流体力学II教材讲解

流体力学II（Viscous Fluid and Gas Dynamics）讲义第一章、粘性不可压缩流体运动基本方程组（学时数：6）1-1．绪论流体力学是力学的一个重要分支，主要研究流体介质（液体、气体、等离子体）的特性、状态，在各种力的作用下发生的对流、扩散、旋涡、波动现象和质量、动量、能量传输，以及同化学、生物等其他运动形式之间的相互作用。

它既是一门经典学科，又是一门现代学科，对自然科学和工程技术具有先导作用。

历史上，力学包括流体力学，曾经经历基于直观实践经验的古代力学、基于严密数学理论的经典力学、基于物理洞察能力的近代力学三个阶段。

在人类早期的生产活动过程中，力学即与数学、天文学一起发展。

17世纪，Newton基于前人的天文观测和力学实验，发明了微积分，并总结出机械运动三大定律和万有引力定律，发表了著名的《自然哲学的数学原理》一书。

由于原理是普适自然与工程领域的规律，从而使力学成为自然科学的先导。

从17世纪开始，人们逐步建立了流体力学的基本理论体系，从Pascal定律、Newton粘性定律、Pitot 管测速，到Euler方程和Bernoulli方程，标志着流体动力学正式成为力学的一个分支学科。

18世纪，人们着重发展无粘流体的位势理论。

到了19世纪，为了解决工程实际问题，开始注重粘性的影响，Navier-Stokes方程的建立为流体力学的进一步发展奠定了完整的理论基础，但该方程解的存在性与光滑性的证明至今仍是一大难题。

20世纪初，Prandtl凭借出色的物理洞察能力，提出边界层理论，从而开创了流体力学的近代发展阶段，使力学成为人类实现“飞天”梦想的重要理论先导。

60年代以来，由于超级计算机、先进测试技术的发展和应用，力学进一步凸显宏微观结合和学科交叉的特征，进入现代力学发展新阶段。

刚刚过去的2011年，人类遭遇了一系列极端事件：日本海底地震导致海啸和福岛核电站泄露事故；澳大利亚飓风；我国干旱洪水灾害等异常气候问题。

这些极端事件的预测预警都是流体力学的前沿问题。

同一年，美国航天飞机历经30年130多次飞行之后终于宣布全面退役，其中一个重要原因是存在防热系统不可靠的安全隐患，这也是流体力学工作者亟待解决的一个重要课题。

因此，现代流体力学不仅是一门重要的基础学科，而且在航空航天、海洋海岸、环境能源、生物医学、材料信息等诸多与国家经济、社会发展密切相关的工程技术领域里，仍然具有不可或缺的先导作用。

本课程的教学目的是：在流体力学I的基础上，针对各种与科学技术发展和人类生活、经济活动紧密相关的流体力学问题，主要是粘性流体和气体动力学问题，建立相应的数学模型，综合运用数学、力学和数值模拟方法对模型进行求解，并根据求解结果解释实验现象，进而认识客观事物的规律性。

粘性流体和气体动力学知识的应用面广，涉及问题非常复杂，是力学专业高年级学生具备解决实际问题能力的重要一环，并且有利于形成新的学科交叉型思维。

主要内容：粘性流体和气体动力学的各种模型方程，Navier-Stokes方程的精确解和近似解，量纲分析方法，层流边界层理论，激波现象，湍流初步。

基本要求：掌握粘性流体和气体动力学的基本理论知识和主要物理概念，掌握综合运用数学、力学和数值模拟方法对模型进行求解并对实验现象进行解释的基本方法，能运用所学知识分析和解决一些实际问题。

主要参考书：1.周光炯等著《流体力学》（第二版），高等教育出版社，2000年6月2.叶敬棠等著《流体力学》，复旦大学出版社，1989年5月3.[美]W.F.休斯等著《流体动力学》，科学出版社，2002年3月4.[德]H.欧特尔等著《普朗特流体力学基础》（第11版），科学出版社，2008年6月5.林建忠等著《流体力学》，清华大学出版社，2005年9月6.[苏]谢多夫著《力学中的相似方法与量纲理论》，科学出版社，1982年12月7.[美]F.M.怀特著《粘性流体动力学》，机械工业出版社，1982年12月1-2．Navier-Stokes 方程组的导出在单相单组分连续介质、各向同性Newton 流体、热力学过程为准静态过程的前提下，流体运动的基本方程组可写成0d V dt ρρ+∇= （1-1） 1[]dV F P dt ρ=+∇ （1-2）211()([])()2R d V e F V P V k T q dt ρρ+=+∇+∇∇+ （1-3）2[]2[]()[][][]3P S p V I p I μμτ=-+∇=-+ （1-4）p R T ρ=， v e C T = （1-5）1[]()()2ji ij j iu u S s x x ∂∂==+∂∂ （1-6）(),[]()12(),3ji j i ij i i u u x x u V x μττμ∂⎧∂+⎪∂∂⎪==⎨∂⎪-∇⎪∂⎩i j i j ≠= （1-7）3200110()110T T T T μμ+=+ （1-8） 上列方程组中，自变量是t 和x （123{,,}T x x x x =），F 和R q 是单位质量流体上的体积力和辐射热，k 是热传导系数，μ是动力粘性系数，R 是气体普适常数，v C 是等容比热，[]P 是应力张量，[]S 是应变率张量，[]τ是粘性应力张量，[]I 是单位张量，未知量有密度ρ、速度V （123{,,}T V u u u =）、内能e 、温度T 和压强p ，微分算子123{,,}Tx x x ∂∂∂∇=∂∂∂，方程组是封闭的。

如果假定流体为不可压缩，则上述方程组可以简化为0V ∇= （1-9） 21dV F p V dt μρρ=-∇+∇（1-10） 2R dT C k T q dtρρ=Φ+∇+ （1-11）方程组（1-9），（1-10）就称为Navier-Stokes 方程组，其中只包含未知量V 和p ，可以与（1-11）解耦。

能量方程（1-11）是温度T 的控制方程，其中Φ称为粘性耗散函数，它与粘性应力张量[]τ以及速度场V 之间的关系为([])([])V V ττΦ=∇-∇ （1-12） []()TV V τμ=∇+∇ （1-13）这里V ∇是并矢张量，TV ∇是它的转置，即()()j ij iu V V x ∂∇=∇=∂，()()T T iijju V V x ∂∇=∇=∂ （1-14）直角坐标系中Navier-Stokes 方程组的分量形式为22222222222222222201()1()1()x y z u v w x y zu u u u p u u u u v w F t x y z x x y z v v v v p v v v u v w F t x y z y x y z w w w w p w w w u v w F t x y z z x y z μρρμρρμρρ∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++=-+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++=-+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++=-+++∂∂∂∂∂∂∂∂ （1-15）进一步假定为定常流动，体积力为重力，则沿着流线有变形的Bernoulli 方程222221221111122p p V gz V gz V dl μρρρ++=+++∇⎰ （1-16）1-3．Navier-Stokes 方程组的定解条件提法（1）初始条件：0(,,,0)(,,)V x y z V x y z =，0(,,,0)(,,)p x y z p x y z =；（2）自由面条件：一般仍用理想流体自由面上的运动学条件和动力学条件，也有假定自由面形状为已知而要增加切向应力平衡的情况； （3）无穷远条件：VV ∞∞=，p p ∞∞=；（4）固壁边界条件：W WV V =，固壁静止时0WV=，比理想流体多了一个切向速度限制条件，所以Euler 方程或Laplace 方程都不能适定求解，无旋性也无法保持。

在固壁边界处经常要计算无量纲的壁面摩擦系数f C 和热量吸收系数h ，分别定义为212Wf C V τρ∞=， W s f s fTkq n h T T T T ∂-∂==-- （1-17） 其中W τ和W q 分别为单位面积上的壁面摩擦阻力和热流通量，s T 和f T 分别为壁面附近固壁和流体的温度，n 是从流体指向固体的固壁法线方向。

1-4．柱面坐标系r z O θ和球面坐标系R O θλ中Navier-Stokes 方程组的分量形式（1）速度场的散度1()r r zr z V V V V V r r r z θθθ∂∂∂∇=+++∂∂∂ （1-18） 11()2cot sin R R R V V V V V V R R R R R θθλθλθθθλ∂∂∂∇=++++∂∂∂ （1-19）（2）迁移加速度2(())(())r r z r V V V V V e r θθ∇=∇-+(())(())r z z V VV V e V V e rθθθ+∇++∇ （1-20）其中r z V V V V r r zθθ∂∂∂∇=++∂∂∂。

222cot (())(())(())R R R R V V V V V V V V V e V V e R R θλθλθθλθθ+-∇=∇-+∇++cot (())R V V V V V V e rλθλλλθ++∇+ （1-21）其中sin R V V V V R R R θλθθλ∂∂∂∇=++∂∂∂。

（3）压强梯度1()(,,)r z p p p p r r z θθ∂∂∂∇=∂∂∂ （1-22） 11()(,,)sin R p p p p R R R θλθθλ∂∂∂∇=∂∂∂ （1-23） （4）粘性项22222()()r r r z r V V V V e r r θθθ∂∇=∇--+∂ 22222()r z z V V V e V e r r θθθθ∂+∇-++∇∂ （1-24） 其中2222222211r r r r zθ∂∂∂∂∇=+++∂∂∂∂。

22221()((cot ))sin R R R R V V V V V V e R θλθλθθθθλ∂∂∇=∇-++++∂∂22222((sin cos ))sin 2R V V V V e R θλθθθθθθλ∂∂+∇+--+∂∂ 2222((sin cos ))sin 2R V V V V e R θλλλθθθλλ∂∂+∇++-∂∂ （1-25） 其中2222222222221cot 1sin R R R R R R θθθθλ∂∂∂∂∂∇=++++∂∂∂∂∂。

（5）速度场的梯度111()rz r rz r zr z V V V r r r V V V V V V r r r r r V V V z zz θθθθθθθθ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∇=-+⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦（1-26）111()sin cos sin cos sin sin sin R R RR R R V V V R R R V V V V V V R R R R R V V V V V V V R R R θλθθλθλθλλλθθθθθθθθλλλθθθ⎡⎤∂∂⎢⎥∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∇=-+⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥--++⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦（1-27）（6）粘性耗散函数2221[2()2()2()r r z r z V V V V r r r zθθμθ∂∂∂Φ=++++∂∂∂ 22211()()()]r z r z V V V V V V V r r r r z z r θθθθθ∂∂∂∂∂∂+-+++++∂∂∂∂∂∂ （1-28）22211[2()2()2(cot )sin R R R R V V V V V V R R R R R R θλθθλμθθθλ∂∂∂Φ=++++++∂∂∂22111()(cot )sin R V V V V V V R R R R R R θθλλθθθθθλ∂∂∂∂+-++-++∂∂∂∂ 21()]sin R V V V R R R λλθλ∂∂++-∂∂ （1-29）（7）热流通量(,,)r z T k T Tq k k r r z θθ∂∂∂=---∂∂∂ （1-30） (,,)sin R T k T k T q k R R R θλθθλ∂∂∂=---∂∂∂ （1-31）1-5．涡输运方程定义速度场的涡量V Ω=∇⨯，将Navier-Stokes 方程组写成Lamb 形式21()2V V V F p t μρρ∂+∇+Ω⨯=-∇-∇⨯Ω∂ （1-32）在体积力有势的条件下取旋度得2()d V dt μρΩ=Ω∇+∇Ω （1-33）由于方程（1-33）相比于理想流体的Helmholdz 方程右端多了一个粘性扩散项，旋涡将在流体中逐渐扩散，所以一般粘性流体运动都是有旋的。