有限元分析(FEA)方法PPT课件
有限元方法(FEA)
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
或
1、 2、 3、12、 23、 31
应变
物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表 示。 两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示， 称为剪应变，用γ表示。
du dL
dL dL+du
x y o
x yx b y x
习惯上
x xy bx 0 y x y yx b 0 y y x
有限元方法（FEA）
2015-9
第一部分：有限元简介
简介
有限元方法是求解数学物理问题的一种数值计算 方法，起源于固体力学，然后迅速扩展到流体力 学、传热学、电磁学等其他物理领域。 有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系 统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又 相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量 去逼近无限未知量的真实系统。 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
结构分析-分类
静力分析 -用于静态载荷. 可以考虑结构的线性及非 线性行为，例如: 大变形、大应变、应力刚化、接触、 塑性、超弹及蠕变等. 动力分析 -动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和 阻尼起着重要作用时结构或构件动力学特性的技术。 “动力学特性” 可能指的是下面的一种或几种类型:
力学学科各分支的关系
力学学科 中学力学 研究对象 质点 特征 无变形
理论力学
材料力学 结构力学 弹性力学 弹塑性力学
质点系及刚体
简单变形体(构件) 数量众多的简单变形体 任意变形体 任意变形体
无变形
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里兹法:
选择一个定义于整个求解域 并满足边界条件的试探函数
将试探函数代入泛函表 达式,建立线性方程
求解方程 计算系数
16
设有边值问题
d2 y dx2
y
1
0
(1-8)
y(0) 0, y(1) 0
通过数学推导，求得其泛函为
I y(x) 1(1 y2 1 y2 y)dx
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
边值问题的求解
泛函极值的求解
泛函:给定满足一定条件的函数集合A:{y(x)},和实数 集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系,就是A中的每个函数y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,
记为V=V(y(x))。
A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖 自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。
U T dV V
单位体积内的虚应变能为
U T
U
U
o
43
2.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.
虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的, 那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等 于弹性体的虚应变能,即
有限元分析及应用ppt课件
dz
?
0
yz 2 ?y
zy 2 ?z
略去微量项，得 ? ? ?
yz
zy
? M ?0 ? ??
Y
zx
xz
? M ?0 Z
剪切力互等定律
? ??
xy
yx
53
二维问题：平衡微分方程
?? ??
x ? yx ? X ? 0 ?x ?y ?? ??
xy ? y ? Y ? 0 ?x ?y
剪切力互等定律
? ??
(1) 变形体
变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。 有限元方法所处理的对象：任意变形体
38
(2) 基本变量的定义
可以用以下各类变量作为任意变形体的描述
量
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移、应变、应力
39
目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程 和材料物理方程
11
各（
力对
学象
学、
科变
分量
支、
的方
关程
系、
求
解
途
径
）
12
13
任意变形体力学分析的基本变量及方程 研究对象：任意形状的变形体 几种典型的对象 (1) 桥梁隧道问题
14
圆形隧道
三维模型 15
(2) 中华和钟 (3) 矿山机械
16
(4) 压力容器的成形 17
变形体及受力情况的描述 18
求解方法 19
5
有限元法的孕育过程及诞生和发展
牛顿(Newton)
莱布尼茨(Leibniz G. W.) 6
大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积 分法，证明了该运算具有整体对局部的可加 性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域 的划分是不同的，前者进行无限划分而后者 进行有限划分，但积分运算为实现有限元技 术准备好了一个理论基础。
第1章 有限元基本理论.ppt
i
du
ui 1 ui
x dx
li
E i
i
E (ui1ui )
x
x
li
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
外载荷与结点的平衡方程
EA(uiui1 ) li1
EA(ui1ui ) li
q(li1 li ) 2
q(li1li ) 2
为第i个结点上承受的外载荷
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3， 则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
EA a
EA a
(2u2
u3 )
(u2 2u3 u4
qa )
qa
EA a
(u3
u4 )
qa 2
[k][ ] [ p]
{ } [u2 u3 u4 ]T
它们可以由结点位移确定如下：
位移模式(续)
联立求解上述方程，可得：
位移模式(续)
其中： 而： 是三角形ijm的面积。
位移模式(续)
于是可以得到：
其中： 同理得：
位移模式(续)
可以将位移模式改写为矩阵模式：
单元中的应变和应力
有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和 物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变 和应力分量的公式。
将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中 设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接 的一组单元的集合体。
选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单 元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的 分布规律。
利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知 量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度 问题化为离散域中有限自由度问题。
有限元分析FEA
有限元分析FEA有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域，用于估算结构在特定工况下的力学性能。
FEA 将复杂的实际结构抽象为有限数量的简单几何形状，然后通过对这些几何形状进行分割，建立一个离散的节点网格，进而利用数学方法对节点网格上的几何、力学和材料性能进行模拟和计算，通过求解节点间的方程组，得到结构的应力、应变、位移等结果。
1.建立几何模型：通过计算机辅助设计软件建立结构的几何模型。
模型可以是二维或三维的，包括各种几何形状，如线段、矩形、圆形等，并包含结构的尺寸和几何特征。
2.网格划分：将几何模型划分为离散的节点网格，并在节点上分配适当的节点元素。
节点元素可以是线元素、平面元素或体元素，将结构的连续性转化为离散点之间的连接关系。
3.建立力学模型：根据所要研究的问题和加载条件，确定边界条件、加载情况和材料性能等。
边界条件包括约束和加载，在节点和元素上分配适当的约束和加载。
4.建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料特性，建立单元的刚度矩阵。
刚度矩阵包含单元的弹性刚度、几何刚度和材料刚度。
5.组装刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵根据节点的连接关系进行组装，得到总体的刚度矩阵。
组装的过程包括将单元刚度矩阵映射到全局坐标系、考虑边界条件和加载等。
6.求解方程组：建立节点的位移和约束条件之间的关系，得到结构的位移、应力和应变等结果。
可以通过直接解方程组或迭代求解的方法得到最终结果。
7.后处理：根据具体问题的要求，对结果进行分析和解释。
可以绘制位移云图、应力云图、应变云图等，进行结构的评估和优化。
FEA有以下几个主要特点和优势：1.可适用于各种工程领域：FEA可以用于解决结构和材料的强度、稳定性、疲劳、振动、热传导、电磁等多种问题，广泛应用于航空航天、汽车、能源、建筑和机械制造等领域。
2.具有高精度：通过适当的剖分和合理的力学模型，能够在相对较短的时间内提供较准确的结果，并对结构进行合理和有效的评估。
第四讲 有限元分析
单元形函数(续)
二次曲线的线性近 (不理想结果) DOF值二次分布
.
1
节点 单元 线性近似 (更理想的结果)
.
2
真实的二次曲线
.
节点 单元
真实的二次曲线
.
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.. . . .
3
节点 单元
.
4
节点 单元
.
单元形函数
遵循: • DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平 均值与实际情况吻合得很好。 • 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结构应力 ，热梯度）。 • 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到 导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。
...映射网格划分
Байду номын сангаас
切割 （divide）可以通过布尔减运算实现.
您可以使用工作平面, 一个面, 或一条线 作为切割工具. 有时, 生成一条新的线或面会比移动或定向工作平面到正确的
方向容易得多.
...映射网格划分
连接 操作是生成一条新线 (为网格划分) , 它通过连接两条或多
条线以减少构成面的线数. 使用 LCCAT 命令或 Preprocessor > -MeshingConcatenate > Lines, 然后拾取须连接的线. 对面进行连接, 使用 ACCAT 命令或Preprocessor > Meshing- Concatenate > Areas 若两条线或两个面 相切交汇可考虑用加 (布尔) 运算
每条初始线上指定6份分割.
此线上将自动使用12 份分 割 (合成线的对边).