§3、连续型随机变量及其分布

1 5x p P{ X 10} f ( x )dx e dx 5 10 10
14


1 5x p P{ X 10} f ( x )dx e dx 5 10 10


e
x 5 10
| e 0.13533528.
2
22
一般正态变量的概率计算问题，有如下定理．
定理 设随机变量 X ~ N ( , ) ，则随机变量 X Y ~ N (0,1) ,
2
x 亦即 F ( x ) . 注：用定积分换元积分法不难证明该定理(证略). X 定理中， 称之为标准化． 于是，对于正态分布N(μ,σ2)，有
15
【例5】 设K在(0,5)上服从均匀分布，求方程
有实根的概率． 【解】 因为r.v.K～U(0,5)， 1 所以K的概率密度为 , 0 k 5, f (k ) 5 0, 其它. 又方程 4 x 2 4 Kx K 2 0 有实根，当且仅当 判别式 16 K 2 16( K 2) 16( K 2)( K 1) 0 即 K 1或 K 2 , 故事件“方程有实根”的概率为
0
lim
0
0
lim f ( ) 0.
因此，计算连续型随机变量取值落在一个区间的 概率时，可以不分开区间或是闭区间．
3
a
f ( x)dx
a
描述随机变量 分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量
概率分布(分布律)
概率分布(密度函数)
pk xk x F ( x) P{ X x} x f (t )dt
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正态分布密度函数 图形曲线的几何性质： (1)概率密度曲线 关于 x =μ为轴对称； (2)密度函数的 最大值为
f max ( x ) f ( )
(3)在点 x±μ处有拐点，凸凹区间为 (, ), ( , ), ( ,); (4)概率密度曲线以 x 轴为水平渐近线． 参数μ (X的数学期望)是其位置参数；参数σ (X的均方差)是其形状参数．
综上所述，即得随机变量X的分布函数为
0, 当x 0时 1 F ( x) x 2 , 当0 x 2时 4 1, 当x 2时
对F(x)求导数，可得随机变量X的密度函数为
x , 当0 x 2时 f ( x) F ( x) 2 0, 其它
§3、连续型随机变量及其分布
一、连续型随机变量及其分布 通俗地讲，所谓连续型随机变量就是其所有可能 取的值充满某一个区间的随机变量． 如何表示描述连续型随机变量的概率分布呢？ 定义1 随机变量X，若存在一个非负函数 f (x)， 使对任意实数x，均有 x
F ( x)

f (t )dt,
则称X为连续型随机变量，其中函数 f (x)称为X的概率 分布密度函数，简称为概率密度，或密度函数等．
时， x 1 x

F ( x)

f (t )dt
0dt 0;
7
②当 1 x 1 时，
F ( x)
1
2 2 0dt 1 t dt 1
x 1 1 2 1 x arcsinx ; 2
注：积分公式

f (t )dt
【解】（1）由分布函数求概率
P{ X 1} F (1) 1 (1 1)e 1 2e ; 2 P{1 X 2} F (2) F (1) [1 (1 2)e ] 0 1 3e 2 ; 1 3 2 1 1 1 P{ X } 1 P{ X } 1 F ( ) 1 e . 2 2 2 2
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2、指数分布 定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
则称随机变量 X 服从参数为 k( k > 0 )的指数分布， 记为 X ~ E (k ). 1 e k x , x 0, 其分布函数为 注：概率密度有人喜欢用下面的形式 1 x 1 e , x 0, f ( x ) 其它 . 0,
f ( x)
1 e 2
2 2
,
其中μ,σ(σ > 0 )均为常数， 则称随机变量X 为服从 参数μ,σ的正态分布，记为 X ~ N ( , 2 ). 特别地，当μ= 0,σ= 1 时，即概率密度为
( x)
17
1 e 2
x2 2
.
则称其为标准正态分布，记为 X ~ N (0,1).
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二、常用连续分布 1、均匀分布 定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度
1 , a x b, f ( x) b a 其它 , 0,
则称 X 为区间(a,b)上的均匀分布，记为 X ~ U (a, b). 其分布函数为 x a, 0,
xa F ( x) , a x b, ba x b. 1,
2
0, x 1, x 1 1 2 F ( x ) 1 x arcsinx , 1 x 1, ■ 2 1, x 1.
9
【例2】设随机变量X的分布函数为
1 (1 x )e x , x 0, F ( x) x 0, 0, 1 （1）求概率 P{ X 1}, P{1 X 2}, P{ X }; 2 （2）求概率密度。
20
1 ; 2
下面讨论有关正态分布的概率计算问题：
P{a X b} F (b) F (a ).
标准正态分布函数Φ(x)满足
( x) 1 ( x).
由于标准正态分布 密度函数关于y轴对称． 因此，密度函数曲线在 区间(-∞,-x]和[x,+∞) 上与x轴所围成的面积 相等， 而它们分别为： ( x ), 1 ( x ). 所以 ( x ) 1 ( x ).
21
标准正态的概率计算问题：
P{a X b} (b) (a ).
对于函数值Φ(x)， 首先注意到Φ(0) = 0.5； ①当 x > 0 时，查附表2(标准正态)求Φ(x)值； ②当 x < 0 时， 用公式 ( x ) 1 ( x ), 可求 Φ(x)值.
对于一般正态变量N(μ,σ2)的概率计算是转化为 标准正态来计算的．
正态分布随机变量X的分布函数为
F ( x)

f ( x)dx
1 2

x
此积分 不能直接 积分出来

e
x
x

( x )2 2 2
dx ( x ).
标准正态变量X的分布函数为
( x )
1 2

e
t2 2
dt.
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正态分布是最为重要的常见随机变量． 由于正态变量X 分布函数表达式中的积分不能够 直接积分出来，而其概率计算的问题则需要求其分布 函数值或计算类似的积分，那么如何计算正态分布的 概率呢？ 为此，下面先对正态分布概率密度函数图形曲线 的几何性质作以介绍．
b a
x
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P{a X b} F (b) F (a ) f ( x )dx;
(可用来求概率)
2
5.概率密度 f(x)连续点x处，有 F ( x ) f ( x ).
(可用来求f(x))
6.连续型随机变量X，取个别点的概率等于零，即
P{ X a} 0. 事实上， P{ X a } lim P{a X a }
13
ke k x , f ( x) 0,
x 0, 其它 ,
F ( x) 0,
其它 .
【例4】 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(分钟)服从指数分布，其概率密度为
1 1 x 5 e , x 0, f ( x) 5 其它. 0,
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开． 他一个月要到银行5次．以Y表示一个月内他未等到服 务而离开窗口的次数，求Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】这是一道综合题．先求他每次 “未等到服务而离开”的概率
注：分布函数F(x)的不可导点仅两个，……
6
【例1】设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数． 【解】 注意到其概率密度 f(x)是分段函数，因此 根据其分段定义区间(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞)，分段 求其分布函数F(x)． ①当
x
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x) 其它, 0,
1
连续型随机变量概率密度 f(x) 基本性质：
1. f ( x ) 0( x );
2. f ( x )dx 1. (可用来确定参数)
连续型随机变量的其它性质与结论： 3.连续型随机变量定义中公式


F ( x ) P{ X x }
4.由定义可知

f (t )dt (可用来求F(x))

P{a X b} F (b) F (a ) b a .
4
pk 概率分布 f (t ) 概率密度
【例0】 射击目标靶是一个半径为2m的圆盘，假 定每次射击都能命中靶，并且击中靶上任一同心圆盘 的概率与该同心圆盘的面积成正比，以X 表示弹着点 与目标中心的距离，试求随机变量X的分布函数． 【解】先求随机变量X的分布函数F(x)． 当 x 0 时， {X x} 是不可能事件，于是 F ( x) P( X x) 0; 当 x 2 时， {X x} 是必然事件，于是 F ( x) P( X x) 1; 当 0 x 2 时， P{0 X x} k x 2 , 特别地， 1 2 取x 2， 有 P{0 X 2} k 2 1 k , 于是 4 1 2 F ( x) P( X x) P( X 0) P(0 X x) x 4 5
x
x

x 2 a x 2 a x dx a x arcsin C . 2 2 a
2 2
2
8
③当
x x 1 时，
1

F ( x)
f (t )dt
2 0 1 t 2 dt 0 1 1;
注：积分 所以
1

1
1 1 t dt 12 为单位圆面积一半． 2
10
1
1
（2）对分布函数求导数即得概率密度：
1 (1 x)e x , F ( x) 0, xe x , f ( x) F ( x) 0,
x 0, x 0, x 0, ■ x 0.
连续型随机变量取某一定值的概率为零．因此， 计算其取值于某范围的概率时，可以不计较多一些点 或少一些点的问题． 并且，由此可进一步地理解：不可能事件与 零概率事件的关系 P(A) = 0 A = Φ.
4 x 2 4 Kx K 2 0,
P ({ K 1} { K 2}) P{ K 1} P{ K 2} 1 5 1 3 0dx dx . ■ 5 5 2
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3、正态分布 定义 设连续型随机变量X 的概率密度为 ( x )2
再求Y 的分布律．因为r.v.Y～B(5,e-2)，所以 Y的分布律为
P{Y k } C e
于是，由此有
k 2 k 5
(1 e )
2 5 k
, ( k 0,1,2,3,4,5)
P{Y 1} 1 P{Y 0} 1 (1 e 2 )5 5 1 0.86466472 1 0.48332437 0.51657563. ■