《全等三角形》证明题题型归类训练

《全等三角形》证明题题型归类训练

题型1：全等+等腰性质

1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .

2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ．

题型2：两次全等

1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF

F

D

C

B

A

2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分

E A B E O

F D C

3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG

题型3：直角三角形全等（余角性质）

1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．

2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．

3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AE

A

F

C

B

D

E

G

4、在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，

MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

5、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

题型4：连接法（构造全等三角形）

1、已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证：AE ＝AF 。

2、如图，直线AD 与BC 相交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ．求证：CO=DO ．

A

O D

C B

3、如图 11-30，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，点F 是CD 的中点.求证：AF ⊥CD.

F

E

B

4、在正ABC ?内取一点D ，使DA DB =，在ABC ?外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且

BE BA =，求BED ∠.

5、如图所示，BD=DC,DE ⊥BC,交∠BAC 的平分线于E ，EM ⊥AB,EN ⊥AC,求证：BM=CN

6、如图，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．

A

D

C

B

A

C N

E

M B

D

D

E C

B A

题型5：全等+角平分线性质

1、如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC

2、已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．

题型6：倍长中线（线段）造全等

前言：要求证的两条线段AC 、BF 不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF 困难，考

虑能否通过辅助线把AC 、BF 转化到同一个三角形中，由AD 是中线，常采用中线倍长法，故延长AD 到G ，使DG=AD ，连BG ，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。

1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：

AC=BF

C

2、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF

P D A

C

B

M N

3、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

D C

B

A

4、在△ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围是( )

A、1

B、4

C、5

D、9

5、已知：AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA=BD，求证：AE=

2

1

AC

C

E

6、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

E

D C

B

A

7、已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

C

E

8、如图23，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF. ⑴求证：BG=CF

⑵请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并说明理由。

9、如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+

第 14 题图

D

F C

B

E

A

10、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

E

D

F

C

B

A

11、已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF // 交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠

A

B

F

D

E

C

A D B

C E

题型7：截长补短

1、已知，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：BC ＝AB ＋CD 。

2、如图，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE=∠CDE ，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.

3、已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.

4、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°， AD 是∠BAC 的平分线，且AC=AB+BD ，求∠ABC 的度数

D C

B A

D

C

B A 12

5、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD

C

B

6、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

7、如图，已知在ABC 内，0

60BAC ∠=，0

40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ

分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：

BQ+AQ=AB+BP

C

B

A

8、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC

B

A

D O E

C

B

A

9、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作

60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?

题型8：角平分线上的点向角两边引垂线段

1、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，求证：∠BAD+∠C=180°

C

2、如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ，则∠B 与∠ADC 互补.为什么？

3、如图，在△ABC 中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE 平分∠

ACB ，D 是AC 上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE 的度数.

D

B

E

A

C

N

E

B M A D

图十一

4、已知，AB ＞AD ，∠1＝∠2，CD ＝BC 。求证：∠ADC ＋∠B ＝180°。

图九

D

5、如图，在△ABC 中∠A BC,∠A CB 的外角平分线交P.求证:AP 是∠BAC 的角平分线

6、

如图,∠B=∠C=90°,AM 平分∠DAB,DM 平分∠ADC 求证:点M 为BC 的中点

题型9:作平行线

1、已知△ABC ，AB=AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE=CF ，EF 交BC 于

G ．求证：EG=GF ．

A

F

C G

B

E

2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．

求证：CD=

1BE 题型10：延长角平分线的垂线段

1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．

A

F D

C

B

E

2、如图，△ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD=2CE ．

F

E D

C

B A

3、如图：∠BAC=90°，CE ⊥BE ，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BD=2EC

B

4、已知，如图34，△ABC 中，∠ABC=90o，AB=BC ，AE 是∠A 的平分线，CD ⊥AE 于D ．求证：CD=

2

1

AE ． C

E

B

A

D

题型11：面积法

1、如图所示,已知D 是等腰△ABC 底边BC 上的一点,它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF,CM ⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE 、DF 、CM 三者之间的数量关系, 并给予证明.

E D

C

B

A

M

F

2、己知，△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，P 是BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 垂足分别为E 、F ，求证：① PE+PF=CD PE – P F=CD.

F E

D

C A

B

G

P

F

E

D

A

B G

P

题型12：旋转型

1、如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上一动点（点G 与C 、D 不重合）， 以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于H 。 求证：① △BCG ≌△DCE

② BH ⊥DE

2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连结DC ．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC ⊥BE ．

3、（1）如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；

（2）如图，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.

图1 图2 C

B

O D

A

E

F E D C A

B G H

B O D

C

E

A 4、如图所示，已知AE ⊥A

B ，AF ⊥A

C ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF

5、 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.

F

E

D C

B

A

6、D 为等腰Rt ABC ?斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。 ①当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。②若AB=2，求四边形DECF 的面积。

A

E B

M C

F

7、如图，ABC ?是边长为3的等边三角形，BDC ?是等腰三角形，且0

120BDC ∠=，以D 为顶点做一个0

60角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN ?的周长。

N

M D

C

B

A

8、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE

C

E

D

B A

A

B

D

E

F

C

9、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE 的面积