） ●为得到光滑度更高、应用方便的插值函数,我们引入样条插 值函数。“样条”名词来源于工程中船体、汽车、飞机等的 外形设计：给出外形曲线上的一组离散点(样点)，如(xi, yi)， i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上 固定，使其在其它地方自由弯曲，这样样条所表示的曲线， 称为样条曲线(函数)。
3( n-1)个
方程数少于未知数个数 ？？
第二章 插值法
共有 4n 2个条件, 要唯一确定 S ( x ) ,还必须附加2个条件 这两个条件常在插值区间[a,b]的边界点a,b处给出，称 为边界条件。边界条件的类型很多，常见的有：
③附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是:
(a)固支边界 S x0 f x0 m0 , S xn f xn mn ,
另一方面，要求分段三 次多项式S x 及其导数S ' x , S " x 在整个插值区
a0 x3 b0 x 2 c0 x d 0 , x [ x0 , x1 ] 3 2 a x b x c1 x d1 , x [ x1 , x2 ] 1 1 S ( x) 3 2 a x b x ci x di , x [ xi , xi 1 ] i i 3 2 an 1 x bn 1 x cn 1 x d n 1 , , x [ xn , xn 1 ]
S1 ( x ), x [ x0 , x1 ] S ( x ), x [ x , x ] 2 1 2 S( x) S n ( x ), x [ x n1 , xn ]
满足: (1) S(x)在 [xj，xj+ 1]上为三次多项式; (2) S”(x)在区间[a，b]上连续; (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,· · · ,n). 则称 S(x)为三次样条插值函数.
则有: S(-1)= – a1+b1–c1+d1=f(-1)=1, S(1)=a2+b2+c2+d2= f (1) =1,
S(0)=d1= f(0)=0,
S(0-0)= d1=S(0+0)=d2, S'-(0)= c1= S'+(0)= c2, S''-(0)=b1= S''+(0)=b2 由自然边界条件: S''(0)= – 6a1+2b1=0, S'(1)= 6a2+2b2=0 解方程组,得 a1=-a2=1/2, b1=b2=3/2, c1=c2=d1=d2=0
( xi , f ( xi )),(i 0,1,, n)且 a x0 x1 xn b ;
f ( x ) 于 [a , b] 存在 ，则 ( a （或（ ) b ）或（ c ）） (2)给定边界条件
) b）或（ c））。 唯一3次样条插值函数 S ( x ),且满足 (a（或（
第二章 插值法
x=[0, 0.0155, 0.1485, 0.3493, 0.6480, 1.0547, 2.0]; y=[0, 0.1242, 0.3654, 0.4975, 0.5472, 0.4781, 0];
n=length(x); t=0:n-1;tt=0:.25:n-1; xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt); plot(xx,yy,x,y,'o')
第二章 插值法
相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较
Cubic Spline Interpolation Interpolation
Lagrange
二、样条函数的定义
第二章 插值法
下面介绍应用最广且只有二阶连续导数的三次样条函 数． 在数学上，三次样条曲线表现为近似于一条分段的三次 多项式，它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。 定义 2.8 （三次样条函数） 设有对[a,b]的剖分 : a x0 x1 xn b, 如果函数 S ( x ) 满足下述条件：
第二章 插值法
问题的解
1 3 3 2 x x , x [1, 0] 2 2 S ( x) 1 x 3 3 x 2 , x [0, 1] 2 2
1
x=[-1,0,1];y=[1,0,1]; f1=inline('0.5*x.^3+1.5*x.^2'); f2=inline('-0.5*x.^3+1.5*x.^2'); t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1; p1=f1(t1);p2=f2(t2); plot(x,y,'o',[t1,t2],[p1,p2],’r’) Hold on, plot([t1,t2],[t1,t2].^2)
第二章 插值法
①插值条件: S(xj) = yj ( j = 0,1,· · · ,n) n+1个 ②连续性条件: S(xj+0) =S(xj-0) ( j = 1,· · · ,n-1) S'(xj+0) =S' (xj-0) ( j = 1,· · · ,n-1) S' ' (xj+0) =S' ' (xj-0) ( j = 1,· · · ,n-1) 共可建立方程(4n-2)个！！
间a, b上连续，只要它们在各 个子区间的连接点 x1 , x 2 , x n 1上连续即 可，由条件2 , 3可得待定系数应满足的 4n 2个方程。
x xi , xi 1 (i 0,1, n 1)
这里有四个待定系数ai , bi , ci , di ,子区间共有n个.要确定S x 需要
被插值函数:
1
1 f ( x) 1 x2
第二章 插值法
-5≤ x ≤ 5 x=-5:5; y=1./(1+x.^2); plot(x,y,x,y,'o')
0.5
0 -5
0
5
1
0.5
0 -5
0
5
x=-5:5; y=1./(1+x.^2); xi=-5:.05:5; yi=spline(x,y,xi); plot(xi,yi,'b',x,y,'ro')
S ( xi ) M i (i 0,1,, n)
i
表示时，使用更方便。 M
在力学上解释为细梁
在 xi 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩
有关，故称用 M 表示 S ( x ) 的算法为三弯矩算法。
i
第二章 插值法
令S ( x) S j ( x), x [ x j , x j 1 ], hj x j 1 x j ,
第二章 插值法
注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
f(x)
H( x ) S( x )
Biblioteka Baidu 第二章 插值法
首先指出单靠一张函数表是不能完全确定一个三次样条 插值函数的。 这是因为：由条件(1)，三次样条插值函数S x 是一个分段三次 多项式，若用Si x 表示它在第i个区间 xi , xi 1 上的表达式，则 Si x ai x3 bi x 2 ci x di 确定4n个待定系数。
(a) S( x) C 2 a, b ，即具有连续的一阶，二阶导数。 b S ( x ) 在每一个小区间 [ x j , x j 1 ] j 0,1, n 1 上是次数 3
多项式。 则称 S ( x )为关于剖分 的一个3次样条函数。
第二章 插值法
定义2.8*给定区间[a , b]上的一个分划: a = x0 < x1 < … < xn = b · · ,n), 如果 已知 f(xj) = yj (j = 0,1,·
当y f x 是周期为b a的函数时，则要求S ' x 及其导数S " x 均是以b a为周期的函数。扩充边界条件为： S ' x0 0 S ' xn 0 提此要求） S " x0 0 S " xn 0 ----此时称S ( x)为周期样条函数 （由f x 周期性知y0 yn，从而必有S x0 0 S xn 0 故不必再
注意：上述②给出的 3个条件是问题本身隐含的， n3 3 n 1 ①和③共 n 个独立条件须提供，故 节点三次样插值 问题只有 n 个自由度 .(请与分段三次Hermite插值比较!) 3
第二章 插值法
定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一） (1)如果 f ( x ) 是定义在[a , b] 上函数且已知 y f ( x ) 函数表
令 S( x j ) M j，（j 0,1,2,, n)
参数
插值函数， 因为S j ( x)是三次样条
所以, S [ x j , x j 1 ]上是一次函数,由两点拉格朗日插值可表示为 j ( x)在 x j 1 x x xj S ( x) Mj M j 1 , x [ x j , x j 1 ], hj x j 1 x j hj hj (2.46) 对上式积分,得 ( x j 1 x)2 ( x x j )2 S ( x) Mj M j 1 c1 , (2.47) 2h j 2h j
0 .8
0 .6
y= x2
0 .4
0 .2
0 -1
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
第二章 插值法
2.7.2 构造三次样条插值函数的三弯矩法 ------三次样条插值函数的二阶导数表示 三次样条插值函数 S ( x ) 可以有多种表达式， 有时用二阶导数值
第二章 插值法
例 2.13 已知 f (–1) = 1, f (0) = 0, f (1) = 1.求[–1，1] 上的三次自然样条(满足自然边界条件). 解设
3 2 a x b x c1 x d 1 , x [1, 0] 1 1 S ( x) 3 2 a x b x c2 x d 2 , x [0, 1] 2 2
再积分,得
S ( x)
( x j 1 x)3 6h j
Mj
( x x j )3 6h j
M j 1 c1 x c2 , (2.48) x [ x j , x j 1 ]
特别地, 自然边界 ,三次自然样条); M 0 (M n 0,
(1)
(b)简支边界 S x0 f x0 M0 , S xn f xn M n , (2)
注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。
第二章 插值法
( c )第3种边界条件（周期边界条件）：