专题12.1 全等三角形(解析版)
12.1全等三角形
第十二章全等三角形12.1全等三角形要点感知1能够 _____________________ 叫做全等形•两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关，与图形所在位置无关•预习练习1-1下列各图形中，不是全等图形的是（）飪3必倉令令翩影A H C D要点感知2能够 ____________ 的两个三角形叫做全等三角形•平移、翻折、旋转前后的图形_______ •把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.预习练习2-1如图所示，△ ABC与厶DEF全等，可记作厶ABC _ △DEF其中点A与点—是对应顶点，/ B与____ 是对应角，AC与__ 对应边.要点感知3全等三角形的 ______ 相等；全等三角形的______ 相等•预习练习3-1如图，已知△ ABD BA ECF则相等的边有__________________ ;相等的角有________________________知识点1认识全等形及全等三角形2•如图所示，将△ ABC沿AC对折，点B与点E重合，则全等的三角形有（）A.1对B.2对C.3对D.4对3•如图所示，△ AOC^^ BOD, C, D是对应点，下列结论错误的是（）A.Z A与/ B是对应角B.Z AOC与/ BOD是对应角C.OC与OB是对应边D.OC与OD是对应边知识点2全等三角形的性质4.如图，△ ABC^^ DEF,BE=4,AE=10 DE的长是（）A.5B.4C.3D.2夺童milsi•下列图形中与已知图形全等的是（）5.已知图中的两个三角形全等，则/ a度数是（）D.50 °A.72°B.60°AC.58°/代广衣 /6.如图，b△ ACB^ A'cCB',/ BCB' = 30°,则/ ACA'的度数是8•若△ ABC与厶DEF全等，A和E, B和D分别是对应点，则下列结论错误的是（）A.BC=EFB./ B=/ DC./ C=/ FD.AC=EF9•若△ ABG^A DEF且△ ABC的周长为20,AB= 5,BC= 8,则DF长为（）A.5B.8C.7D.5 或810. 如图，已知△ ABD^A CDB,且AB、CD是对应边，下面四个结论中不正确的是（）A A ABD和厶CDB的面积相等B A ABD和厶CDB的周长相等C./ A+/ ABD=/ C+/ CBDD.AD// BC且AD= BC11. _____________________________________________________ 如图，已知△ ABC^^ BAD,BC=AD写出其他的对应边 ___________________________________________________ 和对应角______________________12. _______________________________________________________ 如图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有 _________________________________________________ 对.7•如图所示,△ ABg A DEF若AB= DE,/ B= 50°，/ 8 70°，/ E= 50 ° ,AC= 2 cm,求/ D 的度数及DF 的长•13. ________________________________________________________________________ 如图，已知△ AEB^^ DFC, AE丄BC, DF丄CB,/ C= 28°，则/ A 的度数是 __________________________14. _______________________________________________________________________________________ 如图所示，若△ ABD^A ACE/ B与/ C是对应角,若AE= 5 cm,BE= 7 cm, / ADB= 100 °，则/ AEC=________________________________________________________________________________________ , AC= _____________________________________________________________________________________15. 如图所示，已知△ ABD^A ACD,且B, D, C在同一条直线上，那么AD与BC是怎样的位置关系？为什么?B D C16. 如图，△ ABC^A ADE, / DAC=60°,Z BAE=100°, BC、DE相交于点F,求/ DFB的度数.挑战自我17. 如图所示，A, D, E三点在同一直线上，且△ BAD^A ACE,试说明:(1)BD= DE+ CE;(2)△ ABD满足什么条件时，BD// CE?参考答案课前预习要点感知1完全重合的两个图形预习练习1-1 A要点感知2完全重合全等预习练习2-1也 D / E DF要点感知3 对应边对应角预习练习3-1 A B=EC,AD=EF,BD=C/A=/ E,/ B=/ ECF/ ADB=/ F当堂训练1 .B2 .C 3.C 4.A 5 .D 6.30 °7. •/△ABC^A DEF/. / B=/ E,/ C=/ F,/ A=/ D,DF= AC= 2 cm.•••/ B= 50°，/ C= 70°, •••/ A= 180°-50°-70°= 60°,.•./ D=/ A= 60°.课后作业8.A 9 .C 10.C11 .AC=BD,AB=B& C=Z D,Z CAB=Z DBA,/ABC=Z BAD12. 2 13.62°14.100° 12 cm15 .AD丄BC理由如下：•••/ ADB与/ ADC是对应角，且/ ADB+/ ADC=180°, •••/ ADB=/ ADC=90° .••• AD丄BC.16 .•••△ ABC^^ ADE,：/ B=/ D,/ BAC=Z DAE. 又/ BAD=/ BAC/ CAD, / CAE=/ DAE-/ CAD,•/ BAD=/ CAE.•••/ DAC=60°,/ BAE=100°,1•/ BAD=—(/ BAE-/ DAC) =20° .2•••在△ ABG和厶FDG中，/ B=/ D,/ AGB=/ FGD,•/ DFB=/ BAD=20° .17. (1)v^ BAD^A ACE, • BD=AE, AD=CE.又••• AE=AD+DE •- BD=CE+DE.(2)A ABD满足/ ADB=90° 时，BD// CE理由：•••/ ADB=90°, •/ BDE=180° -90° =90° . 又•••△BAD^AACE, •/ CEA=Z ADB=90°.•/ CEA=/ BDE,「. BD// CE.。
八年级数学12.1全等三角形 (1)优秀课件
C
B
O
A
D
证明：∵△ AOC ≌ △BOD
∴∠A=∠B
∴AC∥BD
思考题：把四边形ABCD纸片沿EF折叠使 点C落在四边形ABCD内部,如图,那么∠C与 ∠1+∠2之间的一种数量关系始终保持不变,这
个规律是( B )
A.∠C=∠1+∠ 2
A
B. 2∠C=∠1+∠2 C.3∠C=∠1+∠2 D.3∠C=2(∠1+∠2)
∠D 与∠C ，∠DAB与∠CEB，
∠ABD与∠EBC是对应角。
例3 如图，△ADE≌△CBF 求证：AE∥CF , DB=FE
AC
DB 证明：∵△ADE ≌ △CBF ∴∠AED=∠CFB , DE=BF ∴AE∥CF ，
DE-BE = BF-BE 即 DB=FE
EF
1、假设△ BCE ≌ △ CBF，那么
B
C′ 12
D
EF
C
△ABD ≌ △EBC ,且 AB=3cm,DE=2cm,求BC的长.
D
2cm
E
解：∵△ABD ≌ △EBC
∴AB=EB，BD=BC
A 3cm B
C ∵AB=3cm
∴EB=3cm
∴BC=BD=DE+BE =2+3=5cm
在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律？
A
AB=CD, ∠APB=∠CPD
B
P
BP=DP, ∠A=∠C
D
AP=CP, ∠B=∠D
C
对应角所对的边是对应边；
对应边所对的角是对应角。
寻找对应元素的规律
〔1〕公共边是对应边； 〔2〕公共角是对应角； 〔3〕对顶角是对应角； 〔4〕最大边是对应边，最小边是对应边； 〔5〕最大角是对应角，最小角是对应角； 〔6〕对应角所对的边是对应边; 〔7〕对应边所对的角是对应角。
专题12 利用全等三角形的性质解决角的证明与计算问题(解析版)
1专题12 利用全等三角形的性质解决角的证明与计算问题知识对接考点一、怎样解三角形全等的判定问题证明两条线段相等(或两个角相等)的常用方法是证明这两条线段(或两个角)所在的三角形全等.判定两个三角形全等的一般方法有“SSS"“SAS"“ASA"“AAS" ,对于直角三角形还有“HL”三角形全等的判定方法的选择:(1) 当已知两边分别相等时，可找两边的 夹角或第三边，利用“SAS"或“SSS”来证明两个三角形全等.(2) 当已知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的 对边，利用“ASA"或“AAS"来证明两个三角形全等.(3) 当已知一角及其对边分别相等时，可找任意一角,利用“AAS"来证明两个三角 形全等.(4) 当已知一角及其一邻边分别相等时，可找任意一角利用“AAS"或“ASA"来证明两个三角形全等,也可以找这个角的另一邻 边,利用“SAS”来证明两个三角形全等.(5)在直角三角形中除了利用“SS"S"ASA"AAS"”还可以利用“HL”来证明两个三角形全等:专项训练一、单选题1．（2021·珠海市紫荆中学桃园校区九年级一模）如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，AE 交BF 于点H ，//CG AE 交BF 于点G ，下列结论，①sin cos HBE HEB ∠=∠；①CG BF BC CF ⋅=⋅；①BH FG =；①22BC BG CF GF=其中正确的是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①【答案】D【分析】①根据正方形的性质求证BHE 是直角三角形即可得到结果；①由①求证△△CGF BCF ，利用其对应边成比例即可得到结论；①由①求证△△BHE CGF ≅即可得出结论；①利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；【详解】①在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC ，CD 的中点，①ABE BCF ≅△△，①BEA CFB ∠=∠，①CG①AE ，①GCB ABE ∠=∠，①CFG GCB ∠=∠，①90CFG GCF ∠+∠=︒，即①CGF 为直角三角形，①CG①AE ，①①BHE 也是直角三角形，①sin cos HBE HEB ∠=∠．故①正确；由①得△△CGF BCF ， ①CG CF BC BF=， ①CG BF BC CF =，故①正确；由①得△△BHE CGF ≅，①BH=CG ，而不是BH=FG ，故①错误；①△△BCG BFC ， ①BC BG BF BC=， 即2BC BG BF =，同理可得：△△BCF CGF ，可得2CF BF GF =，3 ①22BF BG GF CF=， ①①正确；综上所述，正确的有①①①．故答案选D ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义判断，准确结合相似三角形性质和全等三角形性质是解题的关键． 2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AC DE =B ．BC EF = C ．AEFD ∠=∠ D ．AB DF ⊥【答案】D【分析】 本题可通过旋转的性质得出①ABC 与①DEC 全等，故可判断A 选项；可利用相似的性质结合反证法判断B ，C 选项；最后根据角的互换，直角互余判断D 选项．【详解】由已知得：①ABC ≅①DEC ，则AC=DC ，①A=①D ，①B=①CED ，故A 选项错误；①①A=①A ，①B=①CED=①AEF ，故①AEF ①ABC ，则EF AE BC AB， 假设BC=EF ，则有AE=AB ，由图显然可知AE ≠AB ，故假设BC=EF 不成立，故B 选项错误；假设①AEF=①D ，则①CED=①AEF=①D ，故①CED 为等腰直角三角形，即①ABC 为等腰直角三角形，因为题干信息①ABC 未说明其三角形性质，故假设①AEF=①D 不一定成立，故C 选项错误；①①ACB=90°，①①A+①B=90°．又①①A=①D ，①①B+①D=90°．故AB①DF，D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．3．（2021·浙江九年级二模）三个全等三角形按如图的形式摆放，则①1+①2+①3的度数是（）A．90B．120C．135D．180【答案】D【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得①1+①2+①3+①4+①5+①6=360〬,①5+①7+①8=180°，即①1+①2+①3=360°-180°.【详解】①图中是三个全等三角形，①①4=①8, ①6=①7,又①三角形ABC的外角和=①1+①2+①3+①4+①5+①6=360〬,又①5+①7+①8=180°，①①1+①2+①3=360°-180°=180°.故选D【点睛】本题考核知识点：全等三角形性质，三角形的角. 解题关键点：熟记全等三角形的性质.4．（2021·河北）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．如图，已知①AOB，求作：①DEF，使①DEF＝①AOB．作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心，○长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心，* 长为半径画弧交前弧于点F；（4）作①，则①DEF即为所求作的角．A．①表示点E B．○表示PQC．*表示ED D．①表示射线EF【答案】D【分析】根据作一个角等于已知角的方法进行判断，即可得出结论．【详解】解：由图可得作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心，OQ为半径画弧交EG于点D；（3）以D为圆心，PQ长为半径画弧交前弧于点F；（4）作射线EF，①DEF即为所求作的角．故选：D．【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．5．（2021·河北邢台·）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：已知：①AOB．5求作：①A'O'B'，使①A'O'B'=①AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；（3）以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；（4）过点D'画射线O'B'，则①A'O'B'=①AOB．下列说法正确的是（）A．m－p>0B．1－p>0C．p=12n>0D．m=n>0【答案】D【分析】利用作法根据根据圆的半径相等可得出两个三角形的边长相同，即可得到结论．【详解】解：由作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，则m=n>0．故选：D．【点睛】本题考查了作图-基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．6．（2021·四川遂宁·）下列说法正确的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．在代数式1a ，2x，xπ，985，42ba+，13y+中，1a，xπ，42ba+是分式D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【答案】A【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．【详解】7解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C.在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，42b a +是分式，故选项错误； D.若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；故选：A ．【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．7．（2021·内蒙古包头·九年级）下列说法：①若分式22xx -+的值为0，则x 的值为2±；①到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；①直线CD 与①O 相切，P 在直线CD 上，则OP CD ⊥；①点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线225y mx mx =-+的图象上，若122x x +=，则12y y =．正确的有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【分析】①根据分式的值为0的条件进行判断，即可；①由角平分线的判定定理进行判断即可；①由切线的性质进行判断即可；①先求出抛物线的对称轴，然后进行判断即可．【详解】 解：若分式22xx -+的值为0， ①20x -=，20x +≠①2x =；则①错误；在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；则①错误；直线CD 与①O 相切，P 在直线CD 上，若点P 为切点，则OP CD ⊥；则①错误；①点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线225y mx mx =-+，①对称轴为：212m x m-=-=，①若12=12x x +，即122x x +=，则12y y =；故①正确； ①正确的结论只有1个；故选：B ．【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，角平分线的定义，切线的性质，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行判断．8．（2021·上海宝山·九年级）下列命题中正确的是（ ）A ．对角线相等的梯形是等腰梯形B ．有两个角相等的梯形是等腰梯形C ．一组对边平行的四边形一定是梯形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形【答案】A【分析】根据等腰梯形的判定定理与梯形定义对各个选项逐一分析即可．【详解】解：A 、对角线相等的梯形是等腰梯形，①四边形ABCD 为梯形，①DC∥AB ，过C 作CE ①DB 交AB 延长线于E ，①四边形BECD 为平行四边形①①DBA =①E ，BD =CE ，①AC =BD ，①AC =BD =CE ，9①①CAB =①E =①DBA ，在①ADB 和①BCA 中，AC BD CAB DBA AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ADB ①①BCA （SAS ），①AD =BC ，四边形ABCD 为等腰梯形，故本选项正确；B 、根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；C 、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为这组对边相等，那么就有可能是平行四边形，当这组对边不相等时是梯形，故本选项错误；D 、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．故本选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查等腰梯形判定与梯形的识别，掌握等腰梯形判定定理与梯形的识别方法是解题关键．9．（2021·广西九年级）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（ ） A ．作一个角等于已知角 B ．作一个角的平分线C ．作一条线段的垂直平分线D ．过直线外一点P 作已知直线的垂线【答案】C【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P 作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【详解】解：A.作一个角等于已知角的方法正确，不符合题意；B.作一个角的平分线的作法正确，不符合题意；C.作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误，符合题意；D.过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确，不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．10．（2021·重庆南开中学九年级）下列命题中是假命题的是（）A．两条平行线之间的距离处处相等B．同旁内角互补C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】B【分析】利用平行线间的距离、平行线的性质、角平分线的性质及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两条平行线之间的距离处处相等，正确，是真命题，不符合题意；B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；故选：B．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线间的距离、平行线的性质、角平分线的性质及矩形的判定方法，难度不大．二、填空题11．（2021·河南）如图，E、F是ABCD对角线AC上两点，且AE CF，则四边形DEBF是________．11【答案】平行四边形 【分析】根据已知条件，推出四边形的两对边相等，从而得出四边形是平行四边形． 【详解】 ①AD BC ∥ ①DAE BCF ∠=∠ ①AD BC =，AE CF = ①ADE BCF ≌ ①DE BF =同理，ADE CFD △≌△ ①DF BE =①四边形DEBF 是平行四边形 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题考查了平行的性质、全等三角形、平行四边形的判定，熟练应用性质、定理是关键12．（2021·山东九年级）如图，正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ED ⊥，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将EFG 沿EF 翻折，得到EFM △，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则EMN 的周长是________．【分析】如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等证明FQ =BQ =PE =1，①DEF 是等腰直角三角形，利用勾理计算DE =EF，PD =3，如图2，由平行相似证明①DGC ①①FGA ，列比例式可得FG 和CG 的长，从而得EG 的长，根据①GHF 是等腰直角三角形，得GH 和FH 的长，利用DE //GM证明①DEN ①①MNH ，则DE EN MH NH =，得EN①EMN 各边的长，相加可得周长． 【详解】解：如图1，过E 作PQ ①DC ，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，①①BCD =①ABC =90°， ①四边形BCPQ 是矩形， ①BC =PQ ， ①DC //AB ， ①PQ ①AB ，①四边形ABCD 是正方形， ①①ACD =45°，①①PEC 是等腰直角三角形， ①PE =PC ， ①PD =EQ ，①①PED +①FEQ =90°，①EFQ +①FEQ =90°， ①①PED =①EFQ ， 在①DPE 和①EQF 中 90PED EFQDPE FQE PD EQ ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ①①DPE ①①EQF ， ①DE =EF ， ①DE ①EF ，①①DEF 是等腰直角三角形， 在①DEC 和①BEC 中13CD BC ACD ACB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①DEC ①①BEC ， ①DE =BE ， ①EF =BE ， ①EQ ①FB ， ①FQ =BQ =12BF ，①AB =4，F 是AB 的中点， ①BF =2， ①FQ =BQ =PE =1， ①CE，PD =4-1=3，Rt ①DAF 中，DF= DE =EF如图2，①DC //AB ， ①①DGC ①①FGA ， ①422CG DC DG AG AF FG ====， ①CG =2AG ，DG =2FG ， ①FG=13⨯=①AC 22442，①CG=23=⨯=①EG=连接GM 、GN ，交EF 于H ， ①①GFE =45°，①①GHF 是等腰直角三角形， ①GH =FH= ①EH =EF -FH=， 由折叠得：GM ①EF ，MH =GH①①EHM =①DEF =90°， ①DE //HM ， ①①DEN ①①MNH ， ①DE ENMH NH=，3EN NH ==，①EN =3NH ， ①EN +NH ═EH， ①EN①NH =EH -EN=Rt ①GNH 中，GN6，由折叠得：MN =GN ，EM =EG ， ①①EMN 的周长=EN +MN +EM=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相似的性质和判定、勾股定理，计算比较复杂，作辅助线，构建全等三角形，计算出PE 的长是关键． 13．（2021·湖南长沙市·九年级）如图，,ABC DCB AC ≌与BD 相交于点E ，若40ACB ∠=︒，则BEC ∠等15于___________．【答案】100︒ 【分析】根据全等三角形的性质得到①DBC =①ACB =40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：①①ABC ①①DCB ，①ACB =40°， ①①DBC =①ACB =40°，①①BEC =180°-①DBC -①ACB =180°-40°-40°=100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和的定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 14．（2021·江苏）如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥，垂足为E ，连接CE ．若30ADB ∠=︒，则如tan DEC ∠的值为_____．【分析】过C 向BD 作垂线，可以构造出一个30°直角三角①CDF ，进而求出AEB CFD △≌△，设直角CDF 最小边DF=a,并用a 的代数式表示出其他边，即可求出答案． 【详解】解：过C 作CF①BD ，垂足为F 点 ①矩形ABCD, 30ADB ∠=︒①AD①BC ，90,30,ABC BCD DBC ADB ∠=∠=︒∠=∠=︒ AB=CD ,,AE BD CF BD ⊥⊥90,BAE ABE ABE DBC∴∠+∠=∠+∠=︒90,FBC FCB FCB FCD∠+∠=∠+∠=︒①①DBC=①DCF=①BAE=30°设DF=a,则，CD=2a，BD=4a，①AE BD⊥①①AEB=①CFD=90°①AEB CFD△≌△，①EB=DF=a①EF=4a-a-a=2a①tan CFDECEF∠==【点睛】本题主要考察了矩形的性质和解直角三角形知识点，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题关键．15．（2021·浙江）如图，在①ABC中，AC=BC①C=90°，点D在BC上，且CD=3DB，将①ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则tan①BED的值是_____．【答案】7 24【分析】先根据翻折变换的性质得到①DEF①①AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到①BED=CDF，求出CD=CF=x，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：①①DEF是①AEF翻折而成，①①DEF①①AEF，①A=①EDF，17①①ABC 是等腰直角三角形， ①①A=①B=①EDF=45°，由三角形外角性质得：①CDF+45°=①BED+45°， ①①BED=①CDF ，①CD=3DB，CD DB BC +==①CD=设CF=x ，则DF=FA=x ， ①在Rt①CDF 中，由勾股定理得， CF 2+CD 2=DF 2，即222)x x +=，解得：x =①8CF =①7tan tan 24CF BED CDF CD ∠=∠===； 故答案为：724. 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题. 三、解答题16．如图，等腰直角①ABC 中，①ABC ＝90°，点D 在AC 上，将①ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到①CBE ．（1）求①DCE 的度数；（2）当AB ＝4，AD ①DC ＝1①3时，求DB 的长．【答案】（1）90︒；（2 【分析】（1）由题意我们知道90A ACB ∠+∠=︒，通过全等三角形得出BCE A ∠=∠，就能得出90DCE ∠=︒的结论； （2）由（1）可得出DCE 是个直角三角形，可根据勾股定理求出DE 的长，根据角的关系证明DBE 是等腰直角三角形，所以要求DB 的长，就必须求出DE 的长即可解决问题． 【详解】解：（1）①AB BC =，90ABC ∠=︒ ①45A BCA ∠=∠=︒，①①ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到①CBE ， ①ABD CBE ≌， ①45A BCE ∠=∠=︒，①90DCE DCB BCE ∠=∠+∠=︒， 故答案为：90︒．（2）在等腰直角三角形ABC 中，①4AB =，①AC = ①:1:3AD DC =，①14AD AC ==34DC AC == 由（1）得：AD CE =且90DCE ∠=︒， ①22218220DE DC CE =+=+=，①DE =①ABD CBE ∠=∠，BD BE =，①90DBE DBC CBE DBC ABD ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， 在Rt DBE 中，根据勾股定理得：222DB BE DE +=，即2220DB =，①DB =【点睛】本题考查了旋转性质，勾股定理等知识，利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键．1917．（2021·北京房山区·）如图，AB AD =，BAC DAC ∠=∠，70D ∠=︒，求B ∠的度数【答案】70B ∠=︒ 【分析】先证明①ABC ①①ADC （SAS ）得到①B ＝①D ，即可求解． 【详解】证明：在①ABC 与①ADC 中，.AB AD BAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，①①ABC ①①ADC ， ①B D ∠=∠， ①70D ∠=︒， ①70B ∠=︒． 【点睛】本题考查了全等三角形的SAS 判定和性质，掌握SAS 判定方法是关键.18．（2021·北京西城·）如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠>︒．D 是ABC 内一点，ADC BAC ∠=∠．过点B 作//BE CD 交AD 的延长线于点E ．（1）依题意补全图形； （2）求证：CAD ABE ∠=∠；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD 相等的线段并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE ；见解析【分析】（1）根据题意作出平行线和交点即可；（2）如图，根据平行，得到①1=①ADC=①BAC ，再根据三角形外角定理得到1ABE BAE ∠=∠-∠，CAD BAC BAE ∠=∠-∠，从而CAD ABE ∠=∠；（3）通过在BE 上截取BG AD =，构造ABG CAD △≌△，再结合平行进一步得到1BGA ∠=∠，从而证明2AGE ∠=∠，=AE AG CD =．【详解】解：补全图形如图6所示．（2）证明：如图7，延长BE 至点F ．①//BE CD ，点F 在BE 的延长线上， ①1ADC ∠=∠．①ADC BAC ∠=∠，①1BAC ∠=∠． ①1∠是ABE △的外角，①1ABE BAE ∠=∠+∠，①1ABE BAE ∠=∠-∠．21又①CAD BAC BAE ∠=∠-∠， ①CAD ABE ∠=∠． （3） AE证明：如图8，延长BE 至点F ，在BE 上截取BG AD =，连接AG由（2）得ABG CAD ∠=∠，又①AB AC = ①ABG CAD △≌△，①AG CD BGA ADC =∠=∠，． ①1ADC ∠=∠，①1BGA ∠=∠．①18021180AGE BGA ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ①2AGE ∠=∠．①AE AG =． ①AE CD =． 【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，以及外角的相关知识，能够画辅助线构造全等是解决本题的关键． 19．（2021·河北九年级三模）如图，在①ABC 中，AB=①B =45°，①C =60°． （1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将①AEF 折叠得到①PEF ． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求①AEP 的度数． ①如图3，连结AP ，当PF ①AC 时，求AP 的长．【答案】（1）4;（2）①90°；①【分析】（1）如图1中，过点A 作AD①BC 于D ．解直角三角形求出AD 即可． （2）①证明BE=EP ，可得①EPB=①B=45°解决问题．①如图3中，由（1）可知：AC=sin 60AD =︒①AEF①①ACB ，推出AF AE AB AC =，由此求出AF 即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点A 作AD ①BC 于点D ，在Rt①ABD 中，sin 45AD AB =⋅︒=（2）①如图2，①①AEF ①①PEF ， ①AE ＝EP . 又①AE ＝BE ， ①BE ＝EP ， ①①EPB ＝①B ＝45°， ①①AEP ＝90°.①如图3，由（1）可知：在Rt①ADC 中，sin 60AD AC ==︒ ①PF ①AC ， ①①PF A ＝90°. ①①AEF ①①PEF ，①①AFE ＝①PFE ＝45°，则①AFE ＝①B .23又①①EAF ＝①CAB ， ①①EAF ①①CAB ，①AF AB＝AE AC①AF＝在Rt①AFP 中，AF ＝PF ，则AP＝【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（2021·辽宁大连·）如图，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，①B=①C ，AF 与DE 交于点G ，求证：GE=GF ．【答案】证明见解析.【分析】求出BF=CE ，根据SAS 推出①ABF①①DCE ，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【详解】①BE=CF ， ①BE+EF=CF+EF ， ①BF=CE ，在①ABF 和①DCE 中 AB DCB C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①ABF①①DCE （SAS ）， ①①GEF=①GFE ，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．21．（2021·辽宁阜新市教育服务中心）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是直线AB ，BC 上的点（E ，F 在直线AC 的两侧），且AE CF =．（1）如图2，求证：DE DF =；（2）若直线AC 与EF 相交于点G ，如图3，求证：DG EF ⊥；（3）设正方形ABCD 的中心为O ，CFE α∠=，用含α的式子表示DGO ∠的度数（不必证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①DGO =α+45°或①DGO =α-45°或①DGO =45°-α． 【分析】（1）四边形ABCD 是正方形，AD CD =，C DAB ∠=∠，又知道AE CF =，可得到DAE DCF △≌△即可求解；（2）作//EH BC 交AC 于点H ,则EHG FCG ∠=∠,知道四边形ABCD 是正方形可得AB BC =，90B ∠=︒推出BAC BCA ∠=∠，//EH BC ，AHE ACB ∠=∠，BAH AHE ∠=∠，AE EH =，得到AE CF =，EH CF =，又知道EGH FGC ∠=∠得到EHG FCG ≌△△即可求解（3）分三种情况①点E 在线段AB 上、①点E 在线段BA 的延长线上、①点E 在线段AB 的延长线上，逐一进行讨论即可求解． 【详解】解：（1）①四边形ABCD 是正方形， ①AD CD =，90C DAB ∠=∠=︒． ①90∠=∠=︒DAE C ． 又①AE CF =， ①DAE DCF △≌△．25（2）（解法一）作//EH BC 交AC 于点H ，如图1．则EHG FCG ∠=∠．图1①四边形ABCD 是正方形， ①AB BC =，90B ∠=︒． ①45BAC BCA ∠=∠=︒ ①//EH BC ，①45AHE ACB ∠=∠=︒． ①BAH AHE ∠=∠． ①AE EH =． ①AE CF =， ①EH CF =． 又①EGH FGC ∠=∠， ①EHG FCG ≌△△． ①EG GF =．由（1）同理可得DE DF =， ①DG EF ⊥．（解法二）作//EH BC 交AC 于点H ，如图2．图2①四边形ABCD 是正方形， ①AB BC =，90B ∠=︒．①45∠=∠=︒，BAC BCAEH BC，①//①45∠=∠=︒．AHE ACB①BAH AHE∠=∠．①EA EH=．=，又①AE CF=．①EH CF连接CE，FH．EH CF．又①//①四边形CEHF是平行四边形．=．①EG GF由（1）同理可得DE DF=，⊥．①DG EF（3）解：①当点E在线段AB上时，①四边形ABCD是正方形，①①BCD=①ADC=90°，①ACD=45°，①DAE DCF△≌△，①①ADE=①CDF，①①ADE+①EDC=①ADC=90°，①①EDC+①CDF=90°，即①EDF=90°，①DE=DF，DG①EF，①①GDF=①2=45°，①①1=45°-①3，①①BCD=90°，①①3+①2+①CFE=90°，①①3=90°-45°-α=45°-α，①①1=45°-①3=α，①①DGO=①ACD+①1，①①DGO=α+45°；①当点E在线段BA的延长线上时，①四边形ABCD是正方形，①①BCD=①ADC=90°，①BDC=45°，①DAE DCF△≌△，①①ADE=①CDF，①①ADF+①CDF=①ADC=90°，①①EDA+①ADF=90°，即①EDF=90°，①DE=DF，DG①EF，①①GDF=①GFD=①BDC=45°，①①1=①2，①①BCD=90°，①①3+①2=90°，①①3=①CFE-①GFD=α-45°，①①2=90°-α+45°=135°-α，①①1=①2=135°-α，27①①DGO=90°-①1=α-45°；①当点E在线段AB的延长线上时，①四边形ABCD是正方形，①AB①CD，①ACD=45°，①ABC=①ADC=90°，①DAE DCF△≌△，①①ADE=①CDF，①①ADE+①EDC=①ADC=90°，①①EDC+①CDF=90°，即①EDF=90°，①①2=①3，①DE=DF，DG①EF，①①GDE=①DEG=45°，①①1+①3=45°，①①ABC=90°，①①CFE+①2+①DEG=90°，①①CFE-①2=45°，①①CFE=①1=α，①①DGO+①1=①ACD=45°，①①DGO=45°-α．综上：①DGO=α+45°或①DGO=α-45°或①DGO=45°-α．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质29等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得DE =DF ，利用等腰直角三角形的性质求解． 22．（2021·河北保定市·）如图，90BCD ∠=︒，BC DC =，直线PQ 经过点D ．设PDC α∠=（45135α︒<<︒），BA PQ ⊥于点A ，将射线CA 绕点C 按逆时针方向旋转90︒，与直线PQ 交于点E ．（1）判断：ABC ∠________PDC ∠（填“>”或“=”或“<”）； （2）猜想ACE 的形状，并说明理由；（3）若ABC 的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．【答案】（1）=；（2）ACE 是等腰直角三角形；理由见解析；（3）4590α︒<<︒． 【分析】（1）由四边形ABCD 的内角和与邻补角的性质证明EDC ABC ∠=∠，即可得到结论．（2）由旋转的性质可得：90ACE BCD ∠=∠=︒，证明ECD BCA ∠=∠， 再证明ECD ACB ≌，从而可得结论； （3）当90PDC ABC α∠=∠==︒时，ABC 的外心在其斜边上，①ABC=α＞90°时，ABC 的外心在其外部，从而可得到答案． 【详解】 解：（1）90AB AD DCB ⊥∠=︒，，3609090180CDA ABC ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒， 180CDA CDE ∠+∠=︒，.EDC ABC ∴∠=∠故答案为：=．（2）ACE 是等腰直角三角形．理由如下：由旋转可得：90ACE BCD ∠=∠=︒， 90ECD DCA DCA BCA ∴∠+∠=︒=∠+∠， ECD BCA ∴∠=∠， 在ECD 与ACB △中，ECD BCA CD CBEDC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECD ACB ASA ∴≌ EC AC ∴=， 又90ACE ∠=︒ACE ∴是等腰直角三角形．（3）当①ABC=α=90°时，ABC 的外心在其斜边上，①ABC=α＞90°时，ABC 的外心在其外部，由PDC ∠＞45EAC ∠=︒，PDC DCA EAC ∠=∠+∠＜135︒， ∴ 45°＜α＜135°，故：4590α︒<<︒． 【点睛】本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．23．（2021·杭州市采荷中学）已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．（1）如图甲，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的中点时，求证：OP OQ =；（2）如图乙，连接AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S.若AD 4=，DCB 60∠=，BS 10=，求AS 和OR 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据菱形的性质证明①ODQ①①OBP ，即可得到OP OQ =．（2）首先求AS 的长，要通过构建直角三角形求解；过A 作BC 的垂线，设垂足为T ，在Rt①ABT 中，易证得①ABT=①DCB=60°，又已知了斜边AB 的长，通过解直角三角形可求出AT 、BT 的长；进而可在Rt①ATS31中，由勾股定理求出斜边AS 的值；由于四边形ABCD 是菱形，则AD①BC ，易证得①ADO①①SBO ，已知了AD 、BS 的长，根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA 、OS 的比例关系式，即可求出OA 、OS 的长；同理，可通过相似三角形①ADR 和①SCR 求得AR 、RS 的值；由OR=OS -RS 即可求出OR 的长．【详解】（1）证明：四边形ABCD 为菱形，AD //BC ∴．OBP ODQ ∠∠∴=, O 是BD 的中点，OB OD ∴=,在BOP 和DOQ 中，OBP ODQ ∠∠=，OB OD =，BOP DOQ ∠∠=BOP ∴①()DOQ ASAOP OQ ∴=．（2）解：如图乙，过A 作AT BC ⊥，与CB 的延长线交于T ． ABCD 是菱形，DCB 60∠=AB AD 4∴==，ABT 60∠=∴在Rt ATB 中，AT ABsin6023==TB ABcos602==,BS 10=，TS TB BS 12∴=+=，在Rt ATS 中，AS ∴=AD//BS ，AOD∴①SOB．AO AD42OS SB105∴===，则AS OS2OS5-=，AS7OS5∴=，AS2=5OS AS7∴==．同理可得ARD①SRC．AR AD42RS SC63∴===，则AS SR2RS3-=，AS5RS3∴=，3RS AS5∴==．OR OS RS∴=-==【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质；（2）中能够正确的构建出直角三角形，求出AS的长是解答此题的关键．33。
12.1全等三角形
F
C B
G
D
能够完全重合的两个图
形叫做全等形
观察下面两组图形，它们是不是 全等图形？为什么？
如果两个图形全等，它们的形状和 大小一定都相等 ！
（1）
（2）
你能举出生活中的全等图形的例子吗？
片出 同 。的 一 同张 规底 格片 照洗
两张纸重合后的剪纸；
A
D
F B C E
全 等 形： 能够完全重合的两个图形； 定义 全等三角形： 能够完全重合的两个三角形。
拓展与应用
A D
2、全等三角形性质的运用
（2）将△ ABC 沿直线BC平移， 得到△ DEF，说出图中线段、角的 B 关系并说明理由。
E A
C
F
（3）△ABD≌△ACE，若∠B ＝25°，BD＝6㎝，AD＝4㎝， 你能得出△ACE中哪些角的大小， 哪些边的长度吗？为什么 ？ B
E O
D
C
小结
交流：学会了什么？
B'
A'
C'
拓展与应用
1、全等对应元素的找法 A
O C B B D
A
D C
A
A
D
D
B
C
B
E
C
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）两个全等三角形最大的边是对应边， 最小的边也是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角， 最小的角也是对应角；
能够完全重合的两个三角形,叫做____________. 全等三角形
A D
例 如
B
C
12.1全等三角形
全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等
图形参考
用几何语言表述： ∵ △ABC ≌△DEF， ∴ AB =DE，BC =EF，AC =DF （全等三角形的对应边相等）， ∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F （全等三角形的对应角相等）． B
A
C
D
E
F
填一填
边
边 边 角 AB=DF AC=DE
A
C D F
课堂练习
练习1 如图，△OCA ≌△OBD，点C 和点B， 点A与点D是对应点，则下列结论错误的是（ D ）． （A） ∠COA =∠BOD ； （B） ∠A =∠D ； C B （C） CA =BD ； （D） OB =OA ． O A
D
课堂练习
练习2 △ABN ≌△ACM， ∠ABN 和∠ACM 是对 应角，AB 和AC 是对应边．则下列结论错误的是 （ Ｃ ）． （A）∠AMC =∠ANB ； A （B）∠BAN =∠CAM ； （C）BM =MN ； （D）AM =AN ． B M N C
BC=EF
∠A=∠D ∠B=∠F
角 角
∠ACB=∠DEF
问题： ∆ABC通过怎样的变化得到∆DFE？
填一填
边 边 边
AM=BM
MC=MD AC=BD ∠A=∠B ∠C=∠D ∠AMC=∠BMD
角
AMC BMD角形的性质的运用
例 已知：如图，△ABC ≌△DEF. 10 cm （1）若DF =10 cm，则AC 的长为 （2）若∠A =100°，则： 100° ； ∠D 的度数为 A D
教科书习题12.1第3、5、6 题．
G
N
总结
能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形
专题12.1 全等三角形的证明及计算大题(专项拔高卷)学生版-2024-2025学年八年级数学上册真
2024-2025学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题12.1 全等三角形的证明及计算大题（专项拔高30题）试题说明：精选最新2022-2023年名校真题30题，主要考察全等三角形的证明方法，强化学生解题模型的掌握以及计算能力！难度由易到难，循序渐进，逐步探索，精准拿分！1．（2022秋•宝安区期末）如图，在△ABC中，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，延长BD，CE相交于点F，BF＝AC＝．（1）求证：△BEF≌△CEA；（2）若CE＝2，求BD的长．2．（2023春•漳州期末）某同学制作了一个简易的T形分角仪来二等分任意一个角．如图，该T形分角仪是由相互垂直的两根细棍EF，GD组成，D是EF的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点O在GD上，同时保证T形分角仪的E，F两点正好落在所分角的两条边OA，OB上，此时OD就会平分∠AOB．为说明制作原理，请结合如图图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，，．求证：．3．（2022秋•龙岩期末）阅读下题及证明过程．已知：如图，AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，求证：∠BAP＝∠CAP．证明：∵AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，PA＝PA，∴△PAB≌△PAC第一步，∴∠BAP＝∠CAP第二步．上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．4．（2022秋•葫芦岛期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为CD的中点．（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长．（2）如图2，F为AC上一点，连接BF，BE．若∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，求证：BD+CF＝AB．5．（2022秋•千山区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，AE⊥AB交BD延长线于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：AE＝AD；（2）写出与线段CD相等的线段，并证明．6．（2023春•大埔县期末）如图，在△ABC中，GD＝DC，过点G作FG∥BC交BD的延长线于点F，交AB于点E．（1）△DFG与△DBC全等吗？说明理由；（2）当∠C＝90°，DE⊥BD，CD＝2时，求点D到AB边的距离．7．（2023春•贵州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝40°．点D在边BC上运动（D不与B、C重合），连结AD作∠ADE＝40°，DE交边AC于点E．（1）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（2）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，求∠BAD的度数．8．（2023春•渭南期末）如图，点E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，试说明：点O是AC的中点．请你在横线上补充其推理过程或理由．解：因为BF＝DE所以BF﹣EF＝DE﹣EF，即，因为AB＝CD，AE＝CF，所以（理由：SSS）．所以∠B＝∠D（理由：）．因为∠AOB＝∠COD（理由：），所以△ABO≌△CDO（理由：）．所以（理由：全等三角形对应边相等）．所以点O是AC的中点．9．（2023春•埇桥区期末）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．10．（2023春•巴州区期中）如图，点O是直线EF上一点，射线OA，OB，OC在直线EF的上方，射线OD在直线EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．（1）若∠DOF＝40°，求∠AOB的度数；（2）若OA平分∠BOE，求∠DOF的度数．11．（2023•芙蓉区校级三模）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．12．（2023春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝（用含α的式子表示）．13．（2022秋•青神县期末）如图，△ABC和△DEF都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E 在AB上，点F在射线AC上，连结AD，若AD＝AB．求证：（1）∠AED＝∠AFD．（2）AF＝AE+BC．14．（2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E．AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF．15．（2023春•六盘水期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．16．（2022秋•通川区期末）已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE．（1）如图，当∠ACB＝90°时；①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB＝α，其它条件不变时，∠BDE的度数是．（用含α的代数式表示）17．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．18．（2023•黄石模拟）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．19．（2022秋•莱州市期末）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，点E在AD的右侧，线段AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC＝α．（1）如图1，若α＝60°，连接CE，DE．则∠ADE的度数为；BD与CE的数量关系是．（2）如图2，若α＝90°，连接EC、BE．试判断△BCE的形状，并说明理由．20．（2023春•扶风县期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：．21．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．22．（2023•武陵区一模）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM＝∠ABC，点D是直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．（1）如图1所示，当点D与点B重合时，延长BA，CM交点N，证明：DF＝2EC；（2）当点D在直线BC上运动时，DF和EC是否始终保持上述数量关系呢？请你在图2中画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形，并证明此时DF与EC的数量关系．23．（2022秋•西宁期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：CF＝AD；（2）连接BE，若BE⊥AF，AD＝2，AB＝6，求BC的长．24．（2023春•贵港期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A （4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．25．（2023春•鄠邑区期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．26．（2023•岳阳县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠AED＝°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．27．（2023•肥城市校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．28．（2023春•惠民县期末）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，证明BE＝CF．②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．29．（2023春•沈北新区期末）如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．（1）思考AE与BE的位置关系并加以说明；（2）说明AB＝AD+BC；（3）若BE＝6，AE＝6.5，求四边形ABCD的面积？30．（2022秋•兴隆县期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．。
12.1全等三角形的性质
12.1全等三角形的性质一．【知识要点】1.全等用符号"≌"表示，读作"全等于"。
如△ABC ≌△DEF ，读作"三角形ABC 全等于三角形DEF"。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
二．【经典例题】1．如图，已知△ABC ≌△BAD ，BC =AD ，写出其他的对应边 和对应角 ．2．如图所示，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为 ．3.如图，△ACF ≌△DBE ，AD ＝9cm ，BC ＝5cm ，求AB 的长.4.（8分）如图，已知△ABC △△DEB ，点E 在AB 上，DE 与AC 相交于点F ，已知△D ＝35°，△C ＝60°，（1）求△DBC 的度数；（2）求△AFD 的度数．ABC ADE △≌△BC DA F DE G 105ACB AED ∠=∠=15CAD ∠=30B D ∠=∠=1∠5．(2022年绵阳期末第14题）如图，在三角形纸片ABC 中，AC ＝6cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在边AB 上的点E 处，折痕为BD ，AE ＝3cm ，则△AED 的周长等于 cm ．三．【题库】【A 】1. 若△MNP ≅△NMQ, 且MN=5, PN=4, PM= 2, MQ 的长为 （ ）A.5B.4C.2D.32．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ）Ａ．①②③④ Ｂ．①③④ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④3．一个正方形的侧面展开图有（ ）个全等的正方形.A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个4．已知：///ABC A B C ∆∆≌，/A A ∠=∠，/B B ∠=∠，70C ∠=︒，15AB cm =，则/C ∠=_________，//A B =__________．5.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°6.如图,△ABC绕点A顺时针旋转得到△AEF,若∠B=100°,∠F=50°,∠BAE=80°,则∠CAE的度数是___________.7．如图，下列三角形中全等的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【B】1．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能得到这两个图形全等的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个cm，则△A′B′C′的面积为______ 2．已知△ABC≌△A′B′C′，若△ABC的面积为10 22cm，若△A′B′C′的周长为16 cm，则△ABC的周长为________cm．3．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100 cm，A、B分别与D、E对应，且AB＝35 cm，DF=30 cm，则EF的长为( )A．35 cm B．30 cm C．45 cm D．55 cm4．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝______．5．△ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝____．6.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高.中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )A.3个B.2个C.1个D.0个【C】1. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3= .【D】1.已知等腰△ABC的周长为18cm，腰BC＝8cm，若△AB C≌△A′B′C′,则△A′B′C′一定有一条边等于（）。
12.1全等三角形课件
从以上你能总结出找全等三角 形的对应边,对应角的规律吗?
B
C
Байду номын сангаас
找一找：请指出下列全等三角形的对应边和对应角 A
1、 △ ABE ≌ △ ACF
对应角是： ∠A和 ∠A、 ∠B和 ∠C、 ∠AEB和 ∠AFC ； 对应边是AB和 AC、 AE和 AF、 BE和 CF 。
F B
O
E C
2、 △ BCE ≌ △ CBF
例题讲解，掌握新知
例3 如图△ABC≌△DCB， 指出所有的对应边和对应角。
A D
B
C
解： ∵△ABC≌△DCB ∴AB与DC，BC与CB，AC与BD是对应边 ∠A与∠ D，∠ABC与∠DCB， ∠ACB与∠DBC是对应角
1.△ABO≌△DCO，试 写出这两个三角形中相等 的边和相等的角。
A
O
D
1、判断题 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等（√ ） 2）全等三角形的周长相等，面积也相等（√ ） 3）面积相等的三角形是全等三角形。 （ X ） 4）周长相等的三角形是全等三角形。 （ X ）
3. 若B、E、F、C在同一条直线上AB∥CD， AE∥FD， 若△ABE与△CDF全等， 指出图中相等的线段和相 等的角． 4. 已知△ABE≌△ACD， 指出它们的对应边和对应角． C A B E
对应角是： ∠BCE和 ∠CBF、 ∠BEC 和 ∠CFB、 ∠CBE和 ∠BCF。对应边是： BC和 、 BF、 BE。 CB和 CE CF和
3、 △ BOF ≌ △ COE
对应角是： ∠BOF和 ∠EOC、 ∠BFO和 ∠CEO、 ∠FBO和∠ECO、对应边是：FB和 EC、 BO和 CO、 OF和 OE.
数学人教版八年级上第十二章12.1 全等三角形
12.1 全等三角形1．全等形的概念(1)定义：能够完全重合．．．．的两个图形叫做全等形． (2)全等形的判别方法：两个图形⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫形状相同大小相等→即完全重合． (3)能够完全重合的两个以上．．．．的图形，它们也是全等形． 析规律 全等图形的识别 两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关，与图形所在的位置无关，只要把它们叠放在一起，看是否重合，重合即为全等形．【例1】 下列图形中是全等形的是____________．解析：上述图形中，(5)和(7)形状相同，但大小不同，(6)和(10)大小、形状都不同；(1)和(9)、(2)和(3)、(11)和(12)尽管方向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形，(4)和(8)都是五角星，是全等形．答案：(1)和(9)、(2)和(3)、(4)和(8)、(11)和(12)2．全等三角形的定义和表示方法(1)全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．全等三角形是特殊的全等形．(2)对应元素：把两个全等的三角形重合到一起：①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角．如下图，△ABC 与△DEF 全等．对应顶点有：点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F ；对应边有：AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF .对应角有：∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F .(3)表示方法：“全等”用“≌”表示，读作“全等于”．例如，△ABC 与△A ′B ′C ′全等，点A 和点A ′，点B 和点B ′，点C 和点C ′是对应顶点，记作△ABC ≌△A ′B ′C ′.警误区 全等三角形的表示法 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，顺序不能随意书写．(4)对应元素的确定方法：①字母顺序确定法：由于在表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，因此可以利用字母的顺序确定对应元素．例如，△ABC≌△D EF，先把两个三角形顶点的字母按照同样的顺序排成一排：A→B→C，D→E→F，然后按照同样的顺序找出对应元素：a．点A和点D，点B和点E，点C和点F分别是对应顶点；b．线段AB和线段DE，线段BC和线段EF，线段AC和线段DF分别是对应边；c．∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F分别是对应角．②对应元素确定法：a．如果全等的三角形中，有两个对应顶点已经确定，那么连接对应顶点的边是对应边，对应顶点的对边是对应边，以对应顶点为顶点的角是对应角，剩下的第三个角是对应角；b．如果两条边为对应边，那么它们的对角为对应角，它们的夹角为对应角，第三条边为对应边；c．如果两个角为对应角，那么它们的对边为对应边，它们的夹边为对应边，第三个角为对应角．③图形特征确定法：a．有公共边的，公共边一定是对应边．如图1，△ADB≌△ADC，则AD一定是两个三角形的对应边．b．有公共角的，公共角一定是对应角．如图2，△ABD≌△ACE，则∠DAB和∠EAC 是对应角．c．有对顶角的，对顶角一定是对应角．如图3，△ABE≌△CDE，则∠1和∠2是对应角．d．两个全等三角形的最大的边(角)是对应边(角)，最小的边(角)是对应边(角)．【例2】如图，△ABC≌△ADE，其中C和E，B和D是对应顶点，写出这两个三角形中的对应边和对应角．分析：观察图形可知，能重合的边是对应边，能重合的角是对应角，或根据△ABC≌△ADE表示的对应顶点找出对应边、对应角．解：对应边有：AB和AD，AC和AE，BC和DE；对应角有：∠BAC和∠DAE，∠B和∠D，∠C和∠E.3．全等三角形的性质(1)性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．(2)作用：运用全等三角形的性质可以证明：两条线段相等、两个角相等．(3)拓展：由全等三角形的对应边相等、对应角相等，可以进一步推广到对应高、中线、角平分线相等、全等三角形的周长相等、面积相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等．谈重点用全等三角形的性质证明线段或角相等全等三角形的性质是证明线段或角相等的重要方法，在运用这个性质时，关键．．是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置，灵活地找到对应边或对应角，牢牢抓住“对应”二字．【例3】已知△ABC≌△DEF，AB＝8，BC＝12，若△ABC的周长为32，则△DEF的三边长分别是多少？解：因为AB＝8，BC＝12，且△ABC的周长为32，所以AC＝32－8－12＝12.又因为△ABC≌△DEF，所以DE＝AB＝8，EF＝BC＝12，DF＝AC＝12.4．全等三角形中的全等变换只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的变换，叫做全等变换．平移、翻折、旋转都属于全等变换．一个三角形经过全等变换，位置发生了变化，但其形状、大小未发生变化．通过观察两个全等三角形中的一个经过怎样的全等变换可以和另一个重合，从而可以确定它们的对应顶点、对应角和对应边．(1)平移型：如图所示，将△ACE沿直线AC平行移动AB的长度，得到△BDF，△ACE≌△BDF.(2)旋转型：如图①，将△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，△ABC≌△ADE.如图②，将△OAB绕点O旋转180°得到△ODC，则△OAB≌△ODC.(3)翻折型：如图③，将△ABC沿直线AB翻折，得到△ABD，则△ABC≌△ABD.如图④，将△ABD翻折得到△ACE，这两个三角形的∠A重合，则△ABD≌△ACE.5．综合运用全等三角形性质解决问题任意一个三角形通过平移、旋转、翻折后，位置发生了变化，但形状、大小都没有发生变化，所以平移、旋转、翻折后得到的三角形与原三角形全等．因为全等三角形的对应边是能重合的边，对应角是能重合的角，所以全等三角形的重要性质是：对应边相等，对应角相等．运用全等三角形的性质解决问题时，关键要找准对应顶点，然后根据对应顶点找出对应边、对应角．【例4－1】如图，△ABC≌△DEF，B与E，C与F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．分析：两个全等三角形是一定可以重合的，使两个图形完全重合的方法有三种：平移、旋转、翻折．解：将△DEF先沿直线EF翻折180°，然后沿CB向左平移CF的长度，得到△ABC，△ABC与△DEF重合．或将△ABC先沿BC向右平移CF的长度，再沿直线EF翻折180°，得到△DEF，则△DEF与△ABC重合．相等的边有：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF.相等的角有：∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.【例4－2】如图，将△ABC绕其顶点B顺时针旋转30°后得到△DBE.(1)△ABC和△DBE有什么关系？(2)求∠CBE的度数．分析：将△ABC绕其顶点B旋转得到△DBE，是几何变换中的全等变换，改变的只是位置，而大小、形状没有变化，所以△ABC和△DBE全等．解：(1)根据旋转变换，得△ABC≌△DBE.(2)由△ABC绕B点顺时针旋转30°得到△DBE，知BC绕B点顺时针旋转30°得到BE，即∠CBE＝30°.【例5】(探究题)如图1所示，△ABC绕着点B旋转(顺时针)90°到△DBE，且∠ABC ＝90°.(1)△ABC和△DBE是否全等？指出对应边和对应角．(2)直线AC、直线DE有怎样的位置关系？解：(1)由题意可得△ABC≌△DBE，AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A 和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE是对应角．(2)延长AC交DE于点F，如图2所示，∵△ABC≌△DBE，∴∠A＝∠D.又∵∠ACB＝∠DCF(对顶角相等)，∠A＋∠ACB＝90°，∴∠D＋∠D CF＝90°.∴∠AFE＝90°，即AC⊥DE.6．全等三角形中的操作问题全等三角形中的操作问题，要动手去做一做，把实际问题抽象成数学图形．图形经过翻折、折叠，重叠部分的三角形是全等三角形．然后根据全等三角形的性质，得到重合的角相等、重合的边相等．综合运用相等的量及有关知识进行推理论证或计算．【例6】两块大小一样的含30°锐角的三角板放在桌上，可以拼出各种不同的图形，如下图所示的四个图形都满足条件：(1)每两个三角形的三个顶点至少有一个重合；(2)每两个三角形的三条边中至少有一条重合或部分重合．请你拼出更多的图形，并画出这些图形(画2个即可)．解：如下所示：。
12.1_全等三角形 陈建
书写两个三角形全 等时,把表示对应顶 点的字母写在对应 的位置上 BC=EF
E C
F
∠A=∠D
∠B=∠E
∠C=∠F
思考：如果两个三角形满足三条边对应相等，三个角也对 应相等，那么这两个三角形全等吗？如何验证呢？
一个三角形平移后，形状、大小改变了吗？ 两个三角形全等吗？如果全等，指出它们 的对应边、对应角。
对应边 重合的边叫_______
AB、DF的对应边分别是 AC ___ DE 、 ___
∠A、∠F的对应角分
对应角 重合的角叫_______
∠D、 ___ ∠C 别是___
A
1.全等三角形的对应边相等 2.全等三角形的对应角相等 3.全等三角形的面积、周长相等
D
B
如图：△ABC≌△DEF 则有： AB=DE AC=DF
1.了解全等形及全等三角形的概念; 2.理解全等三角形的性质，掌握寻找全等三角形 对应边、对应角的方法; 3.运用全等三角形的性质既能解决简单的问题，也 能解决综合性的问题; 4.在图形变换及实际操作的过程中发展学生的空 间观念，培养学生的几何直觉.
在中考中，全等三角形占 5—8 分。全等三角形 的内容包括概念、性质和判定，今天我们主要学 习全等三角形的概念和性质。
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。 能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 你能够找出生活中的一些全等形吗？
A
D
△ABC≌△DEF (读作:全等于)
思考:两个三角形全等表示的 含义是什么? 两个全等三角形能够完全重合 B E C F
点A、点F的对应顶 C D 、 ___ 对应顶点 点分别是___ 其中重合的顶点叫__________
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专题12.1 全等三角形1.基本概念（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上）（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.【例题1】如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。
【解析】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD．又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD＝CE．【点拨】在利用角边角判定该定理证明全等后，全等三角形对应边相等。
【例题2】已知，如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，BC∥EF．则不正确的等式是（）A．AC=DF B．AD=BE C．DF=EF D．BC=EF【答案】C．【解析】A．∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，故此结论正确；B．∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE；∵DB是公共边，∴AB﹣BD=DE﹣BD，即AD=BE；故此结论正确；C．∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，故此结论DF=EF错误；D．∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，故此结论正确。
【点拨】考查平行线性质，全等三角形对应边相等。
【例题3】如图，若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°，则∠E等于（）A．35°B．45°C．60°D．100°【答案】D．【解析】∵△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°∴∠D=∠A=45°∴∠E=180°﹣∠D﹣∠F=100°．【点拨】全等三角形对应角相等。
【例题4】如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB 延长线上一点．（1）求∠EBG的度数．（2）求CE的长．【答案】（1）∠EBG=138°；（2）CE=3．【解析】（1）∵△ABE≌△ACD，∴∠EBA=∠C=42°，∴∠EBG=180°﹣42°=138°；（2）∵△ABE≌△ACD，∴AC=AB=9，AE=AD=6，∴CE=AC﹣AE=9﹣6=3．【点拨】考查全等三角形的性质以及直角三角形性质等知识点。
一、选择题1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°【答案】D．【解析】∵图中的两个三角形全等a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角∴∠α=50°2．下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等。
其中真命题的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】C．【解析】（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．综上可得只有（3）正确．3．下列说法中，错误的是（）A．全等三角形的面积相等B．全等三角形的周长相等C．面积相等的三角形全等D．面积不等的三角形不全等【答案】C．【解析】全等的三角形一定是能够互相重合的三角形，故全等的三角形面积相等，周长相等，而面积相同的两个三角形不一定能重合，即不一定全等，面积不等的三角形一定不会重合，不会全等．∴根据全等三角形的定义可知A、B、D均正确，C不正确．4．若△ABC与△DEF全等，A和E，B和D分别是对应点，则下列结论错误的是（）A．BC=EF B．∠B=∠D C．∠C=∠F D．AC=EF【答案】A．【解析】∵△ABC与△DEF全等，A和E，B和D分别是对应点∴BC=DF∠B=∠D∠C=∠FAC=EF．B、C、D是正确的，A是错误的．5．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A．∠1=∠2 B．AC=CA C．AB=AD D．∠B=∠D【答案】C．【解析】∵△ABC≌△CDA，BC=DA∴AB=CD，∠1=∠2，AC=CA，∠B=∠D，∴A，B，D是正确的，C、AB=AD是错误的．6．如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC=AF，故①正确；∠EAF=∠BAC，∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF=BC，故③正确；∠EAB=∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．7．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）A．2 B．3 C．5 D．2.5【答案】B．【解析】∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5，∵AE=2，∴EC=AC﹣AE=5﹣2=38．如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE【答案】D．【解析】∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．9．如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB=90°，∠A′CB=20°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．40°C．70°D．90°【答案】C．【解析】∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB=70°．二、填空题10．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为．【答案】130°．【解析】∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．11.如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为．【答案】30°【解析】∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∵∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB，∴∠ACA′=∠ACB﹣∠A′CB，∴∠ACA′=∠BCB′=30°．12.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=．【答案】11【解析】∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y=5∴x+y=11．13.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠C=25°，则∠AEB=度．【答案】120．【解析】∵△OAD≌△OBC，∴∠D=∠C=25°，∴∠CAE=∠O+∠D=95°，∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°．14.已知△ABC≌△A′B′C′，A与A′，B与B′是对应点，△A′B′C′周长为9cm，AB=3cm，BC=4cm，则A′C′=____cm．【答案】2．【解析】∵△ABC ≌△A′B′C′，A 与A′，B 与B′是对应点，∴A′C′=AC ，在△ABC 中，周长为9cm ，AB=3cm ，BC=4cm ，∴AC=2cm ，即A′C′=2cm ．三、解答题15．如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠0=65°，∠BEA=135°，求∠C 的度数．【答案】∠C=35°．【解析】∵△OAD ≌△OBC ，∴∠C=∠D ，∠OBC=∠OAD ，∵∠0=65°，∴∠OBC=180°﹣65°﹣∠C=115°﹣∠C ，在四边形AOBE 中，∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°，∴65°+115°﹣∠C+135°+115°﹣∠C=360°，解得∠C=35°．16.如图，ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=，25B D ∠=∠=，120EAB ∠=，求DFB ∠和DGB ∠的度数．【答案】DFB F∠=∠+∠90°，DGB D ∠=∠-∠65° 【解析】因为ABC ADE △≌， 所以1()2DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠ 1(12010)552=-=．所以DFB FAB B ∠=∠+∠10552590FAC CAB B=∠+∠+∠=++=DGB DFB D ∠=∠-∠902565=-=．17.如图所示，A B C D ，，，在同一直线上，且ABF DCE △≌△．求证：AF DE BF CE AC BD =∥，∥，．【答案】见解析。
【解析】ABF △DCE ≌△A D ∴∠=∠AF DE ∴∥；又ABF DCE △≌△ABF DCE ∴∠=∠180ABF FBC ∠+∠=，180DCE BCE ∠+∠=FBC ECB ∴∠=∠BF CE ∴∥；ABF DCE △≌△AB DC ∴=AB BC DC BC ∴+=+．即AC BD =．18.如图ABD ACE △≌△，试说明EBD ∠与DCE ∠的关系．【答案】DCE EBD ∠=∠．【解析】ABD ACE ∵△≌△，D E ∠=∠∴，又COD BOE ∠=∠∵．D COD 180-∠-∠∴180E BOE =-∠-∠．∠=∠．即DCE EBD19.如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，△DEB≌△CFA.则DE与CF，AE与BF，AC与BD，∠A与∠B各有何关系？【答案】见解析。
【解析】∵△DEB≌△CFA ∴DE=CF∵AF=BE ∴AE=BF ∴AC=BD∴∠A=∠B。