焦作市第一中学数学三角形解答题单元测试题(Word版 含解析)

焦作市第一中学数学三角形解答题单元测试题（Word版含解析）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；

②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；

（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．

【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）

∠ABO＝60°或45°

【解析】

【分析】

（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；

②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；

（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..

【详解】

（1）如图1，①∵MN⊥PQ，

∴∠AOB＝90°，

∵∠ABO＝60°，

∴∠BAO＝30°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠ABE＝1

2

∠ABO＝30°，∠BAE＝

1

2

∠BAO＝15°，

∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：

同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣1

2

∠ABO﹣

1

2

∠BAO

＝180°﹣1

2

（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣

1

2

×90°＝135°．

（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，

∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，

∴∠OAE+∠OAF＝1

2

（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，

又∵∠BOA＝90°，∴∠GAO＞90°，

①∵∠E＝1

3

∠EAF＝30°，

∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，

∠OAE＝1

2

∠BAO＝

1

2

（90﹣∠ABO）

∴∠ABO＝60°．

②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°

∴∠E+∠F=90°

∴∠E=22.5°

∴∠EFA=90-22.5°=67.5°

∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，

∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°

∴∠ABO=90°-45°=45°

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.

2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．

如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为

端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．

（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”灵动三角形）；（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；

（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．

【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.

【解析】

【分析】

（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；

（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；

（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】

（1）答案为：30°；是；

（2）∵AB⊥OM

∴∠B AO＝90°

∵∠BAC＝60°

∴∠OAC＝∠B AO-∠BAC=30°

∵∠MON＝60°

∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°

∴∠ACO＝3∠OAC，

∴△AOC为“灵动三角形”；

（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x ,∠ABC＝30°

∵△ABC为“智慧三角形”，

Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，

∴30＝3（90-x），∴x=80

Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，

∴30=3（60+x）∴x= -50 （舍去）

∴此种情况不存在，

Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，

∴60+x＝3（90-x），

∴x＝52.5°，

Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，

∴60+x＝90°，

∴x ＝30°，

Ⅴ、当∠BAC ＝3∠ABC 时，

∴90-x ＝90°，

∴x ＝0°（舍去）

Ⅵ、当∠BAC ＝3∠ACB 时，

∴90-x ＝3（60+x ），

∴x= -22.5（舍去），

∴此种情况不存在，

∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。

【点睛】

考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

3．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．

（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；

（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；

（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．

【答案】（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=

；（3）75°． 【解析】

【分析】

（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数；

（2）∠DCE ＝2αβ

- ．

（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出

∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=

12∠ACB+12

∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】

解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，

又因为CE 是∠ACB 的平分线，