2004年第九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛(初二组)决赛试题及评分标准
八年级数学华罗庚金杯少年决赛试题
八年级数学华罗庚金杯少年决赛试题第十二届全国”华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题（初二组）一、填空题（每题10 分，共80 分）1、已知，，则的值为。
2、已知，则的值为。
3、在平面直角坐标系中，点P（m 为实数）不可能在第象限。
4、有一只手表每小时比准确时间慢3 分钟，若在清晨4：30 与准确时间对准，则当天上午手表指示的时间是10：50，准确时间应该是。
5、如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则阴影部分的面积为。
6、若10 个数据的平均数是，平方和是10，则方差是。
7、若直线与直线的交点坐标是（，），则的值是。
8、某校组织师生春游，如果单独租用45 座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60 座客车，可以少租一辆，且余30 个座位。
则该校去参加春游的人数为；若已知45 座客车的租金为每辆250 元，60 座客车租金为每辆300 元，这次春游同时租用这两种客车，其中60 座客车比45 座客车多租1 辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金元。
二、解答题（每题10 分，共40 分，要求写出解题过程）9、已知，求下列各式的值：（1）（2）（3）10、如图所示，在△ABC 中，AC＝7，BC＝4，D 为AB 的中点，E 为AC边上一点，且∠AED＝90°＋∠C，求CE 的长。
11、已知是正整数，且与都是完全平方数。
是否存在，使得是质数？如果存在，请求出所有的值；如果不存在，请说明理由。
12、某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3 成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2 成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码的33 倍。
问这家原来的电话号码是多少？第十二届全国”华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初二组）一、填空（每题10 分，共80 分）题号12345678 答案0 二11：1032008270，1400注：第8 题，每空5 分。
2004年全国初中数学联赛 试题
2004年全国初中数学联赛试题2004年全国初中数学联赛CASIO杯武汉选拔赛试题一选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．若|1-x| = 1 + |x| ，则等于（）（A）x-1 （B）1-x （C）1 （D）-12．若ΔABC中，∠A=50°,AB>BC, 则∠B的取值范围是( )（A）0°<∠B<80°（B）50°<∠B<80°（C）50°<∠B<130°（D）80°<∠B<130°3．如图，在ΔABC中，D是AC的中点，E,F是BC的三等分点，AE,AF分别交BD于M,N两点，则BM:MN:ND = ( )（A）3:2:1 （B）4:2:1 （C）5:2:1 （D）5:3:24．化简，所得的结果为( ) （A）（B）（C）（D）5．如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分ΔAFC的面积为( ) （A）12 （B）10 （C）8 （D）66．若2x+5y+4z=6,3x+y-7=-4，则x+y-z的值为( )（A）-1 （B）0 （C）1 （D）47．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB，E为垂足，F为AD中点，若∠AEF=54°，则∠B=（）（A）54°（B）60°（C）66°（D）72°8．在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3。
E在线段AB上，且ΔEAD 与ΔEBC相似，这样的点E（...2004年全国初中数学联赛CASIO杯武汉选拔赛试题一选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．若|1-x| = 1 + |x| ，则等于（）（A）x-1 （B）1-x （C）1 （D）-12．若ΔABC中，∠A=50°,AB>BC, 则∠B的取值范围是( )（A）0°<∠B<80°（B）50°<∠B<80°（C）50°<∠B<130°（D）80°<∠B<130°3．如图，在ΔABC中，D是AC的中点，E,F是BC的三等分点，AE,AF分别交BD于M,N两点，则BM:MN:ND = ( )（A）3:2:1 （B）4:2:1 （C）5:2:1 （D）5:3:24．化简，所得的结果为( )（A）（B）（C）（D）5．如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分ΔAFC的面积为( )（A）12 （B）10 （C）8 （D）66．若2x+5y+4z=6,3x+y-7=-4，则x+y-z的值为( )（A）-1 （B）0 （C）1 （D）47．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB，E为垂足，F为AD中点，若∠AEF=54°，则∠B=（）（A）54°（B）60°（C）66°（D）72°8．在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3。
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试卷（初一组）
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初
一组）
满涛
【期刊名称】《时代数学学习：7年级》
【年(卷),期】2006(000)012
【总页数】5页(P19-23)
【作者】满涛
【作者单位】南京大学
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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第10～21届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题
第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题1、2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年。
问这两次远洋航行相差多少年？2、从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日。
问立春之日是几九的第几天？3、右下方是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。
问这个直三棱柱的体积是多少？4、爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。
若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？5、在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米。
求三项的总距离。
6、如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。
其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，……问这列数中的第9个是多少？7、一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示。
若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？8、100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组。
问：高、低年级学生各多少人？9、小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本。
如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本。
问：零售价每本多少元？10、不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。
问最多有多少名同学？11、输液100毫升，每分钟输2.5毫升。
请你观察第12分钟时吊瓶图像中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？12、两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”。
现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°。
分式的化简求值经典练习题(带答案)
精心整理精心整理分式的化简乘方：()n n n nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数)整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)中考要求精心整理精心整理负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n na a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b ccc+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc bdbdbdbd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．【例1【例2【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【例3】 先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =-..【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭-当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例4】 先化简，再求值：2291333x x x x x⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭其中13x =.【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省长沙市中考试题 【解析】原式()()()33133x x x x x +-=⋅-+ 当13x =时，原式3=【答案】3【例5】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =. 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题 【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+当x时，原式224=-=．【答案】4精心整理精心整理【例6】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+-【例7。
分式的化简求值经典练习题(带答案)
精心整理精心整理分式的化简乘方：()n n n nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数)整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)中考要求精心整理精心整理负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n na a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b ccc+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc bdbdbdbd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．【例1【例2【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【例3】 先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =-..【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭-当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例4】 先化简，再求值：2291333x x x x x⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭其中13x =.【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省长沙市中考试题 【解析】原式()()()33133x x x x x +-=⋅-+ 当13x =时，原式3=【答案】3【例5】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =. 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题 【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+当x时，原式224=-=．【答案】4精心整理精心整理【例6】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+-【例7。
历年华罗庚金杯试题
历年华罗庚金杯试题第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题1．1966、1976、1986、1996、2006这5个数的总和是多少？2．每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为一个宽度是1厘米的方框。
把5个这样的方框放在桌面上，成为这样的图案。
问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米？3．105的约数共有几个？4．妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。
小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？5．右面的算式里，4个小纸片各盖住了一个数字。
被盖住的4个数字总和是多少？6．松鼠妈妈采松籽。
晴天每天可以采20个。
有雨的天每天只能采12个。
它一连几天采了112个松籽，平均每天采14个。
问这几天当中有几天有雨？7．边长1米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体。
它的高是10米，长、宽都大于高。
问长方体的长与宽的和是几米？8．早晨8点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去。
两辆汽车的速度都是每小时60公里。
8点32分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的3倍。
到了8点39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍．那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的？9．有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数．问这个整数是几？10．甲、乙、丙、丁4个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场．结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3个胜的场数相同．问丁胜了几场？11．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数？12．黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起。
黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。
问至少要取多少根才能保证达到要求？13．有一块菜地和一块麦地，菜地的21和麦地的31放在一起是13亩，麦地的21和菜地的31放在一起是12亩，那么，菜地是几亩？14．71427和19的积被7除，余数是几？15．科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录．做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？16．有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。
分式的化简求值经典练习题(带答案)
分式的化简求值经典练习题(带答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（分式的化简求值经典练习题(带答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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分式的化简一、比例的性质：⑴比例的基本性质：，比例的两外项之积等于两内项之积.⑵更比性（交换比例的内项或外项）：⑶反比性（把比例的前项、后项交换）:⑷合比性：,推广：（为任意实数)⑸等比性：如果，那么（） 二、基本运算分式的乘法：分式的除法：乘方：（为正整数)整数指数幂运算性质:⑴（、为整数）a c a dbc bd =⇔= ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项 a c b d b d a c =⇒=a c a b c db d b d±±=⇒=a c a kbc kd b d b d±±=⇒=k ....a c m b d n ===......a c m ab d n b+++=+++...0bdn +++≠a c a cb d b d⋅⋅=⋅a c a d ad b d b c bc⋅÷=⨯=⋅()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b⋅=⋅=⋅个个n 个＝n mnm na a a +⋅=m n 知识点⑵(、为整数）⑶(为整数) ⑷（，、为整数)负整指数幂：一般地，当是正整数时，（)，即()是的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、分式的化简求值【例1】 先化简再求值：，其中【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州 【解析】原式当时,原式【答案】【例2】 已知：，其中【考点】分式的化简求值【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】()m n m n a a =mn ()n n n a b ab =nmnm na a a -÷=0a ≠m n n 1n na a -=0a ≠na -0a ≠naa b a b c c c+±=a c a d b c a d b cb d b d b d b d±±=±=2111x x x---2x =()()111x x x x x =---()111x x x x -==-2x =112x ==122221()111a a a a a a a ---÷⋅-++3a =222221(1)()4111(1)aa a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-例题精【答案】【例3】 先化简，再求值：，其中【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考【解析】当时，原式【答案】【例4】 先化简，再求值：其中.【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年,湖南省长沙市中考试题 【解析】原式当时,原式【答案】3【例5】 先化简，再求值：，其中.【考点】分式的化简求值【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式当时，原式．【答案】4【例6】 先化简,后求值：，其中．4-22144(1)1a a a a a-+-÷--1a =-()()2221144211122a a aa a aa a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭-1a =-112123a a -===---132291333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭13x =()()()33133x x x x x +-=⋅-+13x =3=211(1)(2)11x x x -÷+-+-x ()()()111121x x x x x+-=⋅+-+-+x 224-=22121(1)24x x x x -++÷--5x =-【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年,广东省肇庆市中考试题【解析】===当时，原式.【答案】【例7】 先化简，再求值：，其中．【考点】分式的化简求值【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省武汉市中考试题析】原式，当时,原式。
2004年北京市初二数学竞赛试题(初赛+复赛)
2004年北京市初二数学竞赛试题初中二年级初赛试题（120分钟）一、选择题（满分36分，每小题6分，单选题）1、若2004－200.4＋(－20.04)＝x ＋2，则x 等于（ ）（A ）2182.356 （B ）1821.636 （C ）1785.564（D ）1781.5562、如图，CD ∥BE ，则∠2＋∠3－∠1的度数等于（ ）（A ）90° （B ）120°（C ）150° （D ）180°3、如图所示，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（ ）（A ）21∠+∠=∠A（B ）()2121∠+∠=∠A （C ）()2131∠+∠=∠A （D ）()2141∠+∠=∠A4、如果a ＋2b ＋3c ＝12，且a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ，则a ＋b 2＋c 3的值是（ ）（A ）42 （B ）41 （C ）21 （D ）225、一种玩具，其中有一个红色的按钮、一个黄色的按钮和100个能站能坐的小木偶. 按一次红色按钮就会有一个站着的木偶坐下；按一次黄色的按钮就可以使站着的小木偶增加一倍. 现在只有三个小木偶站着，要使站着的小木偶变为91个，最少需按按钮的次数是（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86、四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的内角平分线恰相交于一点P . 如图所示，记△APD 、△APB 、△BPC 、△DPC 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则（ ）（A ）S 1＋S 3＝S 2＋S 4 （B ）S 1＋S 2＝S 3＋S 4（C ）S 1＋S 4＝S 2＋S 3 （D ）以上结论都不会二、填空题（满分64分，每小题8分）1、计算2222004200420042002120042003++的值.2、已知x ,y 为正整数，且满足2x 2＋3y 2＝4x 2y 2＋1. 求x 2＋y 2的值. .3、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形. 其中最大的正方形的边长是13厘米. 试确定四个阴影正方形的面积之和.4、已知y x z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+，求p p p ++23的值.5、化简：2004120011200112002120021200312003120041---+-+-.6、如果三个边长为整数的正方形纸片的面积之和为2004，其中最大的正方形纸片面积为p ，最小的正方形纸片面积为s . 试确定sp 的最大值.7、用正整数a 去除63,91,129所得的3个余数的和是25，试确定a 的值.8、如图，长方形ABCD的面积是35平方厘米，阴影三角形ABE的面积是5平方厘米，阴影三角形ADF的面积是7平方厘米，那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？.初中二年级复赛试题（120分钟）一、填空题（满分40分，每小题8分）1、一条两边平行的纸带，纸带的宽度（两平行线间的距离）为10厘米. 将纸带折起压平，如图所示，则重叠部分三角形ABC的面积的最小值是平方厘米.2、将4×4的方格表的每一个格子里都填上一个实数，使得每一行、每一列、两条对角线上的四个数的和都等于2004. 那么，如图所示的这种表上四个角的格子里所填的四个数之和x＋y＋u＋v的值等于.3、如图所示，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB. ∠AFB＝51°，则∠DFE＝.4、有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能表示为3个连续的正整数的和. 那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是.5、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，I是∠A、∠B的平分线AD与BE的交点. △ABI的面积为12，则四边形ABDE的面积等于.二、（满分15分）a 是正整数，且a 2＋2004a 是一个正整数的平方. 求a 的最大值.三、（满分15分）△ABC 中，三边BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且满足a 4＋b 4＋21c 4＝a 2c 2＋b 2c 2. 试判断△ABC 的形状.四、（满分15分）能将任意8个连续的正整数分成两组，使得每组四个数的平方和相等吗？如果能，请给出一种分组法，并加以检验；如果不能，请说明理由.五（满分15分）设A 1、B 1、C 1、D 1、E 1、F 1、分别是凸六边形ABCDEF 的边AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、F A 的中点. △ABC 1、△BCD 1、△CDE 1、△DEF 1、△EF A 1、△F AB 1面积之和为m ，六边形ABCDEF 的面积为S . 证明：m S 32 .。
全国“华罗庚金杯”决赛试卷（五年级组）
全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（五年级组）（时间：（时间： 10：00~11：30 ）一、填空题（每题10分，共80分）1、计算：)195167248(66.698.19)75.4285412375.2247816(-´´´´+´= 2、一次数学竞赛满分是100分，某班前六名同学的平均得分是95.5分，排名第六的同学的得分是89分，每人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学至少得至少得 分。
分。
3、在下面的等式中，相同的字母表示同一数字，若abcd －dcba =□997，那么，那么 □ 中 应填应填 。
4、在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=D BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是的面积是平方厘米。
平方厘米。
5、已知：10△3=14， 8△7=2， 43△141=，根据这几个算式找规律，如果，根据这几个算式找规律，如果85△x =1，那么x = . 6、右图中共有、右图中共有 个三角形。
个三角形。
7、有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是，则这个数最小是 。
8、A 是乘积为2007的5个自然数之和，B 是乘积为2007的4个自然数之和。
那么A 、B 两数之差的最大值是两数之差的最大值是 。
装订线全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（五年级组）一、填空题（每题10分，共80分）分）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 3 96 2 45 8124 59 1781 1~8题答案提示：题答案提示：1、3 解：原式=÷øöçèæ-´´úûùêëé´÷øöçèæ++´÷øöçèæ+1951679666.698.19419285412819247816 =19528953419285441912819247881916´÷øöçèæ´+´+´+´=195289531515713138´÷øöçèæ+++=195289531952895´÷øöçèæ+=3 2、96 解：要想排名第三的同学得分尽量低，则其它几人的得分就要尽量的高，故第一名应为100分，第二名应为99分，因此第三、四、五名的总分为：分，因此第三、四、五名的总分为： 95.5×95.5×66－100－99－89=285(分) 故第三、四、五名的平均分为故第三、四、五名的平均分为 285÷3=95（分），因此第三名至少要得96分。
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2004年全国“华罗庚杯”少年数学邀请赛
初二组决赛试题及评分标准
第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
决赛试题参考答案（初二组）
一、填空（每题10分）
二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分）
7.解答:.13922nm
① 解方程
.965,543yx
yx
得到x=-3,y=1;
② 代入原方程组中后两个方程,得到
.35,68nm
nm
再解上面关于m和n的方程,得到
;,136139nm
③ 计算.13916911722nm
8.解答:重叠部分的面积是.)(22332r
如图A,两圆重叠部分是两段小圆弧BAOAOB1和围成的区域,它由两部分构成:
① 第一部分是四边形1AOBO,因为,111rBOAOOBOAOO所以1AOO和
1BOO均是边长为r的正三角形,AD垂直和等分1
OO
,由勾股定
理,2432212222)(rrrODAOAD,所以rAD23,1BOO的面积
=,24322321rr四边形.2231rAOBO的面积
② 第二部分是四个弓形AO、1AO、BO、1BO，四个弓形相同，只需求出一个
弓形面积即可。因为601AOO，所以扇形AOO1的面积=261236060rr、弓
形AO的面积=扇形AOO1的面积-AOO1的面积=.)(24361r
题 目 1 2 3 4 5 6
答 案 9 2004 6002 45 171 127500
9.解答:42圈.
① 设A、B、C三个微型机器人的速度分别为u、v和w，圆形轨道周长是
S，
5.2,2wuSvuS 或 5.22,SSwuvu
所以，
.105.22SSSvw
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(1)
②又有
,231010
v
w
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
„„„„（2）
解（1）和（2），得到.5Sv
③代入2Svu，得到.4260,107107SuSS
10.解答321aaa „.1010a
①将10个不等式累加得
),(3)(2)(103211032110321aaaaaaaaaaaa
(3)
只有10个式子都取等号,(3)式才成立.
②由23132aaa 可以得到 ),(23221aaaa
(3.1)
由34232aaa 可以得到 ),(24332aaaa
(3.2)
„„„„„„„„„„„„
由121032aaa 可以得到 ),(221110aaaa
(3.10)
由(3.1)和(3.2)可推知).(243221aaaa类似地,可以推知),(2211021aaaa所
以,21aa,同理可得10321aaaa.所以,.1010321aaaa
11.解答:共有16种填法.
① 如图B1,数字1只能填在左上角的格子中,数字9只能
填到右下角的格子中.
② 数字7和数字8都不能填在中心的格子中;当它们分别填在第三列和第三
行时,它们只能填在图B2阴影格子中.
③ 数字7和数字8都填在第三列时,只能
是图B3的填法.此时,数字6只能填在
图B3空的阴影格子中,数字4和5可
以分别填在空的白格子中,共有2种
填法.类似地,数字7和数字8都填在
第三行时,同样有2种填法(见图B4).
④ 数字7和数字8可以分别填在图B2空的阴影格中,显然,有两种类型,对每
一种类型,数字4、5、6可以随意填入图B2空的白格子中，此时数字4、5、
6有6种填法。两种类型共有12种填法。综合以上讨论，共有16种符合
要求的填法。
12.解答:
3) 见图G;
4) 40种;
①在方格纸上共涂有10个阴影方格,每行每列涂阴影方格的个数均为奇
数.所以,必有1行仅有一个方格涂为阴影,同样,必有1列,也仅有一个方格涂有
阴影.如果这两个阴影方格重合,称为“阴影特征方格”.有“阴影特征方格”的
涂法称为A类涂法,如图C和图D.否则,称为B类涂法,如图E. A类有唯一“阴
影特征方格”.
②对于B类涂法,如果某行(称为a行)仅有1个阴影方格,例如图E中的第
三行,因为没有“阴影特征方格”，这个涂有阴影的方格所在的列有3个阴影方格，
有1个白色方格（未涂阴影的方格称为白色方格），例如图E中的第一列.此时，
因为a行仅有1个方格涂有阴影,这个白色方格所在行一定涂有3个阴影方格,
如图E第一行.也就是,这个白色方格所在的行和列中,除去这个方格,其它都是
阴影方格,称这个白色方格为“白色特征方格”.B类有唯一“白色特征方格”.
③在A类涂法中,除“阴影特征方格”所在的列和行,其余方格都涂成阴影.
所以,“阴影特征方格”的位置唯一地决定了4×4的方格纸的涂法.不难得到,A
类涂法有下面4种类型,见图Fa.
图Fa 图Fb
其它A类涂法,通过旋转必定和图F中的某个相同.
④在B类涂法中,可以抽掉“白色特征方格”所在的行和列,只考虑余下
的3×3方格,它有5个白色方格,仅有1行有3个白色方格,仅有1列有3个白色
方格,它们相交的白色方格称为“公共白色方格”.当然,“白色特征方格”在旋
转相同意义下,仅有4种类型(见图Fb).当“白色特征方格”位置固定时,“公共
白色方格”可以有9种选择,方格纸有9种不同类型的涂法.所以,B类共有4×
9=36种类型的涂法,见图G.
图G
第九届全国“华罗庚金杯“少年数学邀请赛主试委员会，2004/04/10
3
第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案
（初二组）
说明和判分建议
◆第7-10题解题方法和过程仅供参考,如有不同的解答方法,欢迎提供给主试委
员会,请寄至“北京中科院科技政策与管理科学研究所,付继良,100080”。
题 目 7 8 9 10 11 12
解答过
程
① 3 3 4 4 1 1
② 2 2 1 4 1 1
③ 1 1 1 2 1
④ 2 1
◆判分建议
◆判分标准
1） 答案正确,无过程,如果猜测答案较为容易,建议给2分,否则给4-5分;
2） 答案正确,依解题过程给出余下的5-8分;
3） 若答案错误,则视解题的过程是否正确给于1-8分;
4） 计算错误少扣分.
答案正
确
4 4 4 2 4 每个答案
各3分
合 计 10 10 10 10 10 10