非线性规划问题求解
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
非线性规划的MATLAB解法
非线性规划问题通常具有多个局部最 优解，解的稳定性与初始条件有关， 需要使用特定的算法来找到全局最优 解。
非线性规划的应用场景
数据拟合、模型选择、参 数估计等。
生产计划、物流优化、设 备布局等。
投资组合优化、风险管理、 资本预算等。
金融
工业
科研
非线性规划的挑战与解决方法
挑战
非线性规划问题可能存在多个局部最优解，且解的稳定性与初始条件密切相关，需要使用特定的算法来找到全局 最优解。
共轭梯度法
总结词
灵活、适用于大型问题、迭代方向交替
详细描述
共轭梯度法结合了梯度下降法和牛顿法的思 想，通过迭代更新搜索方向，交替使用梯度 和共轭方向进行搜索。该方法适用于大型非 线性规划问题，具有较好的灵活性和收敛性。
04
非线性规划问题的约束 处理
不等式约束处理
处理方式
在Matlab中，可以使用 `fmincon`函数来求解非线性规划 问题，该函数可以处理不等式约 束。
要点二
详细描述
这类问题需要同时考虑多个目标函数，每个目标函数可能 有不同的优先级和权重。在Matlab中，可以使用 `gamultiobj`函数来求解这类问题。该函数可以处理具有 多个目标函数的约束优化问题，并允许用户指定每个目标 函数的权重和优先级。
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具体操作
将等式约束条件表示为线性方程组，并使用`Aeq`参 数指定系数矩阵，使用`beq`参数指定常数向量。
注意事项
等式约束条件需要在可行域内满足，否则会 导致求解失败。
边界约束处理
处理方式
边界约束可以通过在目标函数中添加惩罚项来处理，或者使用专门的优化算法来处理。
具体操作
在目标函数中添加惩罚项时，需要在目标函数中添加一个与边界约束相关的项，并调整 其权重以控制边界约束的重要性。
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
第三章非线性规划
第三章 非线性规划§1 非线性规划1.1 非线性规划的实例与定义如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。
而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。
例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。
已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i =个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。
试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为 ⎩⎨⎧=个项目决定不投资第，个项目决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1 =，则投资总额为∑=ni ii xa 1，投资总收益为∑=ni ii xb 1。
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件 ∑=≤<ni ii A xa 1另外，由于),,1(n i x i =只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i ==-最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。
因此，其数学模型为：∑∑===ni ii ni ii xa xb Q 11maxs.t. ∑=≤<ni ii A xa 1.,,1,0)1(n i x x i i ==-上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为（NP ）。
可概括为一般形式)(min x fq j x h j ,,1,0)(s.t. =≤ (NP) p i x g i ,,1,0)( ==其中T n x x x ][1=称为模型（NP ）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i =和),,1(q j h j =称为约束函数。
第5讲 非线性规划
例1
min
f
x1
2x2
1 2
x12
1 2
x22
2x1 3x2 6
s.t.
x1
4x2
5
x1, x2 0
1.写成标准形式： min
f
x1
2 x2
1 2
x12
1 2
x22
2x1 3x2 6 0 x1 4x2 5 0
s.t. 0 x1 0 x2
例1
min
f
x1
2）当用新建原料场时,决策变量为：xij，xj，yj
1.使用临时原料场
模型求解
使用两个临时原料场A(5,1)，B(2,7). 求从料场j 向使用单位i 的运送量
xij，在各建筑工地使用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，
使总的吨千米数最小，此时由于ai，bi 、xj，yj都是已知的，故这是一个线性
输出极值点 M文件 迭代的初值
(6) [x,fval]= fmincon(...) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...) (8) [x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)
变量上下限
参数说明
注意：
[1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认 时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置 为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函 数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用 中型算法。 [2] fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每 一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日 Hessian矩阵。 [3] fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取 有关。
实验二利用Lingo求解整数规划及非线性规划问题
例 3 用Lingo软件求解非线性规划问题
min z x1 12 x2 22
x2 x1 1,
x1
x2
2,
x1
0,
x2
0.
Lingo 程序: min= x1-1 ^2+ x2-2 ^2;
x2-x1=1;
x1+x2<=2;
注意: Lingo 默认变量的取值从0到正无穷大, 变量定界函数可以改变默认状态. @free x : 取消对变量x的限制 即x可取任意实数值
例 4 求函数 zx22y22 的最小值.
例 4 求函数 zx22y22 的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min= x+2 ^2+ y-2 ^2; @free x ; 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
1 集合的定义 包括如下参数: 1 集合的名称.
sets: endsets
44
minZ
aijxij
i1 j1
4
xij
1
j 1,2,3,4
s.t.
i 1 4
xij
1
i 1,2,3,4
j1
xij 0或1 i, j 1,2,3,4
LINGO程序如下：
MODEL: SETS: person/A,B,C,D/; task/1..4/; assign person,task :a,x; ENDSETS DATA: a=1100,800,1000,700,
77
63
67
丁
55
76
62
62
甲, 乙, 丙, 丁 四名队员各自游什么姿势 , 才最有可能取得好成绩
数学建模4-非线性规划模型求解
3、会利用matlab优化工具箱求解简单的非线性规划问题。
二、实验环境（实验器材、环境要求）：
1、计算机
2、Matlab软件
三、实验内容（实验原理、任务等）：
1、求解下列非线性规划问题：
2、（供应与选址问题）某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系a，b表示，距离单位：千米）及水泥日用量d(吨)由下表给出。目前有两个临时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。假设从料场到工地之间均有直线道路相连。
湖南第一师范学院数学系实验报告
姓名：
学号：
专业：
数学与应用数学
班级：
12级
课程名称：
线性规划与数学建模
实验名称：
非线性规划模型的Matlab求解
实验类型：
基础实验
实验室名称：
数学建模实验室
实验地点：
实A302
实验时间：
2015年6月25日
指导教师：
曾
成绩评定：
一、实验目的与要求：
1、掌握非线性规划问题的求解方法。
五、实验心得（质疑、建议）：
第一题把Aeq=[1 1]写成了Aeq=[1,1]，习惯性以逗号分隔，然而并非所有都是逗号做分隔号的，所以在对不同类型程序语法进行编写时，要注意结合其自身特点，不能被惯性思维影响。第二题建立模型由一定难度，需要认真分析，用软件编程时也挺麻烦，不知道lingo软件是否也能解出此题，二者相比哪个操作更便捷。
(The primal residual < TolFun=1.00e-008.)
xopt = 1.0e+009 *
非线性规划理论与应用
非线性规划理论与应用随着社会的发展，科学技术的不断进步，各行各业对于优化问题的需求越来越重要。
而非线性规划作为一种重要的数学工具，在优化问题的解决中具有越来越重要的作用。
本文将介绍非线性规划的相关理论及其应用。
一、非线性规划的概念与代数形式非线性规划是指目标函数和约束均为非线性函数的规划问题。
其数学表达式可以表示为：$$\min f(x)$$$$s.t.~~g_i(x)\leq 0,~~i=1,...,m$$$$h_j(x)=0,~~j=1,...,n$$其中，$f(x)$是目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$是条件函数。
非线性规划的解决需要运用复杂的优化算法，如全局最优化算法、局部最优化算法、束方法、内点法等多种方法。
二、非线性规划的求解方法（一）全局最优化算法全局最优化算法是一种求非线性规划全局最优解的方法。
其代表性算法主要有割平面法、分支定界法和随机搜索法等。
其中，分支定界法是基于二分策略，逐步缩小问题解空间，从而确保问题最佳解的精确性。
（二）局部最优化算法局部最优化算法是一种求非线性规划近似最优解的方法。
其代表性算法主要有牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法和梯度投影法等。
其中，牛顿法是一种迭代法，其优点在于收敛速度快，但由于其需要求解Hessian矩阵，因此使用相对比较复杂。
（三）束方法束方法是一种求非线性规划的全局最优解的算法，其特点是对问题进行主动检测，确保求得的解是全局最优解。
束方法通过构造变量束替代原问题的约束条件，从而得到类似于线性规划的问题。
其代表性算法主要有序列二次规划和重心法等。
（四）内点法内点法是一种涵盖全局最优化和局部最优化的方法。
其思路是构造一条不断向目标函数内部靠近的路径，最终路径上得到的点就是问题的最优解。
内点法的优点在于具有较高的收敛速度和精确性，但其缺点在于实现过程较为复杂。
三、非线性规划的应用非线性规划在实际应用中具有广泛的应用，如经济领域中的投资组合问题、能源管理问题、市场需求预测问题等。